Đang tải... (xem toàn văn)
Nếu một cơ hệ dao động sau khi chịu kích thích ban đầu thì dao động sau kích thích được gọi là dao động tự do. Nếu năng lượng dao động không bị mất mát hay tiêu tán do ma sát hay do các lực cản khác thì dao động được gọi là dao động không cản. Ngược lại, nếu có bất cứ một phần năng lượng dao động nào bị mất mát do các lực cản thì dao động được gọi là dao động có cản. Nội dung của chương I chúng ta chỉ nghiên cứu các hệ dao động một bậc tự do. Và cụ thể trong bài này sẽ nghiên cứu một số dạng dao động tự do không cản một bậc tự do quanh vị trí cân bằng tĩnh. Từ một số bài toán mẫu chúng ta rút ra dạng tổng quát phương trình chuyển động của các hệ dao động tự do không cản một bậc tự do. Tiếp theo chúng ta đi tìm nghiệm, đánh giá nghiệm. Trong bài cũng giới thiệu cách xác định tham số độ cứng của hệ dao động.
Bài 1: Dao động tự do không cản Kalyrus MỞ ĐẦU Nếu một cơ hệ dao động sau khi chịu kích thích ban đầu thì dao động sau kích thích được gọi là dao động tự do. Nếu năng lượng dao động không bị mất mát hay tiêu tán do ma sát hay do các lực cản khác thì dao động được gọi là dao động không cản. Ngược lại, nếu có bất cứ một phần năng lượng dao động nào bị mất mát do các lực cản thì dao động được gọi là dao động có cản. Nội dung của chương I chúng ta chỉ nghiên cứu các hệ dao động một bậc tự do. Và cụ thể trong bài này sẽ nghiên cứu một số dạng dao động tự do không cản một bậc tự do quanh vị trí cân bằng tĩnh. Từ một số bài toán mẫu chúng ta rút ra dạng tổng quát phương trình chuyển động của các hệ dao động tự do không cản một bậc tự do. Tiếp theo chúng ta đi tìm nghiệm, đánh giá nghiệm. Trong bài cũng giới thiệu cách xác định tham số độ cứng của hệ dao động. I. MỘT SỐ HỆ DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN A. CON LẮC LÒ XO Cơ hệ bao gồm một vật nặng m treo vào một đầu lò xo có hệ số cứng c, đầu còn lại của lò xo được cố định (hình 1.1). Bỏ qua khối lượng lò xo, bỏ qua cản ma sát và không khí. Yêu cầu thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ dao động. 1. Sử dụng phương trình Lagrange Trước hết ta cần xác định động năng và thế năng của hệ. Chọn tọa độ suy rộng của hệ là x. - Động năng của hệ có dạng: 2 1 T ; 2 mx= & - Thế năng Π của hệ là tổng thế năng của lò xo và thế năng vật nặng m. + Xác định thế năng của lò xo tại vị trí có tọa độ x. Ta biết rằng tại vị trí cân bằng tĩnh (ứng với x = 0) lò xo biến dạng một lượng 0 x . Tại vị trí có tọa độ x lò xo biến dạng một lượng là 0 x x+ . Khi đó thế năng của lò xo tại vị trí x là : 2 1 0 1 ( ) 2 c x x∏ = + + Thế năng của vật khối lượng m tại vị trí có tọa độ x là : 2 mgx∏ = − Ta có : 1 2 ∏ = ∏ +∏ Hay 2 0 1 ( ) 2 c x x mgx∏ = + − Mà tại vị trí cân bằng (x=0) ta có 2 2 0 0 1 1 2 2 cx mg cx cx= ⇒ ∏ = + Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do 1 c x m Vị trí cân bằng tĩnh Hình 1.1 Bài 1: Dao động tự do không cản Kalyrus Thay vào phương trình Lagrang II: d T T dt x x x ∂ ∂ ∂∏ − = − ÷ ∂ ∂ & Hay ( ) 0 d mx cx dt − = − & Ta được: 0 =+ cxxm (1.1) 2. Sử dụng định luật II Newton Tại vị trí có tọa độ x các lực tác dụng lên vật m bao gồm: Trọng lượng P=mg Lực đàn hồi P đh =c(x o +x) Trong đó: x o là độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng tĩnh, ta có cx o =mg Viết phương trình định luật II Newton: ma P P= + r r r đh Chiếu lên phương Ox: ( ) o mx mg c x x= − + && Ta được 0 =+ cxxm (1.1) B. CON LẮC TOÁN HỌC Hệ dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng tĩnh gồm một vật nặng có khối lượng m treo vào một đầu sợi dây, không giãn chiều dài l, đầu còn lại của sợi dây được cố định. Dây không giãn, khối lượng không đáng kể (hình 1.2). Yêu cầu thiết lập phương trình vi phân dao động. Chọn tọa độ suy rộng của hệ là ϕ Động năng chất điểm: 2 2 2 1 1 T v 2 2 m ml ϕ = = & Ở đó v – vận tốc dài của vật m, v l ϕ = & Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng tĩnh Thế năng của hệ: ( cos )mg l l ϕ Π = − Thay vào phương trình Lagrang II ta được: 2 sin sin 0 g ml mgl l ϕ ϕ ϕ ϕ = − ⇒ + = && && Nếu dao động là nhỏ: sin ϕ ϕ ≈ , Phương trình dao động nhỏ của con lắc có dạng: 0 g l ϕ ϕ + = && (1.2) C. DAO ĐỘNG XOẮN Xét dao động xoắn của một vật nặng. Hệ dao động gồm một đĩa tròn gắn chặt vào một trục đàn hồi. Đầu kia của trục đàn hồi ngàm chặt vào tường cố định. Cho momen quán tính của vật nặng đối với trục quay là J. Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do 2 P l T ϕ Vị trí cân bằng tĩnh v Hình 1.2 c J ϕ Vị trí cân bằng tĩnh Hình 1.3 Bài 1: Dao động tự do không cản Kalyrus Độ cứng xoắn của trục đàn hồi là c. Giả thiết momen quán tính của trục đàn hồi đối với trục quay nhỏ hơn nhiều so với momen quán tính của vật nặng đối với trục quay. Biểu thức động năng và thế năng của hệ 2 2 1 1 ; 2 2 T J c ϕ ϕ = Π = & Thế vào phương trình Lagrang II: 0J c ϕ ϕ + = && (1.3) II. TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN A. TÌM NGHIỆM CỦA PTVP DAO ĐỘNG KHÔNG CẢN Từ các phương trình (1.1) (1.2) và (1.3) ta thấy phương trình dao động tự do không cản có dạng: 2 0 o q q ω + = && Với 2 o c m ω = với pt (1.1); 2 o g l ω = với pt (1.2) hoặc 2 o c J ω = với pt (1.3) Phương trình có nghiệm dạng: 1 2 cos sin o o tq C t C ω ω = + (1.4) Trong đó C 1 , C 2 là các hằng số C 1 , C 2 được xác định từ các điều kiện đầu (khi t=0), ta có: Đặt (0) , (0) o o q q q q= = & & 1 2 ; o o o q C q C ω ⇒ = = & Đặt 1 2 sin , cosC A C A α α = = Trong đó A và α là các hằng số được xác định theo các công thức sau: 2 2 2 2 0 1 2 0 0 q A C C q ω = + = + ÷ & ; 1 2 . o o o C q tg C q α ω = = & Khi đó PT (1.4) có thể viết dưới dạng: )sin( αω += tAq o (1.6) Từ (1.6) ta thấy dao động tự do không cản của hệ một bậc tự do được mô tả bởi hàm điều hòa. Vì vậy dao động tự do không cản còn được gọi là dao động điều hòa. Dao động điều hòa có các đặc trưng sau: A- Biên độ dao động; o ω - Tần số riêng; αω +t o - Pha dao động; α - Pha ban đầu; o T ω π 2 = - Chu kỳ dao động. B. NHẬN XÉT Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do 3 Bài 1: Dao động tự do không cản Kalyrus Dao động điều hòa có các tính chất sau: - Tần số riêng và chu kỳ dao động không phụ thuộc vào các điều kiện đầu mà chỉ phụ thuộc vào các tham số của hệ. - Biên độ dao động là hằng số. Biên độ dao động và pha ban đầu phụ thuộc vào điều kiện đầu và các tham số của hệ. Việc xác định tần số dao động riêng m c = 2 0 ω là nhiệm vụ quan trọng nhất của bài toán dao động tự do. Bảng (2.1) sách giáo trình thống kê một số công thức tính tần số riêng của một số hệ dao động đơn giản. C. VÍ DỤ Tay biên khối lượng m, dài l. Tìm tọa độ trọng tâm và mô men quán tính của tay biên đối với trục qua trọng tâm và vuông góc với mặt phẳng tay biên. Các kích thước cho trên hình vẽ Bài giải : Gọi vị trí của trọng tâm là C Ta làm 2 thí nghiệm xem tay biên là con lắc vật lí, lần lượt có các điểm treo là A, B. Khoảng cách từ trục quay A tới C là a, khoảng cách từ trục quay B tới C là b. Theo yêu cầu bài toán ta cần xác định a ( hoặc b) và J C . Viết PT dao động nhỏ quanh A : 0=+ AAA mgaJ ϕϕ mga J T A A A π ω π 2 2 ==⇒ ; J A -Momen quán tính của tay biên đối với trục đi qua A. Tương tự : mgb J T B B B π ω π 2 2 == ; J B -Momen quán tính của tay biên đối với trục đi qua B. T A , T B được xác định bằng thực nghiệm. Mặt khác ta có 3 PT : a+b=l ; J A =J C +ma 2 ; (định lý chuyển trục Huyghen) J B =J C +mb 2 . Như vậy có 5 phương trình, 5 ẩn là J A , J B , J C , a, b Giải ra ta được : ( ) ; 8 4 . 222 22 lTTg lgT lb BA A π π −+ − = 2 2 2 4 . mb T mgbJ B C −= π . III. XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỘ CỨNG CỦA CÁC HỆ DAO ĐỘNG Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do 4 B A a b lC m Bài 1: Dao động tự do không cản Kalyrus Các phần tử đàn hồi trong các hệ dao động hữu hạn bậc tự do thường được giả thiết bỏ qua khối lượng. Đại lượng đặc trưng cho phẩn tử đàn hồi tuyến tính có độ cứng và kí hiệu là c. Thứ nguyên của độ cứng c nói chung là khác nhau. Dưới đây trình bày một số công thức tính toán hệ số cứng c qui đổi. A. ĐỘ CỨNG QUI ĐỔI CỦA THANH ĐÀN HỒI 1. Xét trường hợp thanh đàn hồi (lò xo) chịu kéo nén. Từ giáo trình SBVL : EA Fl l =∆ Trong đó : E là mô đun đàn hồi A là diện tích mặt cắt ngang lcl l EA F ∆=∆=⇒ Vậy độ cứng qui đổi được xác định bởi công thức: l EA c = 2. Trong trường hợp thanh đàn hồi (lò xo) chịu xoắn. Từ giáo trình SBVL: P x GI lM =∆ ϕ Trong đó: G-Modun trượt I P -Momen quán tính cực mặt cắt ngang. ϕϕ ∆=∆=⇒ c l GI M P x Vậy độ cứng qui đổi trong trường hợp thanh xoắn có dạng: l GI c P = 3. Trường hợp thanh đàn hồi (lò xo) bị uốn. Xét dầm chịu lực như hình vẽ Giáo trình SBVL: EI Fl f 3 3 1 = EI- độ cứng chống uốn; cff l EI F ==⇒ 3 3 Vậy độ cứng qui đổi c được xác định bởi công thức: 3 3 l EI c = Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do 5 l F l∆ M x l l F f Bài 1: Dao động tự do không cản Kalyrus B. TÍNH TOÁN LÒ XO TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC HỆ CÁC LÒ XO 1. Đối với hệ có hai lò xo mắc song song Ta có công thức tính hệ số cứng lò xo tương đương: F=c 1 x+c 2 x=c * x 21 * ccc +=⇒ Tổng quát: hệ có n lò xo mắc song song ∑ = = n j j cc 1 * . 2. Đối với hệ có hai lò xo mắc nối tiếp Ta có : F=c 1 x 1 +c 2 x 2 , x=x 1 +x 2 ⇒ F=c * x . 111 21 ** 21 cccc F c F c F x +=⇒=+=⇒ Tổng quát: hệ có n lò xo mắc nối tiếp ∑ = = n i i cc 1 * 11 . Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do 6 C 2 x C 1 C * C 2 C 1 x C * Bài 1: Dao động tự do không cản Kalyrus KẾT LUẬN Đây là bài đầu tiên của chương I về dao động tự do không cản một bậc tự do. Học viên đã được nghiên cứu các ví dụ cụ thể, sau đó rút ra dạng tổng quát phương trình dao động của hệ dao động tự do không cản một bậc tự do. Tiếp đó học viên tiến hành nghiên cứu, giải phương trình vi phân chuyển động và tìm ra nghiệm là qui luật chuyển động của phần tử dao động. Bài học cũng giới thiệu cách xác định tham số độ cứng của hệ dao động. Nội dung của bài học giới thiệu trường hợp hệ dao động đơn giản nhất. Là cơ sở để học viên tiếp tục nghiên cứu các trường hợp phức tạp hơn trong các bài sau. Do đó ở bài này học viên cần nắm chắc phương pháp thành lập phương trình vi phân dao động, áp dụng kiến thức toán học để giải phương trình. HƯỚNG DẪN NGHIÊN CỨU Để thuận tiện cho việc tự nghiên cứu và học tập tại đơn vị các học viên cần thực hiện các nội dung sau: A. Nắm chắc trọng tâm của bài mục II.A, III.B. Nghiên cứu các phương pháp, các bước xây dựng phương trình vi phân ở mục I. - Nghiên cứu sách giáo trình “Dao động kỹ thuật” – Nguyễn Văn Khang trang [34-43]; - Tự lập phương trình và xác định tần số dao động cho các hệ dao động đơn giản trong bảng 2.1 trang [39-40] sách giáo trình; - Nghiên cứu thí dụ 1.5, 1.6 và làm các bài tập 1.1.5, 1.1.6, 1.1.12, 1.1.13 sách bài tập. Ngày tháng năm 2015 NGƯỜI BIÊN SOẠN Kalyrus Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do 7 . tiếp ∑ = = n i i cc 1 * 11 . Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do 6 C 2 x C 1 C * C 2 C 1 x C * Bài 1: Dao động tự do không cản Kalyrus KẾT LUẬN Đây là bài đầu tiên của chương I về dao động tự do không cản một bậc tự. độ dao động; o ω - Tần số riêng; αω +t o - Pha dao động; α - Pha ban đầu; o T ω π 2 = - Chu kỳ dao động. B. NHẬN XÉT Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do 3 Bài 1: Dao động tự do không cản. CỨNG CỦA CÁC HỆ DAO ĐỘNG Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do 4 B A a b lC m Bài 1: Dao động tự do không cản Kalyrus Các phần tử đàn hồi trong các hệ dao động hữu hạn bậc tự do thường được giả