№ Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 ■ • ■ • * ШсМ) HÀ THỊ THU THỦY ĐIÈU KIÊN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC • • • HÀ NỘI, 2014 Ш ítũ Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ■ * • TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 * CữcM) HÀ THỊ THU THỦY ĐIÈU KIÊN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC • • • Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đỗ Văn Lưu HÀ NỘI, 2014 Btl rftl LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học tập và làm luận văn, cùng với sự nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự quan tâm, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo của phòng sau đại học trường đại học Sư Phạm Hà Nội 2 và thầy PGS.TS. Đỗ Văn Lưu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Đỗ văn Lưu, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt và chỉ bảo, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn phòng sau đại học, trường đại học Sư Phạm Hà Nội 2 cùng toàn thể các thầy cô giáo và cán bộ trong nhà trường. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Hữu Nghị 80, tổ toán trường Hữu Nghị 80 đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học này. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học K16 - TGT đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp này. Hà Nội, Ngày 5 tháng 8 năm 20lị H ọ c v i ê n Hà Thị Thu Thủy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Hà Nội, Ngày 5 tháng 8 năm 20lị H ọ c v i ê n Hà Thị Thu Thủy Mục lục MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Các bài toán tối ưu không lồi không trơn đã và đang thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Các lí thuyết dưới vi phân là các công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các điều kiện tối ưu, chẳng hạn dưới vi phân lồi, dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel - Penot, dưới vi phân Eréchet, dưới vi phân Mordukhovich, Các điều kiện cần tối ưu cho bài toán biến phân và bài toán quy hoạch toán học dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel - Penot và dưới vi phân Eréchet đã được W. Schirotzek trình bày trong cuốn sách chuyên khảo “ Nonsmooth Analysis” (2006). Đây là đề tài đã thu hút nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Vì thế, tôi chọn đề tài luận văn : “Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu không lồi”. Mục đích nghiên cứu • Đọc và dịch tài liệu trong cuốn sách “Nonsmooth Analysis” (2006) của W.Schirotzek. • Tham khảo các tài liệu có liên quan. • Phân tích, tổng hợp làm rõ các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu không lồi. Nhiệm vụ nghiên cứu • Các điều kiện tối ưu cơ bản. • Điều kiện tối ưu cho bài toán điểm mút cuối cố định của phép tính biến phân. 5 • Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch toán học. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn trình bày các điều kiện cần tối ưu cho bài toán biến phân và bài toán quy hoạch toán học dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel- Penot và dưới vi phân Préchet được w. Schirotzek trình bày trong cuốn sách chuyên khảo “ Nonsmooth Analysis” (2006). Những đóng góp mới của đề tài Tác giả mong muốn có cách nhìn tổng quát hơn về điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu không lồi và hoàn chỉnh bản luận văn của mình. Phương pháp nghiên cứu Đọc và nghiên cứu tài liệu để phân tích, tổng hợp các nội dung của đề tài luận văn. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về các dưới vi phân Clarke, Michel - Penot, Préchet và các điều kiện tối ưu cơ bản. Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo trong các tài liệu [1] - [ 5 ] . 6 1.1. Dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel - Penot và dưới vi phân Eréchet 1.1.1. Dưới vi phân Clarke Giả sử E là không gian Banach thực, D c E là mở, X € D và F :D->R. Định nghĩa 1.1. Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương t ạ i x GD n ế u t ồ n t ạ i l ă n cận u c ủ a X v à s ố À > 0 s a o c h o I f ( x ) - f (x')\ < X \ \ x - x'\\ ( V a : , x' e u) ( 1 . 1 ) Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên D nếu f Lipschitz địa phương tại mọi X £ D. Hàm f được gọi là Lipschitz với hằng số X trên D nếu ( 1 . 1 ) đúng với mọi x,x' e D. Định nghĩa 1.2. Nếu y G E thì f ° { x , y ) : = l i m s u p — ( / ( x + T y ) - f ( x ) ) ( 1. 2) rịo T được gọi là đạo hàm Clarke của f tại X theo phương y. Định lý 1.1. Cho f là hàm Lipschitz địa phương tại X vói hằng số \ > 0 . Khi đó, a ) f ° (x , . ) là dưới cộng tính, thuần nhất dương và Lipschitz với hằng số X trên E và thỏa mãn: /°(*,y) < A||y|| (Vị/ 6 E) (1.3) b) Với bất kì y £ E, ta có: f ° ( x , — y ) = ( — f )° ( x , y ) . Chứng minh. 7 a) Cho Y € E cố định, từ giả thiết ta có: - ự ( x + Ty ) - f ( x ) ) < - X ị ị r y ị ị = A|Ịy|Ị T T với ||a: — ^11 và T > 0 đủ nhỏ. Do đó F°(X, Y ) < A||y||. b) Ta có: f ° { x , - ỳ ) = l i m s u p — [ / ( x - T y ) - f ( x ) ] TịO T = limsup - [ { - f ) {x + r y ) - (-/)(x)] = { - f ) ° ( x : y ) : TịO trong đó X = X — T y □ Định nghĩa 1.3. Nếu f là hàm Lipschitz địa phương tại X thì d o f ( x ) : = {x * £ E * \ { x * , y ) < f°( x , y ) V y € E } được gọi là dưới vi phẫn Clarke hoặc gradient suy rộng Clarke của f tại X . Mệnh đề 1.1. [1] Nếu f là hàm Lipschitz địa phương t ạ ỉ x v à X G K . K h i đ ó , ô o ( A f ) (x) = X d o f ( x ). Mệnh đề 1.2. Nếu f là hàm Lipschitz địa phương tại X và X là một cực tiểu địa phương hoặc một cực đại địa phương của Ị, thì 0 £ d o f ( x ) . Chứng minh. Do ỡ(—/) = — D(F). Vì thế ta chỉ cần chứng minh cho cực tiểu là đủ. Giả sử X là cực tiểu địa phương của /, với bất kì Y G E ta có: 0 < l im inf — ự ( x + T y ) — /( x)) < limsup-(f(x + Tĩ/)-f( x)) < f ° { x , y ) rịo T rịo T 8 Suy ra 0 G DOF(X). □ Mệnh đề 1.3. Cho f là hàm Lipschitz địa phương tại X với hằng số A > 0 . Khi đó, a) Dưới vi phân d o f ( x ) là khác rỗng, lồi, compact yếu* và d o f { x ) C B E .{0, A), trong đó BE*{0, A) là hình cầu đóng tâm 0, bán kính A trong E*. Ь) Та có: f ° ( x, у ) = m a x { ( x * , у)\х* G d 0 f ( x ) } (Чу G E ). Chứng minh. Ta có: G(Y ) = F°(X,Y ) là một hàm lồi, thuần nhất dương và Lipschitz trên D nên D 0 F(X) = DG(0) = {X* e E* I(X*,Y) < F°(X,Y)WY G E} khác rỗng, lồi, compact yếu * và do mệnh đề 4.1.6 [4] ta có F°{X,Y) = G{Y) = G'(0,Y ) = max |(ж*,у)|ж* G D 0 F{X )I (Ví/ e E) Mặt khác với mọi X* G DOF(X ) ta có ( x * , y ) < f° ( x , y ) < \\\y\\ (Ví/ G E) nên d 0 f(x) Ç B E *{0,A). □ Mệnh đề 1.4. Nếu f : E — > • M là Lipschitz địa phương trên E. Khi đó: a) Hàm ( x,y) I - » f ° ( x , y ) ỉà nửa ỉỉên tục trên trên E X E. b) Cho ( Xỵ) và ( x* k ) / ồ dãy tương ứng trong E và E*, sao cho x* k G 9 ỡo/ы, VA: G N. Giả sử rằng ( X k ) hội tụ đến X £ E khi к — > • o o và X* G E* là một điểm tụ yếu* của ( x* k ) . Khi đó X* G д о f ( x ) (Đồ thị của (do/ ) là một tập con đóng yếu* của E X E*). c) Ánh xạ dưới vi phân dof : E E* là nứa liên tục trên yếu*. Chứng minh. 1 0 [...]... chỷng minh < f(x,y) y y e E Cho Y G E CO dinh, cho E > 0 Või mụi 2 G E thợ ton tai S( Z ) > 0 sao cho: ~{f{x + ry + TZ) - f(x + T Z )) < f(x, y ) + e (Vr G (0, , vi mi > 0 nh v z E sao cho \\y z|| nh, ta cú,... c DPF ( X ) c DPF { X ), Va: e DOMF Cho X* G dFf(x) Nh trong chng minh (a) cho G v Ê sao cho G '( X ) = X* v vi mi X e -B(x,ẩ) ta cú: (/ g)(x) > (/ g)(x), Vx e -B(x,e) Cho X E Nu T (0,1) nh, thỡ (1 r)x + ra -S, e) v s dng tớnh li ca / ta cú: (l-T)/(đ) + Tf(đ) > /((l-r)x + ra:) > /(a:) + ^((l r ) x + rx) y(x) g(x + T(X - x)) - g(x) Suy ra: f(x) - f(x) > T Cho T 0 ta thy rng F ( X ) /(a;) >... , X ) cho nờn 0 Ê d 0f ( x ) + N C ( A , X ) Chng 2 iu kin ti lớu cho bi toỏn im mỳt cui c nh ca phộp tớnh bin phõn Chng 2 trỡnh by cỏc iu kin ti u cho bi toỏn im mỳt cui c nh ca phộp tớnh bin phõn cho cỏc trng hp trn v khụng trn Cỏc kin thc trỡnh by trong chng ny c tham kho trong [4] 2.1 Phỏt biu bi toỏn Gi Êp[a, B ]( P e [1, +oo)) l khụng gian vộct ca cỏc hm o c Lebesgue G : [a, 6] ằ M sao cho \... Lipschitz a phng trờn E, thỡ d p f { x ) ầ d o f ( x ) , G E Chng minh 1 8 a) Cho X* Ê DPFIX ) Khi ú tn ti C 1 - hm s G Ê 0 sao G '( X ) cho = X* v vi mi X G ( , E ), ta cú: (/ - g ) { x ) > (/ - g ) ( x ) , Va: G B ( x , e ) Cho y G E Khi ú, vi mi > 0 nh ta cú X + G (, ) Vy ~(f(x + ) - f(x)) > ~(( + ) - ()) Cho rO suy fG{x,y) > {g'(x),y) = {x*,y) Nu / l kh vi Gõteaux ti X thỡ bt ng thc sau... E v T f c > 0 sao cho 1 - - -^+ rk < f{zk + rk) - f(zk) rk + M\yk-\\Trong s hng cui > 0 l hng s Lipschitz ca / ti X Khi > 00, t nh ngha ca gii hn trờn ta cú limsup F ( X ] C , YK ) < F {, )Do ú, / l na liờn tc trờn ti ( X , Y ) b) Cho e E Dóy con ca ((X * K , Y )) cng kớ hiu l ((xÊ, 2/)) tha món ( xk>y) -> } khi oo T nh ngha ca o/ ta cú: {x* k ,y) < f ( x k , y ) , V f c Cho > oo t kt qu (a)... ti e E* (khụng gian liờn hp tụpụ ca E) sao cho vi mi V G E, f ( x + t v ) = f ( x ) + t A v + o(t) Ta gi l o hm Gõteaux ca / ti X v kớ hiu l f' G {x) Hm / c gi l kh vi Hadamard ti X Ê E nu tn ti Ê E* sao cho vi mi V G E, f(x + tv ) = f(x ) + t A v + o ( t ) v S hi t ny l ng u theo V trờn cỏc tp compact Ta gi l o hm Hadamard ca / ti X v kớ hiu l Mnh 1.7 Cho f l hm Lipschitz a phng ti X vi hng s... l mt cc tiu a phng trờn A Khi ú, f(x,y) > 0, Vy G Tc{A,x), v 0 G df(x) + Nc{A,x) Chng minh (I) Cho 77 > 0 sao cho X l cc tiu ca / trờn A V := B( X , 77) Khi ú 0 < (/ + XdAJ(x,y) < + Xd Atỡ My e E, ( 1 5 ) Theo mnh 1.13 v nh ngha o hm theo phng Clarke Bi vỡ T C (A : X ) = { Y G E \ D A ( X : Y ) = 0} cho nờn F ( X : Y ) > 0 Vớ/ e T C (A V , X ) Ta li cú Tỗ(Av,x) = Tc(A,x) Vy f{x, ) > V y eTciAr,,^)... ~[f(x + rz) - f(x)] rO,z^y (H - o hm theo phng) Mnh 3.2.4 [4] ch ra rng: a) / kh vi Gõteaux ti X khi v ch khi tn ti /g ( X ) E E* sao cho G { ^ ) V = G { , y) ( V y e E) b) / kh vi Hadamard ti X khi v ch khi tn ti F H ( X ) E E* sao cho Vớ d 1.2 /(đ)/ = H{X,V) (V/ E E) Cho E := M v x 2 sin , nu x ^ O , 0, nu X = 0 Khi ú / l Lipschitz a phng v kh vi ti 0, vi /# (0) = 0 Ta cú /( 0, Y ) = 0 vi mi Y e... [a, &] p dng b 2.1 vi H = 0 cho (2.5) ta cú kt qu sau: Mnh 2.1 Gi s gi thit (A ) tha món Nu X l mt nghim a phng ca (2.1) , thỡ tn ti hm tuyt i liờn tc p : [ a , b ] M sao cho: 0 = )) ^ e [ak]- (2-6) B i hm p, ta thy rng vi gi thit ca mnh 2.1 hm 11^ > V { T ) l tuyt i liờn tc trờn [o, B ] v tha món dvtt) = Vxit) vi hu ht t e [ a , &] (2.7) õy l phng trỡnh Euler Lagrange cho bi toỏn (2.1) 2.3 Trng... = ( X *, X x) Ê DF ( X ) 1.2 Cỏc iu kin ti u c bn Cho / : -E ằ R l hm chớnh thng, C E v i 4 n DOMF Ta kớ hiu G(Xè y ) = limsup ro F H {X1 Y ) Tp hp: : = limsup ro z-y f{x + Ty) - f(x) r f{x + Ty) - f(x) T (G - o hm theo phng trờn) (H - o hm theo phng trờn) T R (A , X ) := {Y e E \ 3 T k 0, \/ K G N : Ê + Tfc2/ G } l mt nún Mnh 1.12 [4] Cho X l cc tiu a phng ca f trờn A 2 0 a) Ta cú f c { . các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu không lồi. Nhiệm vụ nghiên cứu • Các điều kiện tối ưu cơ bản. • Điều kiện tối ưu cho bài toán điểm mút cuối cố định của phép tính biến phân. 5 • Điều kiện. phân. 5 • Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch toán học. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn trình bày các điều kiện cần tối ưu cho bài toán biến phân và bài toán quy hoạch toán học dưới ngôn. tài Các bài toán tối ưu không lồi không trơn đã và đang thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Các lí thuyết dưới vi phân là các công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các điều kiện tối ưu, chẳng