Tiết 43. Phương trình vi phân toàn phần 1 2 Chương VII: Phương trình vi phân Tiết 43: Phương trình vi phân toàn phần Mục tiêu Hiểu định nghĩa phương trình vi phân toàn phần và cách giải phương trình vi phân toàn phần Biết vận dụng các kiến thức đã học để giải phương trình vi phân toàn phần 1 2 TÀI LIỆU THAM KHẢO Chương VII: Phương trình vi phân 4 Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp, tập 2 (Giải tích toán học), NXB GD Việt Nam, 2009 1 2 3 5 Nguyễn Đình Trí, Toán học cao cấp, tập 2( Phép tính giải tích một biến số), NXB GD, 2005 Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán học cao cấp, tập 2 NXB GD, 2004 Nguyễn Huy Hoàng, Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp 2 , NXB Thống Kê 2007 Ngyễn Thế Hoàng, Cơ sở PTVP và Lý thuyết ổn dịnh, NXB GD ,2013 Tiết 43: Phương trình vi phân toàn phần ( ) nm ij aA × = Chương VII: Phương trình vi phân 7.2.5. Phương trình vi phân toàn phần a) Định nghĩa. Tiết 43: Phương trình vi phân toàn phần ( , ) ( , ) 0 (*)P x y dx Q x y dy + = Phương trình vi phân dạng đối xứng được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại một hàm khả vi sao cho vi phân toàn phần trong đó liên tục cùng với các đạo hàm riêng , với mọi thuộc miền D nào đó của . ( , )u x y ( , ) ( , ) ( , )du x y P x y dx Q x y dy = + , P Q y x ∂ ∂ ∂ ∂ ( , )x y 2 R ( , ), ( , )P x y Q x y Ví dụ 1: Phương trình 0ydx xdy + = là phương trình vi phân toàn phần ( , )u x y xy = với hàm ( ) nm ij aA × = Chương VII: Phương trình vi phân Tiết 43: Phương trình vi phân toàn phần b) Định lý: với liên tục cùng với các đạo hàm riêng ( , ), ( , )P x y Q x y , P Q y x ∂ ∂ ∂ ∂ ( , ) ( , ) 0 (*)P x y dx Q x y dy + = Phương trình vi phân dạng đối xứng 2 R P Q y x ∂ ∂ = ∂ ∂ với mọi (x, y) thuộc miền D nào đó của là phương trình vi phân toàn phần khi và chỉ khi . 7.2.5. Phương trình vi phân toàn phần ( ) nm ij aA × = Chương VII: Phương trình vi phân Tiết 43: Phương trình vi phân toàn phần Ví dụ: Chỉ ra các phương trình vi phân toàn phần 2 1) (2 2 ) 2 0 x x e x y dx e ydy + − − = 02)22( 2 =−−+ ydyedxyxe xx ( ) ( ) 2 2 2) 1 0x y dx x y x dy − + − = ( ) ( ) 2 2 3) 3 2 2 6 3 0y xy x dx xy x dy + + + + + = là ptvp toàn phần không là ptvp toàn phần là ptvp toàn phần 7.2.5. Phương trình vi phân toàn phần ( ) nm ij aA × = Chương VII: Phương trình vi phân Tiết 43: Phương trình vi phân toàn phần 02)22( 2 =−−+ ydyedxyxe xx Chú ý: Để tìm u(x,y) ta có thể sử dụng ),( yxP x u = ∂ ∂ Ta có ( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx y ϕ = + ∫ trong đó là hàm khả vi tùy ý ( )y ϕ Từ đó ( ) ),()(),( yxQydxyxP y u y = ′ + ′ = ∂ ∂ ∫ ϕ ),( yxQ y u = ∂ ∂ và Đẳng thức này cho phép ta tìm được từ đó tìm được u(x,y). ( )y ϕ 7.2.5. Phương trình vi phân toàn phần ( ) nm ij aA × = Chương VII: Phương trình vi phân Tiết 43: Phương trình vi phân toàn phần 02)22( 2 =−−+ ydyedxyxe xx Chú ý: ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ))x y P x y dx x y Q x y dy d u x y µ µ + = Ta có không là phương trình vi phân toàn phần ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy + = Hàm được gọi là thừa số tích phân ),( yx µµ = 7.2.5. Phương trình vi phân toàn phần Hàm chỉ phụ thuộc vào x, tức là: µ ( )x µ µ = ( )f x dx e ∫ = Hàm chỉ phụ thuộc vào y, tức là: µ ( )y µ µ = ( )g y dy e ∫ = ( ) nm ij aA × = Chương VII: Phương trình vi phân Tiết 43: Phương trình vi phân toàn phần 02)22( 2 =−−+ ydyedxyxe xx Ví dụ 3: Giải các phương trình: ( ) ( ) 2 2 1) 3 2 2 6 3 0y xy x dx xy x dy + + + + + = ( ) ( ) 2 2 2) 1 0x y dx x y x dy − + − = ( ) ( ) 2 2 2 3) 0x y y dx y x dy + + − = 7.2.5. Phương trình vi phân toàn phần ( ) nm ij aA × = nm × k to add title in here 1 2 3 Hiểu rõ về phương trình vi phân toàn phần và biêt cách giải phương trình vi phân toàn phần. Ôn tập các phần kiến thức chương 7 Làm các bài tập từ 47- 51 ( trang 218- học liệu [8]). Chương VII: Phương trình vi phân Củng cố, dặn dò Tiết 43: Phương trình vi phân toàn phần