HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ LUYỆN THI đại học(2015)

26 507 0
HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ LUYỆN THI đại học(2015)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

HÌNH học KHÔNG GIAN OXYZ LUYỆN THI đại học(2015) ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

HèNH HC KHễNG GIAN OXYZ LUYN THI I HC Phn 1: Lớ thuyt : 1. Mp i qua A(x 0 ; y 0 ;z 0 ) v cú VTPT n r =(A;B;C) phng trỡnh l: A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0 Ax + By + Cz + D = 0 2.ng thng (d) qua M(x 0 ; y 0 ;z 0 ) v cú VTCP u r =(a,b,c) cú: * Phng trỡnh tham s l: 0 0 0 x x at y y bt z z ct = + = + = + vi t R * Phng trỡnh chớnh tc l: 0 0 0 x x y y z z a b c = = (a.b.c 0) 3.Ph ng trỡnh maởt cau taõm I(a ; b ; c),baựn kớnh R : ( ) ( ) ( ) + + = 2 2 2 x a y b z c R 4. Ph ng trỡnh + + + = 2 2 2 x y z + 2Ax + 2By + 2Cz 0 (2) ( + + > 2 2 2 vụựi 0 ) = + + R 5.Cụng thc tớnh gúc gia hai ng thng : 1 2 1 2 . . u u c u u = uur uur uur uur os trong ú 1 2 ,u u uur uur ln lt l hai VTCP ca hai ng thng 6. Cụng thc tớnh gúc gia ng thng v mt phng: . sin . = r r r r n u u u trong ú ,n u r r ln lt l hai VTPT v VTCP ca mt phng v ng thng 7. Cụng thc tớnh gúc gia hai ng thng : 1 2 1 2 . . n n c n n = uur uur uur uur os trong ú 1 2 ,n n uur uur ln lt l hai VTPT ca hai mt thng 8. Cụng thc tớnh khong cỏch gia hai im ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B A B A B A AB= x -x + y -y + z -z 9. Khong cỏch t im M 0 (x 0 ;y 0 z 0 ) n mt phng ( ): Ax+by+Cz+D=0 l: ( ) 0 0 0 0 2 2 2 Ax +By +Cz +D d M ,() = A +B +C 10. Khong cỏch t im M 1 n ng thng i qua M 0 v cú vect ch phng u ur l: 1 d(M ,)= M M ,u 0 1 u uuuuuuuur ur ur 11. Khong cỏch gia hai ng thng v chộo nhau: ' 0 0 u,u' .M M d( ,')= u,u' uuuuuur r ur r ur trong ú i qua im M 0 , cú VTCP u r . ng thng i qua im ' 0 M , cú VTCP u' ur . 12. Cụng thc tớnh din tớch hỡnh bỡnh hnh : ABCD S = AB,AD uuur uuur 13. Cụng thc tớnh din tớch tam giỏc : ABC 1 S = AB,AC 2 uuur uuur 14. Cụng thc tớnh th tớch hỡnh hp : ABCD.A'B'C'D' V = AB,AD .AA' uuur uuur uuur 15. Cụng thc tớnh th tớch t din : ABCD 1 V = AB,AC .AD 6 uuur uuur uuur 1 2/ Một số bài toán tổng hợp về mặt phẳng : Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d : z y x = − − = 1 2 và d’ : 1 5 3 2 2 − + =−= − z y x . Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng )( α đi qua d và vuông góc với d’ Giải .Đường thẳng d đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ chỉ phương )1;1;1( −u Đường thẳng d’ đi qua điểm )5;3;2(' −M và có vectơ chỉ phương )1;1;2(' −u Ta có )5;1;2( −=MM , [ ] )3;3;0('; =uu , do đó  ! " #u u MM   = − ≠   r ur uuuuur vậy d và d’ chéo nhau. Mặt phẳng )( α đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ pháp tuyến là )1;1;2(' −u nên có phương trình: 0)2(2 =−−+ zyx hay 022 =−−+ zyx Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d : z y x = − − = 1 2 và d’ : 1 5 3 2 2 − + =−= − z y x . Viết phương trình mặt phẳng )( α đi qua d và tạo với d’ một góc 0 30 Giải. .Đường thẳng d đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ chỉ phương " ""u = − r Đường thẳng d’ đi qua điểm )5;3;2(' −M và có vectơ chỉ phương " "u − ur . Mp )( α phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và 2 1 60cos)';cos( 0 ==un . Bởi vậy nếu đặt );;( CBAn = thì ta phải có :      = ++ −+ =+− 2 1 6 2 0 222 CBA CBA CBA ⇔    =−− += ⇔      +++= += 02 )(632 22 222 CACA CAB CCAAA CAB Ta có 0)2)((02 22 =+−⇔=−− CACACACA . Vậy CA = hoặc CA −= 2 . Nếu CA = ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó 2=B , tức là )1;2;1(=n và )( α mp có phương trình 0)2(2 =+−+ zyx hay 042 =−++ zyx Nếu CA −= 2 ta có thể chọn 2,1 −== CA , khi đó 1−=B , tức là )2;1;1( −−=n và )( α mp có phương trình 02)2( =−−− zyx hay … Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : 1 1 1 ( ) : 2 1 1 x y z d − + = = − và 2 2 1 ( ): 1 1 1 x y z d − + = = − . Viết phương trình mặt phẳng chứa (d 1 ) và hợp với (d 2 ) một góc 30 0 . Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) và mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2 2 2 2 1 0x y z x y z+ + + − + − = . Viết phương trình mp(P) đi qua hai điểm A, B và (P) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 1. Giải Mặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) và bán kính R = 2 Mặt phẳng (P) đi qua A(0; -2; -6) nhận véctơ 2 2 2 ( , , ),( 0)n a b c a b c+ + ≠ r làm véctto pháp tuyến có PT: 2 6 0ax by cz b c+ + + + = Từ giả thiết: (2;0; 2) ( ) ( ;( )) 3 B P d I P − ∈   ⇒ ⇒  =   tìm được a, b, c suy ra PT mp(P) Kết luận có hai mặt phẳng: (P 1 ): x + y – z – 4 = 0 và (P 2 ): 7x – 17y + 5z – 4 = 0 2 Bài 5. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), ( )DH ABC⊥ và 3DH = với H là trực tâm tam giác ABC. Tính góc giữa (DAB) và (ABC). Giải. Trong tam giác ABC, gọi K CH AB= ∩ . Khi đó, dễ thấy ( )AB DCK⊥ . Suy ra góc giữa (DAB) và (ABC) chính là góc DKH∠ .Ta tìm tọa độ điểm H rồi Tính được HK là xong. + Phương trình mặt phẳng (ABC). - Vecto pháp tuyến ( ) [ , ] 0; 4; 4n AB AC= = − − r uuur uuur - (ABC): 2 0y z+ − = . + ( )H ABC∈ nên giả sử ( ; ;2 )H a b b− . Ta có: ( ; ; ), (4; 2;2).AH a b b BC= − = − uuur uuur ( 2; ; ), ( 2;2; 2).CH a b b AB= − − = − − uuur uuur Khi đó: . 0 0 2 2 2 0 . 0 BC AH a b a b a b AB CH  = − =   ⇔ ⇔ = = −   − + + = =    uuur uuur uuur uuur Vậy H(-2; -2; 4). + Phương trình mặt phẳng qua H và vuông góc với AB là: 4 0x y z− + − = . Phương trình đường thẳng AB là: 2 x t y t z t =   = −   = +  . Giải hệ: 2 4 0 x t y t z t x y z =   = −   = +   − + − =  ta được x =2/3; y =-2/3, z =8/3. Suy ra: K(2/3;-2/3; 8/3). Suy ra: 2 2 2 2 2 8 96 2 2 4 3 3 3 3 HK       = + + − + + − =  ÷  ÷  ÷       . Gọi ϕ là góc cần tìm thì: tan / 96 /12 6 / 3 arctan( 6 / 3)DH HK ϕ ϕ = = = ⇒ = Vậy arctan( 6 / 3) ϕ = là góc cần tìm. Bài 6. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình (S): 2 2 2 2 4 2 3x y z x y z+ + − + + − , (P): 2x +2y – z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Giải. Ta cã: x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y +2z -3= 0 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) 3x y z⇔ − + + + + = => mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = 3. Do mặt phẳng (Q) song song với mp(P) nên có pt dạng:2x + 2y - z + D = 0 ( D 5≠ ) Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ( ) ;( ) 3d I Q R= = 10 1 9 8 D D D =  − = ⇔  = −  Vậy (Q) có phương trình: 2x + 2y - z + 10 = 0 Hoặc 2x + 2y - z - 8 = 0 Bài 7. Trong hkông gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình: (S): 2 2 2 2 4 4 16 0x y z x y z+ + − − + − = ’ (P): 2x + 2y + z – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q)song song với (P) và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có diện tích 16 π . Giải. Vì (Q) //(P) nên (Q) có phương trình : 2x+2y+z+D=0.G ọi O là tâm đường tròn giao tuyến I(1 ;2 ;-2) là tâm mặt cầu R = 5 bán kính mặt cầu, r là bán kính đường tròn giao tuyến theo giả thuyết ta có 2 16 4r r π π = ⇒ = 3 mặt khác ta có IO = 4 ( ;( )) 3 D d I Q + = . l ại c ó R 2 = r 2 + OI 2 5, 13D D⇒ = = − vậy mặt phẳng (Q) cần tìm: 2x+2y+z+5=0 ho ặc 2x+2y+z-13=0. Bài 8. . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3 . Giải. •Gọi Ocban ≠= );;( là véctơ pháp tuyến của (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 •TH1: ca = ta chọn 1== ca ⇒ Pt của (P): x-y+z+2=0 • TH2: ca 7 = ta chọn a =7; c = 1 ⇒Pt của (P):7x+5y+z+2=0 Bài 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng: ( ) 3 4 6 : 1 3 2 x y z d − − − = = , 1 4 5 ( '): 2 1 2 x y z d + + − = = − và mặt phẳng (P): x + 4y + z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d’) và song song với đường thẳng (d). Lập phương trình mặt cầu có tâm I là giao điểm của (d) và (P), có bán kính là khoảng cách giữa (d) và (d’). Giải. + (d) đi qua điểm A(3;4;6) và có vecto chỉ phương = r "  "$  (d ’ ) đi qua điểm B(-1;-4;5) và có vecto chỉ phương = − r   "  Khi đó mặt phẳng (Q) qua B và có vecto pháp tuyến là ( ) 1 2 8;6; 5n u u= ∧ = − − r ur uur Phương trình mặt phẳng (Q) : 8x-6y+5z-41= 0 (rõ ràng d song song (Q)) + Giao điểm của d và (P) là điểm −"% & $'     "( ( "( Khoảng cách giữa d và d ‘ là R = (d;(Q)) = d(A;(Q)) = 11 5 5 +Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R là: 2 2 2 19 6 38 121 15 5 15 125 x y z       − + + + − =  ÷  ÷  ÷       Bài 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x+2y-z-1=0 và (Q):x-y+z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M(-2;1;0), song song với đường thẳng d=(P)∩(Q) và tạo với trục Oz góc 30 0 . Giải. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: )3;2;1( −− d u gọi );;( cban (với a 2 +b 2 +c 2 ≠0) là vectơ pháp tuyến của (α) d//(α) ⇒ 0. = d un ⇔a-2b-3c=0⇔a=2b+3c Sin((α),Oz)=sin30 0 = ),cos( d un 2 1 222 = ++ ⇔ cba c ⇔3c 2 =a 2 +b 2 ⇔ 3c 2 =(2b+3c) 2 +b 2 4 • d(C;(P)) = 0141623 )2( 2 3 22 222 =+−⇔= +−+ + ⇔ caca ccaa ca    = = ⇔ ca ca 7 ⇔5b 2 +12bc+6c 2 =0       +− = −− = ⇔ cb cb 5 66 5 66 với cacb 5 623 5 66 − =⇒ −− = chọn 5;66;623 =−−=−= cba ⇒phương trình mặt phẳng (α) là: 063125)66()623( =−+++−− zyx với cacb 5 623 5 66 + =⇒ +− = chọn 5;66;623 =+−=+= cba ⇒phương trình mặt phẳng (α) là: 063125)66()623( =++++−++ cyx Bài 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 1 2 : 2 1 1 x y z− − − ∆ = = − và điểm A(2;1;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 1 3 . Giải. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và có vtcp là u → = (2 ; -1 ; 1). Gọi n → = (a ; b ; c ) là vtpt của (P). Vì ( ) . 0P n u n u → → → → ∆ ⊂ ⇒ ⊥ ⇒ = ⇔ 2a – b + c = 0 ⇔ b = 2a + c n → ⇒ =(a; 2a + c ; c ) , từ đó ta có: Pt(P) : a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – 2 ) = 0 ⇔ Pt (P) : ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = 0 d(A ; (P)) = 1 3 2 2 2 1 3 (2 ) a a a c c ⇔ = + + + ( ) 2 0a c⇔ + = 0a c ⇔ + = với a + c = 0 , chọn a = 1 , c = -1 ⇒ pt(P) : x + y – z = 0 Bài 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng : 1 1 : 2 1 x t d y t z = +   = −   =  2 2 1 1 : 1 2 2 x y z d − − + = = − . Viết phương trình mp(P) song song với 1 d và 2 d , sao cho khoảng cách từ 1 d đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ 2 d đến (P). Giải. Ta có : 1 d đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : ( ) 1 1; 1;0u → = − 2 d đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: ( ) 2 1; 2;2u → = − Gọi n → là vtpt của mp(P), vì (P) song song với 1 d và 2 d nên n → = [ 1 2 ;u u → → ] = (-2 ; -2 ; -1) ⇒ pt mp(P): 2x + 2y + z + m = 0 d( 1 d ;(P)) = d(A ; (P)) = 7 3 m+ ; d( 2 ;( ))d P = d( B;(P)) = 5 3 m+ vì d( 1 d ;(P)) = 2. d( 2 ;( ))d P 7 2. 5m m⇔ + = + 7 2(5 ) 7 2(5 ) m m m m + = +  ⇔  + = − +  3 17 3 m m = −   ⇔  = −  Với m = -3 ⇒ mp(P) : 2x + 2y + z – 3 = 0 5 Với m = - 17 3 ⇒ mp(P) : 2x + 2y + z - 17 3 = 0 Bài 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - 3 z = 0 một góc 60 0 . Giải. Mp(P) chứa trục Oz nên có dạng Ax + By = 0, )0;;( BAn p =⇒ → và )5;1;2( −= → Q n . Theo gt: 22 22 0 .1022 2 1 514. 2 60cos),cos( BABA BA BA nn Qp +=+⇔= +++ + ⇔= →→ 06166 22 =−+⇔ BABA Chọn B = 1 ta có : 6A 2 + 16A – 6 = 0 suy ra: A = -3 , A = 1/3 Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là: x + 3y = 0 và -3x + y = 0. Bài 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho mặt cầu (S) : ( ) ( ) 921 2 2 2 =+++− zyx . Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a : 22 1 1 − = − = zyx và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính bằng 2 . Giải. KL : Có 2 mặt phẳng : (P 1 ) : 053522 =+−−+ zyx và (P 2 ) : 053522 =−−−+ zyx Bài 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : 2 6 4 2 0S x y z x y z+ + − + − − = . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ (1;6;2)v r , vuông góc với mặt phẳng ( ) : 4 11 0x y z α + + − = và tiếp xúc với (S). Giải. Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4 Véc tơ pháp tuyến của ( ) α là (1;4;1)n r Vì ( ) ( )P α ⊥ và song song với giá của v r nên nhận véc tơ (2; 1;2) p n n v= ∧ = − uur r r làm vtpt. Do đó (P):2x-y+2z+m=0 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên ( ( )) 4d I P→ = ⇔ 21 ( ( )) 4 3 m d I P m = −  → = ⇔  =  Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0. 3/ Một số bài toán tổng hợp về đường thẳng: Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : (d) x 1 3 y z 2 1 1 2 + − + = = − và (d’) x 1 2t y 2 t z 1 t = +   = +   = +  Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ∆ ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng Giải. Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình : 6 . (S) có tâm )2,0,1( −J bán kính R = 3 + đt a có vtcp )2,2,1( − → u , (P) vuông góc với đt a nên (P) nhận → u làm vtpt Pt mp (P) có dạng : 022 =+−+ Dzyx + (P) cắt (S) theo đường tròn có bk r = 2 nên d( J , (P) ) = 5 22 =−rR nên ta có : 5 3 )2.(20.21 = +−−+ D     −−= +−= ↔ 535 535 D D x 9 t y 6 8t z 5 15t = −   = −   = −  + Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP ( ) u 1;1;2 v + Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP ( ) u ' 2;1;1 uur Ta có : ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 MM ' u,u ' 2; 1;3 ; ; 8 0   = − = − ≠   uuuuur r uur ( ) ( ) ( ) MM' u, u ' 8 d d , d' 11 u,u '     = =     uuuuur r uur r uur Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : (d) x t y 1 2t z 4 5t =   = +   = +  và (d’) x t y 1 2t z 3t =   = − −   = −  a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau . b. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) . Giải. a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP ( ) u 1;2;5 v + Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP ( ) u ' 1; 2; 3− − uur Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là 1 3 I ;0; 2 2   −  ÷   hay (d) và (d’) cắt nhau . (ĐPCM) b) Ta lấy u 15 15 15 v .u ' ; 2 ; 3 7 7 7 u '   = = − −  ÷  ÷   r r uur uur . Ta đặt : 15 15 15 a u v 1 ;2 2 ;5 3 7 7 7   = + = + − −  ÷  ÷   r r r 15 15 15 b u v 1 ;2 2 ;5 3 7 7 7   = − = − + +  ÷  ÷   r r r Khi đó, hai đường phân giác cần tìm là hai đường thẳng đi qua I và lần lượt nhận hai véctơ a, b r r làm VTCP và chúng có phương trình là : 1 15 x 1 t 2 7 15 y 2 2 t 7 3 15 z 5 3 t 2 7    = − + +   ÷  ÷        = −  ÷   ÷        = + −  ÷  ÷     và 1 15 x 1 t 2 7 15 y 2 2 t 7 3 15 z 5 3 t 2 7    = − + −   ÷  ÷        = +  ÷   ÷        = + +  ÷  ÷     Bài 3. Cho hai đường thẳng có phương trình: 1 2 3 : 1 3 2 x z d y − + = + = 2 3 : 7 2 1 x t d y t z t = +   = −   = −  Viết phương trình đường thẳng cắt d 1 và d 2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1). Giải. 7 • ( ) MM ' 2; 1;3= − uuuuur Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm) Khi đó : Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt tại điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b). Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1)=> MA kMB= uuur uuur ( ) ( ) 3 1; 11; 4 2 , ; 2 3;MA a a a MB b b b= − − − + = − − − uuur uuur 3 1 3 1 1 11 2 3 3 2 11 2 4 2 2 4 1 a kb a kb a a kb k a k kb k a kb a kb b − = − = =       ⇒ − = − − ⇔ + + = ⇔ =       − + = − + = =    => ( ) 2; 10; 2MA = − − uuur Phương trình đường thẳng AB là: 3 2 10 10 1 2 x t y t z t = +   = −   = −  Bài 4. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) 01 =+−+ zyx ,đường thẳng d: 3 1 1 1 1 2 − − = − − = − zyx . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng ∆ nằm trong (P), vuông góc với d và cách I một khoảng bằng 23 . Giải. • (P) có véc tơ pháp tuyến )1;1;1( )( −= P n và d có véc tơ chỉ phương )3;1;1(. −−=u )4;2;1()( IPdI ⇒∩= • vì ∆⇒⊥∆⊂∆ dP);( có véc tơ chỉ phương [ ] )2;2;4(; )( −−== ∆ unu P )1;1;2(2 −−= Phương trình (Q): 0420)4()2()1(2 =+−+−⇔=−−−+−− zyxzyx Gọi 11 )()( dQPd ⇒∩= có vécto chỉ phương [ ] )1;1;0(3)3;3;0(; )()( == QP nn và 1 d qua I      += += = ⇒ tz ty x ptd 4 2 1 : 1 Ta có );;0()4;2;1( 1 ttIHttHdH =⇒++⇒∈ ⇒    −= = ⇔=⇔= 3 3 23223 2 t t tIH Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng : 1 : 4 1 2 x t d y t z t =   = −   = − +  ;d 2 : 2 1 3 3 x y z− = = − − và d 3 : 1 1 1 5 2 1 x y z+ − + = = . Chứng tỏ rằng 1 2 ;d d là hai đường thẳng chéo nhau,tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 2 ;d d .Viết phương trình đường thẳng ∆, biết ∆ cắt ba đường thẳng d 1 , d 2 , d 3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC. Giải. +)Đường thẳng 1 : 4 1 2 x t d y t z t =   = −   = − +  suy ra 1 d đi qua điểm A(0;4;-1) và có một vtcp 1 (1; 1;2)u − ur .Đường thẳng d 2 : 2 1 3 3 x y z− = = − − suy ra 2 d đi qua điểm B(0;2;0) và có một vtcp 2 (1; 3; 3)u − − uur .Ta có (0; 2;1)AB − uuur và 8 • Gọi H là hình chiếu của I trên ∆ )(QmpH ∈⇒ qua I và vuông góc ∆ • TH1: 1 7 1 5 2 1 :)7;5;1(3 − − = − = − − ∆⇒⇒= zyx ptHt TH2: 1 1 1 1 2 1 :)1;1;1(3 − − = + = − − ∆⇒−⇒−= zyx ptHt ( ) 1 2 , 9;5; 2u u   = −   ur uur suy ra 1 2 . , 9.0 ( 2).5 1.( 2) 12 0AB u u   = + − + − = − ≠   uuur ur uur .Vậy 1 d và 2 d là hai đường thẳng chéo nhau. Khoảng cách giữa 1 d và 2 d là : ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 2 . , 12 6 , 55 9 5 ( 2) , AB u u d d d u u   −   = = =   + + −   uuur ur uur ur uur +)Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d 1 , d 2 , d 3 Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v) A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔ B là trung điểm của AC ( 1 5 ) 2 4 (1 2 ) 2.(2 3 ) 1 2 ( 1 ) 2( 3 ) t v u t v u t v u + − + =   ⇔ − + + = −   − + + − + = −  Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0 Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1) Đường thẳng ∆ đi qua A, B, C có phương trình 2 1 1 1 x y z− = = Bài 6. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(6; −6; 6), B(4; 4; 4), C(− 2; 10; −2) và S(−2; 2; 6). Chứng minh O, A, B, C là bốn đỉnh của một hình thoi và hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (OABC) trùng với tâm I của OABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AC. Giải. Ta có: + Các đoạn OB và AC đều nhận I(2; 2; 2) làm trung điểm (1) + ( ) ( ) 8; 16; 8 , 4; 4; 4 . 32 64 32 0AC OB AC OB AC OB= − − = ⇒ = − + − = ⇒ ⊥ uuur uuur uuur uuur (2) Từ (1) và (2) suy ra O, A, B, C là 4 đỉnh của hình thoi OABC + . 32 32 0 (4; 0; 4); ( ) . 16 16 0 SI AC SI SI OABC SI OB  = − + =  = − ⇒ ⊥  = − =   uur uuur uur uur uuur + Do OABC là hình thoi và ( )SI OABC⊥ nên: ( ) AC OB AC SOB AC SI ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  Từ đó trong mp(SOB) nếu kẻ IH SO ⊥ tại H thì IH AC ⊥ tại H. Vậy IH là đoạn vuông góc chung của SO và AC . 4 2.2 3 4 66 ( , ) 11 2 11 SI OI d SO AC IH SO ⇒ = = = = 4/ Một số bài toán tổng hợp về mặt cầu: Bài 1. Trong kg Oxyz cho đường thẳng ( ∆ ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PT mặt cầu(S) có tâm I ∈∆ và khoảng cách từ I đến mp(P) là 2 và mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giao tuyến đường tròn (C)có bán kính r=3 . Giải. Mặt cầu(S) có tâm I ∈∆ g sửI(a;b;c ) =>(a;b;c) thoả mản PT của ∆ (1) * ( ) ( ) ; 2d I P = (2) Từ (1) và(2) ta có hệ PT: 2 2 2 6 11 14 1 1 1 7 ; ; ; ; ; 2 1 6 3 6 3 3 3 2 a b c a t heconghiem va b t c t  − − − =       = ⇒ ⇒ − − −   ÷  ÷ = −      = +   Do 2 4 3 13r R R= − = ⇔ = Vậy có 2 mặt cầu theo ycbt : ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 11 14 1 ( ) : 13 6 3 6 1 1 7 : 13 3 3 3 S x y z S x y z       − + + + − =  ÷  ÷  ÷             + + + + − =  ÷  ÷  ÷       9 Bài 2. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng 1 3 2 3 1 1 : − = + = − − zyx d và hai mặt phẳng .04:)(,0922:)( =++−=+−+ zyxQzyxP Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với (P) và cắt (Q) theo một đường tròn có chu vi π 2 . Giải. Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R > 0. Vì dI ∈ nên )3;32;1( +−+− tttI . Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên 3 22 ))(;( t PIdR − == Ta có 3 211 ))(;( t QId − = . Chu vi của đường tròn giao tuyến 122 =⇒= rr ππ . Suy ra 1 3 )211( ))(;( 2 222 + − =+= t rQIdR (2) Từ (1) và (2) suy ra     = = ⇔+ − = − 2 23 4 1 3 )211( 9 )22( 22 t t tt * Với 4=t ta có 2),7;5;3( =− RI . Suy ra mặt cầu .4)7()5()3( 222 =−+−++ zyx * Với 2 23 =t ta có 7, 2 29 ;20; 2 21 =       − RI . Suy ra phương trình mặt cầu ( ) 49 2 29 20 2 21 2 2 2 =       −+−+       + zyx . Bài 3. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng ,0422:)( =+++ zyxP đường thẳng 1 1 1 1 2 2 : − − = − + = − zyx d và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng .04,1 =−+= zyx Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P). Giải. Mặt cầu có tâm dtttI ∈+−−−+ )1;1;22( . 3 9 ))(;( + = t PId . Chọn )1;1;0( −= ∆ u và ∆∈)3;1;1(M . Khi đó )2;2;12( −−−−+= tttMI . Suy ra )12;12;42(],[ −−−−−−= ∆ yttMIu Suy ra 2 182412 ],[ ),( 2 ++ ==∆ ∆ ∆ tt u MIu Id . Từ giả thiết ta có RIdPId =∆= );())(;(      −= = ⇔=+⇔++= + ⇔ 53 90 0 090539126 3 9 22 t t tttt t * Với 0=t . Ta có 3),1;1;2( =− RI . Suy ra phương trình mặt cầu .9)1()1()2( 222 =−+++− zyx * Với 53 90 −=t . Ta có 53 129 , 53 143 ; 53 37 ; 53 74 =       − RI . Suy ra phương trình mặt cầu 2222 53 129 53 143 53 37 53 74       =       −+       −+       + zyx Bài 4 . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d 1 ) : 4 2 1 0 x y z − = = . Gọi (d 2 ) là giao tuyến của 2 mặt phẳng )( α 03=−+ yx ; )( β 012344 =−++ zyx . Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuômg góc chung của (d 1 ) và (d 2 ). 10 [...]... cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : Bài 22: (ĐH - KA2011) (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y2 + z2–4x– 4y– 4z=0 và điểm A (4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều Bài 23: (ĐH - KA2011) (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1), B (0; -2; 3) và... 2 2 ∨ y = t = suy ra tọa độ E và F là :  y = 5 5 5   z = 1 z = 1       + Tam giác AEF đều → AE = AF = AH 6/ Một số bài toán về giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong hình học không gian 0xyz Bài 1 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 1;4; 2 ) , B ( −1;2; 4 ) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua trực tâm H của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng ( OAB ) Tìm tọa độ điểm M... 2t + 1) Bài 2 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d : Suy ra [ AC , AD] = (−4 ; 4t − 7 ; − 4t + 9) Suy ra 1 1 1 S ACD = AC , AD = 16 + (4t − 7) 2 + (−4t + 9) 2 = 32t 2 − 128t + 146 (2) 2 2 2 2 D(0 ; − 1 ; − 3) Từ (1) và (2) ta có 32t − 128t + 128 = 0 ⇔ t = 2 Suy ra +) ABCD là hình bình hành nên AB = DC Suy ra B(3 ; 3 ; 5) Bài 3 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(1; 2;... Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x y −1 z = = Xác định tọa 2 1 2 độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến Δ bằng OM Bài 20: (ĐH - KA2010) (CB) x −1 y z + 2 = = và mặt phẳng (P) : x − 2y + z = 2 1 −1 0 Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 6 Bài 21: (ĐH - KA2010) (NC) x+2 y−2 z+3 = = Trong không gian tọa độ Oxyz, cho... sao cho MA = MB = 3 Bài 24: (ĐH - KB2011) (CB) x − 2 y +1 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ : và mặt phẳng (P): x + y = = 1 −2 −1 + z – 3 = 0 Gọi I là giao điểm của Δ và (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với Δ và MI = 4 14 Bài 25: (ĐH - KB2011) (NC) x + 2 y −1 z + 5 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: và hai điểm A(– 2; 1; = = 1 3 −2 1), B(–... giác MAB có diện tích bằng   5 3 Bài 26: (ĐH – KD 2011) (CB) x +1 y z − 3 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: = = 2 1 −2 Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox Bài 27: (ĐH – KD 2011) (NC) x −1 y − 3 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: = = và mặt phẳng(P) 2 4 1 2 x − y + 2 z = 0 Viết phương... (0;3;3) là trung điểm AB nên MA2 + MB 2 = 2 KA2 + 2 KM 2 KA không đổi nên MA2 + MB 2 nhỏ nhất khi KM ngắn nhất khi đó M là hình chiếu của K trên mặt phẳng (OAB ) u ur uu r M ( x; y; z ) ⇒ KM = ( x; y − 3; z − 3) / / n = (2; −1;1) ⇔ M (2t ;3 − t ;3 + t ) M ∈ (OAB ) ⇒ 4t − (3 − t ) + (3 + t ) = 0 ⇒ t = 0 Vậy M (0;3;3) Bài 2 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) và đường thẳng(d):... 3  3 3 3 Bài 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình x −1 y z −1 = = Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới 2 1 3 (P) là lớn nhất Giải Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P) Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P),... về tìm điểm: Bài 1 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD và có A(1 ; 1 ; 1), B ( −1 ; 2 ; 0), C (1 ; 3 ; − 1) Tìm tọa độ D Giải +) Rõ ràng AB ≠ k AC nên A, B, C không thẳng hàng  x = 1 − 2t  +) CD // AB nên chọn u CD = AB = (−2 ; 1 ; − 1) Suy ra pt CD :  y = 3 + t  z = −1 − t  ⇒ D(1 − 2t ; 3 + t ; − 1 − t ) ∈ CD Vì ABCD là hình thang cân với hai đáy AB,... Suy ra t = −2, s = −2 Vậy M (−1; − 2 ; 5), N (−2 ; − 3 ; 4) Bài 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5; 3; − 1), P (2; 3; − 4) Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng (γ ) : x + y − z − 6 = 0 Giải (1) - Giả sử N ( x0 ; y0 ; z0 ) Vì N ∈ (γ ) ⇒ x0 + y0 − z0 − 6 = 0 MN = PN  - MNPQ là hình vuông ⇒ ∆MNP vuông cân tại N ⇔  MN PN = 0  2 2 2 2 ( x0 − 5) + .            = + = + = ∨            = − = − = 1 5 242 5 221 1 5 242 5 221 z y x z y x 6/ Một số bài toán về giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong hình học không gian 0xyz Bài 1. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm ( ) 1;4;2A , ( ) 1;2;4B − . Viết phương trình. là hình thang cân thì BD = AC. Do đó D(3, 2, 0) không thỏa mãn vì khi đó. ABCD là hình bình hành. 11 Với       −− 3 2 , 3 8 , 3 5 D thỏa mãn. Bài 2. . Trong không gian với hệ trục Oxyz, . y z− = = Bài 6. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(6; −6; 6), B(4; 4; 4), C(− 2; 10; −2) và S(−2; 2; 6). Chứng minh O, A, B, C là bốn đỉnh của một hình thoi và hình chiếu vuông góc

Ngày đăng: 08/09/2015, 09:33

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan