ĐẠI HỌC NÔNG LÂM KHOA KHOA HỌC    GIẢI BÀI TẬP T T O O Á Á N N C C A A O O C C Ấ Ấ P P A A 1 1   death birth time time happiness Life BIÊN SOẠN: BBT ĐỀ THI NÔNG LÂM - LƯU HÀNH NỘI BỘ 2015 - Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK - Trang | 1 -  - Gii hn  Liên tc Câu 6. Tính các gii hn sau 6 4 4.3 3 1 4 3 .4 4.3 3 1 4 3 .4 4 4 3 3 4 34.4 3 3 4 34.4 32 34 ). limlimlimlimlim 12 1                                                                n n n x n n n n n x n n nn x n n nn x nn nn x a 6 1 1 2 12 1 1 2 12 ). 3 24 3 24 limlimlim                     n nn n n n nn n n b xxx 202 11 2 1 1 11 2 1 1 2 3 32 3 32 limlimlim                                 nn n n n nn nn n n n n xxx 6   111). 333 lim   nnnc x   Ta có: BA BA BA    , Áp dụng vào ta có:   1 1 1 1 1 2 11 2 11 33 33 3333 limlimlim                             nn nn nnnn xxx 6 0 2 1 11 2 1 1 12 1 ). limlimlim 2 2 2 2 2 2                                              n x n x n x n n n n n nn n d Có thể giải bằng tiêu chuẩn 2 (Định lý Weierstrass) 6     0 2 sin1 ). 2 2 lim     n nn e x   Giới hạn đã cho có dạng:   , Áp dụng Quy tắc L’Hospital ta có:                   n nnnn n nn n nn xx L x 2 1cos.2sin 2 sin1 2 sin1 22 2 2 2 2 limlimlim                       2 sin41cos2cos.2 2222 lim nnnnnn x L     Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK - Trang | 2 - 6       112012). limlimlim   n x n x n x aVìDof 6   n x ng 1). lim     Cách 1: Mượn bàn tay của “LỐC” t       0 1 11 limlim   n x n x nnA Ly Lô-ga Nepe 2 v ta có:                                         L n n n n nA xx n x 1ln 1ln 1 1ln)ln( limlimlim 1        0 1 1 1 1 1 1ln limlimlim         n n n n xxx , Vậy 10)ln(  AA Cách 2: Với mọi giá trị: 1n ta có: nnn nnn 21    1 lim   n x nMà Trang 20 Giáo Trình Toán CC A1 ĐHNL Mặc khác ta có:                   1;121.22 limlimlimlimlim n x n x n x n x n x nVàDonnMà Vậy ta có   11 lim   n x nMà 6    2 1 12)12 1 7.5 1 5.3 1 3.1 1 ). lim           nn h x                                              12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 12)12 1 7.5 1 5.3 1 3.1 1 2 1 lim lim nnnn x x 2 1 12 1 1 2 1 lim            n x 6   01). 3 3 lim   nni x   Ta có Công thức liên hợp (hiệp): 22 33 BABA BA BA    , Ta có:     0 11 1 1 3 2 3 3 32 33 3 3 limlim                nnnn nn nn xx Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK - Trang | 3 - 6 1 1 2 1 1 1 ). 222 lim              nnnn j x                   nnnn x 222 1 2 1 1 1 lim Với 1n , Ta có: nnnn      222 1 2 1 1 1 Cho nên: 1 11 22     n n nn n  Mà 1 1 2 1 1 1 1 1 11 22222 limlimlim                  nnnn nên nnn xxx Câu 8. Tính các giới hạn sau 8 0 ! 3 ). lim   n a n x   Do: !n Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với n 3 khi n 8 0 3 ). 3 lim   n x n b   Cách 1: Do: n 3 Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với 3 n khi n Cách 2: Giới hạn đã cho có dạng   , Dùng quy tắc L’Hospital ta có:                     0 3ln.3 6 3ln.3ln.3.1 6 3ln.3ln.3.1 6 3ln.3.1 3 3 32 '' 2 ' 3 limlimlimlimlim     n x n x L n x L n x L n x nnn 8 0 ! 2 ). lim   n c n x   Do: !n Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với n 2 khi n Câu 11. Tính các giới hạn sau 11 1 3 3 32.22 12 32 1 ). 2 2 2 2 2 lim        xx x a x Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK - Trang | 4 - Do thế vào không có dạng vô định 11    3 1 1 1 21 2 2 2 ). 2 2 22 2 2 24 2 2 limlimlim          xxx x xx x b xxx     cách 1:      3 1 12 1 24 2 2 2 2 2 2 2 3 2 24 2 2 ' 24 2 2 limlimlimlim              xxx x xx x xx x xxx L x   cách 2: (Phân tích tha s kh) Ta thấy 2x là nghiệm của tử và mẫu, vậy ta có:    3 1 1 1 21 2 2 2 2 2 22 2 2 24 2 2 limlimlim          xxx x xx x xxx Do có dạng vô đinh   nên phải tiến hành biến đổi rồi khi hết dạng   ta mới thế giá trị vào 11 8 26 ). 3 3 2 lim    x x c x     cách 1:                   4626422 2 8 26 3 2 3 2 2 3 3 2 limlim xxxxx x x x xx     144 1 462642 1 3 2 3 2 2 lim           xxxx x   cách 2:  Nhn thy 8 26 3 3 2 lim    x x x có dạng vô định       0 0 vậy có thể dùng được        144 1 12 12/1 3 6.3 1 8 26 8 26 2 3 2 2 3 3 2 3 3 2 limlimlim              x x x x x x xx L x Với                  6.6. 3 1 66 13/13/1 3 xxxx 11            L x x d x 0 0 2516 238 ). 4 3 0 lim Công thức tổng quát:         uuu 1    Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK - Trang | 5 -                  4 3 3 2 0 4/3 3/2 0 14/1 13/1 0 516 1 .4/5 38 1 5164/5 38 5.5164/1 3.38.3/1 limlimlim x x x x x x xxx                     5 8 8 16 . 5 4 38 516 . 5 4 3 2 4 3 0 3 2 4 3 0 limlim      xx x x Câu 12. Tính các giới hạn sau 12   ba x bxax a x    , tan sinsin ). lim 0        ba x bbxaax x bxax x L x        2 00 cos 1 .cos.cos tan sinsin limlim   cách 2                     x bxaxbxax x bxax xx tan 2 sin. 2 cos.2 tan sinsin limlim 00 Do 2 ~ 2 sinvàx~tan limlim 00 bxaxbxax x xx             Trở thành   x bxax bax x bxaxbxax x bxaxbxax xxx                                        2 cos 2 cos. 2 .2 tan 2 sin. 2 cos.2 limlimlim 000   1 2 cos 2 cos. limlim 00                   bxax Vìba bxax ba xx   cách 2 Ta có : 0~tan;0~sin  xkhixxukhiuu , Vậy giới hạn đã cho trở thành     baba x bxax x bxax xxx      limlimlim 00 ~ 0 tan sinsin 12   2 1 2 cos1tansintan ). 3 2 0 3 0 3 0 limlimlim        x x x x xx x xx b xxx Do   2 ~cos1vàx~tan 2 x xx  12              2 tan1). lim 1 x xc x    t n ph t 1 xt Khi 1x thì 0t Khi đó    trở thành Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK - Trang | 6 -                                                                  t t ttttttt tttt 2 sin 2 cos 2 cot 2 cot1 2 tan limlimlimlim 0000    Do 0Khi 2 ~ 2 sin        ttt           2 2 0cos 2 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 cos limlimlim 000                                                                  t t t t t t t t ttt Vy     2 2 tan1 lim 1          x x x   cách 2: (Bi     VĐ x x x          .0 2 tan1 lim 1      VĐ x x x          .0 2 cot 1 .1 lim 1                    HospitalLVĐ x x x ' 0 0 2 cot 1 lim 1    2 2 . 2 sin 1 1 2 1 lim             x x L 12   2 0 2 0 3cos.3coscos 2 1 1 3cos.2cos.cos1 ). limlim x xxx x xxx d xx             2 0 2 0 6cos1 4 1 4cos1 4 1 2cos1 4 1 6cos1 4 1 4cos 4 1 2cos 4 1 1 limlim x xxx x xxx xx      7 7 9 2 2 1  Câu 13. Tính các giới hạn sau 13 32 2 1 ). lim           x x x x a   Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK - Trang | 7 - Cách 1: Mượn bàn tay của “LỐC” t               1 2 1 32 lim x x x x A Ly Lô-ga Nepe 2 v ta có:                                       2 1 ln32 2 1 ln)ln( limlim 32 x x x x x A x x x t 0,; 1  txKhi x t Vậy ta có giới hạn đã cho tương đương với                                                                                      t t t t t t t t tx x x ttx 21 1 ln 32 2 1 1 1 ln3 2 2 1 ln32 limlimlim 00                                                                      1 21 132 11 21 1 ln 32 21 1 ln 32 limlimlim 000 t t t t t t t t t t t t ttt                                 HospitalL tt tt t t t t tt ' 0 0 2 96 21 332 2 2 00 limlim 6 41 186 lim 0 '      t t t L Vậy 6 6)ln( eAA  Cách 2: Giải nhanh từ Công thức suy ra cách 1 như sau:           A xfx x ax eexf ax     1lim lim   Vy áp dng CT ta có:   6 2 96 1 2 1 32 32 limlim 2 1 lim eee x x x x x x x x x xx                                               13 x x x xx b            1 1 ). 2 2 lim   Áp dụng công thức như trên ta có: ee x e x xx x x x xx x x x x                                                   1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 lim lim 1 1 lim Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK - Trang | 8 - 13   2 /1 0 2cos). lim x x xc    Áp dụng công thức như câu trên ta có:                                     2 2 0 2 2 0 2 0 2 sin21sin21 12cos 1 /1 0 limlimlim 2cos lim x x x x x x x x xxx eeex xxxKhiDoee x x x ~sin0 lim 2 sin 2 2 2 0             13     2 1 2 1 2 1cos1cos1lncosln ). limlimlimlimlim 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0           xxxxx x x x x x x x x d   2 ~1cos;1cos~1cos1ln0 2 x xVàxxxKhiDo   13 bavàba x ee e bxax x    0,,). lim 0                x e x e bxax x bxax x x ee 11 0 lim lim 0 Ta có: bb bx e x e vàaa ax e x e bx x bx x ax x ax x                                  1111 limlimlimlim 0000 Vy ba x ee bxax x    lim 0                                 x x x x xx x x x xx eexxf 1cossin 1cossin 1 /1 0 limlim cossin). 00 lim Mà ta có:     01. 2 2 sin 0. 2 2 sin 1cos 1 sin limlimlimlim lim 0 2 2 2 0 2 2 2 00 0                                                 xVà x x Dox x x x x Và x x xxxx x Vy   exx x x   /1 0 cossin lim Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK - Trang | 9 - 13 xx x x x x g sin sin 0 sin ). lim           01 sin , 1 sin 1 sin sin limlim 00      x x Do x x xx x Xét xx Giới hạn đã cho có dạng vô định:  1 , Ta có: e eee x x xx x x xx xx x x x xx x x xx 1 limlim sin 1 sin sin sin 1 sin sin sin 0 00 lim                            Câu 14. Tính các giới hạn sau 14 1 32 ). 2 2 1 lim     x xx a x   cách 1: Xét du Ta thực hiện xét dấu để “Phá dấu trị tuyệt đối” X -3 1 x 2 +2x - 3 + 0 - 0 + Nhn xét: 1 - giá tr ca hàm s              2 1 3 11 31 1 32 1 32 limlimlimlim 11 2 2 1 2 2 1               x x xx xx x xx x xx xxxx   cách 2: Bii              11 3.1 11 31 1 32 limlimlim 11 2 2 1           xx xx xx xx x xx xxx Do  1x nên   1x âm             2 2 4 11 3 11 3.1 limlim 11            xx x xx xx xx 14 2 arctan). lim    xb x Dựa vào đồ thị của hàm arctanx [...]... THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 30 - Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến TC C c Ch P T TĐ n Tích Phân Đ nh Cơ n : ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 31 - Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến Toán Cao Cấp A1 C ch : C ch : ) ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 32 - Toán Cao Cấp A1. .. TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 32 - Toán Cao Cấp A1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến - Trang | 33 - Toán Cao Cấp A1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến - Trang | 34 - Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến D ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 35 - ... lnux v  x   lim vx  lnux    b ( Chú ý trong dấu “….” Tức là biến đổi 1 thời gian để đưa về “=b” ) Vậy ln A  b  A  e b ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 13 - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 c Áp dụng gi i bài tập k) : * Đặt A  lim x  e x x , Tìm A 1 x  * Lấy lô-ga Nepe 2 vế:   1 x  ln A  ln lim x  e x x    1 0. ln x  e x x ... Kiểm tra: i) Hàm số f(x) xác định tại x0 = 0 vì f(0)= 1/4 ,  Xác định lim f x   lim ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 15 - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 1  cos x sin 2 x 0  VĐ  , Giới hạn này có 2 cách giải: L’Hospital hoặc liên 0  x 0 x 0 hợp, Cách giải sau sử dụng lien hợp sau đó tương đương ii) xét lim f x   lim lim f x   lim x 0 x 0... e Câu 2.8 Tính đạo hàm cấp cao tương ứng a) y  e sin x cossin x , Tính y   y .e  1  0 y   y   y  1    Ta có: y   e sin x cossin x   e sin x cossin x   cossin x  e sin x  e   sin x  cos x cossin x   sinsin x  cos x.esin x ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 22 - Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến Toán Cao Cấp A1      y   e sin... 2 x 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 10 - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 lim 3 1 x x x 0   lim x 0  Công thức: lim  0 e3 x 1 x  e x ln 3  1 ln 3      lim    x ln 3 x  x 0    Do e x ln 3  1 x ln 3  1, ln 3 x   e 1  1 , ở bài này   x ln 3  2 x  cos x x o   ,VĐ  L' Hospital  0  x 0  g : Bài này có 2... x   2 2   1  x 1  x  lim  1 x 0   1 x                 1 Cách này rất lâu và dễ sai xót Vậy nên tùy bài toán mà ta nên lựa    ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 11 - Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Toán Cao Cấp A1 15 d ) lim x 0  g  g lim x 0 15 e) cách 1: Dùng ’Hosp tal “Dà ” nên hạn chế gi i cách 2: Dùng tương đương ~  arctan x 2 x2... là điểm gián đoạn bỏ được: *Tại x 0  0 : Kh đó các hàm sinx, x đều liên tục tại x0, do đó 18 c) y  sin x cũng lien tục tại x0 x x 1 x2 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 18 - Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến Toán Cao Cấp A1 Chương 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM 1 BIẾN Câu 2.1 Tính f’(1), f’(2), f’(3) của hàm số f(x) = (x – 1)3(x – 2)2(x – 3) f x   f x0  f x  ... vế ta có  g :  2 x ln a   ln y3  ln x x  x ln x Lấy đạo hàm 2 vế ta có:  y3     x ln x   x  ln x  ln x  x  x ln x  1 y3 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 19 - Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến Toán Cao Cấp A1  y3  x ln x  1y3  x ln x  1x x Vậy y   1  x ln x  1x x  2 x ln a e) y  2 x ln x  y  2 x 0  x  x   ln x  1  ln 2. ... ln x  2 x  1 ln 2 x  1  y  x2 x  1 ln 2 x ln x 2 j) y  arcsin 1  x 2   Áp dụng Công thức: arcsin u   1 1 u 2 g : u  ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 20 - Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến Toán Cao Cấp A1   y   arcsin 1  x 2    1  x   1 2 12xx x 1  1  x   1 2 2 2  1 1 x2 ( Do còn nằm trong dấu tuyệt đối) k) y  arctan x 2  . THI NÔNG LÂM - LƯU HÀNH NỘI BỘ 2015 - Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK - Trang | 1 -  - Gii. Vậy nên tùy bài toán mà ta nên lựa chọn phương pháp phù hợp. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK - Trang | 12 - 15              VĐ x x x d x , 0 0 2sin. 2 arcsin arctan ). 2 0 lim . Vậy b eAbA ln Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục  THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK - Trang | 14 - c. Áp dng gii bài tp k). : * Đặt   x x x exA 1 lim   ,