Đang tải... (xem toàn văn)
Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn schatten và áp dụng vào toán tử schrodinger
B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN HNG GIANG MT C LNG V S CC GI TR RIấNG THEO CHUN SCHATTEN V P DNG VO TON T SCHRệDINGER Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS. T NGC TR H NI, 2014 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti TS. T Ngc Trớ, ngi ó giỳp tn tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny. Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc tp. Nhõn dp ny tụi cng xin gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc hon thnh lun vn. H Ni, thỏng nm 2014 Nguyn Hng Giang Li cam oan Tụi xin cam oan, di s hng dn ca TS. T Ngc Trớ, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti Mt c lng v s cỏc giỏ tr riờng theo chun Schatten v ỏp dng vo toỏn t Schră odinger c hon thnh bi nhn thc ca bn thõn tỏc gi. Trong quỏ trỡnh nghiờn cu vit lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. H Ni, thỏng nm 2014 Nguyn Hng Giang Mc lc M u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chng 1. Kin thc chun b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Khụng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Khụng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Toỏn t t liờn hp khụng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Toỏn t tuyn tớnh b chn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ph ca toỏn t tuyn tớnh b chn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6. Toỏn t tuyn tớnh khụng b chn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7. Ph ca toỏn t tuyn tớnh khụng b chn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chng 2. Toỏn t Schră odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1. nh ngha v tớnh cht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1. Phộp bin i Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2. Toỏn t Schrăodinger t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Ph ca toỏn t Schrăodinger mt s trng hp . . . . . . 31 2.2.1. Toỏn t Schrăodinger dng H0 + V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Toỏn t Schrăodinger dng |x| 31 N 2.2.3. Toỏn t Schrăodinger dng N Vj,k (xj xk ) . . . j + j=1 32 j || (B) ( 1) |log (r)|2 r log Det I F rei ddr (3.22) ú F (z) l hm giỏ tr toỏn t xỏc nh bi F (z) = z I zeA D v vi = (B) || lim r1 log Det I F rei d. (3.23) Chng minh. Nh chng minh nh lý 3.1.1, ta cú (B) = {log (z) ||z| < 1, (F (z))} . Vỡ theo gi thit D l HilbertSchmidt nờn cú F (z) v suy rng (F (z))2 l lp vt, ú cú th xỏc nh c hm chnh hỡnh h (z) = Det I (F (z))2 57 v ta cú (F (z)) (F (z))2 h (z) = 0, ú (B) {log (z) ||z < 1| , h (z) = 0} . (3.24) Vỡ (3.26) l mt bao hm thc ch khụng phi mt ng thc nh (3.5), (3.7) c thay bng bt ng thc N (s) n es , Vỡ F (0) = nờn h(0) = 1. p dng ng nht thc Jensen nh chng minh ca nh lý 3.1.1 ta c iu cn chng minh. nh lý tip theo l kt qu cho lp HilbertSchmidt tng t nh nh lý 3.1.2. nh lý 3.2.2. Cho A, B t liờn hp khụng gian Hilbert phc H vi (A) [0, ). Gi s D = eB eA l HilbertSchmidt . Khi ú ta cú, vi mi > ta cú bt ng thc ( 1) || (B) I rei eA r|log (r)| D ddr HS (3.25) v vi = ta cú || lim sup (B) r1 I rei eA D d. HS Chng minh. T (3.14), ta cú log Det I (F (z))2 (F (z))2 , tr (3.26) 58 vỡ vi mi toỏn t HilbertSchmidt T cú T (F (z))2 F (z) tr tr T HS , HS . ta c (3.27) T (3.26) v (3.27), kt hp vi (3.22), (3.23), ta c iu phi chng minh. nh lý tip theo l kt qu cho lp HilbertSchmidt tng t nh nh lý 3.1.4. nh lý 3.2.3. Cho A, B l toỏn t t liờn hp khụng gian Hilbert phc H, vi (A) [0, ). Gi s vi mi t > 0, Dt = etB etA l HilbertSchmidt . Khi ú, vi > 2, ta cú bt ng thc || CHS () (B) Dt t HS , (3.28) ú CHS ()l hng s hu hn ph thuc vo . Chng minh. Trc tiờn, ta chng minh (3.28) vi t = 1, t D = D1 = eB eA , phi chng minh || CHS () D HS , (3.29) (B) vỡ (3.28) suy (3.29) bng vic thay A, B bng tA, tB. Dựng bt ng thc (3.20), ta cú I ei eA D HS I ei eA D 2HS cos () r 2rcos()+1 r D 2HS < cos () < r (sin()) cos () 59 Do ú t bt ng thc (3.25) ca nh lý 3.2.2 || (B) ( 1) Dt 2HS r|log (r)| I rei eA ( 1) 2 r|log (r)| ddr D HS + arccos(r) |log (r)| r ddr r2 2cos () + ddr + (sin ()) arccos(r) r|log (r)|2 ddr . chng minh rng tớch phõn trờn l hu hn vi > 2, ta c lng vi bc cao hn: arccos(r) |log (r)| c4 () = r2 = |log (r)|2 r ddr 2rcos () + 2r arctan r2 1+r 1r dr, vi > biu thc tớch phõn bng O r1 r 0, v O (1 r)3 r 1, tớch phõn hu hn > 2. ddr arccos(r) (sin ()) r2 = |log (r)|2 dr r c5 () = r|log (r)| v vi > biu thc tớch phõn l O r2 r 0, v O (1 r) r 1, tớch phõn hu hn > . Cui cựng, 2x 2 c6 () = r|log (r)| ddr = e x dx = ( 1) , 0 hu hn vi mi > 1. T (3.25) ta cú vi > 2, || (B) ( 1) [c4 () + c5 () + c6 ()] D HS . 60 ( 1) [c4 () + c5 () + c6 ()] . Mt i s liờn quan n toỏn t mt chiu nh phn cui ca cho (3.29) c nh vi CHS () = mc trc ch rng nh lý 3.2.3 khụng ỳng nu < 2. 3.3. p dng vo toỏn t Schră odinger Ta ỏp dng kt qu tng quỏt cho vic nghiờn cu ph ri rc ca toỏn t Schrăodinger + V . Trng th V : Rd R thuc lp K Rd nu t e |V | (x) d = 0. lim sup t0 xRd V thuc lp K loc Rd nu Q V K Rd vi mi hỡnh cu Q Rd , ú Q l hm c trng ca Q. V c gi l trng th Kato nu V = (V, 0) K Rd v V+ = max (V, 0) K loc Rd . Theo nguyờn lý max, giỏ tr riờng ca + V nh hn hoc bng giỏ tr riờng tng ng ca + V , ú ta cú || (+V ) || , (3.30) (+V ) cho cn ca v trỏi tha cn ca v phi (3.30). Do ú, ly A = H0 = , B = H0 + V cho Dt = et(H0 +V ) etH0 . Ta a mt s kt qu sau liờn quan n tớnh cht thuc lp HilbertSchmidt ca Dt (xem [7] thờm chi tit). B 3.3.1. Gi s V K Rd , ta cú Dt HS e2t(H0 +V ) (x, x) |V (x)| dx. 2t Rd 61 B 3.3.2. Gi s V K Rd , ta cú HS Dt e2t(H0 +V ) (x, x) |V (x)|2 dx. t2 Rd B 3.3.3. Gi s V K Rd , ta cú t(H0 +V ) e (x, y) e Vỡ etH0 (x, x) = (4t) Dt 2HS Dt 2HS d t(H0 +2V ) L1 ,L etH0 (x, y) . , B 3.3.1, 3.3.2 v 3.3.3 suy 2t (8t) 2t(H0 +2V ) e d t2 (8t) V L1 , (3.31) V (3.32) L1 ,L 2t(H0 +2V ) e d L1 ,L L2 . T (3.31) v nh lý 3.2.3 ta cú nh lý 3.3.4. Cho V l trng th Kato v gi s V L1 Rd . Ta cú bt ng thc sau vi > 2, || 2CHS () (8) (+V ) d e2t(H0 +2V ) V L1 inf t>0 L1 ,L + d4 t . Tng t, t (3.32) v nh lý 3.2.3 ta cú nh lý 3.3.5. Cho V l trng th Kato v gi s V L2 Rd . Ta cú bt ng thc sau vi > 2, || (+V ) CHS () (8) d V L2 e2t(H0 +2V ) inf t>0 + d4 t L1 ,L . 62 cỏc cn ca nh lý 3.3.4, 3.3.5 rừ rng hn, ta cho e2t(H0 +2V ) L1 ,L di dng i lng (c > 0) (c) = (c )1 V L . (3.33) Chỳ ý rng (xem vớ d, [6], B 4.2.4) V K Rd suy lim (c) = 0. (3.34) c T [7], Mnh 2.2 ta cú B 3.3.6. Gi s V l trng th Kato. Khi ú, vi c > (c) < 1, ta cú e t(H0 +V ) L ,L ect . (c) B 3.3.7. Cho V l trng th Kato. Nu c > cho (c) < (3.35) thỡ e ect . d (4t) (c) 2t(H0 +2V ) L1 ,L Chng minh. Ta cú (nh [7], chng minh nh lý 2.9): e2t(H0 +2V ) L1 ,L et(H0 +2V ) = et(H0 +2V ) = (4t) d L1 ,L2 L2 ,L et(H0 +4V ) et(H0 +2V ) L2 ,L et(H0 +4V ) L ,L . S dng B 3.3.6 ta c iu phi chng minh. L ,L etH0 L1 ,L 63 S dng B 3.3.7, nh lý 3.3.4 suy vi c tha (3.35), d +1 || (8) (+V ) d CHS () e ct d t+ [1 (c)] V L1 . (3.36) Ta cú th ly biu thc v phi (3.36) trờn t. Vỡ t>0 e ct d t+ = ec + d + d2 ta c nh lý 3.3.8. Cho V l trng th Kato v cng gi s V L1 Rd . Nu c > cho (c) < thỡ vi mi > 2, d +1 (+V ) ec || d CHS () + d (8) + d2 1 [1 (c)] V L1 . Tng t t nh lý 3.3.5 ta c nh lý 3.3.9. Cho V l trng th Kato v cng gi s V L2 Rd . Nu c > cho (c) < thỡ vi mi > 2, d ec || C () HS d + d (8) (+V ) 24 + d2 [1 (c)] V L2 . Chỳ ý rng (3.34) luụn tn ti c > vi (c) < 1, ú nh lý 3.3.8, 3.3.9 c ỏp dng. S ph thuc vo V nh lý 3.3.8,3.3.9 va thụng qua chun L1 va thụng qua i lng (c). i lng (c) cú th c vit rừ rng hn bng cỏch s dng biu thc tớch phõn ca (c )1 , (c )1 V (x) = c d2 G c (x y) V (y) dy, Rd 64 ú G (x) = K d (|x|) d d |x| (2) biờn loi (xem vớ d [3]). Do ú (c) = c d2 sup c xRd G c (x y) |V (y)| dy sup Rd xRd = , õy K d l hm Bessel ci G (x y) V c y dy. (3.37) Rd Ta gii thiu mt chun mi trờn trng th m thuc tớnh ny ta cú th xut phỏt t cỏc bt ng thc ca nh lý 3.3.8,3.3.9. Vi > ta cú hm o c W : Rd R thuc K Rd nu W K < , ú W K = sup c (c )1 |W| c>0 = L G (x y) W c y sup c1 dy. (3.38) Rd xRd ,c>0 K Rd l khụng gian nh chun vi chun trờn v ta cú K Rd K Rd vi mi > 0. Theo nh ngha chun K v t (3.39) ta cú, V K Rd (c) V K c , c > 0. (3.39) thy rng K Rd l lp y cỏc hm, chỳ ý rng d B 3.3.10. Nu d v p > thỡ Lp Rd K Rd ú d =1 v ta cú vi mi W Lp Rd , 2p W K Cd,p W Lp , (3.40) ú |G (x)| Cd,p = Rd p p1 p1 p dx . (3.41) 65 Chng minh. S dng bt ng thc Hăolder ta cú d G (x y) W c y dy Cd,p c 2p W Rd Lp = Cd,p c1 W Lp , d t (3.38) suy (3.40). Chỳ ý rng Cd,p l hu hn t iu kin p > p d suy < . p1 d2 Mt khỏc, ch rng K Rd cha cỏc hm m khụng bt k Lp Rd no. B 3.3.11. Nu W o c v |W (x)| A d , x R , |x| ú (0, 2) thỡ W K Rd , v W K d 2 2+1 A d Chng minh. Ta cú G (x y) W c y G (x y) |y| dy dy Ac Rd Rd G (y) |y| dy Ac Rd = d +1 d 2 Ac1 , ú bt ng thc th gm c G(x) v |x| l hai hm i xng gim |x| tớnh chp c ti a ti gc. Bõy gi bt u t bt ng thc giỏ tr riờng s dng chun V K . T nh lý 3.3.8 v (3.39) ta cú || CHS () (+V ) d +1 ec 2+d2 + d2 1 d (8) [1 V K c ] V L1 . (3.42) 66 Ly v phi ca (3.42) i vi c, ta c d c>(4 V ú = K ) [1 V (2 + 1)+ V = ] c K c+ K , d + . Do ú t (3.42) ta c nh lý 3.3.12. Cho V l trng th Kato v cng gi s V L1 Rd K Rd , õy > 0. Khi ú, vi mi > 2, || V L1 V K , (+V ) ú hng s c cho bi = d,, = d + , d = d,, +1 (2 + 1)+ e = CHS () d (8) . Tng t, s dng nh lý 3.3.9 ta c nh lý 3.3.13. Cho V l trng th Kato v cng gi s V L2 Rd K Rd , õy > 0. Khi ú, vi mi > 2, || V (+V L2 V K , ) ú hng s c cho bi = d,p, = d + , d = d,, (2 + 1)+ e = CHS () d (8) . d c bit trng hp d 3, V Lp Rd , p > . S dng B 3.3.10, nh lý 3.3.12, 3.3.13 suy 67 H qu 3.3.14. Gi s d 3, cho V l trng th Kato v cng gi s d V L1 Rd Lp Rd , ú p > . Khi ú > 2, || V (+V L1 Lp V , (3.43) ) ú hng s c cho bi = d,p, = + d2 1 d 2p , (3.44) = d,p, = CHS () (2Cd,p ) d +1 (2 + 1) (8) + 21 e d (1 2pd ) d 2p , vi Cd,p cho bi (3.41). H qu 3.3.15. Gi s d 3, cho V l trng th Kato v cng gi s d V L2 Rd Lp Rd , ú p > . Khi ú > 2, || V (+V L2 Lp V , (3.45) ) ú hng s c cho bi = d,p, = + d2 d 2p , = d,p, = CHS () (2Cd,p ) d (2 + 1) (8) + 21 d (1 2pd ) e d 2p , vi Cd,p cho bi (3.41). Tht thỳ v so sỏnh bt ng thc ca H qu 3.3.14, 3.3.15 vi cn khỏc trờn tng thi im ca cỏc giỏ tr riờng c a bi bt ng thc LiebThirring. || Cd, V (+V ) + d2 d L+ , (3.46) 68 d = 1. Ta hóy so sỏnh cỏc cn a bi cỏc bt ng thc c hai u c nh mi d 3, mi > d = 2, mi ỳng. Lp lun sau ch rng bt ng thc (3.43) v bt ng thc LiebThirring l c lp, theo ngha l khụng phi cỏi ny mnh hn cỏi d kia: c nh > 2, p > , nu ly trng th W L1 Rd Lp Rd d + d2 R v xỏc nh h Và (à > 0) bng L Và (x) = d + d W (àx) ú vi r > 0, d d Và Lr = + dr Lr , W õy Và Và L1 Và Lp + d2 d L+ = W + d2 d L+ , 2d = (2+d)p W L1 W Lp , ú xỏc nh bi (3.44). Do ú v phi ca bt ng thc (3.43) nh tựy ý vi ln v ln tựy ý vi nh, v phi ca (3.46) khụng ph thuc vo à, vỡ vy cỏc bt ng thc ny ụi suy yu v ụi mnh hn bt ng thc Lieb-Thirring ph thuc vo trng th V . c bit, (3.43) tt hn so vi cn c cho bi bt ng thc LiebThirring ln. Kt lun tng t vi bt ng thc (3.45) ca H qu 3.3.15. 69 Kt lun Lun ó trỡnh by v mt s kin thc sau õy: Chng ó a mt cỏch h thng cỏc khỏi nim liờn quan n toỏn t khụng gian Hilbert, ph ca toỏn t, toỏn t tuyn tớnh b chn, ph ca toỏn t tuyn tớnh b chn, toỏn t tuyn tớnh khụng b chn, ph ca toỏn t tuyn tớnh khụng b chn. Chng trỡnh by v cỏc nh ngha v tớnh cht ca toỏn t Schrăodinger, mt s kt qu liờn quan n ph ca toỏn t Schrăodinger. Chng trỡnh by v cỏc ỏp dng vo toỏn t Schrăodinger. Vic nghiờn cu nhng tớnh cht ca toỏn t Schrăodinger chc chn cũn ũi hi nhiu cụng sc. Vi nng lc cũn hn ch, chc chn lun khụng trỏnh thiu sút. Kớnh mong quý thy cụ v cỏc bn cựng gúp ý lun c hon thin hn. Tụi xin chõn thnh cm n! 70 Ti liu tham kho [A] Ti liu ting Vit [1] Nguyn Ph Hy (2005), Gii tớch hm, NXB Khoa hc v k thut. [2] Hong Ty (2003), Hm thc v gii tớch hm, NXB i hc Quc gia H Ni. [B] Ti liu ting Anh [3] N. Aronszajn and K.T. Smith (1961), Theory of Bessel potentials. I., Ann. Inst. Fourier 11, 385 475. [4] W. Arveson (2001), A Short Course on Spectral Theory, Springer. [5] M. Demuth and G. Katriel (2008), Eigenvalue Inequalities in Terms of Shatten Norm Bounds on Differences of Semigroups, and Application to Schrăodinger Operators, Ann. Henri Poincarộ 9, 817 834. [6] M. Demuth and M. Krishna (2005), Determining Spectra in Quantum Theory, Birkhăauser, Boston. [7] M. Demuth and J.A. Van Casteren (2000), Stochastic Spectral Theory for Selfadjoint Feller Operators: A Functional Integration Approach, Birkhăauser, Basel. [8] A. Laptev and T. Weidl (2000), Recent results on Lieb Thirring inequalities, Journộes ẫquations aux dộrivộes partielles, 14. 71 [9] M. Reed and B. Simon (1972), Methods of Modern Mathematical Physics, I. Functional Analysis, Academic Press, New York. [10] E.H. Lieb and W. Thirring (1967), Inequalities for the moments of eigenvalues of the Schrăodinger Hamiltonian and their relation to Sobolev inequalities, Studies in Math. Phys., Essays in honor of Valentine Bargmann, Princeton, 269 303. [11] W. Rundin (1987), Real and Complex Analysis, McGraw Hill, New York. [12] B. Simon (1979), Trace Ideals and their Applications, London Math. Soc. Lecture Notes. [13] Gerald J. Tesch (2000), Mathematical Methods in Quantum Mechanics With Applications to Schrăodinger Operators, Academic Press, New York. [14] T Ngc Trớ (2009), Results on the number of zero modes of the Weyl-Dirac operator, PhD Thesis, Lancaster University, England. [...]... 1.3.1 Cho H và K là các không gian Hilbert trên K, kí hiệu B(H, K) là tập các toán tử bị chặn trên H và K, toán tử A ∈ B(H, K) Khi đó tồn tại duy nhất toán tử A∗ ∈ B(H, K) sao cho Ah, k h, A∗ k K K = với ∀h ∈ H, k ∈ K Toán tử A∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A Trong trường hợp H = K và A = A∗ ta nói A là toán tử tự liên hợp 1.4 Toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.4.1 Cho X, Y là các không... λ tương ứng được gọi là giá trị riêng Nếu λ là một giá trị riêng thì T − λ1 không là đơn ánh do đó λ thuộc phổ của T Tập các giá trị riêng được gọi là phổ điểm của T , kí hiệu là σp (T ); (b) Nếu λ không là giá trị riêng và nếu Ran(T − λ1) không trù mật thì λ thuộc phổ dư; (c) Phổ rời rạc, kí hiệu σd (T ) là tập các giá trị riêng bị cô lập với số bội hữu hạn Khi T là toán tử liên hợp thì σd (T ) =... là thực và các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng này trực giao Định lý 1.5.10 ([13], Theorem 2.20, tr 72) Giả sử T là toán tử đối xứng có cơ sở trực chuẩn của các hàm riêng {ϕj } Khi đó T là toán tử tự liên hợp thiết yếu Đặc biệt, nó tự liên hợp thiết yếu trên span(ϕj ) 16 1.6 Toán tử tuyến tính không bị chặn Không phải tất cả toán tử trong vật lí toán học đều bị chặn Những toán tử không... gian Banach, L(X) tà tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X Toán tử A ∈ L(X) được gọi là khả nghịch nếu tồn tại toán tử B ∈ L(X) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán tử đơn vị trong X) Khi đó, toán tử B được gọi là toán tử ngược của A và kí hiệu là B = A−1 Định lý 1.4.12 Nếu A ∈ L(X) là một toán tử tuyến tính thỏa mãn A < 1, thì toán tử (1 − A) là khả nghịch Định lý 1.4.13 Nếu toán tử A, B ∈ L(X) là khả... {e1 , , en , } là một cơ sở trực chuẩn của H Toán tử Hilbert–Schmidt không chỉ là toán tử bị chặn mà còn compact 13 1.5 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.5.1 Cho X là không gian Banach trên trường số C, L(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X, toán tử T ∈ L(X) Toán tử T được gọi là khả nghịch nếu tồn tại toán tử T ∈ L(X) sao cho T T = T T = 1 Tập các toán tử khả nghịch của... là toán tử không bị chặn trong H Ta nói một số phức ρ là một phần tử của tập hợp giải được của T nếu T − ρ1 là song ánh từ D(T ) lên H với phép biến đổi ngược bị chặn, 1 là toán tử đơn vị Định nghĩa 1.7.2 Phổ của toán tử T , kí hiệu bởi σ(T ) là tập các số phức không thuộc vào tập giải được của T Mỗi giá trị riêng của T đều thuộc σ(T ) Phổ rời rạc của T , kí hiệu bởi σd (T ) là tập các giá trị riêng. .. hai toán tử thuộc L(X, Y ), khi đó ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán • Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là A + B và được xác định bởi biểu thức 9 (A + B)(x) = Ax + Bx với mọi x ∈ X; • Tích vô hướng của α ∈ C với toán tử A ∈ L(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là αA và được xác định bởi biểu thức (αA)(x) = α(Ax) Dễ dàng kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai... cho q(x, ·) tuyến tính và q(·, y) liên hợp tuyến tính với mọi x, y ∈ Q(q) Ta tóm lược cách làm thế nào để liên kết một dạng toàn phương và một toán tử không bị chặn Trước hết ta chú ý tới định nghĩa toán tử dương mở rộng tới toán tử không bị chặn Ta nói rằng toán tử T dương, kí hiệu T ≥ 0, nếu T đối xứng và T x, x ≥ 0 với mọi x ∈ D(T ) Với mỗi toán tử dương T ta có thể xác định một tích vô hướng x, y... ra một số kết quả về phổ của chúng Nội dung trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ [13] Đầu tiên, ta đưa ra định nghĩa và một số tính chất của phép biển đổi Fourier và toán tử Schr¨dinger tự o n ∂2 do thông qua toán tử Laplace ∆ = 2 j=1 ∂xj 2.1 Định nghĩa và tính chất 2.1.1 Phép biển đổi Fourier Cho C ∞ (Rn ) là tập tất cả các hàm số giá trị phức có đạo hàm riêng bậc bất kì Với f ∈ C ∞ (Rn ) và. .. xác định của toán tử H và tính liên hợp của nó được khẳng định qua định lý Kato–Rellich, với H0 là toán tử tự liên hợp và giả sử V là một toán tử đối xứng với D(H0 ) ⊂ D(V ) sao cho có a < 1 và số b để V (φ) ≤ a H0 φ + b φ với mọi φ ∈ D(H0 ) Khi đó H0 +V xác định trên D(H0 )∩D(V ) ≡ D(H0 ) là tự liên hợp Toán tử H0 thường được gọi là toán tử động năng, hàm số V thường được gọi là toán tử thế năng 31 . BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN HƯƠNG GIANG MỘT ƯỚC LƯỢNG VỀ SỐ CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG THEO CHUẨN SCHATTEN VÀ ÁP DỤNG VÀO TOÁN TỬ SCHRÖDINGER. dưới dạng chuẩn Schatten, cùng với sự giúp đỡ tận tình của TS. Tạ Ngọc Trí tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn Schatten và áp dụng vào toán tử Schr¨odinger” Nội. Tạ Ngọc Trí, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài Một ước lượng về số các giá trị riêng theo chuẩn Schatten và áp dụng vào toán tử Schr¨odinger” được hoàn thành bởi nhận thức