BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI THẨM ANH LINH PHƢƠNG TRÌNH TRƢỜNG TRONG HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ MỞ RỘNG Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết Vật lí toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Trong trình triển khai thực luận văn, ngƣời viết nhận đƣợc giúp đỡ, bảo tận tình thầy cô giáo khoa Vật lí, đặc biệt PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan – ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn. Tác giả luận văn xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo giúp đỡ, bảo nhƣ tạo điều kiện để ngƣời viết hoàn thành đề tài nghiên cứu này. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2014. Học viên Thẩm Anh Linh LỜI CAM ĐOAN Trong trình nghiên cứu luận văn với đề tài: Phương trình trường hình thức luận dao động tử mở rộng, cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác. Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn đƣợc cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn đƣợc rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2014 Học viên Thẩm Anh Linh MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1. Lí chọn đề tài .2 2. Mục đích nghiên cứu 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 4. Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 5. Những đóng góp đề tài 6. Phƣơng pháp nghiên cứu NỘI DUNG Chƣơng 1: Hình thức luận dao động tử mở rộng .4 1.1. Dao động tử mở rộng .4 1.2. Hạt quon .7 1.2.1. Dao động tử q- biến dạng 1.2.2. Thống kê q- biến dạng . 14 1.3. Hạt guon . 17 1.3.1. Ƣu gˆ - biến dạng so với q biến dạng . 17 1.3.2. Hệ dao động tử gˆ - biến dạng, tính chất gˆ . 20 1.3.3. Thống kê gˆ - biến dạng . 22 Chƣơng 2: Phƣơng trình trƣờng dựa hình thức luận dao động tử mở rộng . 27 2.1. Phƣơng trình trƣờng . 27 2.1.1. Phƣơng trình sóng . 27 2.1.2. Phƣơng trình Klein – Gordon 28 2.2. Phƣơng trình trƣờng dựa hình thức luận dao động tử mở rộng . 30 2.2.1. Phƣơng trình sóng biến dạng tổng quát . 30 2.2.2. Phƣơng trình Klein - Gordon biến dạng 33 Chƣơng 3: Một số tính chất trƣờng mở rộng . 36 3.1. Trƣờng biến dạng tham số biến dạng c số . 36 3.2. Trƣờng biến dạng tham số biến dạng toán tử 41 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 MỞ ĐẦU 1. Lí chọn đề tài Nhìn vào lịch sử vật lí, thấy nhà vật lí nhiều lần biến dạng thuật toán phƣơng trình để mô tả giải thích tƣợng vật lí, lí thuyết (đã biến dạng) tổng quát chứa lí thuyết ban đầu, lí thuyết ban đầu trƣờng hợp riêng thông số biến dạng tiến đến giá trị định. (Chẳng hạn nhƣ học tƣơng đối tính trở  thành học Newton tham số biến dạng    c cho kết học cổ điển giới hạn S   hay học lƣợng tử , S tác dụng,  số Planck). Phát minh Macfarlane Biedenham đại số lƣợng tử thuật ngữ q- dao động tử điều hòa làm nảy sinh việc áp dụng biến dạng lƣợng tử vào vấn đề thực vật lí. Sự biến dạng q hệ vật lí thông qua dao động tử điều hòa qbiến dạng nhỏ vùng lƣợng bình thƣờng nhƣng trở nên đáng kể vùng lƣợng Planck, việc nghiên cứu q- biến dạng trở thành quan trọng lí thuyết trƣờng. Nghiên cứu biến dạng lƣợng tử vấn đề đƣợc quan tâm, có khả đƣa đến phát triển lí thuyết lƣợng tử, lí thuyết hạt bản, dẫn đến nhiều thống kê (nhƣ thống kê phân số, thống kê q- biến dạng, thống kê gˆ - biến dạng…) đặt vấn đề toán học nhƣ lí thuyết biểu diễn nhóm lƣợng tử. Chính vậy, chọn đề tài: Phương trình trường hình thức luận dao động tử mở rộng nhằm nghiên cứu dao động tử mở rộng phƣơng trình trƣờng. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử mở rộng. - Nghiên cứu phƣơng trình trƣờng. - Nghiên cứu phƣơng trình trƣờng dựa hình thức luận dao động tử suy rộng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu chung dao động biến dạng, dao động tử biến dạng suy rộng từ đƣa phƣơng trình trƣờng. 4. Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử mở rộng. - Nghiên cứu phƣơng trình trƣờng dựa hình thức luận dao động tử mở rộng. 5. Những đóng góp đề tài Cung cấp tài liệu tham khảo phƣơng trình trƣờng mở rộng xem xét số tính chất vật lí trƣờng mở rộng. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp VLLT – VLT. - Phƣơng pháp trƣờng lƣợng tử. - Phƣơng pháp nghiên cứu nhóm đối xứng lƣợng tử. NỘI DUNG CHƢƠNG HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ MỞ RỘNG 1.1. Dao động tử mở rộng Chúng ta biến dạng dao động tử xây dựng đại số dao động tử biến dạng tổng quát. Những kết tổng quát áp dụng cho trƣờng hợp biến dạng. Biến dạng tổng quát dao động tử điều hòa đƣợc cho hệ thức giao hoán aa   g (a  a) (1.1.1) a, a+ toán tử hermitic liên hợp. Gọi n véc tơ trạng thái riêng toán tử số N N n n n (1.1.2) Khi viết:  n n  an  a n   n  1 n  (1.1.3a) (1.1.3b) ký hiệu n hàm số n. Từ (1.1.1) (1.1.3a) có: aa n  a n n    n n (1.1.4a) Tƣơng tự, từ (1.1.1) (1.1.3b) có: aa  n  a  n  1 n    n  1 n (1.1.4b) Với hàm bổ trợ g(x) đƣợc định nghĩa đại số dao động tử bình thƣờng g ( x)   x (1.1.5) thu đƣợc hệ thức giao hoán: a, a    aa   a  a  (1.1.6) Toán tử số N đƣợc định nghĩa thông qua hệ thức giao hoán:  N , a   a  N , a    a  , (1.1.7) giả sử toán tử số N đƣợc biểu diễn thông qua toán tử sinh, hủy theo hệ thức: N  f  aa  (1.1.8) tìm liên hệ hàm f (x) g(x). Sử dụng (1.1.1), có:  a,  a  a n   a  a  a n   a  a n a     aa   a   a  a  a n  n  g  a a    a a   a n   n (1.1.9) Tƣơng tự thu đƣợc:  a  ,  a  a n   a     g  a a    a a    n n  (1.1.10) Các phƣơng trình (1.1.9) (1.1.10) dẫn đến:   a, f  a  a   f  g  a  a    f  a  a  a  a  , f  a  a   a  f  g  a  a    f  a  a  (1.1.11)  (1.1.12) Lƣu ý công thức (1.1.10) (1.1.11), thấy chọn hàm: f  g  x    f  x  phƣơng trình (1.1.7) đƣợc (1.1.8) thỏa mãn. (1.1.13) Nhƣ vậy, từ (1.1.13) biết hàm bổ g(x) hàm sở f (x) hoàn toàn đƣợc xác định hàm giải tích thực xác định trục (dƣơng) thực. Nếu gọi F (x) hàm ngƣợc hàm f (x), tức là: F  f 1 , hayF  f  x    x (1.1.14) hàm g(x) đƣợc xác định thông qua hàm f (x) nhƣ sau: g  x   F 1  f  x   (1.1.15) Trong (1.1.10), ta thay x (a+a) với định nghĩa (1.1.1), biến dạng tổng quát dao động tử điều hòa đƣợc biểu diễn thông qua hệ thức giao hoán: f  aa    f  a  a   (1.1.16) Đây hệ thức giao hoán biến dạng hệ thức (1.1.6). Trong hệ thức giao hoán biến dạng (1.1.16) hàm f (x) (và hàm F (x)) đƣợc gọi hàm sở (và hàm cấu trúc) lí thuyết biến dạng, hàm g (x) đƣợc gọi hàm bổ trợ. Sử dụng (1.1.8) đƣợc: F  N   F  f  a  a   , N  f  a  a  Sử dụng (1.1.13), coi x = a+a đƣợc: F  N   F  f  aa   aa (1.1.17) Hoàn toàn tƣơng tự F (N +1) = F ( f (a+a) +1) = g (a+a) = aa+ Từ ta thu đƣợc hệ thức giao hoán biến dạng: (1.1.18) [a,a+] = aa+– a+a = F (N +1) – F (N) (1.1.19) 1.2. Hạt quon Trong phần này, trình bày số vấn đề hạt quon từ việc nghiên cứu dao động tử q- biến dạng thống kê q- biến dạng. 1.2.1. Dao động tử q- biến dạng Trong mục xin hệ thống dao động tử q- biến dạng boson fermion. 1.2.1.1. Dao động tử boson q – biến dạng đơn mode Dao động tử boson q – biến dạng đơn mode đƣợc định nghĩa thông qua hệ thức giao hoán: aa   qa  a  q  N (1.2.1) N , a  a N, a   a   Trong q  C thông số biến dạng; a+, a, N toán tử sinh, hủy toán tử số dao động thỏa mãn hệ (1.1.7) Véc tơ trạng thái riêng toán tử số N đƣợc xác định theo công thức: a   n q  n  nq ! (1.2.2)  Với n q ! =  nq  n  1q .1q , 0q  nq  Fq n  Tùy vào dạng hàm cấu trúc F x  thu đƣợc hệ dao động tử q- biến dạng thông thƣờng (còn gọi q- boson). * Dao động tử boson q- biến dạng 35  2   ( x, t )eikx dx    F  (  )    t  (2 ) Từ ta viết đƣợc:  2    F  (  )    ( x, t )   t  (2.2.20) Trong F ( ) đóng vai trò vận tốc tín hiệu. Phƣơng trình (2.2.20) phƣơng trình Klein- Gordon biến dạng phƣơng trình Klein- Gordon phi tuyến tổng quát. 36 CHƢƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƢỜNG MỞ RỘNG 3.1. Trƣờng biến dạng tham số biến dạng c số Sự biến dạng mà đƣợc quan tâm trƣờng lƣợng tử thu đƣợc thay giao hoán thông thƣờng (hoặc phản giao hoán) dao động, trƣờng giao hoán q tƣơng ứng. Nếu q mà tiến đến đơn vị so sánh đƣợc với thực nghiệm nay. Những lý thuyết chí đƣợc đánh giá thực. * Hệ thức giao hoán cho dao động trƣờng Khai triển trƣờng tùy ý là:   x    a p  f  p, x   b p g  p, x  (3.1.1) p Trong đó:  p   d p (3.1.2) r  u  p, x   ipx e 2 p0 1 (3.1.3)  32     p, x  ipx g  p, x    e  12  2  2 p0  (3.1.4)   f  p, x      2  32  Ở aa  b b toán tử thu phát xạ hạt phản hạt tƣơng ứng. p tổng tích phân momen xung lƣợng tổng theo spin. Hạt phản hạt liên hợp phức hàm mũ liên hợp phức điện tích hàm phụ thuộc spin tƣơng ứng với hệ thức sau:   , p   cu T  c  u  T   T  u , p   c T  c    (3.1.5) (3.1.6) Lƣợng tử hóa dao động đƣợc mô tả phƣơng trình sau: 37 a , a  q  q N   ,   (3.1.7) b    , b      q Nb    ,    q (3.1.8) a    , b     q  (3.1.9) b    , a      q (3.1.10)  a    , a     q  (3.1.11) b    , b     q  (3.1.12) a Trong N a N b toán tử số dao động sử dụng khái niệm A, Bq  AB  qBA Đƣa vào toán tử C không gian Hilbert với trạng thái hạt biến thành trạng thái phản hạt: Ca     b   (3.1.13) Trong   0 trạng thái chân không mà giả thiết C   (3.1.14) Ca C 1   b (3.1.15) CaC 1   (3.1.16) Kéo theo: Nếu giả sử C  C   C 1 (3.1.17) Thì C a a    qa  a C 1  Cq Na   ,  C 1 (3.1.18) b b    qb  b   q Nb   ,   (3.1.19) Kéo theo: 38 * Ma trận S Khai triển ma trận S tính lan truyền nhân  F . Mặc dù dao động đƣợc lƣợng tử hóa q dễ dàng tính đƣợc  F vắng mặt trƣờng nền. Giống nhƣ hệ thức giao hoán đƣợc thực số hạng giao hoán q nhƣ sau: a , a    a , a  q  q 1a a (3.1.20) Giá trị kỳ vọng chân không là: a , a    a , a  q    ,   (3.1.21) Giống nhƣ cho hệ thức phản giao hoán là: a , a    a , a  q  q  1a a (3.1.22) Và a , a    a , a  q    ,   (3.1.23) Vì vắng mặt trƣờng nền, hàm truyền Feynman thông thƣờng không biến đổi. Dƣới điều kiện hiệu ứng giao hoán q liên quan cách rõ ràng. Trong lý thuyết lƣợng tử hóa q, xem xét tính theo thứ tự thời gian q nhƣ sau:  x  x Tq  x  x   q x x  t  t t  t (3.1.24) Có thể biểu diễn Tq  x  x    x , xq   t  t  x , xq 1   t  t    t  t t  t  (3.1.25) (3.1.26) Một cách tự nhiên tích gợi ý kiểm tra biến đổi q ma trận S. S(q)=Tq(ei  L(c) d x ) (3.1.27) 39 * Tích chuẩn Để khai triển (3.1.27) định lý Wick’s bắt đầu mô tả tích chuẩn. Đầu tiên định nghĩa tích chuẩn ứng với đơn vị N 1  (3.1.28) N     (3.1.29)     N q Na  q Na  (3.1.30) Sau từ (3.1.7) ta có :     N a , a    qa  a   N q Na   ,    q Na    ,   (3.1.31) Và   N a , a    N qa  a   q Na    ,   (3.1.32)  qa  a   q Na   ,      ,   Để phù hợp sử dụng khai triển phần lặp lại  N  AB   N A  A , B   B     A B  A B  A B   qB A  q Na    ,        ,      AB  A , B   q  (3.1.33)  q N a   ,       ,    Giá trị kỳ vọng chân không AB là: AB  A B    A , B   q (3.1.34)  q N a   ,       ,    Từ (3.1.33) (3.1.34) ta thu đƣợc AB  N  AB   AB (3.1.35) Phƣơng trình (3.1.35) đƣợc viết lại (3.1.29) N  AB  N  AB   AB (3.1.36) 40 Hệ thức đƣợc tổng quát hóa N  A1 . An  B  N  A1 . An B      N A . A . A B   k n  1 k  n   (3.1.37) Ở  Ak . An B tích tắc q toán tử Ak . An B A1 . An B   toán tử hủy sinh N  A1 . Ak . An B    Ak B N  A . Ak 1 Ak 1 . An    PN q Na   ,  A1 . Ak 1 Ak 1 . An  (3.1.38)   q p kết từ giao hoán vế phải vế trái (3.1.38) Ak B cặp. Định lý Wick’s cho tích chuẩn trực tiếp từ (3.1.37) trạng thái tích khai triển thành tổng tích chuẩn, với tất cặp khả dĩ.     A1 . An  N  A1 . An   N  A1 A2 .An   .  N  A1 .An1 An             N  A1 . An   N  A1 A2 A3 A4 . An       (3.1.39) Kết đƣợc thiết lập tổng cho n, bƣớc An1 sử dụng (3.1.37) tổng n+1 giả sử cho tất n. Để có khai triển (3.1.27) phải có tích tắc q (3.1.24) cặp tƣơng ứng giá trị kỳ vọng chân không. 1  x1   x2   Tq 1  x1   x2   Bây (3.1.40) 41 Tq   x1   x2    N   x1   x2      x1   x2  Và     x2   x1          x1  x2      x1   x2  q     (3.1.41) x1o  x2o x2o  x10 (3.1.42) Định lý Wick’s áp dụng để tích tắc q trạng thái tích Tq hệ n toán tử tuyến tính, tổng tích chuẩn chúng với tất khả cặp tắc q. Những cặp hàm truyền nhân q. 3.2. Trƣờng biến dạng tham số biến dạng toán tử Trong mục nêu số kết qủa cho lý thuyết gˆ  trƣờng. Lúc trƣờng lƣợng tử đƣợc xây dựng sở gˆ  dao động tử. Chúng dẫn biểu thức giao hoán cho gˆ  trƣờng chúng không khác nhiều so với biểu thức lý thuyết trƣờng không biến dạng. 3.2.1. Lƣợng tử hóa gˆ  trƣờng Hàm trƣờng tự tuân theo phƣơng trình Klein – Gordon (□ – m2)   (3.2.1) Nhƣ hàm trƣờng đƣợc biểu diễn công thức tích phân 4chiều:     x     2  32    p   p Po   m2  e ipx d p, (3.2.2) Trong tích phân đƣợc lấy theo mặt hyperboloid chiều với   2 lƣợng dƣơng p  m . Lƣu ý tới công thức giải tích 42  F x    i  x  xi  F ' xi  (3.2.3) Trong xi nghiệm phƣơng trình F x   , ta chuyển tích phân chiều d p thành tích phân chiều dp . Tách phƣơng trình (3.2.2) thành hai phần có tần số âm tần số dƣơng, ta thu đƣợc toán tử trƣờng dƣới dạng:     x      2  32  dp ipx ipx  2 p0 1 A  pe  B  p e  (3.2.4) tích phân đƣợc lấy theo paraboloid nói trên,  số thành phần trƣờng. Đặt: A  p    a p, r u  p, r  (3.2.5) B  p    b  p, r   p, r  (3.2.6) r r r  tổng lấy theo tất trạng thái spin, aa , bb  toán tử hủy, sinh hạt phản hạt; u, trạng thái spin với lƣợng dƣơng âm. Nhƣ trƣờng đƣợc phân thành  x    a  f  , x   b  g  , x   (3.2.7) đó:    dp (3.2.8) r   f  , x      2  32 u  p, r  ipx e 2 p0 1 (3.2.9) 43   g  , x      2  32   p, r  2 p0  12 eipx (3.2.10) Tổng theo  tích phân theo momen tổng theo trạng thái spin. Phần hạt phản hạt tổng đƣợc nối liền liên hiệp phức hàm mũ liên hiệp điện tích hàm phụ thuộc spin, đƣợc biểu diễn thông qua hệ thức   , p   C u  C   u* , T T T   u  , p  C   C  T (3.2.11) *, (3.2.12) Sự lƣợng tử hóa dao động tử đƣợc biểu diễn thông qua phƣơng trình: a , a  'g    ,  ' (3.2.13) b    , b   '     ,  ' g (3.2.14) a , b 'g  (3.2.15) b  , a  ' (3.2.16) g 0 a , a 'g  (3.2.17) b , b 'g  (3.2.18) Các giả thiết (3.2.17) (3.2.16) áp dụng cho tất trƣờng hợp không loại trừ trƣờng vô hƣớng, a  b . Điều cho thấy việc sử dụng gˆ  biến dạng có ƣu so với việc sử dụng q  biến dạng, trƣờng hợp vô hƣớng, công thức (3.2.17) (3.2.18) trở thành a , a 'q  0, b , b 'q  0, Điều dẫn đến giá trị q phải 1 44 Nhƣ vậy, lƣợng tử hóa đƣợc gˆ  trƣờng thông qua dao động tử gˆ  biến dạng. 3.2.2. Tính nhân trƣờng lƣợng tử gˆ  biến dạng Trong mục này, chứng minh lý thuyết trƣờng gˆ  biến dạng thỏa mãn tính nhân vi mô. Sử dụng công thức (3.2.7), (3.2.13), (3.2.14) ta tính giao hoán tử  x, x'   a , a  ' f  , x f  ' , x'  b  , b ' g  , xg  ' , x'   g g     g      f  , x  f   ' , x'  g  , x g   ' , x'   ,  '         dp   ip  x  x '      u p , r u p , r e       p0  r     p, r    p, r eip  x x '   . r  (3.2.19) Giả sử rằng:    p    u  p, r u  p, r ,  (3.2.20) r    p     p, r   p, r ,  (3.2.21) r Khi (3.2.19) trở thành  x, x'   g      2   dp   ip  x x '     p eip xx '    p0   p e                 i  x  x '        i  x  x'.   i i     hàm   x  đƣợc xác định  (3.2.22) 45   i  x        dp  ipx  p0 e (3.2.23) Bây xem xét trƣờng boson fermion a, Xét trường gˆ  vô hướng Trong trƣờng hợp này, số thành phần trƣờng  ,   không nữa. Vì từ công thức (3.2.20), (3.2.21) ta có:     (3.2.24) Đƣa (3.2.24) vào (3.2.22) ta thu đƣợc:  x,  x'g  ix  x' (3.2.25) x    x    x  (3.2.26) đó: b, Xét trường gˆ  vector có khối lượng Sử dụng công thức cộng theo hình chiếu spin lý thuyết trƣờng lƣợng tử ta có:   p    e  p, r e  p, r     g  p p (3.2.27) m2 Nhƣ gˆ  giao hoán tử trƣờng gˆ  vector có khối lƣợng là: p p   A  x  , A  x '  i  g    g m      x  x '  (3.2.28) c, Xét trường gˆ  vector không khối lượng A x, A x' tr i tr j d, Xét trường gˆ  spinor g     i  ij  i j x  x' ; m  0.    (3.2.29) 46 Đối với trƣờng spinor, công thức cộng theo hình chiếu cho ta:    p     u  p, r  u  p, r   r     p      p, r   p, r   r  m  p   2m  m  p  2m (3.2.30) (3.2.31) Vì công thức (3.2.22) trở thành i    x  ,   x '   m  i      x  x    x  x g 2m  i  m  i     x  x 2m (3.2.32) Nhƣ tính đƣợc gˆ  giao hoán tử trƣờng gˆ . Công thức (3.2.25), (3.2.28), (3.2.29) (3.2.32) cho thấy gˆ  giao hoán tử tỉ lệ với hàm Schwinger x  x . Bây xét hai đại lƣợng quan sát đƣợc A  x  , B  x  . Nếu nhƣ tính nhân vi mô cổ điển đƣợc thỏa mãn gˆ  trƣờng giao hoán tử: Ax, Bx (3.2.33) phải không với hai điểm đồng dạng không gian thỏa mãn x  x2  (3.2.34) Với định nghĩa gˆ  giao hoán tử (3.1.16), ta dễ dàng chúng minh đƣợc công thức: AB, C   AB, C g  C, Ag B  A, g CB, (3.2.35) A, BC   A, BC  BA, C (3.2.26) Từ lý thuyết trƣờng lƣợng tử, biết hàm Schwinger x  x triệt tiêu x  x  . Đồng thời lƣu ý tới giả thiết 47 Wu Sun tính giao hoán toán tử gˆ  với toán tử a, a  (công thức (3.1.14)) đại lƣợng quan sát đƣợc phụ thuộc song tuyến vào trƣờng từ công thức (3.2.25), (3.2.28), (3.2.29), (3.2.32), (3.2.35) (3.2.36) thu đƣợc: Ax, Bx  x  x2  Nhƣ phần chứng minh tính nhân qủa vi mô lý thuyết trƣờng gˆ  biến dạng, cách lƣợng tử hóa gˆ  trƣờng thông qua gˆ  dao động tử dẫn hệ thức giao hoán cho gˆ  trƣờng. Đồng thời chứng minh gˆ  trƣờng thỏa mãn tính nhân cổ điển q- biến dạng tính q – nhân đƣợc bảo toàn. 48 KẾT LUẬN Sau khoảng thời gian nghiên cứu, tìm hiểu phƣơng trình trƣờng hình thức luận dao động tử mở rộng, đạt đƣợc số kết sau: 1. Nghiên cứu dao động tử mở rộng, đƣa đƣợc số hàm cấu trúc thƣờng gặp. Trình bày đƣợc số vấn đề hạt quon, thông qua việc nghiên cứu dao động tử q – biến dạng thống kê q biến dạng. Ngoài ra, tổng hợp đƣợc ƣu gˆ - biến dạng so với q – biến dạng, đồng thời nghiên cứu hệ dao động tử gˆ - biến dạng, tính chất gˆ thống kê gˆ biến dạng. 2. Nghiên cứu biến dạng phƣơng trình sóng, phƣơng trình Klein – Gordon, giới hạn tham số biến dạng để phƣơng trình biến dạng trở phƣơng trình dạng “cổ điển” (không biến dạng). 3. Nghiên cứu số tính chất trƣờng mở rộng nhƣ: trƣờng biến dạng tham số biến dạng c số trƣờng biến dạng tham số biến dạng toán tử. Những kết tìm đƣợc luận văn Phương trình trường hình thức luận dao động tử mở rộng góp phần tìm hiểu phƣơng trình trƣờng mở rộng số tính chất trƣờng mở rộng. 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. C.T.V.Ba and H.H.Bang (1999), “Generalized deformation with q being a root of unity”, Tuyển tập báo cáo Hội nghị VLLT lần thứ 24 (Toàn quốc). [2]. C.T.V.Ba and H.H.Bang (2000), “Quantum group and the standard model”, Tuyển tập báo cáo Hội nghị VLLT lần thứ 25 (Toàn quốc). [3]. Hoàng Dũng (1999), Nhập môn Cơ học lƣợng tử, Nxb Giáo dục. [4]. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lƣợng tử, Nxb ĐHQG Hà Nội. [5]. Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lí thuyết vật lí lƣợng tử, Nxb ĐHQG Hà Nội. [6]. Nguyễn Thị Hà Loan (1996), Deformed oscillators and their Statistics”, Communication in physics, Vol 6, No 2, page 18 – 22. [7]. Nguyễn Thị Hà Loan (1998), Communication relations for deformed quantum fielf”, Tuyển tập báo cáo Hội nghị VLLT toàn quốc lần thứ 23 tổ chức TP. Hồ Chí Minh. [8]. Arefeva I.Ya.and Volovich I.V.(1991), “Quantum group gauge field”, Mod. Phys. Lett. A6 (10), pp. 893 – 908. [9]. H.H. Bang (1995), “Some physical consequences of the general deformations”, Mod. Phys. Lett. A10 (8), pp. 1293 – 1298. [10]. H.H. Bang, C.T.V.Ba and D.V. Soa (2002), gˆ - field thery, comm in Phys.12 (2), pp. 76 – 80. [11]. H.H. Bang, C.T.V.Ba and D.V. Soa, “The causality in the gˆ deformed field theory”, gửi Comm. in Math. Physics. [12]. Bonatsos D. and Daskaloyannis C. (1993), “Equivalence of deformed fermionic algebras”, J. Phys. A26 (7), pp. 1589 – 1600. 50 [13]. Chaichian M. Gonzalez F.R. and Montonen C. (1993), “Statistics of q – oscillators, quons and relations to fractional statistics”, J. Phys.A26 (16), pp. 4017 – 4034. [14]. Chaturvedi S., Kapoor A.K., Sandhya R. and Srinisavan V. (1991), “Genneralized commutation relations for a single – mode oscillator”, Phys. Rev. A43 (8), pp. 4555 – 4557. [15]. Chaturvedi S. and Srinisavan V. (1991), “Aspects of q-oscillator quantum mechanics”, Phys. Rev. A44 (12), pp. 8020 – 8023. [16]. D.V.Duc (1994), “Generalized q-deformed oscillators and their statistics”, Preprint ENSLAPP – A – 494/94, Annecy, France. [17]. D.V.Duc (1998), “Statistics of generalized q-defomed quantum oscillators”, Frontiers in quantum Physics, Springer 1998, pp. 272 – 276. [18]. Falco L.D., Mignani R. and Scipioni R. (1995), “Harmonic oscillator with generalized statistics”, Nuo. Cim. A108 (2), pp. 259 – 262. [...]... của dao động biến dạng - g có dạng (1.3.41) Nhƣ vậy trong chƣơng 1, chúng tôi đã hệ thống một số điều cơ bản cần thiết cho luận văn về dao động tử mở rộng Trình bày một số vấn đề về hạt quon thông qua việc nghiên cứu dao động tử q – biến dạng, thống kê q – biến ˆ ˆ dạng, và hạt guon từ việc nghiên cứu dao động tử g - biến dạng, thống kê g - biến dạng 27 CHƢƠNG 2 PHƢƠNG TRÌNH TRƢỜNG DỰA TRÊN HÌNH THỨC... DỰA TRÊN HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ MỞ RỘNG 2.1 Phƣơng trình trƣờng 2.1.1 Phƣơng trình sóng Mọi sóng đều thỏa mãn một phƣơng trình vi phân riêng phần gọi là phƣơng trình sóng Các phƣơng trình sóng có thể có nhiều dạng, phụ thuộc vào môi trƣờng truyền, kiểu lan truyền Dạng đơn giản nhất, dành cho sóng lan truyền theo chiều x, trong thời gian t và dao động sóng thay đổi trên biến y Trong một môi trƣờng... sẽ nhận đƣợc phƣơng trình Schrodinger thông thƣờng 2.2 Phƣơng trình trƣờng dựa trên hình thức luận dao động tử mở rộng 2.2.1 Phƣơng trình sóng biến dạng tổng quát Chúng ta bắt đầu từ phƣơng trình sóng (2.1.1), trong đó vận tốc lan truyền đƣợc lấy bằng đơn vị (v = 1)  2 2   2  2   ( x, t )  0 x   t (2.2.1) 31 Trong biểu diễn tọa độ: ˆ X x (2.2.2a)  x px  i x  x  Trong biểu diễn xung... qFn n  2 qF  1 iq F 2  1 F tức là dẫn về biểu thức (1.2.22) Điều này cho chúng ta thấy sự thuận lợi khi sử dụng định nghĩa dao động tử Q- biến dạng theo kiểu Arik – Coon hay là q- biến dạng “toán học” 1.2.1.3 Dao động tử q- biến dạng đa mode Đối với hệ dao động tử boson q- biến dạng đa mode chúng ta có các hệ thức giao hoán mở rộng cho các hệ thức (1.2.1) và (1.2.11): ai a    q  1  ij ... tức là thống kê Fermi – Dirac 1.3 Hạt guon Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số vấn đề về hạt guon từ ˆ ˆ việc nghiên cứu dao động tử g - biến dạng, thống kê g - biến dạng Việc so ˆ sánh dao động tử g - biến dạng và dao động tử q- biến dạng cho chúng ta thấy ˆ rõ hơn ƣu thế của lý thuyết g - biến dạng so với lý thuyết q- biến dạng trong vật lý lƣợng tử ˆ 1.3.1 Ƣu thế của g  biến dạng so với... với các toán tử sinh, hủy A , A biểu diễn trong không gian Fock trở thành: n  A   n nB ! 0 (1.2.13) A0 0 N n nn trong đó n B q 2n  1  2 là hàm cấu trúc dạng (1.2.12) (ở đây kí hiệu q 1 thêm chữ B là dành cho boson) Trong không gian Fock chúng ta có: 11 A A  N  B B , AA  N  1 (1.2.14) 1.2.1.2 Dao động tử fermion q- biến dạng đơn mode Các toán tử hủy, sinh của dao động tử biến dạng... (1.3.21) Các công thức (1.3.20) và (1.3.21) cho ta thấy toán tử Ni với định nghĩa Ni  ai ai (1.3.22) ˆ Thực sự là toán tử số của dao động tử g  biến dạng mode i ˆ 1.3.3 Thống kê g - biến dạng Ta có những hệ thức giao hoán sau: ˆ a.a   ga  a  1 (1.3.23) ˆ  g, a   g, a   0 ˆ  ˆ Thông số biến dạng g là một toán tử thỏa mãn điều kiện ˆ ˆ g  g (1.3.24) ˆ g2 1 Toán tử số dao động N có dạng... 0 (1.3.29) Trong đó 0 là trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện a 0  0, 0 0 1 (1.3.30) Từ hệ thức (1.3.23) và (1.3.29) có thể viết a n  an 1  ng  n g n 1 n 1 (1.3.31) (1.3.32) 24 ˆ Ta có Hamitonian của hệ dao động biến dạng g đƣợc cho bởi biểu thức p2 1 H  m 2 x 2 2m 2 (1.3.33) Toán tử tọa độ và toán tử xung lƣợng đƣợc biểu diễn trong những số hạng của toán tử sinh hủy dao động a  ,... dạng q cho các dao động tử boson và fermion đơn mode (ta gọi các hạt này là hạt quon) ta mở rộng các hạt quon đa mode đƣợc xác định bởi hệ thức giao hoán ai a   qa  ai   ij j j (1.3.1) Hệ thức (1.3.1) đƣợc gọi là đại số quon Hệ thức này có thể xem nhƣ là một phép nội suy giữa thống kê Bose – Eistein và Fermi – Đirac khi q chạy từ 1 đến -1 trên trục thực 18 - Khi q  1 thì phƣơng trình (1.3.1)... (1.2.35) 17 Lƣu ý rằng (1.2.1), (1.2.9) và (1.2.20) trở về hệ thức giao hoán của dao động tử boson thông thƣờng nếu q  1 và q  i Khi đó các phân bố a  a , A A và F  F trong (1.2.32), (1.2.33) và (1.2.35) trở thành: b b  1 e   1 tức là tuân theo thống kê Bose – Einstein Còn (1.2.15) sẽ trở thành hệ thức giao hoán của dao động tử fermion thông thƣờng q  1 và tƣơng ứng (1.2.34) trở thành . của những nhóm lƣợng tử. Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: Phương trình trường trong hình thức luận dao động tử mở rộng nhằm nghiên cứu dao động tử mở rộng và các phƣơng trình trƣờng. 3 2 Phƣơng pháp nghiên cứu 3 NỘI DUNG 4 Chƣơng 1: Hình thức luận dao động tử mở rộng 4 1.1. Dao động tử mở rộng 4 1.2. Hạt quon 7 1.2.1. Dao động tử q- biến dạng 7 1.2.2. Thống kê q- biến dạng. LỜI CAM ĐOAN Trong quá trình nghiên cứu luận văn với đề tài: Phương trình trường trong hình thức luận dao động tử mở rộng, tôi đã cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Tôi