Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN HƯƠNG GIANG MỘT ƯỚC LƯỢNG VÈ SÓ CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG • • • THEO CHUẨN SCHATTEN VÀ ÁP DỤNG m VÀO TOÁN TỬ SCHRÖDINGER Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC • • • Người hướng dẫn khoa học: TS TẠ NGỌC TRÍ HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí, người đã giúp đỡ tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 8 năm 2014 Nguyễn Hương Giang Lời cam đoan 3 Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn Schatten và áp dụng vào toán tử Schrödinger” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả 1 Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Hà Nội, tháng 8 năm 2014 Nguyễn Hương Giang Mục lục Mở đầu 1.1 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4 Không gian Banach 4 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert Toán tử tuyến tính bị chặn Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn 1.4 Toán tử tuyến tính không bị chặn Phỗ của toán tử tuyến tính không bị chặn 1.5 Chương 2 Toán tử Schrödinger Định nghĩa và tính chất 2.1 1.3 7 7 1 3 1 6 1 9 Phép biển đổi Fourier 2 1 Toán tử Schrödinger tự do 4 Phổ của toán tử Schrödinger trong một số trường hợp 2 7 2.2.1 Toán tử Schrödinger dạng H 0 + V 2.2.2 Toán tử Schrödinger dang — A — 7—7\x\ 4 2 4 2.1.1 2.1.2 2.2 2.2.3 N N Toán tử Schrödinger dạng — Ỵ2 + Ỵ2 V J K { XJ — X K ) j• R được gọi số K là mộtC HUẨ N trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau (i) P ( X ) > 0 với mọi X £ X; P(X) = 0 • X = 9 (9 là kí hiệu phần tử không trong X)\ (ii)P ( X X ) = |AỊp(x) với mọi số À G K và mọi x ễ I ; (iii) p(x + y) < p(x ) + p(y ) v ớ i m ọ i x,y £ X Số P ( X ) được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X , thông thường ta kí hiệu || a;|| thay cho P ( X ) Không gian vectơ X cùng với chuẩn II-ỊỊ trong nó được gọi là một GI A N Đ Ị N H C H U Ẩ N , K HÔN G kí hiệu (X , II’II) M ệ n h đ ề 1 1 2 Giả sử X là không gian định chuẩn Với mọi x,y e X, đặt P{X,Y) = ||(x-y)|| Khi đó, p là một metric trên X Định nghĩa 1.1.3 Dãy (X n) trong không gian định chuẩn X được gọi là đến X 0 e X nếu lim \\x n — a^oll = 0 n—>oo HỘI T Ụ 1 0 Khi đó, ta kí hiệu lim X N — ĩl—>00 Mệnh đề 1.1.4 XỮ hoặc X N —> XỮ, khi N —>• 0 0 Dãy ( x n ) trong không gian định chuẩn X được gọi là một dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim ||a:m — X N \\ = 0 m,n—>00 Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric được gọi là ĐẦ Y ĐỦ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ Định nghĩa 1.1.6 Giả sử không gian định chuẩn X là không gian metric đầy đủ (với khoảng cách P ( X , Y ) = II(íc — Y )\\) Khi đó X được gọi là một GI A N Đ Ị N H C H U Ẩ N Đ Ầ Y Đ Ủ , 1.2 hay còn gọi là K HÔN G GI A N K HÔN G B AN A C H Không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.1 Cho "K là một không gian vectơ trên trường số c (gọi tắt là không gian vectơ phức) Ánh xạ X •K -+ c (x,y) I — > (x,y) được gọi là một TÍ C H V Ô H Ư ỚN G trên IK nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (i) ( X , X ) > 0 với mọi X e “K; ( X , X ) = 0 0 và O ^ ( 1 — r)7_2_e) khi R —¥ 1, tích phân này hữu hạn khi 7 > 1, vì vậy C 2 (7 ) hữu hạn Cuối cùng, ta có: -!)• Từ (3.21) ta được, với 7 > 1, ^2 |A| 7 < - 7 ( 7 - 1) [ci (7 ) + c2 (7 ) + c3 (7 )] ||D||tr Vì vậy, ta có (3.19) với Ctr ( 3.2 7) 1 7 (7 - 1) [ci (7) + c2 (7) + c3 (7)] • 7 T □ Bất đẳng thức giá trị riêng dưới dạng chuẩn HilbertSchmidt trên nửa nhóm sai phân Trong mục này, ta chứng minh các định lý tương tự như Mục 3.1, với trường hợp nửa nhóm sai phân thuộc vào lớp Hilbert-Schmidt chứ không phải lớp vết; tức là lớp các toán tử tự liên hợp A trên không gian Hilbert tách H sao cho có một cơ sở trực chuẩn { EỊ } của H thì ||j4||#s := < +0 0 Trong ứng dụng vào toán tử Schrödinger, kiểm tra nửa nhóm sai phân thuộc lớp Hilbert-Schmidt dễ dàng hơn kiểm tra là lớp vết, vì vậy các định lý ở mục này có nhiều ứng dụng được trình bày trong 3.3 Định lý sau cho lớp trường hợp Hilbert-Schmidt tương tự như Định lý 3.1.lỊ Tuy nhiên không giống như Định lý |3.1.lj ở đây phải chỉ ra các bất đẳng thức chứ không phải đồng nhất thức Định lý 3.2.1 Cho A, B tự liên hợp trong không gian Hilbert phức !K với ơ ( A ) c [ 0 , o o ) Giả sử D = e~ B — e~ A là Hilbert-Schmidt Khi đó ta có, với mỗi 7 > 1 E w7 Aeơ-(-B) 7( 7- 1) < Ị trong f1 1 -Ịlog(r)| 2ĩ ĩ 7 2 Ị l o g ^ Det ịl — (^F (re i 6 )Y^jịjd9dr (3.22) đó F(z ) là hàm giá trị toán tử xác định bởi F{z) = z[l — ze~ A J 1 D và với 7 = 1 |A|