BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Mã số: CS2004.23.56 Chủ nhiệm: Lê Hoàn Hóa. Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004 Tháng 9 năm 2004 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Mã số: CS2004.23.56 Chủ nhiệm: LÊ HOÀN HÓA. Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004 Tháng 9 năm 2004 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Mã số: CS2004.23.56 Chủ nhiệm: Lê Hoàn Hóa. Cán bộ tham gia thực hiện: Lê Thị Phƣơng Ngọc, Trƣờng Cao đẳng Sƣ phạm Nha Trang Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004 3 BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ Tên đề tài: Tính compact, liên thông của tập nghiệm trong phƣơng trình vi tích phân trong không gian Banach. Mã số: CS2004.23.56 Các thành viên tham gia : 1 - PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA (chủ nhiệm đề tài) 2 - Nghiên cứu sinh : LÊ THỊ PHƢƠNG NGỌC BÁO CÁO TỔNG QUAN Đề tài về tính compact, liên thông của một số phƣơng trình phi tuyến đã đƣợc chúng tôi nghiên cứu trong thời gian hai, ba năm. Một số kết quả đã đƣợc trình bày dƣới dạng : luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, báo cáo khoa học, báo cáo tại Hội nghị toán học toàn quốc, báo cáo tại Hội nghị Quốc tế về phƣơng trình vi phân. Trong khuôn khổ của bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả về tính compact, liên thông của tập nghiệm cho các bài toán sau : ở đây u 0 ,U 1 ,f đƣợc cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x,t) và giá trị biên chƣa biết p(t) thỏa phƣơng tình phi tuyến sau : P(t) = g(t) + H(u(0,t))-       , trong đó g,H,k là các hàm cho trƣớc. BÁO CÁO KẾT QUẢ Báo cáo kết quả gồm hai phần : 1. Một ghi chú về tính compact, liên thông của tập nghiệm của bài toán tiến hóa. 2. Tính compact, liên thông của tập nghiệm yếu của một phƣơng trình sóng nửa tuyến tính liên kết với một phƣơng trình tích phân phi tuyến. 4 MỘT GHI CHU VỀ TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP HỢP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TIẾN HÓA Lê Hoàn Hóa 1 - Lê Thị Phƣơng Ngọc 2 1.Trƣởng ĐHSP Tp.HCM 2.Trƣờng CĐSP Nha Trang Tóm tắt : Bài báo chứng minh rằng tập hợp tất cả các nghiệm của các phƣơng trình sau là khác rỗng, compact và liên thông : ở đây : (1). A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe H. (2). f : H→ H hoàn toàn liên tục, thỏa điều kiện : Có các số dƣơng không đổi a, b và α (0 < α< 1) sao cho | f(x) | < a + b | x | α , xH. Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trƣờng vectơ compact và các tính chất của toán tử tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe. 1. Lời giới thiệu : Trong bài báo [1] mới đây, chúng tôi đã đƣa ra các điều kiện cho toán tử A và toán tử f để có đƣợc tính khác rỗng, compact, liên thông của tập hợp nghiệm của hai bài toán (I), (II). Trong bài báo này, chúng tôi đƣa ra một điều kiện mới, tốt hơn cho toán tử f để có đƣợc kết quả tƣơng tự cho hai bài toán trên. 2. Các kết quả chính : Cho H là không gian Hinbe và chuẩn đƣợc sinh ra bởi tích vô hƣớng trên H đƣợc ký hiệu là |.| . Xét các phƣơng trình và với giả thiết: (1). A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe H. (2). f : H→ H hoàn toàn liên tục, thoả điều kiện: Có các số dƣơng không đổi a, b, α (0 < α < 1) sao cho | f(x) | < a + b |X | α , xH. Ta có : Định lý 1 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Khi đó tập hợp các nghiệm của phƣơng trình (I) khác rỗng, compact và liên thông. Định lý 2 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Giả sử thêm rằng nếu u(t) là nghiệm của phƣơng trình thì | u(0) | < E, với E là hằng số dƣơng cho trƣớc. 5 Khi đó tập hợp các nghiệm của phƣơng trình (II) khác rỗng, compact và liên thông. Chú thích : Sự thu hẹp |u(0)|< E, với E là hằng số dƣơng cho trƣớc, là chấp nhận đƣợc theo ý nghĩa vật lý của bài toán trên, (xem [2], [3]). Chứng minh định lý 1: Chứng minh hoàn toàn tƣơng tự nhƣ chứng minh định lý 1 ở bài báo [1], với các ký hiệu giống nhƣ ƣơng [1]. Do đó trong chứng minh sau đây chỉ trình bày kỹ một số ý cần thiết. Gọi X= C([0,1], H) là không gian Banach các ánh xạ liên tục trên [0, 1], nhận giá trị trong không gian Hinbe H với chuẩn ||.|| thông thƣờng; X 1 = C 1 ([0,1], H) với chuẩn ||u||= max {|u(t)| + |u'(t)|, t  [0, 1]}. Bƣớc 1 : Xét χ = 0. Gọi X 1 *= {uX 1 /u(0) = 0 }. Đ ặ t T : X 1 * → x sao cho T(u)(t) = u t (t) +A(u(t)), t[0, 1]. F : X → x u→ F(u) sao cho F(u)(t) = f(u(t)), t  [0, 1]. - Bổ đề : Với giả thiết (1), (2), các tính chất sau là đúng : i. T là toán tử tuyến tính liên tục và khả nghịch. T -1 là toán tử tuyến tính liên tục. ii. Toán tử F là toán tử compact. iii.Toán tử T -1 F là toán tử compact. Chứng minh ii. Rõ ràng F liên tục. Điều này có đƣợc do f, u liên tục. Khi đó nếu u → u 0 thì t [0,l], u(t) → u 0 (t) => t [0, 1], f(u(t)) → f(u 0 (t)) => F(u) →F (U 0 ). Mặt khác : Lấy B bị chặn trong X. ta chứng minh đƣợc F(B) compact tƣơng đối trong X bằng cách sử dụng định lý Ascoli-Azela nhƣ sau : Ta có : F(B) đẳng liên tục. Vì : uB, f 0 u liên tục trên [0, 1] nên f 0 u liên tục đều trên [0, 1] =>ε > 0,δ > 0 : t,t' [0, 1] ta có: 0 < | t-t' | < s => | f 0 u(t)- f 0 u(t') | <e => |F(u)(t)-F(u))(') | < e . F(B) bị chặn đều . Vì : Do B bị chặn nên C' > 0 :||u||<c' uB => |u(t)|<c uB, t[0, l] , suy ra u(t)  (0,C), t[0, 1], uB, ở đây (0, C') là hình cầu đóng có tâm tại 0 và có bán kính C' trong không gian Hinbe H. Nhƣ thế f(u(t))  f( (0,C')). Ta lại có f( (0,C')) là tập compact tƣơng đối ƣơng H, do f hoàn toàn liên tục. Nên m>0 : |f(v)| < m, v (0,C). Do đó |F(u)(t)| < m, t [0,1], uB. Tóm lại F là toán tử compact. 6 - Ta chứng minn tập nghiệm của phƣơng trình : bị chặn. Nghĩa là chứng minh có một số dƣơng không đổi M để mọi nghiệm u(t) của phƣơng tình (3) đều thoả điều kiện : |u(t)| < M, T [0,1], Λ [0,1], (4). Chứng minh nhƣ sau : Nếu u(t), T[0,1] là nghiệm của (3) thì: (u t , u) = - (Au, u) + (f(u), u) và u(0) = 0. Từ đó, với các giả thiết (1),(2) và 0 ≤ λ ≤ 1, ta có : Nên : Để có (4), trƣớc hết ta chú ý rằng : Vì vậy với hằng số dƣơngR=      ta xét hai trƣờng hợp : Trƣờng hợp 1. Với mọi Λ [0,1], nếu f |u(t) I < R , T [OA] thì (4) đúng. Trƣờng hợp 2. Với mọi Λ [0,1]. nếu tồn tại t 0  [0,1] sao cho |u (t 0 )| ≥ R thì (4) cũng đúng. Thật vậy, Vì |u(t)| liên tục trên đoạn [0,1], tồn tại một lân cận của t 0 sao cho |u(t)| ≥ R, với mọi t thuộc vào lân cận đó. Mặt khác, | u(0) | = 0 và |u(t 0 )| > R, nên có s' (0, t 0 ) sao cho |u(s')| = R. Suy ra tồn tại s  (0, t 0 ) sao cho |u(t)| ≥ R, T [s, t 0 ] và |u(s)| = R. Nhƣ thế, V t [s, to], theo trên ta có : 7 Suy ra với mọi Ta nhận đƣợc : w(t 0 )< w(s) +4(1-β)b (t 0 - s) < w(s) +4(l-β)b. Nên Do đó (4) đúng. Vậy (4) sẽ đúng ƣơng cả hai trƣờng hợp, nếu ta chọn Do đó tồn tại tập mở và bị chặn D trong X sao cho u  D và u ∂D (ở đây ∂D là biên của D), với mọi λ[0,1]. Suy ra mọi nghiệm của phƣơng trình (3) (nếu có), với mọi λ[0,1] đều chứa trong D nhƣng không chứa trong ∂D. - Bằng việc chứng minh toán tử T -1 F :  X→X 1 * thỏa mãn các điều kiện của định lý Krassosel'skii-Perov. bƣớc 1 hoàn thành. Bƣớc 2 : Xét χ ≠ 0 . Với mọi u thuộc tập nghiệm của (I), đặt u * : [0,1]→Hs sao cho: u * (t) = u(t)-χ. Khi đó u * X 1 , u * (0)= 0 và u * t = u t . Suy ra Nhƣ thế u*(t) là nghiệm của phƣơng trình (I)' trong đó f * : H→ H X→ f * (x) = f(x+χ ) -A(χ ). Ngƣợc lại, nếu u * (t) là nghiệm của (I)' thì u(t) = u*(t)+ χ sẽ là nghiệm của (I). Rõ ràng, tập nghiệm của (I) khác rỗng, compact, liên thông khi và chỉ khi tập nghiệm của (I) khác rỗng, compact, liên thông. Ta có f* hoàn toàn liên tục vì f hoàn toàn liên tục. Mặt khác : x H, | f*(x)| ≤ |f(x+χ)||A(x)|≤ a +|A(χ)|+b|x+χ| α ≤; ≤a +|A(χ)| + b ( | x | + |χ|) α < a *+bC| x | α , với a* = >a+| A(χ)| > 0; b > 0; 0 < α < 1 và C >1 là các hằng số cho trƣớc, nếu và chỉ nếu 8 Từ tính chất này của f* bằng cách chứng minh tƣơng tự NHƢ Ở BƢỚC 1, ta sẽ chứng minh đƣợc tập nghiệm của (I') khác rỗng, compact, liên thông. Bƣớc 2 hoàn thành. Tóm lại tập các nghiệm của phƣơng trình : với các điều kiện (1),(2) là khác rỗng, compact và liên thông. Chứng minh định lý 2 : Ta chỉ cần chứng minh định lý 2 đúng trong trƣờng hợp X = 0. Hoàn toàn tƣơng tự nhƣ ở định lý 2, [1], chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chứng minh đƣợc tập nghiệm của phƣơng trình sau bị chặn : trong đó toán tử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Ta sẽ chứng minh có một số dƣơng không đổi M để mọi nghiệm u(t) của (5) đều thoả điều kiện : |u(t)| ≤ M. t [0,1], λ [0,1], (6). Chứng minh tƣơng tự (4), với giả thiết (1), (2) và có thêm điều kiện |u(0)|<E,λ[0.1]. Nếu u(t), t [0,1] là nghiệm của ( 5 ) thì(u t ,u)= -(Au,u)+ λ (f(u),u) và u(1)=0 Từ (1), (2) và 0 ≤ λ ≤ 1, ta có Để có (6), trƣớc hết ta chú ý rằng : Nên với hằng số dƣơng ,ta xét hai trƣờng hợp : Trƣờng hợp 1. Với mọi λ [0,1], nếu |u(t)|≤ R , t [0,1] thì (6) đúng. Trƣờng hợp 2. Với mọi λ [0,l], nếu có t 0  [0,1] sao cho |u(t 0 )| > R thì (6) đúng. Thật vậy, Vì |u(t)| liên tục trên [0,1], có một lân cận của t 0 sao cho |u(t)| ≥ R với mọi t thuộc vào lân cận đó. Ta lại có |u(1)| = 0 và |u(t 0 )| > R nên có s'  (t 0 ,l) sao cho |u(s')| = R. Nhƣng ta không sử dụng đƣợc s' trong chứng minh ở đây, ta cần thêm giả thiết |u(0)|< E . Nếu có s [0, t 0 ) sao cho |u(s)| ≤ R thì nhƣ ở (4), ta có (6) đúng. Nếu không nhƣ vậy thì t [0, to], ta có |u (t)| > R. Suy ra : 9 W(t 0 )< W(0)+4(1- β)b <   + 4(1- β)b Nên Do đó (6) đúng. Nhƣ thế (6) sẽ đúng trong cả hai trƣờng hợp nếu ta chọn : Tóm lại tập các nghiệm của phƣơng trình : với các điều kiện đã đƣa ra là khác rỗng, compact và liên thông. Tài liệu tham khảo : [1] L. H. Hóa - L. T. P. Ngọc. Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm của bài toán tiến hóa. Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp. HCM, tháng 5/2004. [2] Nguyen Thanh Long - Alain Pham Ngoc Dinh, Approximation of a parabolic nonlinear evolution equation backwards in time. Inverse Problem 10 (1994) 905-914. Printed in the UK. [3] Richard E. Ewing, The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations. SIAM J. Math. Anal. Vol 6, No. 2, April 1975. Note on the connectivity and compactness of solution set of the evolution problem Abstract : The paper proves that for the following equations the sets of solutions are nonempty, compact and connected : where where : (1). A is any non-negative, self-adjoint operator which does not depend on t and χ is a given vector in a Hilbert space H. (2). f : H→H is completely continuous and satisties the following condition : There are positive constants a, b, α (0 < α < 1) such that |f(x)| a+b  xH. The main tools are the topological degree theory of compact vector field and properties of the non-negative, self-adjoint operator. [...]...TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP HỢP NGHIỆM YẾU CỦA MỘT PHƢƠNG TRÌNH SÓNG NỬA TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI MỘT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN Lê Hoàn Hóa 1 - Lê Thị Phƣơng Ngọc 2 1 Trƣờng ĐHSP Tp.HCM 2.Trƣờng CĐSP Nha Trang Tóm tắt : Bài báo này chứng tỏ tập hợp các nghiệm yếu của phƣơng trình sóng thỏa điều kiện đầu và điều kiện biên sau đây là khác rỗng, liên thông và compact trong đó U0,... phƣơng trình tích phân phi tuyến sau : ở đây g, H, k là các hàm cho trƣớc Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trƣờng vectơ compact 1 Lời giới thiệu : Trong các bài báo [1], [2], [3] gần đây các tác giả đã chỉ ra đƣợc tính khác rỗng, compact và liên thông của các tập hợp nghiệm của một số phƣơng trình vi phân, tích phân và của bài toán tiến hóa Trong bài báo này, chúng tôi lại tiếp tục nghiên cứu tính. .. phƣơng trình x= Tε (x)+h có nhiều nhất một nghiệm trên Khi đó tập các điểm bất động của T khác rỗng, compact và liên thông Định lý 2 [4] (Định lý về sự tồn tại và tồn tại duy nhất nghiệm yếu) -Các ký hiệu đƣợc sử dụng trong định lý 2 : ở đây H1, H2 là các không gian Sobolev trên Ω Chuẩn trong không gian L2 đƣợc ký hiệu là||.||,< , > là ký hiệu tích vô hƣớng trong L2 hoặc để chỉ sự cặp đôi đối ngẫu của. .. ký hiệu tích vô hƣớng trong L2 hoặc để chỉ sự cặp đôi đối ngẫu của một hàm tuyến tính liên tục với một phần tử trong không gian hàm,||.||x ký hiệu cho chuẩn trong không gian Banach X và X' là đối ngẫu của X Lp(0, T ; X), 1 < p < là không gian Banach các hàm số thực đo đƣợc u : (0, T) →X với Đặt V là không gian con đóng của H1 và trên V, và là hai chuẩn tƣơng đƣơng -Các giả thiết :(A1) u0∈H1, u1∈ L2;... compact , liên t hông c ủa t ập nghiệm của phƣơng t rình vi t ích phân t rong không gian Banach" , ngoài bài báo "T ính co mpact , liên t hông c ủa t ập nghiệm của bài t oán t iến hóa" đăng t rong Tạp chí Khoa học t ự nhiên số 36 (2-2004) Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp.HCM t háng 5/ 2004, t rong phần báo cáo này, chúng t ôi đã t r ình bày mộ t kết quả khác về t ính co mpact , liên t hông c ủa t ập nghiệm cho... : u m →u trong L∞ (0,T;V) yếu * ,um→u mạnh trong L2 (Qt) u’m→u’ trong L∞(0,T;L 2 ) yếu *, um (0,t) → u (0,t) trong L∞(0,T) yếu* , um (0,t) → u (0,t) mạnh trong C0 ([0,T]), u’m (0,t) → u’ (0,t) trong L2(0,T) yếu, P m →P^ trong H1(0,T) yếu , P ≡ P^h.k.n trong Qt f(um,u’m ) →f(u,u’) trong L∞(0,T;L 2 ) yếu *, 13 u(0) = U0, u'(0) = u1 Khi đó (u, P) chính là nghiệm yếu cần tìm Bƣớc 4 Chứng minh nghiệm tồn... chứng minh lần lƣợt theo các bƣớc sau : Bƣớc 1 : Tập các điểm bất động c của toán tử U : s →Y là tập khác rỗng, compact, liên thông Ở đây là bao đóng của tập con lồi, mở và bị chặn : với M > 0 sẽ đƣợc chọn thích hợp dƣới đây Chứng minh : Ta có f:(u, ) ∈ R2→ f(u, ) ∈ R liên tục nên ∀ε > 0, có ánh xạ fε: (u, )→ fε (u,.) là xấp xỉ lipschitz địa phƣơng của f theo biến thứ nhất sao cho (3.1) , ∀u∈R , với... mà||h||1 < ε , phƣơng trình (3.9) : c = Uεc + h có nhiều nhất một nghiệm trên Thật vậy : Giả sử c = (c1, c2, ,cm), d = (d1 d2, ,dm) là hai nghiệm của (3.9) với h = 0 Khi đó : là hai nghiệm của hệ phƣơng trình (2.1)-(2.2) (Để cho gọn ta lƣợc bỏ chỉ số m trong ký hiệu trên cũng nhƣ trong các ký hiệu tƣơng ứng sau đây.) Rõ ràng c = d khi và chỉ khi u1 = u2, do hệ ω j độc lập tuyến tính Vậy ta chứng minh... là hai nghiệm của (3.9) với đó Khi là hai nghiệm của hệ phƣơng trình (2.1')-(2.3f) : (hội tụ mạnh) trong H1 (hội tụ mạnh) ƣơng Ớ đây có tính chất Do h thuộc s nên hàm có các tính chất nhƣ g(t) Từ đó cũng có các tính chất TƢƠNG tự Vì vậy, tƣơng tự trên ta có : , Suy ra đpcm - Cuối cùng ta chỉ ra deg (I-U, D, 0) 0, (3.10) Ta có họ toán t ử co mpact : [0,1] X t hỏa điều kiện (3.7) : 0 , nên theo tính bất... nghiên cứu tính chất đó cho tập hợp các nghiệm yếu của phƣơng trình sóng nửa tuyến tính với các điều kiện ban đầu và điều kiện biên nhƣ sau : trong đó U0, U1 ,f là các hàm cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x,t) và giá trị biên P(t) chƣa biết thoả phƣơng trình tích phân phi tuyến ở đây g, H, k là các hàm đã cho Bài toán này đã đƣợc Nguyễn Thành Long và Trần Minh Thuyết ([4]) nghiên cứu Một trong những kết quả mà . cấp cơ sở " ;Tính compact, liên thông của tập nghiệm của phƣơng trình vi tích phân trong không gian Banach& quot;, ngoài bài báo " ;Tính compact, liên thông của tập nghiệm của bài toán tiến. compact, liên thông của tập nghiệm yếu của một phƣơng trình sóng nửa tuyến tính liên kết với một phƣơng trình tích phân phi tuyến. 4 MỘT GHI CHU VỀ TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP HỢP NGHIỆM CỦA. Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004 3 BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ Tên đề tài: Tính compact, liên thông của tập nghiệm trong phƣơng trình vi tích phân trong không gian Banach.