Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 6: Ánh xạ tuyến tính Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh Email : dangvvinh@hcmut.edu.vn Website: www.tanbachkhoa.edu.vn; www2.hcmut.edu.vn/~dangvvinh Nội dung I – Định nghĩa và ví dụ. III – Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở IV –Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng II – Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính I. Định nghĩa và ví dụ Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng. Định nghĩa ánh xạ : f X Y  , ! : ( ) x X y Y y f x      Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x) Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu 1 2 1 2 ( ) ( ) x x f x f x    Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu , : ( ) y Y x X y f x      Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu đơn ánh và toàn ánh. I. Định nghĩa và ví dụ Cho ánh xạ tức là chỉ ra qui luật, dựa vào đó có thể biết ảnh của mọi phần tử thuộc X. Có rất nhiều cách cho ánh xạ: bằng đồ thị, bằng biểu đồ, bằng biểu thức đại số, bằng cách liệt kê,… Hàm số mà ta học ở phổ thông là ví dụ về ánh xạ. I. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Cho V và W là hai không gian véctơ trên cùng trường số K. 2. ( , ) ( ) ( ) K v V f v f v         Ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ V, W : W f V  là một ánh xạ thỏa 1. 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) v v V f v v f v f v      I. Định nghĩa và ví dụ Chứng tỏ ánh xạ cho bởi 2 3 : R R f  2 1 2 1 3 1 3 3 ( , , ); ( ) ( 2 3 ,2 ) x x x x x x x x x f x       Ví dụ là ánh xạ tuyến tính. 1 2 3 1 2 3 3 ( , , ); ( , , ) x x x x y y y y R     1 1 2 3 3 2 ( ) ( , , ) x y x y x f x y y f      3 3 3 1 1 1 3 2 2 1 3 2 ( ) ( , 3 ) 2 2 2 x y x x y x y x y x y f y           1 1 3 3 1 2 1 3 2 3 3 3 ( ) ( , 2 2 ) 2 2 ( , ) x x y y f x y x y y y x x          ( ) ( ) ( ) f x y f x f y    Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là ánh xạ tuyến tính. I. Định nghĩa và ví dụ Cho là ánh xạ tuyến tính. W V f  : Cho E ={e 1 , e 2 , …, e n } là tập sinh của V. Giả sử biết f(e 1 ), f(e 2 ), …, f(e n ). 1 1 2 2 n n x V x x e x e x e         1 1 2 2 ( ) ( ) n n f x f x e x e x e      1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x f x e f x e f x e      1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x x f e x f e x f e      Ánh xạ tuyến tính được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một tập sinh của V. I. Định nghĩa và ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính , biết 3 2 : f R R  (1,1,1) (1,2), f  (1,1,0) (2, 1), f   (1,0,1) ( 1,1); f   1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x) 1. Giả sử (3,1,5) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)       3 1 5                     2, 3, 2         (3,1,5) ( (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)) f f        (3,1,5) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) f f f f        (3,1,5) 2(2, 1) 3(1,2) 2( 1,1) f       ( 3,10)   I. Định nghĩa và ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính , biết 3 2 : f R R  (1,1,1) (1,2), f  (1,1,0) (2, 1), f   (1,0,1) ( 1,1); f   1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x) 2. Giả sử 1 2 3 ( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) x x x x        1 2 3 x x x                     1 3 1 2 3 1 2 x x x x x x x                  1 2 3 ( ) ( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) f x f x x x f f f         1 3 1 2 3 1 2 ( ) ( )(2, 1) ( )(1,2) ( )( 1,1) f x x x x x x x x           2 3 1 2 3 ( ) (2 , 2 3 ) f x x x x x x      Ánh xạ f được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một cơ sở của R 3 . Chọn cơ sở chính tắc I. Định nghĩa và ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyz quanh trục 0z một góc 30 o ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương của trục 0z. Tìm f(x). Đây là ánh xạ 3 3 : f R R  o y z x (0,0,1) (0,0,1) f  3 1 (1,0,0) ( , ,0) 2 2 f  1 3 (0,1,0) ( , ,0) 2 2 f   1 2 1 2 3 3 1 1 3 ( ) ( , , ) 2 2 2 2 f x x x x x x     [...]... nghĩa nhân của ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính f : V  W Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các vectơ x của không gian véctơ V, sao cho f(x) = 0 Kerf  x V | f ( x)  0 V W Kerf 0 II Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính - Định nghĩa ảnh của ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính f : V  W Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập... x  V : y  f ( x) V W Imf II Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho ánh xạ tuyến tính f : V  W 1 Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của V 2 Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của W 3 dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V) Chứng minh II Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ... trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho f : R 3  R3 là ánh xạ tuyến tính Giả sử f ( x)  f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , 2 x1  x2  x3 ,3 x1  4 x2  x3 ) 1 Tìm f(2,1,5) 2 Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,1,2); (1,2,1)} 3 Tính f(2,1,5) sử dụng 2), so sánh với 1) III Ma trận của ánh xạ tuyến tính ... Cho ánh xạ tuyến tính f : V  W Khi đó tồn tại duy nhất một ma trận AE,F cở mxn sao cho [ f ( x)]F  AE , F [ x]E với E và F là hai cơ sở trong V và W tương ứng 2 Cho ma trận A  ( aij )mn trên trường số K Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : K n  K m thỏa [ f ( x)]F  AE , F [ x]E Chú ý: Mỗi một ánh xạ tuyến tính tương ứng duy nhất một ma trận và ngược lại Ta coi ánh xạ tuyến tính. .. II Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 , biết x  ( x1 , x2 , x3 )  R 3 : f ( x)  f ( x1, x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , 2 x1  3 x2  x3 ,3 x1  5 x2  x3 ) 2 Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf Chọn cơ sở chính tắc của R3 là E  { (1, 0, 0), (0,1, 0),(0,0,1)} Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con... E={(2,1,4)}, dim(Kerf) = 1 II Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3  R3 , biết f (1,1,1)  (1, 2,1); f (1,1, 2)  (2,1, 1); f (1, 2,1)  (5, 4, 1); 2 Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf Chọn cơ sở của R3 là E  { (1,1,1), (1,1, 2), (1, 2,1)} Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của...  f 2 (1, 2,1) f (e1 )  f (e2 )  0  f ( x) f (e3 )  (1,1,1), f (e4 )  (1, 2,1) Chú ý: lời giải không duy nhất! III Ma trận của ánh xạ tuyến tính - Định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính f : V  W E = {e1, e2, …, en} là một cơ sở của V F = {f1, f2, …, fm} là một cơ sở của W Ma trận cở mxn với cột thứ j là tọa độ... dim(V) II Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Mệnh đề Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của một tập sinh của V Chứng minh Giả sử tập sinh của V là E  { e1 , e2 , , en} y  Im f  x V : y  f ( x) Vì x thuộc V nên x là thtt của E y  f ( x1e1  x2e2   xn en ) Ánh xạ f là tuyến tính nên ta có y  x1 f (e1... của ánh xạ tuyến tính Các bước tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính 1 Chọn một cơ sở của V là E  { e1 , e2 , , en} 2 Tìm f (e1 ), f (e2 ), , f (en ) 3 Im f  f (e1 ), f (e2 ), , f (en )  Chú ý: a) Còn có nhiều cách giải khác b) Tùy theo đề bài mà ta chọn cơ sở (ở bước 1) phù hợp, để việc tìm ảnh của cơ sở đó nhanh II Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến. .. Ví dụ Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính? 1 f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  (2 x1  3 x2 , x1 ) 2 f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( x1  2 x2 ,0) 3 f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  (2 x1  x2 , x1  1) 4 f : R2  R2 ; f ( x1 , x2 )  (1, x1  x2 ) 2 f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( x1  x2 , x1 ) 5 6 f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( x2 , x1 ) II Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính