BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHAN VĂN BÌNH PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. Phạm Triều Dương HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Triều Dương, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn giúp tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị, bạn bè, đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành khóa học và hoàn thiện luận văn. Qua đây tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới bố mẹ và những người thân trong gia đình đã luôn luôn tin tưởng và khích lệ giúp tôi hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Phan Văn Bình Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Triều Dương, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phương trình hyperbolic với hệ số biến thiên” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Các trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng nhất. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Phan Văn Bình Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Cơ sở giải tích Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Phép biến đổi Fourier trong không gian Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Kiến thức cơ sở về phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Biểu diễn Kirchhoff trong R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Phương pháp năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Giải tích WKB đối với bài toán Cauchy. Phương pháp nhân tử Fourier . 10 1.3.1. Nhân tử Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2. Sử dụng phương pháp nhân tử Fourier biểu diễn nghiệm của phương trình sóng tắt dần . . . 14 1.3.3. Giải tích WKB đối với bài toán Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Phương trình hyperbolic với hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Giới thiệu bài toán về hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục Sobolev với các dữ kiện nhỏ . . . 23 2.3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm. Ước lượng L p − L q . . . . . . . . . . 28 2.3.1. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2. Ước lượng L p − L q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Lời nói đầu 1. Lý do chọn đề tài Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng tựa tuyến tính đã được nghiên cứu từ rất lâu. Trong khi tính giải được địa phương theo thời gian của bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh hoàn toàn phi tuyến đã được biết khá rõ, và với phương trình hyperbolic yếu đã được nghiên cứu bởi Dreher, Kajitani, Reissig và Yagdjan [4, 5, 7, 13], tính giải được toàn cục theo thời gian đối với phương trình tựa tuyến tính vẫn chưa rõ. Mới có ít kết quả về vấn đề này và mới chỉ đạt được đối với phương trình nửa tuyến tính. Đối với phương trình nửa tuyến tính dạng Tricomi, sự tồn tại và hiện tượng bùng nổ đã được nghiên cứu trong công trình [15], đối với các phương trình dạng Klein-Gordon sự bùng nổ được nghiên cứu trong [18]. Sự tồn tại của các nghiệm tự đồng dạng đối với các mô hình sóng tuyến tính và nửa tuyến tính dạng Tricomi đã được nghiên cứu trong [16, 17]. Trong các bài toán, sự phụ thuộc biến thiên theo thời gian của các tham số đóng vai trò quan trọng. Khi giải quyết được vấn đề đó, ta có thể thiết lập được quy luật vận động của các hiện tượng vật lý. Tuy nhiên các yếu tố này có thể là tổng hợp của nhiều quy luật khác nhau: quy luật vĩ mô (hình thái chính của hiện tượng): tính tăng hay giảm của hàm vận tốc và các thành phần tham gia, quy luật vi mô (độ dao động do các tác nhân ngoài ý muốn). Đây là điểm mới trong mô hình sóng mà chúng tôi muốn tìm ra vai trò đóng góp của mỗi thành tố vào dáng điệu chung của nghiệm. Bài toán này có xuất phát từ mô hình truyền dẫn của vật chất trong lý thuyết tương đối Einstein – de Sitter. Ta có thể tìm hiểu được bản chất lan truyền sóng trên thực tế phụ thuộc vào những yếu tố nào. Với mong muốn được tìm hiểu lý thuyết về phương trình hyperbolic và được sự định hướng của thầy hướng dẫn. Chúng tôi chọn đề tài “Phương trình hyperbolic với hệ số biến thiên” để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm Sobolev (mild solution) của bài toán với các dữ kiện nhỏ tùy ý. Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t → +∞. 1 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương trình hyperbolic với hệ số biến thiên, chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm và dáng điệu tiệm cận của nghiệm, so sánh trực tiếp với trường hợp hệ số hằng: tìm được ảnh hưởng quyết định của hệ số lên tính giải được. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng tựa tuyến tính với hệ số tăng theo thời gian. 5. Phương pháp nghiên cứu Việc nghiên cứu bài toán tuyến tính là bước quan trọng đầu tiên. Chúng tôi sử dụng phương pháp dựa trên các đánh giá L p − L q và trên dạng tường minh của nghiệm cơ bản đối với toán tử tuyến tính. 6. Đóng góp mới của đề tài Luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm Sobolev (mild solution) của bài toán và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t → +∞. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Cơ sở giải tích Fourier 1.1.1. Phép biến đổi Fourier trong không gian Schwartz Phép biến đổi Fourier là một phép biến đổi tích phân đặc biệt. Nó thường được định nghĩa bởi: F (f) (ξ) := (2π) −n/2  R n e −ix.ξ f (x) dx với x.ξ = n  i=1 x i ξ i . Phép biến đổi Fourier ngược được định nghĩa bởi F −1 (g) (x) := (2π) −n/2  R n e ixξ g (ξ) dξ. Định nghĩa 1.1.1. Ký hiệu S (R n ) là không gian con của C ∞ (R n ) gồm tất cả các hàm f thỏa mãn p α,β (f) = sup x∈R n   x β ∂ α x f (x)   < ∞ với mọi đa chỉ số α và β. Tô pô trong S (R n ) sinh bởi họ nửa chuẩn {p α,β (f)} α,β . Khi đó S (R n ) được gọi là không gian Schwartz. Không gian Schwartz là không gian con lớn nhất của L 1 (R n ) bất biến qua phép lấy đạo hàm ∂ α x và phép nhân với x β . Định lí 1.1.2. Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược ánh xạ liên tục không gian Schwartz vào chính nó. Biến đổi Fourier của ∂ x k f là iξ k F (f) và biến đổi Fourier của x k f là i∂ ξ k F (f). Bằng cách này, phép lấy đạo hàm trong không gian vật lý, tức là không gian R n x tương ứng với một phép nhân bởi biến trong không gian pha, tức là không gian R n ξ và ngược lại. Chứng minh. Ta chứng minh rằng với một hàm f ∈ S (R n ) thì ảnh F (f) cũng thuộc 3 4 S (R n ). Ta có ξ β ∂ α ξ F (f) (ξ) = 1 (2π) n 2  R n e −ixξ ξ β (−ix) α f (x) dx = 1 (2π) n 2  R n i |β| ∂ β x  e −ixξ  (−ix) α f (x) dx = 1 (2π) n 2  R n e −ixξ (−i) |β| ∂ β x ((−ix) α f (x)) dx = 1 (2π) n 2  R n e −ixξ  1 + |x| 2  − n+1 2 (−i) |β|  1 + |x| 2  n+1 2 ∂ β x ((−ix) α f (x)) dx, ở đây giả thiết f ∈ S (R n ), trong khi đó lấy tích phân từng phần của tích phân trên thì các tích phân trên biên đều triệt tiêu. Hơn nữa, ta có sup x∈R n      1 + |x| 2  n+1 2 ∂ β x ((−ix) α f (x))     < ∞. Do  R n  1 + |x| 2  − n+1 2 dx < ∞ nên p α,β (F (f)) = sup ξ∈R n   ξ β ∂ α ξ F (f) (ξ)   < ∞ trong không gian pha, với mọi đa chỉ số α và β. Bằng cách tương tự ta có thể chỉ ra rằng p α,β (f k − f) → 0 khi k → ∞ kéo theo p α,β (F (f k ) − F (f)) → 0 với mọi đa chỉ số α và β. Do đó F : f → F (f) ánh xạ liên tục không gian S (R n ) vào chính nó.  1.1.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L p Ta xét phép biến đổi Fourier F (f) (ξ) := (2π) −n/2  R n e −ix.ξ f (x) dx với x.ξ = n  i=1 x i ξ i . Cho f ∈ L 1 (R n ). Khi đó F (f) thuộc vào L ∞ (R n ). Hơn nữa, F (f) liên tục trên R n và lim ξ→∞ F (f) (ξ) = 0. Cho f ∈ L 2 (R n ). Khi đó, định nghĩa cổ điển của F (f) không thể áp dụng được. Ta cần tìm một định nghĩa thích hợp cho F (f) nếu f thuộc L 2 (R n ). Ta chọn f, g ∈ S (R n ). Khi đó theo định nghĩa cổ điển F −1 (f) = (2π) − n 2  R n e ixξ f (x) dx 5 và F (f) = (2π) − n 2  n e −ix.ξ f (x) dx. Ta thu được 2 hệ thức sau:  R n F −1 (f) (x) g (x)dx =  R n f (ξ) F (g) (ξ)dξ, (1.1)  R n F (f) (x) g (x)dx =  R n f (ξ) F −1 (g) (ξ)dξ. (1.2) Hệ thức (1.1) thu được từ  R n F −1 (f) (x) g (x)dx =  R n 1 (2π) n 2   R n e ix.ξ f (ξ) dξ  g (x)dx =  R n f (ξ) 1 (2π) n 2   R n e ix.ξ g (x)dx  dξ =  R n f (ξ) 1 (2π) n 2  R n e −ix.ξ g (x)dxdξ =  R n f (ξ) F (g) (ξ) dξ. nếu ta sử dụng định nghĩa cổ điển của F −1 (f) (x). Hệ thức này có thể viết là  F −1 (f) , g  = (f, F (g)) với mọi hàm f, g ∈ S (R n ). Bây giờ ta chọn f ∈ L 2 (R n ). Khi đó tích vô hướng (f, F (g)) là xác định với mọi hàm g ∈ S (R n ). Do tính trù mật của C ∞ 0 (R n ) ⊂ S (R n ) trong L 2 (R n ) nên đẳng thức (w, g) = (f, F (g)) xác định một phiếm hàm trên L 2 (R n ). Khi đó, tồn tại duy nhất w ∈ L 2 (R n ) sao cho hệ thức (1.2) là hoàn toàn có nghĩa với mọi hàm f ∈ L 2 (R n ) và g ∈ S (R n ). Ta định nghĩa hàm w này là biến đổi Fourier ngược của hàm f ∈ L 2 (R n ). Sử dụng hệ thức (1.2) bằng cách biện luận tương tự ta có thể định nghĩa biến đổi Fourier F (f) ∈ L 2 (R n ) với một hàm f cho trước thuộc L 2 (R n ) . Tóm lại, ta đã định nghĩa được F (f) và F −1 (f) của hàm f ∈ L 2 (R n ) thông qua hai hệ thức  F −1 (f) , g  L 2 = (f, F (g)) L 2 , ∀g ∈ S (R n ) , (F (f) , g) L 2 =  f, F −1 (g)  L 2 , ∀g ∈ S (R n ) . Định lí 1.1.3. Phép biến đổi Fourier là một toán tử unita trong L 2 (R n ). Chứng minh. Với g ∈ S (R n ) ta có  F −1 (F (f)) , g  L 2 = (F (f) , F (g)) L 2 =  f, F −1 (F (g))  L 2 = (f, g) L 2 . 6 Do tính trù mật của S (R n ) trong L 2 (R n ) suy ra công thức Fourier ngược của hàm f ∈ L 2 (R n ) vì F −1 (F (f)) = f từ đẳng thức trên với các phiếm hàm. Do đó, F ánh xạ L 2 (R n ) vào chính nó. Hơn nữa, F là đẳng cự. Ở đây, ta sử dụng hệ thức trên với g = F (h). Ta được (F (f) , F (h)) L 2 = (f, h) L 2 , với mọi f ∈ L 2 (R n ) và mọi h ∈ S (R n ). Tiếp tục áp dụng tính trù mật cho ta hệ thức trên với mọi hàm f, h ∈ L 2 (R n ) .  Công thức (F (f) , F (h)) L 2 = (f, h) L 2 được gọi là đẳng thức Parseval-Plancherel. Trường hợp đặc biệt, nếu f = h thì ta được F (f) 2 L 2 = f 2 L 2 . 1.2. Kiến thức cơ sở về phương trình truyền sóng 1.2.1. Biểu diễn Kirchhoff trong R 3 Xét bài toán Cauchy u tt − ∆u = 0, u (0, x) = 0, u t (0, x) = p (x) , x ∈ R 3 . Định lí 1.2.1. Cho p ∈ C k (R 3 ) với k ≥ 2. Khi đó nghiệm của bài toán Cauchy ở trên được cho bởi công thức Kirchhoff u p (t, x) = 1 4πt  S t (x) p (y) dσ y và thuộc C k ([0, ∞) ×R 3 ). Chứng minh. Đổi biến y = x + tα, α = (α 1 , α 2 , α 3 ), trong đó α là vectơ đơn vị theo phương y − x. Sử dụng dσ t = t 2 dσ 1 ta được u p (t, x) = t 4π  S 1 (0) p (x + tα) dσ 1 . Do đó ta có lim t→0 u p (t, x) = 0. Đạo hàm theo t và nhờ tính chính qui của p ta có: ∂ t u p (t, x) = 1 4π  S 1 (0) p (x + tα) dσ 1 + t 4π  S 1 (0) ∇p (x + tα) αdσ 1 . từ phương trình này ta có lim t→0 ∂ t u p (t, x) = p (x) . [...]... đề của định lý được chứng minh Chương 2 Phương trình hyperbolic với hệ số biến thiên 2.1 Giới thiệu bài toán về hệ số biến thiên Ta xét bài toán Cauchy tổng quát trong không gian Hilbert thực H như sau: u (t) + Au (t) + Au (t) = 0, t ∈ (0, ∞) , u (0) = u0 , u (0) = u1 (2.1) (2.2) Trong đó A : D (A) ⊂ H → H là một toán tử tự liên hợp không âm trong (H, ) với miền xác định D (A) trù mật trong H Trong... Hilbert với chuẩn: u V := u 2 + A1/2 u được định nghĩa bởi R A1/2 := A1/2 w : w ∈ V 2 1/2 Miền ảnh của toán tử A1/2 và năng lượng toàn phần Eu (t) của nghiệm u được định nghĩa là: 1 2 2 u (t) + A1/2 u (t) 2 Sau đây, ta xét mô hình cụ thể của bài toán tổng quát (2.1)- (2.2): Cho Ω ⊂ Rn là Eu (t) := một miền ngoài có biên trơn ∂Ω Xét bài toán sau đây cho phương trình sóng tắt dần mạnh với hệ số biến thiên. .. cấp N × N với các phần tử bij ∈ C (Ω) Các lập luận cổ điển có thể được sử dụng nếu b (x) là hằng số và Ω = Rn hoặc nếu các hệ số b là biến thiên ổn định ở mức Laplace đủ nhanh ở vô cực để đảm bảo 22 23 sự tồn tại của biến đổi Fourier tổng quát Ta suy ra sự suy giảm của nghiệm của bài toán (2.3)- (2.5) dưới giả thiết tương đối tổng quát của b 2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục Sobolev với các... các số hạng là tiêu hao Một câu hỏi được đặt ra là dáng điệu của năng lượng khi t → ∞ Liệu rằng, E (u) (t) có 1 tiến tới 0 khi t → ∞ Trước tiên ta xét hàm w = w (t, x) khi w (t, x) := e 2 t u (t, x) Khi đó w thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng 1 wtt − ∆w − w = 0, 4 1 w (0, x) = ϕ (x) , wt (0, x) = ϕ (x) + ψ (x) 2 Bây giờ, áp dụng biến đổi Fourier từng phần cho một phương trình vi phân thường với v... phụ thuộc liên tục vào dữ liệu, tức là, với mỗi ε > 0 tồn tại δ (ε) sao cho ϕ1 − ϕ2 Hs + ψ1 − ψ2 H s−1 < δ kéo theo u1 − u2 C([0,T ],H s (Rn ))∩C 1 ([0,T ],H s−1 (Rn )) < ε 1.3.2 Sử dụng phương pháp nhân tử Fourier biểu diễn nghiệm của phương trình sóng tắt dần Ta xét bài toán Cauchy utt − ∆u + ut = 0, u (0, x) = ϕ (x) , ut (0, x) = ψ (x) Tương tự như với phương trình sóng cổ điển, ta cũng giới thiệu... 2 , số hạng khối lượng |ξ|2 − , số hạng khối lượng |ξ|2 − 1 âm ; 4 1 dương 4 ta có thể định nghĩa một biến dương mới |η| thỏa mãn |η|2 := > 0 Nên ta được phương trình vi phân thường vtt + |η|2 v = 0 Do kết quả của định lý (1.3.1) ta thu được ngay biểu diễn sau của nghiệm v = v (t, ξ) v (t, ξ) = cos Trường hợp 2: |ξ| < 1 2 1 |ξ|2 − t v0 (ξ) + 4 sin 1 |ξ|2 − 4 t |ξ|2 − v1 (ξ) 1 4 16 Nghiệm của phương. .. có R (t, ξ) ≤ εβF (t, ξ) (2.11) cho bất kỳ ξ ∈ M với ξ ∈ M3 Tuy nhiên, (2.11) cũng đúng cho ξ ∈ M3 bởi định nghĩa / của R và F Hệ quả của bổ đề 2.2.2 là d E (t, ξ) + (1 − εβ) F (t, ξ) ≤ 0 dt (2.12) với điều kiện α > 0 và β > 0 Bổ đề 2.2.3 Tồn tại hằng số dương K1 , phụ thuộc vào ε và β và độc lập với ξ sao cho bất đẳng thức sau đúng cho mọi ξ ∈ M với ξ ∈ M3 / ρ (ξ) + βρ(ξ)2 a(ξ)−1 ≤ K1 , 2a (ξ) 1... giao hoán với đạo hàm theo thời gian, χ = Ak u thỏa mãn phương trình tương tự với điều kiện ban đầu khác χ (t) + Aχ (t) + Aχ (t) = 0, t ∈ (0, ∞) , χ (0) = Ak u0 , χ (0) = Ak u1 Nếu t ≤ 1, kết quả này có được từ ước lượng năng lượng tiêu chuẩn Eχ (t) ≤ Eχ (0) Nếu t > 1, ta áp dụng định lý (2.3.1) với χ = Ak u 2 e−tηA Ak u1 EAk u (t) ≤ C + Ce−tη Ak u1 2 2 + e−tηA Ak u0 1 + Ak+ 2 u0 2 Hai số hạng đầu... được trực tiếp từ phương trình truyền sóng (∂t uk (t, x) ∆uk (t, x) − ∆uk (t, x) ∂t uk (t, x)) dx = 0 E (uk ) (t) = Rn Do đó, E (uk ) (t) = E (uk ) (0) = 1 2 ψk 2 L2 + ϕk 2 L2 Điều này cùng với giả thiết ta có lim E (uk ) (0) = E (u) (0) k→∞ Từ tính đặt đúng của bài toán Cauchy trong không gian Sobolev ta có lim E (uk ) (t) = E (u) (t) k→∞ 1.3 Giải tích WKB đối với bài toán Cauchy Phương pháp nhân... ; (1 + a) dµ) 25 Với ký hiệu này, nếu u là nghiệm Sobolev của bài toán (2.1)- (2.2), thì hàm u (t, ξ) thỏa mãn phương trình vi phân thường u + a (ξ) u + a (ξ) u = 0, t > 0, ξ ∈ M, (2.6) cùng với các điều kiện ban đầu u (0, ξ) = u0 (ξ) , u (0, ξ) = u1 (ξ) , ξ ∈ M (2.7) Năng lượng toàn phần Eu (t) được định nghĩa lại như sau Eu (t) = 1 2 2 |u (t, ξ)| dµ + M 1 2 a (ξ) |u (t, ξ)|2 dµ M Với nghiệm u (t, . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Phương trình hyperbolic với hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Giới thiệu bài toán về hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 yếu tố nào. Với mong muốn được tìm hiểu lý thuyết về phương trình hyperbolic và được sự định hướng của thầy hướng dẫn. Chúng tôi chọn đề tài Phương trình hyperbolic với hệ số biến thiên để thực. nghiên cứu Nghiên cứu phương trình hyperbolic với hệ số biến thiên, chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm và dáng điệu tiệm cận của nghiệm, so sánh trực tiếp với trường hợp hệ số hằng: tìm được ảnh