BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM BÁO CÁO TỔNG KẾT Đề tài nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp Bộ PHỔ NĂNG LƯỢNG TRẠNG THÁI EXCITON CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ HAI CHIỀU TẠO RA DO HỆ NHIỀU LỚP GaAs/ GaAsAl TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU Mã số: B.2005.23.72 Chủ nhiệm đề tài: TSKH Lê Văn Hoàng TP.Hồ Chí Minh – 2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM BÁO CÁO TỔNG KẾT Đề tài nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp Bộ PHỔ NĂNG LƯỢNG TRẠNG THÁI EXCITON CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ HAI CHIỀU TẠO RA DO HỆ NHIỀU LỚP GaAs/ GaAsAl TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU Mã số: B.2005.23.72 Chủ nhiệm đề tài: TSKH Lê Văn Hoàng TP.HỒ Chí Minh - 2007 2 Danh sách người tham gia đề tài: TS. Thái Khắc Định GV. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm GV. Lữ Thành Trung GV. Nguyễn Ngọc Ty Sinh viên Phan Ngọc Hƣng Sinh viên Phan Thị Cẩm Nhung Thời gian thực hiện: tháng 05 năm 2005 đến tháng 05 năm 2007. 3 MỤC LỤC GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ 8 CHƢƠNG I 12 PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO EXCITON TRUNG HÒA 12 Phụ lục A1: Phép biến đổi Levi-Civita 15 CHƢƠNG II: NGHIỆM CHÍNH XÁC BẰNG SỐ 17 Phụ lục A.2 : Biểu diễn qua toán tử sinh hủy 28 Phụ lục A3: Hàm siêu bội Gau-xơ (Gaussian Hypergeometric function) 31 Phụ lục A4: Chƣơng trình FORTRAN cho năng lƣợng gần đúng bậc zero 32 Phụ lục A5 : Dạng chuẩn của toán tử                   35 Phụ lục A6: Yếu tố ma trận cho toán tử Hamilton 37 CHƢƠNG III: PHƢƠNG PHÁP TOAN TỬ NÂNG CAO VÀ NGHIỆM GIẢI TÍCH 40 Phụ lục A.7 : Yếu tố ma trận cho toán tử, = e -2α    47 Phụ lục A.8 : Tích phân sai số (Error Integral) 50 Phụ lục A.9 : Các yếu tố ma trận của toán tử  55 Phụ lục A.10 : Biểu thức giải tích các hàm số tƣơng ứng f(), g(), h() Xét phƣơng trình (3.3) và chọn nghiệm gần đúng bậc zero là ta có: 56 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 4 TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ Tên đề tài: Phổ năng lượng trạng thái exciton của khí điện tử hai chiều tạo ra do hệ nhiều lớp GaAs/GaAsAl trong từ trường đều. Mã số: B.2005.23.72 Chủ nhiệm đề tài: TSKH. Lê Văn Hoàng Tel: 0903.82.90.90 E-mail: hoanglv2005@gmailcom Cơ quan chủ trì đề tài: Đại học Sƣ phạm Tp. HCM Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện: ĐH Tổng hợp Belarus - Minsk; TS. Thái Khắc Định; các giảng viên Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, Lữ Thành Trung, Nguyễn Ngọc Ty; các sinh viên Phan Ngọc Hƣng, Phan Thị Cẩm Nhung. Thời gian thực hiện: tháng 05 năm 2005 đến tháng 05 năm 2007. 1. Mục tiêu: ứng dụng phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger cho Exciton hai chiều trong từ trường với cường độ bất kỳ. 2. Nội dung chính: - Đưa phương trình Schrödinger cho Exciton trong từ trường (có cả thế màn chắn) về phương trình dao động tử phi điều hòa qua phép biến đổi Levi-Civita. - Biểu diễn phương trình thu được qua các toán tử sinh hủy Dirac, sau đó bằng tính toán đại số thu được biểu thức tổng quát cho các yếu tố ma trận tương ứng. - Áp dụng phương pháp toán tử giải chính xác bằng số phương trình thu được. - Đưa biểu hiện tiệm cận của hàm sóng vào phương trình và từ đây tìm nghiệm giải tích cho bài toán. 3. Kết quả chính đạt đƣợc (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tế-xã hội): Về khoa học: - Qua phép biến đổi Levi-Civita đưa phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều có thế màn chắn trong từ trường về phương trình cho dao động tử 5 phi điều hòa. Từ đây thu được dạng biểu diễn qua các toán tử sinh hủy, đồng thời tính được các yếu tố ma trận của Hamiltonian. - Ứng dụng phương pháp toán tử đưa ra lời giải chính xác bằng số cho trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích - Cải tiến phương pháp toán tử bằng cách đưa thành phần tiệm cận của hàm sóng vào phương trình Từ đây thu được lời giải giải tích (hàm sóng và năng lượng) cho bài toán exciton có thế màn chắn trong từ trường. Độ chính xác của lời giải thu được ổn định đều đặn trong toàn miền biến đồi từ trường. Các kết quả trên đã được báo cáo tại Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 30 (tháng 8, 2005), công bố trên tạp chí khoa học Việt nam chuyên ngành vật lý Communication in Physics [11,13]. Về đào tạo: hướng dẫn một luận văn tốt nghiệp, một luận văn thạc sỹ. 6 SUMMARY Project Title: Energy spectrum and wave-functions of Exciton of 2D electron gas in the multilayer semiconductor GaAs/GaAsAl in a magnetic field. Registered number: B.2005.23.72 Principal Investigator: Dr. Sc Le Van Hoang Applicant Institution: HCMC University of Pedagogy. Collaborators and other affiliations: Belarus State University - Minsk City, Dr. Thái Khắc Định, Lec. Hòang Đỗ Ngọc Trâm, Lec. Lữ Thành Trung, Lec. Nguyễn Ngọc Ty, Students Phan Ngọc Hƣng and Phan Thị Cẩm Nhung. Duration: from May 2005 to May 2007. 1. Objectives: To apply the operator method for solving the Schrodinger equation of 2D Exciton in a magnetic field with arbitrary strength. 2. Main contents: - Transforming the Schrodinger equation of 2D exciton in a magnetic field (with the screening potential) into the one of anharmonic oscillator by using the Levi -Civita transformation. - Rewritting the obtained equation into the representation of Dirac annihilation and creation operators and calculating all useful matrix elements. - Applying the operator method for exact numerical solutions. - Taking into account the asymptotic behavior of wavefunctions in the equation and obtaining the analytical solutions. 3. Results: - With using the Levi-Civita transformation the Schrodinger equation for 2D Exciton in a magnetic field (with the screening potential) has been transformed into the one of anharmonic oscillator. The representation of annihilation (creation) operators of the equation are obtained. All useful matrix elements are calculated. 7 - The exact numerical solutions for ground state and some excited states are obtained by using the operator method. - The operator method is modified by taking into account the asymptotic behavior of wave-functions thus allows to obtained analytical solutions for the considered problem. The solutions are uniformly suitable for the whole range of an external magnetic intensity. The mentioned above results were reported at XXX Vietnam National Conference on Theoretical Physics (August, 2005) and published in Communication in Physics [11,13]. The part of materials of this work is formed one B.Sc. thesis and one M.Sc. thesis. 8 GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ Xét hệ bán dẫn nhiều lớp GaAs/GaAsAl, do đáy vùng dẫn GaAsAl cao hơn so với đáy vùng dẫn của GaAs cho nên phần bù vùng dẫn tạo thành một bức tƣờng thế. Đối với điện tử, hệ bán dẫn này tạo thành một thế năng có dạng các bức tƣờng thế và hố thế nối tiếp nhau [2] nhƣ trong hình sau: Trong các thiết bị kích cỡ nano, các lớp bán dẫn đủ mỏng và bức tƣờng thế có thể xem là cao vô hạn. Lúc này ta có một hệ khí điện tử chuyển động tự do trong không gian hai chiều trên bề mặt lớp bán dẫn GaAs. Do là khí điện tử tự do cho nên về nguyên tắc phổ năng lƣợng đo đƣợc là phổ liên tục. Tuy nhiên thực nghiệm quan sát đƣợc phổ năng lƣợng gián đoạn của khí điện tử [2-5,19,23]. Điều này chỉ có thể giải thích bởi sự tồn tại một câu trúc có trạng thái liên kết (bound state). Hiện nay chúng ta đã biết rõ đó là trạng thái kết hợp giữa điện tử và lỗ trống tạo thành một giả hạt gọi là exciton, di chuyển tự do hai chiều trong bán dân. Nghiên cứu phổ năng lƣợng của exciton cho ta nhiều thông tin về tính chất quang, tính chất điện của bán dẫn, đặc biệt là khi các chất này đƣợc đặt trong từ trƣờng. Các nghiên cứu này có những ứng dụng đặc biệt quan trọng trong việc thiết kế các hệ thấp chiêu kích cỡ nano. Ngoài GaAs, hiện nay nghiên cứu đƣợc mở rộng với các chất liệu bán dẫn khác (InAs/GaSb, InGaAs/InP, 9 GaN, SiO 2 ). Các quan sát cho thấy có nhiều dạng Exciton. Khi sự kết hợp xảy ra giữa một điện tử và một lỗ trống ta có exciton trung hòa. Khi hai điện tử kết hợp với một lỗ trống thì exciton có điện tích âm (exciton âm X - ). Và cũng có trƣờng hợp khi hai lỗ trống kết hợp với một điện tích tạo ra một exciton dƣơng X + [3-5]. Hiện nay nghiên cứu thực nghiệm cho khí điện tử hai chiều và các điều kiện để có các cấu trúc exciton khác nhau là một vấn đề thời sự liên quan đến nhiều hiệu ứng vật lý mới [3-5,19,23]. Về mặt cấu trúc exciton trung hòa giống nhƣ nguyên tử Hydro, tuy nhiên nó có bán kính lớn hơn và năng lƣợng liên kết nhỏ hơn. Tƣơng tự nhƣ vậy các exciton dƣơng hay âm cho ta hình ảnh i-ôn phân tử HI hay nguyên tử Heli. Tuy nhiên, khác hẳn với nguyên tử trong từ trƣờng khi mà tƣơng tác Coulomb bao giờ cũng đƣợc cho là mạnh, trong trƣờng hợp exciton tƣơng tác Coulomb có thể so sánh trong cùng thang với tƣơng tác từ. Chính vì vậy mà khi xét bài toán với sự có mặt của từ trƣờng ngƣời ta thƣờng dùng gần đúng trƣờng mạnh [9,18] thay vì dùng lý thuyết nhiễu loạn truyền thống. Trong nhiều trƣờng hợp trong các nghiên cứu hệ thấp chiều kích cỡ nano thì tƣơng tác Coulomb trở nên có thể so sánh đƣợc với năng lƣợng từ trƣờng. Phƣơng pháp biến phân (variation method) lúc này gần nhƣ là chọn lựa tốt nhất nếu ta muốn có nghiệm giải tích [1,22]. Hiện nay khi mà các nghiên cứu về exciton trong từ trƣờng đƣợc đẩy mạnh thì việc xây dựng một phƣơng pháp giải phƣơng trình Schrödinger cho hệ tƣơng ứng cho trƣờng hợp từ trƣờng thay đổi bất kỳ là điều cần thiết. [...]... Hamiltonian 13 hermit trong không gian (u,v) (xem chi tiết trong phụ lục A.1) Dễ dàng nhận thấy (1.6) có dạng toán tử Hamilton cho bài toán dao động tử phi điều hòa trong không gian hai chiều (u,v) Nhƣ vậy từ bài toán chuyển động của điện tử trong điện từ trƣờng phức tạp ta đã đƣa về bài toán đơn giản và đƣợc nghiên cứu nhiều trong cơ học lƣợng tử Trong phƣơng trình (1.5)-(1.6), năng lƣợng E chỉ đóng... Schrödinger cho Exciton trong trƣờng từ dễ dàng xây dựng và có trong hầu hết các sách chuyên khảo về vật lý chất rắn Chúng ta sẽ sử dụng một dạng rất đặc biệt của phƣơng trình này, đƣợc viết nhờ vào phép biến đổi Levi-Civita [24] Phƣơng trình đƣợc đƣa ra trong công trình [15] cho thấy bài toán Exciton hai chiều trong từ trƣờng đều có thể đƣa về bài toán dao động tử phi điều hòa hai chiều Trong chƣơng... không, còn các trạng thái kích thích ứng với tác dụng của toán tử sinh lên hàm chân không Biểu diễn toán tử sinh hủy của bài toán exciton trong từ trƣờng cho phép ta ứng dụng phƣơng pháp toán tử [6-8,10-13,20-21] để giải phƣơng trình Schrodinger Phƣơng pháp toán tử này đƣợc xây dựng từ những năm 80 và đã chứng tỏ hiệu quả trong rất nhiều bài toán vật lý nguyên tử (xem ví dụ [12]) Các nét cơ bản của phƣơng... Schrodinger cho trạng thái liên kết điện tử - lỗ trống trong từ trƣờng đƣợc viết nhƣ sau: với hệ đơn vị nguyên tử đƣợc sử dụng Ký hiệu m*, lần lƣợt là khối lƣợng hiệu dụng của điện tử và hằng số điện môi, khi đó đơn vị năng lƣợng sẽ là hằng số Rydberg hiệu dụng R* =m*e/2 2 , đơn vị độ dài là bán kính Bohr hiệu dụng a* = không thứ nguyên đƣợc xác định bằng biểu thức: γ = ћ e2m* Cƣờng độ từ trƣờng /2R*, trong. .. Trong phƣơng trình này, phần thế màn chắn đặc trƣng cho ảnh hƣởng của môi trƣờng lên exciton (trong yếu tố môi trƣờng có cả thành phần tƣơng tác giữa các điện tử) Khi λ= 0 bài toán chuyển về exciton lý tƣởng, còn trong nhiều trƣờng hợp ta chọn λ tƣơng ứng với chất bán dẫn và điều kiện nhiệt độ Với GaAs chúng ta xét λ = 0⟶ 0.5 (xem [25]) Mối liên hệ với bài toán dao động tử phi điều hòa hai chiều Trong. .. đang xét Trong chƣơng I ta xây dựng phƣơng trình cho exciton hai chiều trong từ trƣờng và thế màn chắn qua phép biến đổi Levi-Civita Cần nhắc lại là với bài toán dao động tử điều hòa chúng ta có thể tìm thấy trong hầu hết các sách giáo khoa về cơ học lƣợng tử, trong đó có một phƣơng pháp giải bằng cách đƣa về dạng biểu diễn thông qua các toán tử sinh hủy mà trạng thái cơ bản chính là trạng thái chân... từ trƣờng Để đánh giá độ lớn tƣơng đối của từ trƣờng so với tƣơng tác Coulomb, ta đƣa ra phép so sánh sau đây: Thang năng lƣợng từ trƣờng đƣợc đặc trƣng bởi giá trị ћ = ћeB/m*c trong khi thang năng lƣợng tƣơng tác Coulomb đƣợc đặc trƣng bởi hằng số Rydberg hiệu dụng R* Nhƣ vậy hệ số so sánh giữa 12 hai thang năng lƣợng là γ = ћ / 2 R *, Từ đây ta có thể gọi từ trƣờng yếu ứng với giá trị γ . ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP BỘ Tên đề tài: Phổ năng lượng trạng thái exciton của khí điện tử hai chiều tạo ra do hệ nhiều lớp GaAs/ GaAsAl trong từ trường đều. Mã số: B.2005.23.72. này ta có một hệ khí điện tử chuyển động tự do trong không gian hai chiều trên bề mặt lớp bán dẫn GaAs. Do là khí điện tử tự do cho nên về nguyên tắc phổ năng lƣợng đo đƣợc là phổ liên tục Xét hệ bán dẫn nhiều lớp GaAs/ GaAsAl, do đáy vùng dẫn GaAsAl cao hơn so với đáy vùng dẫn của GaAs cho nên phần bù vùng dẫn tạo thành một bức tƣờng thế. Đối với điện tử, hệ bán dẫn này tạo thành