Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều

66 512 1
Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ TĂNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập. Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Tăng Lời cam đoan Luận văn kết thân đạt trình học tập nghiên cứu, hướng dẫn TS. Trần Văn Bằng giúp đỡ thầy, cô khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội thầy, cô trực tiếp giảng dạy chúng tôi. Trong nghiên cứu, hoàn thành Luận văn tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo. Tôi xin khẳng định kết đề tài “Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ gradient không gian vô hạn chiều”. trùng lặp với kết đề tài khác. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Tăng Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Không gian Bochner-Sobolev Bochner-Lebesgue . . . . . . . . . 1.1.1. Tích phân Bochner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Không gian Bochner-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 10 1.2. Không gian Bochner-Sobolev không gian chiều . . 13 1.3. Hệ Gradient không gian vô hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1. Khái niệm gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2. Gradient dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.3. Không gian Sobolev Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.4. Toán tử Dirichlet-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.5. Toán tử Dirichlet-p-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4. Sự tồn nghiệm hệ gradient. . . . . . . . . . . . 28 1.4.1. Hệ gradient không ôtônôm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.2. Sự tồn nghiệm toàn cục hệ gradient với lượng lồi 30 1.4.3. Sự tồn nghiệm toàn cục hệ gradient với lượng elliptic 33 1.5. Tính quy nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Chương 2. Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ gradient . 41 2.1. Tập ω-giới hạn hàm liên tục R+ . . . . . . . . . . . . 42 2.2. Sự ổn định nghiệm cho nghiệm toàn cục hệ gradient . . 43 2.3. Sự không ổn định cho nghiệm toàn cục hệ gradient . . . 46 2.4. Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon ổn định nghiệm toàn cục hệ gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5. Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon không gian Hilbert 53 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng coi cầu nối toán học ứng dụng toán học lý thuyết. Đã có nhiều phương trình đạo hàm riêng mô hình toán học toán thực tế. Việc nghiên cứu tính chất (định tính, định lượng) nghiệm phương trình đạo hàm riêng có ý nghĩa quan trọng việc quay trở lại áp dụng vào toán thực tế. Đối với phương trình đạo hàm riêng, việc xét tính đặt toán (sự tồn nghiệm, tính nghiệm phụ thuộc liên tục), cần phải nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm biến thời gian t → ∞. Đây việc làm có ý nghĩa thực tiễn, nghiệm phương trình đạo hàm riêng thường mô tả trạng thái mô hình thực tế, nghiên cứu dáng điệu nghiệm ta biết thay đổi mô hình thời gian t → ∞. Trong thực tế, lượng (như nhiệt) mà phục hồi nguyên nhân gây nên tiêu tán. Có vẻ đặc tính tiêu tán tính chất chung hầu hết hệ. Một hệ tiêu tán điển hình hệ gradient. Trong Rd hệ có dạng u˙ + ∇E(u) = 0, t ∈ I ⊂ R u : I → Rd E : Rd → R hàm lượng. Dễ thấy, E hàm giảm theo nghiệm trơn hệ. Thật vậy, u nghiệm trơn hệ ta có d E(u) = ∇E(u(t)), u(t) ˙ = − u(t), ˙ u(t) ˙ ≤ 0. dt nên E giảm theo nghiệm, trừ nghiệm không đổi. Nhờ cấu trúc gradient mà nghiên cứu nhiều tính chất định tính nghiệm, mở rộng nghiên cứu hệ không gian vô hạn chiều. Với mục đích tiếp cận hướng nghiên cứu toán học đại, định hướng bảo tận tình TS. Trần Văn Bằng, mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ gradient không gian vô hạn chiều”. Luận văn cấu trúc thành 02 chương. Chương 01 dành để đưa số kiến thức không gian Bochner hệ gradient không gian vô hạn chiều. Trong chương 02 luận văn, trình bày cách có hệ thống dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ gradient không gian vô hạn chiều. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nghiệm suy rộng hệ gradient không gian vô hạn chiều, đặc biệt dáng điệu tiệm cận nghiệm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu hệ gradient không gian hữu hạn chiều. Tìm hiểu hệ gradient không gian vô hạn chiều. Tìm hiểu khái niệm nghiệm suy rộng hệ gradient không gian vô hạn chiều, tính chất định tính nghiệm dáng điệu tiệm cận nghiệm. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: hệ gradient không gian vô hạn chiều. Phạm vi nghiên cứu: dáng điệu tiệm cận nghiệm suy rộng. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu. Sử dụng số công cụ giải tích hàm như: không gian hàm, lý thuyết toán tử. 6. Đóng góp luận văn Trình bày kiến thức hệ gradient cách hệ thống, bao gồm khái niệm hệ gradient, khái niệm nghiệm suy rộng, số tính chất định tính nghiệm, đặc biệt dáng điệu tiệm cận nghiệm. Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian Bochner-Sobolev Bochner-Lebesgue Mục giới thiệu ngắn gọn tích phân Bochner hàm giá trị Banach không gian Bochner-Lebesgue, không gian BochnerSobolev. Đó khái niệm cần thiết để nghiên cứu phương trình vi phân trừu tượng không gian Banach, đặc biệt hệ gradient không gian Banach; nghiệm phương trình vi phân trừu tượng tìm không gian Bochner-Lebesgue không gian Bochner-Sobolev hàm giá trị Banach. Trong mục này, ta xét tập mở Rd với độ đo Lebesgue. Nhưng hầu hết kết tích phân Bochner không gian BochnerLebesgue cho không gian đo tổng quát. 1.1.1. Tích phân Bochner Cho X không gian Banach thực với chuẩn · , cho Ω ⊆ Rd tập mở kí hiệu A σ-đại số Lebesgue tập Ω, nghĩa là, σ-đại số nhỏ chứa σ-đại số Borel (là σ đại số sinh tập mở) tất tập có độ đo Lebesgue không. Độ đo Lebesgue Ω kí hiệu µ. Hàm f : Ω → X gọi hàm bậc thang, tồn dãy (An ) ⊆ A tập đo Lebesgue đôi rời dãy (xn ) ⊂ X cho f = n 1An xn , 1A hàm đặc trưng tập A. Hàm f : Ω → X đo tồn dãy (fn ) hàm bậc thang fn : Ω → X cho fn → f hầu khắp nơi. Lưu ý trường hợp X = R, định nghĩa tương đương với cách định nghĩa "nghịch ảnh tập đo đo được". Từ định nghĩa ta có Bổ đề sau đây: Bổ đề 1.1 (Xem [4], Bổ đề 5.1). Cho X, Y hai không gian Banach thực: a) Mọi hàm liên tục f : Ω → X hàm đo được. b) Nếu f : Ω → X đo ||f || : Ω → R đo được. c) Nếu f : Ω → X đo g : X → Y liên tục hàm hợp g ◦ f : Ω → Y đo được. d) Nếu f : Ω → X g : Ω → R đo tích f g : Ω → X đo được. e) Nếu f : Ω → X g : Ω → X đo tích g, f X ,X : Ω → R đo được. f) Nếu (fn ) dãy hàm đo từ Ω → X cho fn → f hầu khắp nơi f đo được. Định lý 1.1 (Pettis, xem [4], Định lý 5.2). Hàm f : Ω → X đo x , f đo với x ∈ X (khi ta nói f đo yếu) tồn tập có độ đo Lebesgue không N ∈ A cho f (Ω \ N ) tách được. 48 cặp (r, θ) nghiệm hệ gradient (trong hệ tọa độ cực). Tuy nhiên, với nghiệm ta có: lim r(t) = lim θ(t) = ∞. t→∞ t→∞ Do đó, hàm u : R+ → R2 xác định bởi: u(t) = (r(t)cosθ(t), r(t) sin θ(t)), (t ∈ R+ ) nghiệm toàn cục hệ gradient Euclidean liên kết với E nhận toàn đường tròn đơn vị làm tập ω-giới hạn. Vì vậy, nói chung, nghiệm toàn cục bị chặn hệ gradient không thiết hội tụ. Định lý 2.2 (Lojasiewicz, xem [4], Định lý 12.1). Cho E : U → R hàm giải tích xác định tập mở U ⊆ Rd , ϕ ∈ U điểm cân E. Khi tồn số θ ∈ (0, ], σ > C ≥ cho với u ∈ U với u − ϕ ≤ σ ta có: |E(u) − E(ϕ)|1−θ ≤ C||E (u)||(Rd ) . (2.5) Bất đẳng thức (2.5) viết dạng ||((E(u) − E(ϕ))θ ) ||(Rd ) ≥ θ > 0, C thường gọi bất đẳng thức Lojasiewicz xác bất đẳng thức gradient Lojasiewicz. Định lý 2.2 biểu thị dáng điệu quy hàm giải tích nhiều biến gần điểm cân mà C ∞ -hàm nói chung không có. 49 2.4. Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon ổn định nghiệm toàn cục hệ gradient Cho V không gian Banach, cho H không gian Hilbert cho V trù mật nhúng liên tục vào H. Cho U ⊆ V mở, E : U → R hàm khả vi liên tục. Cho g : U → Inner(H) mêtric U . Chúng ta giả sử tồn số c1 , c2 > cho, với v ∈ H u ∈ U , c1 ||v||H ≤ ||v||g(u) ≤ c2 ||v||H . (2.6) 1,2 Định lý 2.3 (Xem [4], Định lý 12.2). Cho u ∈ Wloc (R+ ; H) ∩ C(R+ ; V ) nghiệm hệ gradient u˙ + ∇g E(u) = 0. (2.7) Giả sử u có miền ảnh compact tương đối U , với t ∈ R+ ta có đẳng thức lượng t u(s) ˙ g(u(s)) ds + E(u(t)) = E(u(0)). (2.8) Giả sử thêm rằng, tồn ϕ ∈ ω(u) , θ ∈ (0, ], σ > C ≥ cho với v ∈ U với v − ϕ V ≤ σ ta có |E(v) − E(ϕ)|1−θ ≤ C||E (v)||V . Khi đó, lim u(t) − ϕ V = 0. Hơn nữa, t → ∞, t→∞    O(e−ct ), với c > 0, θ = , ||u(t) − ϕ||H =   O(t−θ/(1−2θ) ), θ ∈ (0; ). (2.9) (2.10) 50 Trong phần tiếp theo, bất đẳng thức (2.9) gọi bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon. Chú ý đẳng thức lượng (2.8) suy 1,1 hàm hợp E(u) ∈ Wloc (R+ ). Trong phần tiếp theo, đạo hàm hàm hợp hiểu đạo hàm yếu. Từ (2.7), đẳng thức lượng viết dạng t ∇g E(u(s)) g(u(s)) ds + E(u(t)) = E(u(0)) t ∇g E(u(s)) g(u(s)) u(s) ˙ g(u(s)) ds + E(u(t)) = E(u(0)). Chứng minh. Từ đẳng thức lượng (2.8), hàm E không giảm dọc theo u, E(u) hàm u hàm hằng. Theo giả thiết ϕ ∈ ω(u) nên tồn dãy không bị chặn (tn ) ⊆ R+ cho lim u(tn ) = ϕ. n→∞ Vì E liên tục nên lim E(u(tn )) = E(ϕ). Do E không tăng dọc theo u, n→∞ nên E(u(t)) ≥ E(ϕ) lim E(u(t)) = E(ϕ). t→∞ Nếu E(u(t0 )) = E(ϕ) với t0 ≥ E(u(t)) = E(ϕ) với t ≥ t0 theo đẳng thức lượng (2.8), u(t) ˙ = với t ≥ t0 . Trong trường hợp này, hàm u hàm với t ≥ t0 , khẳng định hội tụ đánh giá độ giảm hiển nhiên đúng. Vì vậy, giả sử E(u(t)) > E(ϕ) với t ≥ 0. Với t > 0, đặt H(t) := (E(u(t)) − E(ϕ))θ . Khi H không tăng, H(t) > với t ≥ lim H(t) = 0. Lấy t→∞ t0 ≥ cho u(t0 ) − ϕ V < σ định nghĩa t1 := inf {t ≥ t0 : u(t) − ϕ V = σ} . 51 Từ tính liên tục hàm u, ta có t1 > t0 . Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp, đẳng thức lượng (2.8), u nghiệm (2.7) giả thiết (2.6) ta nhận với hầu khắp t ∈ [t0 , t1 ): − d d H(t) = θ(E(u(t)) − E(ϕ))θ−1 (− E(u(t))) dt dt = θ(E(u(t)) − E(ϕ))θ−1 ||∇g E(u(t))||g(u(t)) ||u(t)|| ˙ g(u(t)) ≥ θc1 (E(u(t)) − E(ϕ))θ−1 ||∇g E(u(t))||g(u(t)) ||u(t)|| ˙ H. Lại sử dụng giả thiết (2.6), với t ∈ R+ , ta thu ước lượng ||∇g E(u(t))||g(u(t)) = sup ∇g E(u(t)), v ||v||g(u(t)) ≤1 = sup E (u(t)), v V ,V ||v||g(u(t)) ≤1 ≥ sup E (u(t)), v V ,V c2 ||v||H ≤1 ≥ sup E (u(t)), v c3 c2 ||v||V ≤1 = g(u(t)) V ,V ||E (u(t))||V , c3 c2 c3 > số phép nhúng V → H. Từ ước lượng bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon (2.9) suy ra, với hầu khắp t ∈ [t0 , t1 ), − d θc1 H(t) ≥ (E(u(t)) − E(ϕ))θ−1 ||E (u(t))||V ||u(t)|| ˙ H dt c2 c3 θc1 ||u(t)|| ˙ ≥ H. Cc2 c3 (2.11) 52 Do với hầu khắp t ∈ [t0 , t1 ), ||u(t) − ϕ||H ≤ ||u(t) − u(t0 )||H + ||u(t0 ) − ϕ||H (2.12) t ≤ u(s) ˙ H ds + ||u(t0 ) − ϕ||H t0 ≤ Cc2 c3 H(t0 ) + ||u(t0 ) − ϕ||H . θc1 Bây cho (tn0 ) ⊆ R+ dãy không bị chặn, tăng cho σ > ||u(tn0 ) − ϕ||V → 0, dãy tương ứng tn1 trên. Giả sử tn1 hữu hạn với n. Khi đó, từ định nghĩa tn1 tính liên tục u ta có ||u(tn1 )−ϕ||V = σ với n. Vì u có miền giá trị compact tương đối U ⊆ V nên ta lấy dãy (tn1 ) cho lim u(tn1 ) := ψ. n→∞ Từ tính liên tục chuẩn ta có ||ψ − ϕ||V = σ > 0. Mặt khác, từ bất đẳng thức (2.12) ta có ||ψ − ϕ||H = lim ||u(tn1 ) − ϕ||H = 0, điều n→∞ mâu thuẫn. Do đó, với n đủ lớn, tn1 = +∞. Từ (2.11) suy u˙ ∈ L1 (R+ ; H). Theo tiêu chuẩn Cauchy, lim u(t) tồn H. Từ việc sử dụng tính t→∞ compact tương đối miền giá trị u V , (chuyển qua dãy cần) ϕ ∈ ω(u) ta suy lim u(t) = ϕ V . t→∞ Để chứng minh ước lượng độ giảm ta lấy t0 ≥ đủ lớn cho ||u(t) − ϕ||V ≤ σ với t ≥ t0 . Từ bất đẳng thức (2.11), với t ≥ t0 . Từ bất đẳng thức (2.11), với t ≥ t0 , ∞ ||u(t) − ϕ||H ≤ ||u(s)|| ˙ H ds t ≤ Cc2 c3 H(t). θc1 (2.13) 53 Hơn nữa, từ đẳng thức lượng (2.8), với hầu khắp t ≥ t0 , − d d H(t) = θ(E(u(t)) − E(u))θ−1 (− E(u(t))) dt dt = θ(E(u(t)) − E(ϕ))θ−1 ||∇g E(u(t))||2g(u(t)) =− θ (E(u(t)) c22 c23 − E(ϕ))θ−1 ||E (u(t))||2V θ (E(u(t)) − E(ϕ))1−θ 2 C c2 c3 1−θ θ = 2 H(t) θ . C c2 c3 ≥ Bây giờ, ta lấy tích phân hai vế bất đẳng thức kết     − d (logH(t)), θ = θ d dt − 1−θ θ ≥ − H(t)H(t) = 2  θ d H(t)− 1−2θ dt θ , θ ∈ (0; )  C c2 c3 1−2θ dt khoảng (t0 , t), ta có đánh giá   O(e−ct ), θ = , H(t) =  O(t−θ/1−2θ ), θ ∈ (0; ). Kết hợp đánh giá với (2.13), ta có ước lượng độ giảm ||u − ϕ||H . 2.5. Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon không gian Hilbert Cho V không gian Hilbert, U ⊆ V tập mở. Cho E ∈ C (U ) ϕ ∈ U điểm cân E, nghĩa là, E (ϕ) = 0. Chúng ta xác định điều kiện để đảm bảo E thỏa mãn bất đẳng 54 thức Lojasiewicz-Simon gần ϕ, nghĩa là, tồn θ ∈ (0; ], σ > C ≥ cho với u ∈ U với ||u − ϕ||V ≤ σ ta có |E(u) − E(ϕ)|1−θ ≤ C||E (u)||V . (2.14) Mặc dù bất dẳng thức này, có đạo hàm cấp E xuất điều kiện chứng minh phần cần tới đạo hàm cấp 2. Nhớ lại rằng, đạo hàm Fréchet E ánh xạ V vào V nên đạo hàm cấp hai điểm u ∈ U toán tử tuyến tính từ V vào V . Định lý 2.4 (Xem [4], Định lý 12.3). Giả sử E (u) khả nghịch liên tục. Khi E thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon gần ϕ với θ= . Chứng minh. Xét khai triển Taylor E E , E(u) = E(ϕ) + E (ϕ)(u − ϕ) + O(||u − ϕ||2V ) E (u) = E (ϕ) + E (ϕ)(u − ϕ) + o(||u − ϕ||V ). Vì E (u) = nên đẳng thức cho ta |E(u) − E(ϕ)| ≤ C||u − ϕ||2V lân cận ϕ. Vì E (ϕ) khả nghịch nên ||E (ϕ)(u − ϕ)||V ≥ c||u − ϕ||V với u ∈ U số c > 0. Do đẳng thức khai triển Taylor thứ hai cho ta c ||E (u)||V ≥ ||u − ϕ||V lân cận ϕ. Kết hợp hai bất đẳng thức ta có |E(u) − E(ϕ)| ≤ C||E (u)||V 55 lân cận ϕ, ta có điều cần chứng minh. Chứng minh Định lý 2.4 chủ yếu dựa vào khai triển Taylor định nghĩa đạo hàm Fréchet. Ý tưởng mở rộng cho trường hợp E (ϕ) không thiết khả nghịch, ta phải sử dụng Định lý hàm ẩn, phân tích phi tuyến không gian V ta quy trường hợp khả nghịch. Sau đây, giả sử E (ϕ) toán tử Fredholm, nghĩa hạt nhân kerE (ϕ) = {u ∈ V : E (ϕ)u = 0} hữu hạn chiều miền ảnh rgE (ϕ) = {E (ϕ)u : u ∈ V} đóng V có đối chiều hữu hạn. Lấy P ∈ L(V ) phép chiếu lên kerE (ϕ). Khi V tổng trực tiếp V = V0 ⊕ V1 = rgP ⊕ kerP = kerE (ϕ) ⊕ kerP. Hơn nữa, không gian rgP , kerP ⊆ V (trong P ∈ L(V ) phép chiếu liên hợp) đồng tự nhiên với không gian đối ngẫu V0 V1 , tương ứng, ta viết V1 = kerP . Tính đối xứng đạo hàm cấp hàm thực biết hàm khả vi liên tục lần Rd ; xem [Cartan (1967), Định lý 5.1.1]. Kết sau khẳng định hàm xác định không gian Banach. Định lý 2.5 (Schwarz, xem [4], Định lý 12.4). Với u ∈ U , toán tử 56 tuyến tính E (u) : V → V đối xứng, nghĩa là, với v, w ∈ V ta có E (u)v, w V ,V = E (u)w, v V ,V . Theo định lý Schwarz, với u, v ∈ V , P E (ϕ)u, v V ,V = E (ϕ)u, P v V ,V = E (ϕ)P v, u V ,V =0 đó, bất đẳng thức cuối có P phép chiếu lên nhân E (ϕ). Từ đẳng thức suy rgE (ϕ) ⊆ kerP = V1 . (2.15) Bổ đề 2.4 (Xem [4], Bổ đề 12.5). Toán tử tuyến tính E (ϕ) : V1 → V1 khả nghịch liên tục . Chứng minh. Vì V1 ∩ V0 = V1 ∩ kerE (ϕ) = {0} nên toán tử E (ϕ) đơn ánh V1 . Tiếp đến, chứng minh E (ϕ) có miền ảnh trù mật V1 . Chú ý E (ϕ)(V1 ) = E (ϕ)(V ). Do đó, để E (ϕ) có miền ảnh trù mật V1 , ta cần   u ∈ V1 E (ϕ)v, u V ,V ⇒ u = 0. = với v ∈ V  Tuy nhiên, điều suy trực tiếp từ Định lý Schwarz tính đơn ánh E (ϕ) V1 . 57 Từ giả thiết, E (ϕ) có miền ảnh đóng V , nên E (ϕ) toàn ánh song ánh từ V1 lên V1 . Khẳng định bổ đề suy từ định lý tính bị chặn ánh xạ ngược. Bổ đề 2.5 (Xem [4], Bổ đề 12.6). Cho P ∈ L(V ) phép chiếu lên kerE (ϕ) định nghĩa tập S := {u ∈ U : (I − P )E (u) = 0} Khi đó, lân cận ϕ, S đa tạp khả vi, gọi đa tạp tới hạn, thỏa mãn: dimS = dim kerE (ϕ). Nếu E ∈ C k (U ) với k ≥ S C k−1 -đa tạp. Nếu E giải tích S giải tích. Chứng minh. Xét hàm G := V = V0 ⊕ V1 ⊇ U → V1 u = u0 + u1 → (I − P )E (u). Vì E khả vi liên tục nên hàm G khả vi liên tục. Hơn nữa, G(ϕ) = G(ϕ0 + ϕ1 ) = G (ϕ) = (I − P )E (ϕ) = E (ϕ) (xem (2.15) cho đẳng ∂G thức cuối). Theo Bổ đề 2.4 , đạo hàm riêng (ϕ) = E (ϕ)|V1 : V1 → V1 ∂u1 đẳng cấu (khả nghịch liên tục). Do đó, theo Định lý hàm ẩn 1.17, tồn lân cận U0 ⊆ V0 ϕ0 , lân cận U1 ⊆ V1 ϕ1 , U0 + U1 ⊆ U hàm g ∈ C (U0 ; U1 ) cho g(ϕ0 ) = ϕ1 58 {u ∈ U0 + U1 : G(u) = 0} = {(u0 , g(u0 )) : u0 ∈ U0 }. Theo định nghĩa hàm G tập S, tập vế trái đẳng thức giao S với lân cận U0 + U1 ϕ. Như vậy, gần ϕ, S đồ thị hàm khả vi g, nghĩa là, S đa tạp khả vi. Tính quy cao đa tạp S trường hợp tính quy cao E suy trực tiếp từ định lý hàm ẩn. Bổ đề chứng minh. Chú ý đa tạp tới hạn không đa tạp V , theo Bổ đề 2.5 gần ϕ, đa tạp (vì đồ thị hàm ẩn g). Đa tạp tới hạn phụ thuộc vào việc chọn phép chiếu P , chứa tập tất điểm cân S0 : S0 := {u ∈ U : E (u) = 0} ⊆ S. Định lý 2.6 (Xem [4], Định lý 12.7). Xác định đa tạp tới hạn Bổ đề 2.5, giả sử hạn chế E|S thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon gần ϕ, nghĩa là, tồn số θ ∈ (0, ], σ > C ≥ cho với u ∈ U ∩ S, với ||u − ϕ||V ≤ σ ta có: |E(u) − E(ϕ)|1−θ ≤ C||E (u)||V . Khi E thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon gần ϕ với số mũ θ. Chứng minh. Chọn lân cận U := U0 + U1 ϕ hàm ẩn g : U0 → U1 chứng minh Bổ đề 2.5 . Giả sử U đủ nhỏ để hạn chế E|S thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon U ∩ S. Chúng ta định nghĩa phép chiếu phi tuyến Q : U → U 59 Qu = Q(u0 + u1 ) := u0 + g(u0 ). Chú ý rằng, với u ∈ U, Qu ∈ S u − Qu ∈ V1 . Hơn nữa, Qϕ = ϕ. Với u ∈ U , khai triển Taylor E Qu E(u) − E(Qu) = = E (Qu), u − Qu V ,V + E (Qu)(u − Qu), u − Qu V ,V + o(||u − Qu||2 ). Từ định nghĩa V1 định nghĩa đa tạp S, E (Qu), u − Qu V ,V = E (Qu), (I − P )(u − Qu) = (I − P )E (Qu), u − Qu V ,V V ,V = 0, nghĩa là, hạng tử vế phải khai triển Taylor E 0. Từ E bị chặn U nên theo tính liên tục, chọn U đủ nhỏ, ta có với u ∈ U , |E(u) − E(Qu)| ≤ C||u − Qu||2V . (2.16) Từ sau, giá trị số C thay đổi công thức khác nhau. Theo định nghĩa tính khả vi, E (u) − E (Qu) = E (Qu)(u − Qu) + o(||u − Qu||). (2.17) Áp dụng phép chiếu I − P vào đẳng thức sử dụng Qu ∈ S để có (I − P )E (u) = (I − P )E (Qu)(u − Qu) + o(||u − Qu||) (2.18) Theo Bổ đề 2.4, toán tử (I − P )E (ϕ) = E (ϕ) : V1 → V1 khả nghịch liên tục. Do (do tính liên tục) ta chọn U đủ nhỏ 60 (I − P )E (Qu) : V1 → V1 khả nghịch liên tục với tất u ∈ U toán tử ngược bị chặn U . Do đó, theo (2.18) tồn số C ≥ cho với u ∈ U ||u − Qu||V ≤ C||(I − P )E (u)||V ≤ C||E (u)||V . (2.19) Theo (2.17) (2.19), ||E (Qu)||V ≤ ||E (u)||V + C||u − Qu||V ≤ C||E (u)||V . (2.20) Kết hợp ước lượng (2.16) (2.19) với giả thiết E|S thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon U ∩ S sử dụng ước lượng (2.20) có |E(u) − E(ϕ)| ≤ |E(u) − E(Qu)| + |E(Qu) − E(ϕ)| 1/(1−θ) ≤ C||E (u)||2V + C||E (Qu)||V 1/(1−θ) ≤ C(||E (u)||2V + ||E (u)||V ) với u ∈ U . Chọn U đủ nhỏ, từ tính liên tục ta giả sử ||E (u)||V ≤ với u ∈ U . Vì θ ∈ (0, ] nên ta có 1/(1−θ) |E(u) − E(ϕ)| ≤ C||E (u)||V với u ∈ U , Vậy ta có điều phải chứng minh. Hệ 2.1 (Xem [4], Hệ 12.8). Cho E ∈ C (U ), ϕ ∈ V điểm cân giả sử E (ϕ) toán tử Fredholm. Xác định đa tạp tới hạn S Bổ đề 2.5. Giả sử tập tất điểm cân 61 S0 := {u ∈ V : E (u) = 0}, tạo thành lân cận ϕ S. Khi E thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon với số mũ θ = . Chứng minh. Theo giả thiết, đạo hàm E lân cận ϕ S. Từ suy hạn chế E|S số lân cận đó. Một hàm hiển nhiên thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon với số mũ θ = . Theo Định lý 2.6. Ta suy điều phải chứng minh. Kết luận Luận văn giải vấn đề sau 1. Trình bày hệ thống số vấn đề hệ gradient không gian vô hạn chiều bao gồm: khái niệm hệ gradient, khái niệm nghiệm suy rộng hệ gradient. 2. Trình bày số tính chất định tính nghiệm, đặc biệt dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ gradient. Vì khả điều kiện có hạn, luận văn tránh thiếu sót. Kính mong thầy cô bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện tốt hơn. Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Đại học sư phạm Hà Nội. [2] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội. [3] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [B] Tài liệu tiếng Anh [4] C. Ralph, F. Eva (2010), Gradient systems, -13th International internet Seminar. [5] H. Brezis (2010), Sobolev space, functional analysis and partial differential equations, Springer. [6] D. Gilbarg, N. S. Trudinger (1998), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Berlin-Heidelberg-New York. [...]... Hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều Trong mục này, ta nghiên cứu các hàm thực xác định trên không gian Banach vô hạn chiều, gradient của chúng và hệ gradient tương ứng Nhiều khái niệm về hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều sẽ lại xuất hiện ở đây như: đạo hàm, tích vô hướng, và mêtric trên không gian nền, gradient, hệ gradient, hàm năng lượng và sự tiêu tán Tuy nhiên việc phân tích hệ gradient. .. gradient trong không gian vô hạn chiều như sự tồn tại nghiệm địa phương hay nghiệm toàn cục sẽ phức tạp hơn Kí hiệu, V là một không gian Banach với chuẩn ||.||V , V là không gian đối ngẫu của V Nếu u ∈ V thì ta viết: u (u) hoặc u u hoặc u , u hoặc u , u V ,V là giá trị của u tại phần tử u ∈ V Không gian đối ngẫu V được trang bị bởi chuẩn ||u ||V = sup ||u||V ≤1 u ,u 17 1.3.1 Khái niệm gradient Cho... là ta không có sự đồng nhất đầy đủ của không gian đối ngẫu của Lp (Ω; X) với không gian BochnerLebesgue Tuy nhiên các kết quả sau đây là đúng Định lý 1.4 (xem [4], Định lý 5.6) Ta có a) Nếu 1 ≤ p < ∞ và X phản xạ thì Lp (Ω; X) ∼ Lp (Ω; X ) = b) Nếu 1 < p < ∞ và X phản xạ thì không gian Lp (Ω; X) cũng phản xạ c) Nếu H là không gian Hilbert thì không gian L2 (Ω; H) là không gian Hilbert với tích vô hướng... nhúng liên tục trong không gian Hilbert H Khi đó, hệ gradient không ôtônôm liên kết với E là phương trình vi phân có dạng u+ ˙ H E(u) = f, (1.5) 29 trong đó, f ∈ L2 (I; H), I ⊆ R là một khoảng (chỉ số dưới "loc" có loc nghĩa f là bình phương khả tích trên mọi khoảng con compac của I) Ta gọi hệ gradient này là không ôtônôm vì hàm f phụ thuộc một cách rõ ràng vào biến thời gian Nghiệm của hệ gradient (1.5)... biểu diễn đạo hàm E (u) theo tích vô hướng trong H E (u)ϕ = H E(u), ϕ H , ∀ϕ ∈ V (1.1) Từ "nếu nó tồn tại" trong định nghĩa trên là quan trọng Nó đánh dấu một sự khác biệt so với gradient trong không gian hữu hạn chiều Thực tế chúng ta xét hai không gian V và H nên ta cần phải xác định miền xác định D( H E) của gradient H E Miền này nói chung chứa thực sự trong U ; không phải mọi đạo hàm E (u) đều có... (τ )dτ s và từ Bổ đề 1.4 Như vậy, trong trường hợp hữu hạn chiều, cả hai khái 30 niệm nghiệm trùng nhau Từ định nghĩa của gradient, u là một nghiệm của (1.5) nếu và chỉ nếu u ∈ W 1,2 (I; H) ∩ L∞ (I; V ) và u, v ˙ H + E (u)v = f, v H, ∀v ∈ V và hầu hết t ∈ I (1.6) Ta gọi (1.6) là dạng biến phân của hệ gradient (1.5) 1.4.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ gradient với năng lượng lồi Cho E... 1.2 Không gian Bochner-Sobolev trên không gian một chiều Cho X là không gian Banach thực, −∞ ≤ a < b ≤ ∞ và p ∈ [1, ∞] Không gian Bochner-Sobolev trên (a, b) là không gian: W 1,p (a, b; X) ={u ∈ Lp (a, b; X) : tồn tại v ∈ Lp (a, b; X) b 1 sao cho với mọi ϕ ∈ Cc (a, b) ta có b uϕ = − a vϕ} a Rõ ràng, hàm v được xác định duy nhất nếu nó tồn tại Ta viết u := v và ta gọi u là đạo hàm yếu của u Không gian. .. a : V × V → R, H là không gian Hilbert với tích vô hướng ·, · H, sao cho V nhúng liên tục và trù mật trong H Khi đó, ta có thể tính gradient của E đối với tích vô hướng trong H, bằng cách sử dụng định nghĩa của gradient và Mệnh đề 1.2 ta có D( và H E) = u ∈ V : ∃v ∈ H thỏa mãn a(u, ϕ) = v, ϕ H E(u) H, ∀ϕ ∈ V và = v Điều này cho thấy, gradient của dạng toàn phương E đối với tích vô hướng ·, · H là một... (Ω; X) : f = 0 hầu khắp nơi thì không gian thương Lp (Ω; X) := Lp (Ω; X)/Np := {f + Np : f ∈ Lp (Ω; X)} trở thành một không gian Banach với chuẩn ||[f ]||Lp := ||f ||Lp , ([f ] = f + Np ) Chuẩn của lớp tương đương [f ] được xác định tốt, nghĩa là, nó độc lập với biểu diễn f trong lớp đó Ta gọi không gian Lp (Ω; X) là không gian 11 Bochner-Lebesgue Như trong trường hợp vô hướng, ta đồng nhất các hàm... nghiệm nói chung và phải giả thiết phép nhúng các không gian năng lượng V vào không gian Hilbert H là compact 1.4.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ gradient với năng lượng elliptic Cho V là không gian Banach với chuẩn || · ||V Cho U ⊆ V là tập con mở, và cho E : U → R là hàm khả vi liên tục Ngoài ra, cho H là không gian Hilbert với tích vô hướng ·, · H, và giả sử rằng V là trù mật và được . gradient trong không gian vô hạn chiều, đặc biệt là dáng điệu tiệm cận của nghiệm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều. Tìm hiểu về hệ gradient trong không gian. trong không gian vô hạn chiều. 5 Tìm hiểu về khái niệm nghiệm suy rộng của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều, tính chất định tính của nghiệm và dáng điệu tiệm cận của nghiệm. 4. Đối tượng. 02 của luận văn, tôi đã trình bày một cách có hệ thống về dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về nghiệm suy rộng của hệ gradient

Ngày đăng: 09/09/2015, 09:21

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Mở đầu

  • Kiến thức chuẩn bị

    • Không gian Bochner-Sobolev và Bochner-Lebesgue

      • Tích phân Bochner

      • Không gian Bochner-Lebesgue

    • Không gian Bochner-Sobolev trên không gian một chiều

    • Hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều

      • Khái niệm gradient

      • Gradient của dạng toàn phương

      • Không gian Sobolev trên

      • Toán tử Dirichlet-Laplace

      • Toán tử Dirichlet-p-Laplace

    • Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ gradient

      • Hệ gradient không ôtônôm

      • Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ gradient với năng lượng lồi

      • Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ gradient với năng lượng elliptic

    • Tính chính quy của các nghiệm

  • Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ gradient

    • Tập -giới hạn của một hàm liên tục trên R+

    • Sự ổn định nghiệm cho nghiệm toàn cục của hệ gradient

    • Sự không ổn định cho nghiệm toàn cục của hệ gradient

    • Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon và sự ổn định của nghiệm toàn cục của hệ gradient

    • Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon trong không gian Hilbert

  • Kết luận

  • Tài liệu tham khảo

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan