Đang tải... (xem toàn văn)
• CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG • CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 1 Đường tròn Mục lục Loại 1. Phương trình đường tròn 2 Loại 2. Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn 8 Loại 3. Vị trí tương đối giữa hai đường tròn và số tiếp tuyến tuyến chung 18 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 2 Loại 1. Phương trình đường tròn A. Tóm tắt lý thuyết * Phương trình chính tắc: Phương trình 2 2 2 x a y b R ( R 0 ) là phương trình chính tắc đường tròn tâm I a;b , bán kính R . * Phương trình tổng quát: Phương trình 2 2 x y 2ax 2by c 0 ( 2 2 a b c 0 ) là phương trình tổng quát của đường tròn tâm I a;b , bán kính 2 2 R a b c . * Chú ý (điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn): Cho đường tròn C có tâm I , bán kính R và đường thẳng . Khi đó: C tiếp xúc với R d I, . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 3 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn C tâm I 1; 2 trong các trường hợp sau 1) C có bán kính bằng 5 . 2) C đi qua điểm A 2;7 . 3) C tiếp xúc với đường thẳng : 3x 2y 12 0 . Giải 1) C có tâm I 1; 2 , bán kính bằng 5 2 2 C : x 1 y 2 25 . 2) Gọi R là bán kính của C . A C 2 2 2 2 R IA 3 9 90 . Vậy 2 2 C : x 1 y 2 90 . 3) Gọi R là bán kính của C . C tiếp xúc với 3.1 2. 2 12 19 2 2 13 3 2 R d I, . Vậy 2 2 361 13 C : x 1 y 2 . Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A 2;0 , B 3; 1 , C 3; 3 . Giải Gọi C là đường tròn đi qua ba điểm A 2;0 , B 3; 1 , C 3; 3 . I a;b là tâm của C 2 2 2 2 IA IB IB IC 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2 b a 3 b 1 a 3 b 1 a 3 b 3 a b 3 b 2 a 1 b 2 I 1; 2 . R là bán kính của C 2 2 R IA 5 . Vậy 2 2 C : x 1 y 2 5 . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 4 Ví dụ 3. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A 1;4 , B 1;6 và có tâm thuộc đường thẳng : x 2y 4 0 . Giải Giả sử C là đường tròn cần lập phương trình và C có tâm I , bán kính R . Cách 1: I tọa độ I có dạng I 2a 4;a . Ta có IA 2a 3; a 4 2 2 2 2 IA 2a 3 a 4 5a 20a 25 . IB 2a 5; a 6 2 2 2 2 IB 2a 5 a 6 5a 32a 61 . Từ A , B C 2 2 IA IB (cùng bằng 2 R ) 2 2 5a 20a 25 5a 32a 61 a 3 I 2;3 . Lại có 2 2 2 2 R IA 3 1 10 . Vậy 2 2 C : x 2 y 3 10 . Cách 2: Gọi M là trung điểm của AB IM AB (bán kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung). Ta có M là trung điểm của AB M 0;5 , AB 2;2 . Δ M A I B IM M 0;5 IM AB 2;2 1; 1 qua IM : x y 5 0 IM : x y 5 0 . I IM x y 5 0 I : x 2y 4 0 I 2;3 . 2 2 2 2 R IA 3 1 10 . Vậy 2 2 C : x 2 y 3 10 . Ví dụ 4. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A 2;9 , B 3;10 và tiếp xúc với đường thẳng : 3x 2y 2 0 . Giải Giả sử C là đường tròn cần lập phương trình và C có tâm I a;b , bán kính R . Ta có IA 2 a;9 b 2 2 2 IA a 2 b 9 , THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 5 IB 3 a;10 b 2 2 2 IB a 3 b 10 , 3a 2b 2 13 d I, . Từ 2 2 IA IB (cùng bằng 2 R ) 2 2 2 2 a 2 b 9 a 3 b 10 b 5a 12 1 . Lại có 2 2 IA d I, (cũng cùng bằng 2 R ) 2 3a 2b 2 2 2 13 a 2 b 9 2 . Thay 1 vào 2 ta thu được 2 3a 2 5a 12 2 2 2 13 a 2 5a 12 9 2 2 2 a 2 5a 3 13 a 2 2 a 2a 3 0 a 1 a 3 +) Thay a 1 vào 1 ta có b 7 I 1;7 . 2 2 2 2 R IA 3 2 13 . Vậy trong trường hợp này C có phương trình 2 2 x 1 y 7 13 . +) Thay a 3 vào 1 ta có b 27 I 3;27 . 2 2 2 2 R IA 1 18 325 . Vậy trong trường hợp này C có phương trình 2 2 x 3 y 27 325 . Tóm lại 2 2 C : x 1 y 7 13 hoặc 2 2 C : x 3 y 27 325 . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 6 C. Bài tập Bài 1. Lập phương trình đường tròn C biết 1) C có tâm I 1;3 , bán kính R 4 . 2) C có tâm I 2;3 , A 1; 2 C . 3) C đi qua các điểm A 1;2 , B 2; 3 và tâm I thuộc đường thẳng d : x 3y 1 0 . 4) C đi qua các điểm A 1;4 , B 4;0 và C 2; 2 . 5) C Có đường kính là đoạn thẳng AB với A 3;4 , B 2;7 . 6) C có tâm I 1;2 , tiếp xúc với đường thẳng d : 3x 4y 1 0 . 7) C có tâm I 2;3 , cắt đường thẳng d : 3x 4y 1 0 theo một dây cung có độ dài bằng 2 . 8) C đi qua A 2; 1 và tiếp xúc với các trục tọa độ. 9) C là đường tròn ngoại tiếp tam giác có các cạnh nằm trên các đường thẳng 5y x 2 , y x 2 và y 8 x . 10) C nội tiếp tam giác OAB với A 4;0 , B 0;3 . Bài 2. [ĐHA07] Cho tam giác ABC có A 0;2 , B 2; 2 và C 4; 2 . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B ; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC . Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H , M , N . Bài 3. Cho ABC có AB : x y 2 0 , AC:2x 6y 3 0 và M 1;1 là trung điểm cạnh BC . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC . Bài 4. [ĐHB09Chuẩn] Cho 2 2 4 5 C : x 2 y và hai đường thẳng 1 :x – y 0 , 2 :x – 7y 0 . Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn C' biết C' tiếp xúc với các đường thẳng 1 , 2 và tâm K thuộc (C) . Bài 5. [ĐHB05] Cho hai điểm A 2;0 và B 6;4 . Viết phương trình đường tròn C tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của C đến điểm B bằng 5 . Bài 6. Cho A 3;1 , B 0;7 , C 5;2 . 1) Chứng minh rằng ABC vuông và tính diện tích tam giác. THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 7 2) Giả sử điểm M chạy trên đường tròn ngoại tiếp ABC . Chứng minh rằng khi đó trọng tâm G của MBC chạy trên một đường tròn, viết phương trình đường tròn đó. Bài 7. [ĐHA10Chuẩn] Cho hai đường thẳng 1 d : 3x y 0 và 2 d : 3x y 0 . Gọi T là đường tròn tiếp xúc với 1 d tại A , cắt 2 d tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B . Viết phương trình của T , biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 và điểm A có hoành độ dương. Bài 8. [ĐHD09NC] Cho 2 2 C : x 1 y 1 . Gọi I là tâm của C . Tìm tọa độ điểm M thuộc C sao cho o IMO 30 . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 8 Loại 2. Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn A. Tóm tắt lý thuyết * Vị trí tương đối giữa điểm và đường tròn: Xét đường tròn C có tâm I , bán kính R và điểm M . Đặt d IM . Ta có +) M nằm ngoài C d R . +) M C d R . +) M nằm trong C d R . * Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn: Xét đường tròn C có tâm I , bán kính R và đường thẳng . Đặt d d I, . Ta có +) không có điểm chung với C d R . +) tiếp xúc với C ( là tiếp tuyến của C ) d R . +) cắt C tại 2 điểm phân biệt d R . * Chú ý: Xét đường tròn C và điểm M . Ta có mối liên hệ giữa vị trí tương đối giữa M và C với số tiếp tuyến qua M của C : +) M nằm ngoài C : qua M tồn tại hai tiếp tuyến của C . +) M C : qua M tồn tại duy nhất một tiếp tuyến của C . Tiếp tuyến này nhận M làm tiếp điểm. +) M nằm trong C : qua M không tồn tại tiếp tuyến của C . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 9 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho đường tròn 2 2 C : x 1 y 2 16 và điểm A 1;6 . Chứng minh A nằm ngoài C và viết phương trình các tiếp tuyến qua A 1;6 của C . Giải Ta có C là đường tròn tâm I 1;2 , bán kính R 4 . IA 2;4 IA 4 16 2 5 R qua A có hai tiếp tuyến của C . là đường thẳng qua A phương trình có dạng: :a x 1 b y 6 0 :ax by a 6b 0 ( 2 2 a b 0 ). Có a 2b a 6b 2 a 2b 2 2 2 2 a b a b d I, . là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi d I, R 2 a 2b 2 2 a b 4 2 2 a 4ab 4b 2 2 a b 4 2 3a 4ab 0 4b 3 a 0 a . +) a 0 :b y 6 0 : y 6 0 ( a 0 b 0 ). +) Từ 4b 3 a , cho b 3 a 4 :4x 3y 22 0 Vậy : y 6 0 hoặc :4x 3y 22 0 . Ví dụ 2. Cho 2 2 C : x y 2x 6y 9 0 .Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết: 1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x y 0 . 2) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3x 4y 0 . 3) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : 2x y 0 góc 45 . Giải Ta có 2 2 C : x 1 y 3 1 C có tâm I 1;3 , bán kính R 1 . Gọi là tiếp tuyến cần tìm. 1) d phương trình có dạng : x y c 0 . Ta có 1 3 c c 2 2 2 d I, . Do đó: là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi 10 d I, R c 2 2 1 c 2 2 c 2 2 c 2 2 c 2 2 2 c 2 2 2 : x y 2 2 2 0 : x y 2 2 2 0 . Vậy : x y 2 2 2 0 hoặc : x y 2 2 2 0 . 2) d phương trình có dạng :4x 3y c 0 . Ta có 4 9 c c 13 5 5 d I, . Do đó: là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi d I, R c 13 5 1 c 13 5 c 13 5 c 13 5 c 8 c 18 :4x 3y 8 0 :4x 3y 18 0 . Vậy :4x 3y 8 0 hoặc :4x 3y 18 0 . 3) Xét đường thẳng nhận n a;b ( 2 2 a b 0 ) là một véc-tơ pháp tuyến. Ta có ,d 45 cos ,d cos45 2a b 2 2 2 2 5 a b 2 2 4a 4ab b 1 2 2 2 5 a b [...]... kớnh R 2 t d I1I 2 Ta cú: d V trớ tng i S tip tuyn chung d R1 R 2 C1 , C2 4 d R1 R 2 C1 , C2 tip xỳc ngoi nhau ngoi nhau 3 R1 R 2 d R 1 R 2 C1 , C2 2 d R1 R 2 C1 , C2 tip xỳc trong nhau 1 d R1 R 2 C1 , C2 0 nm ngoi nhau ct nhau ti hai im phõn bit lng nhau 18 B Mt s vớ d Vớ d 1 Tỡm cỏc giao im A , B ca hai ng trũn C2 : x2 y 2 4x 2y 0 Vit PTTR i qua C1 : x2 y . 2 Loại 1. Phương trình đường tròn A. Tóm tắt lý thuyết * Phương trình chính tắc: Phương trình 2 2 2 x a y b R ( R 0 ) là phương trình chính tắc đường tròn tâm I. Đường tròn Mục lục Loại 1. Phương trình đường tròn 2 Loại 2. Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn 8 Loại 3. Vị trí tương đối giữa hai đường tròn và số tiếp. Ví dụ 3. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A 1;4 , B 1;6 và có tâm thuộc đường thẳng : x 2y 4 0 . Giải Giả sử C là đường tròn cần lập phương trình và C