PHẦN 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Các hệ thức trong tam giác: 1. Định lý Pitago vuông tại A 2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông 1)  22 AB BH BC AC CH BC. ; . 2) AB.AC = AH.BC 3) AH 2 = BH.HC 4) Hệ quả: Với tam giác đều cạnh là a, ta có: 3. Hệ thức lượng trong tam giác thường : Cho nhọn, BC = a; AC = b; AB = c khi đó: +) Định lý hàm số cosin:    2 2 2 a b c 2bc A.cos ;    2 2 2 b a c 2ac.cosB ;    2 2 2 c a b 2ab.cosC +) Định lý hàm số sin: ) a b c 2R ACsin sinB sin    trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) ABC 1 1 1 S bc A ac B ab C 2 2 2 .sin .sin .sin     II. Định lý Ta-lét và tam giác đồng dạng: 1. Định lý Ta-lét trong tam giác: Nếu một đoạn thẳng song song với một cạnh của tam giác thì nó định ra trên hai đoạn thẳng còn lại những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.     AB AC AB AC B B C C BC B C AB AC BB CC AB AC ' ' ' ' ' ' / / ' ' ; ; '' ABC 2 2 2 AB AC BC   B H C A 2 2 2 1 1 1 AH AB AC  2 a 3 a 3 h ; S 24  ABC c ọ t hình hấ n tính chế : Bài toán liên quan đ ề Chuyên đ 2. Tam giác đồng dạng: +) Khái niệm: A = A'; B= B'; C = C' ΔABC ΔA'B'C' AB AC BC == A'B' A'C' B'C'       +) Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g. +) Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông… Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì: +) Tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng. +) Tỉ số hai diện tich bằng bình phương tỉ số đồng dạng. III. Các tính chất của đường tròn: 1. Góc ở tâm: +) Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn (góc AOB ) +) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó Định lý: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì số đo cung AB bằng số đo cung AC cộng số đo cung CB 2. Góc nội tiếp chắn cung: +) Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. *Tính chất: +) Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.   1 sđA 1 AB CC 2 AOC 2   1 sđA 1 AB CC 2 AOC 2 +) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau    1 2 3 1 BA A BA A BA A 2 sđAB   BAD DAC BD DC +) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì bằng 90 3. Cung và dây căng cung: Xét 2 cung nhỏ trong một đường tròn: +) Hai cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau và ngược lại hai dây bằng nhau được căng bởi 2 cung bằng nhau:   AB CD AB CD +) Cung lớn hơn căng dây cung lớn hơn và ngược lại:   AB CD AB CD Liên hệ đường kính và dây căng cung: +) Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm một cung thì đi qua trung điểm dây căng cung đó. +) Trong một đường tròn, đường kín vuông góc với dây không đi qua tâm thì chia cung căng dây đó thành hai cung bằng nhau. Định lý dây song song: +) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau AB CD AC BD// 4. Tiếp tuyến – Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây căng cung: a) Tiếp tuyến: Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì: +) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm: MA = MB +) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến: AMO BMO +) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm: AOM BOM +) Tia kẻ từ điểm đó vuông góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm: OM AB b) Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây căng cung: Định lí: Trong một đường tròn , số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm bằng nửa số đo của cung bị chắn:  1 BAx 2 sđAB Hệ quả: Góc nội tiếp và góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau: BAx AMB IV. Tứ giác nội tiếp: Chứng minh tứ giác nội tiếp: -Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm. -Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau. -Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau. -Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau. -Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó ) -Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó ) -Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; … Lợi ích: Chứng minh được các góc nội tiếp chắn cung bằng nhau M AB CD; N AD BC    P AC BD PHẦ N 2. BÀI T Ậ P NH Ỏ Đây là những bài toán hình học phẳng cơ bản nhằm mục đích giúp các bạn nhớ lại những kiến thức cũ đã học từ cấp 2 để có thể tiếp cân được một cách dễ dàng nhất với các bài toán giải tích phẳng sử dụng tính chất hình học. Bài 1: Cho tam giác ABC, trực tâm H. Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I là giao điểm của HD và BC. CMR: 1. Tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O và nêu cách dựng O. 2. Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh rằng G là trọng tâm tam giác ABC Lời giải: 1. Gọi các đường cao của tam giác ABC là AN, BM, CN. Ta có:     ANH HMA 90 90 180 tứ giác ANHM nội tiếp    BAC NHM 180 Mặt khác có NHM CHB (đối đỉnh) và CHB CDB (2 góc đối của hình bình hành)    BAC CDB 180 tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp Do BH AC mà tứ giác BHCD là hình bình hành nên BG//CD CD AC hay ACD 90 mà AD là đường kính nên O là trung điểm AD 2. Ta phải chứng minh G là giao điểm ba đường trung tuyến hay  GJ AI 3 . Do   IB IC OI BC mà AH BC OI AH// . Theo định lý Ta-lét trong AGH ta có:  OI GI AH AG Do I là trung điểm HD và O là trung điểm AD nên  OI 1 AH 2 (tính chất đường trung bình)      OI GI 1 1 GI AG AH AG 2 2 hay  1 GI AI 3  G là trọng tâm tam giác ABC Bài 2 : Cho đường tròn (O) và một điểm P ở ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến PA và PB (A ; B là hai tiếp điểm). Từ A kẻ tia song song với PB cắt (O) tại C   CA . Đoạn PC cắt đường tròn tại điểm thứ hai D. Tia AD cắt PB tại E. 1. CMR: EAB EBD 2. CMR AE là trung tuyến của tam giác PAB Lời giải: 1. Xét hai tam giác EAB và EBD :   2 PEAchung EP ED ΔEAP ΔEPD g.g = EP = EA.ED EA EP EAP = EPD         (1) ( EAB= EBD là do góc nội tiếp và góc tạo bỏi tiếp tuyến và dây căng cung cùng chắn một cung) 2. Xét hai tam giác ΔEAP và ΔEPD :   2 PEAchung EP ED ΔEAP ΔEPD g.g = EP = EA.ED EA EP EAP = EPD         (2) Từ (1) và (2) ta có EB = EP nên AE là trung tuyến của tam giác PAB Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp 2. CMR 4 điểm A, E, D, B nằm trên cùng một đường tròn 3. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) Lời giải: 1. Xét tứ giác CEDH ta có: CEH =90° CEH CDH CDH =90°          180 tứ giác CEDH là tứ giác nội tiếp (do tổng hai góc đối bằng 180 ) 2. Theo giả thiết : BE là đường cao     BE AC BEA 90 AD là đường cao     AD BC BDA 90 Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới góc 90 E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB. Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm trên cùng một đường tròn 3. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm AH   OA OE AOE cân tại O  11 EA          1 3 1 2 3 2 E E E E E E BEA 90 Tam giác DEB cân tại D nên  31 EB Mà  11 BA (cùng phụ với góc ACB)         1 3 1 2 3 2 E E E E E E BEA OED Mặt khác     BEA 90 OED 90 DE OE Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm 2 đường chéo, E là điểm đối xứng của D qua C. Biết điểm    13 M 22 ; nằm trên đường thẳng BC, điểm    33 I 22 ; và phương trình đường thẳng AE là x = 1. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. Lời giải: Có C là trung điểm DE, mặt khác BC DE BC là trung trực của DE  NE = DN = AN AND cân tại A mà N nằm trên BC  N là trung điểm BC. Mặt khác IN lại vuông góc với BC nên tam giác INM vuông tại N. Do đó N là giao của đường tròn đường kính IM với đường thẳng x = 1 Gọi O là trung điểm IM thì tọa độ    3 O1 2 ;  phương trình đường tròn            2 2 31 O OM x 1 y 24 ;: Tọa độ điểm N là nghiệm hệ phương trình:   2 2 31 x =1;y =1 x -1 + y- = 24 x =1;y = 2 x =1               M 3 1; Suy ra N(1; 1) hoặc N(1; 2) Nếu N(1; 1) thì BC: y = - x + 2, suy ra AD: y = - x + 4 Suy ra A(1;3), B(0;2) C(2;0) D(3;1) Nếu N(1; 2) thì BC: y = x + 1, suy ra AD: y = x - 1, suy ra A(1;0), B(0;1) C(2;3) D(3;2) Bài 5: Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB, lấy điểm M và trên tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho DN = BM. Đường thẳng song song với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt nhau tại F. Chứng minh rằng AC CF . H Lời giải: Vì AN MF AM AMFN/ / ; / /NF là hình bình hành Xét AMB và AND có                       O BM ND ADN ABM 90 AND AMB MAB DAN AD AB AN AM (c g c) Ta có hình bình hành ANFM có AN=AM nên nó là hình thoi. Ta lại có             OO O MAB DAN DAN DAM 90 MAN 90 MAB DAM 90 Nên hình thoi AMFN à hình vuông         O 0 AFM 45 ACMF ACM 135 nội tiếp     O ACF AMF 90 AC CF Vậy AC CF . Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có 2 đường chéo cắt nhau ở I. Kẻ AH và BK vuông góc với BD và AC. Đường thẳng AH và BK cắt nhau ở E. Chứng minh HK IE . Lời giải: Ta có ABCD là hình chữ nhật có I là giao 2 đường chéo IAB cân tại I     BH AK BK AH BI AI A D N F M B C Theo định lí đảo Thales thì HK//AB. Ta lại có AH, Bk là đường cao của tam giác AIB,   AH BK E E là trực tâm tam giác AIB    IE AB IE HK (do HK//AB). PHẦN 3. BÀI TẬP LỚN: Bài 1: Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC có   A 4;3 , đường phân giác trong góc A có phương trình x–y –1=0 và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I    3 2; 2 . Viết phương trình cạnh BC biết diện tích tam giác ABC gấp 2 lần diện tích tam giác IBC. Định hướng: Tôi biết nhiều bạn có thói quen làm hình Oxy nhưng lười không vẽ hình. Nào bây giờ hãy thử làm bài toán này mà không vẽ hình xem. Tôi dám cá rằng bạn sẽ ngồi ngắm giám thị cả buổi. Cầm thước kẻ và compa lên và vẽ hình thôi. Bạn đã thấy xuất hiện điều kỳ diệu chưa? Nếu bạn nào đã nhận ra thì hãy thưởng tự thưởng cho bản thân ngay nhé, còn chưa thì để tôi chỉ cho bạn thấy. Kéo dài phân giác trong góc A và cắt đường tròn ngoại tiếp tại D. Bằng mắt thường ta cũng có thể thấy D là điểm chính giữa cung BC .Nhắc lại kiến thức và khái niệm liên quan đến cung trong đường tròn: +) Tính chất liên hệ giữa góc nội tiếp và cung bị chắn: nếu hai góc nội tiếp bằng nhau thì hai cung tương ứng bị chắn bởi hai góc đó cũng bằng nhau +) Tính chất liên hệ giữa cung và dây căng cung: nếu hai cung bằng nhau thì hai dây căng cung tương ứng của hai cung đó cũng bằng nhau. Dây căng cung là đoạn thẳng nối hai đầu mút của cung Quay lại bài, AD là phân giác trong góc BAC nên     BAD DAC BD CD BD CD (tính chất 2 góc chắn cung bằng nhau thì hai cung tương ứng bằng nhau dẫn đến 2 dây căng cung bằng nhau)  ID BC do I và D cùng nằm trên trung trực của BC. Từ đó viết được pt ID. Gọi pt BC vuông góc ID thông qua ẩn m và dựa vào dữ kiện khoảng cách để tìm ra m và có pt BC. Bài giải: IA = 5 2  (C):      2 2 3 25 x -2 + y - = 24 Tọa độ D là nghiệm hệ phương trình:            2 2 x 3 25 x -2 + y - = – 24 y –1=0         1 x= 2 -1 y= 2  D    1 -1 ; 22 AD là phân giác trong góc BAC  BAD=DAC  BD=DC  D là điểm chính giữa cung BC  ID BC Phương trình   ID : 3 y- x -2 2 = 1 -1 3 -2 - 2 2 2  -8x+6y+7=0                ΔABC ΔIBC d A; BC =2d I; BC MàID BC (BC):-6x –8y +m=0 S =2S   2 2 2 2 3 -6.2-8. +m -6.4-8.3+m 2 =2 m- 48 =2 m-24 6 +8 6 +8 m=0 [...]...   5t Bình luận : Cách thứ nhất đậm chất hình học còn cách thứ 2 nặng tính đại số Cách 1 phải suy nghĩ nhiều bù lại chỉ mất 1 phép tính còn cách 2 hầu như không cần suy nghĩ mà chỉ phụ thuộc vào kỹ năng tính toán Các bạn thích cách nào ? Bài 10 (THPT Đặng Thúc Hứa lần 1 2014): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi E là trung  11 2   3 6  điểm AD H  ;  là hình chiếu vuông góc... vẻ lạ vì phân giác ngoài ta ít gặp trong chương trình Thực ra ta chỉ được học một tính chất liên quan đến đường phân giác ngoài, đó là phân giác trong và phân giác ngoài của một góc trong tam giác thì vuông góc với nhau Vậy còn chờ gì nữa mà không áp dụng ngay để viết phương trình phân giác trong BJ và có ngay tọa độ điểm B Kinh nghiệm cần nhớ khi gặp đường phân giác trong đó là kỹ thuật bắt đối xứng... ABC:  x -3 +  y +3 =20 2 Tiếp theo các bạn làm tương tự như cách 1 2  Bình luận : Đây có lẽ mới là cách làm tối ưu cho bài toán này Thế nhưng để có thể làm được như vậy cần sự sáng tạo và cảm nhận hình học tuyệt vời Phải nói thêm rằng các bạn làm được bài này theo cách nào cũng đã quá tuyệt vời rồi, thế những hãy ‘’vượt giỏi’’ bằng cách nghĩ thêm được nhiều cách giải khác cho một bài toán Đó là... kiện như vậy thì mỗi việc vẽ hình thôi đã là vô cùng khó khăn rồi Có một điều các bạn cần phải rèn luyện được, đó là “cảm nhận hình học Hay nói theo cách khác đó là “nghĩ theo cách của người ra đề” Không bao giờ người ra đề lại đi cho một bài quá khó đến mức không ai giải được ở chuyên đề Oxy này mặc dù đây là câu điểm 8 Và thông thường thì gợi ý cách làm đã nằm sẵn trong các dữ kiện đề bài rồi Dữ kiện... 2 +2t –12=0    t = -3 M(2;-4) Vậy M(-3;1)   Bình luận : Tự dưng trong phần chuyên đề hình học lại tòi ra một bài giải dùng toàn đại số Thế nhưng thực tế nếu không vẽ hình ra thì làm sao phát hiện được ngần ấy cái tam giác vuông Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc  1  A và phân giác ngoài góc B lần lượt là    : x  2 và... hơn rất nhiều nhờ hình vẽ Đây là một tính chất rất hay nhằm tạo ra mối liên hệ giữa tâm đường tròn ngoại tiếp với phân giác trong – hai yếu tố tưởng chừng như chẳng có gì liên quan lại có thể đến với nhau Đây mới là bài đầu tiên, càng về sau càng có nhiều “mối quan hệ ngầm” vô cùng thú vị và có những sợi dây liên kết các yếu tố gần như không tưởng Bài 2 (Ams lần 1 2014): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho... luận: Bài toán này thực tế chỉ là thay “1+2=3” thành “2+1=3” mà thôi Các bạn thấy cốt lõi vẫn là kỹ thuật bắt đối xứng qua phân giác trong Hãy khai thác triệt để các vấn đề liên quan vì không ngẫu nhiên mà người ra đề cho một đường “trên trời” Người ta đã chọn tức là chắc chắn có liên quan, các bạn cứ yên tâm Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang vuông ABCD (góc vuông tại A và D) Biết BC = CD = 2AB... a = 1- a   G 3  5  a 2 G   IH   3 +2  +  -3=0  a =-5  A  -1;-5 3 3 3 Tiếp theo các bạn làm tương tự như cách 1 Bình luận : Cách làm này các bạn chỉ nên đọc để tham khảo bởi vì đường thẳng Ơ-le không có trong sách giáo khoa Nhưng nhìn chung thì ngắn gọn hơn cách 1 phải không nào ! Một cách giải khác nữa: Kéo dài AK cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại M Ta có: MBC=MAC (góc nội tiếp... Tìm tọa độ đỉnh A Định hướng: Bài toán có rất nhiều dữ kiện hình học, đặc biệt nằm ở chỗ BC = CD = 2AB nên trước hết ta phải vẽ hình sao cho thật chính xác Các bạn vẽ hình cả rồi chứ, vậy thì chú ý một chi tiết rất khêu gợi đó là CD = 2AB Dường như người ra đề gợi ý cho chúng ta lấy trung điểm CD là M thì DM = MC = AB và tứ giác ABMD là hình chữ nhật dẫn đến BM  CD  BCD cân tại B mà BC = CD  BCD... của bài trước, khi gặp bài toán ít dữ liệu và liên qua đến tâm các đường tròn chắc chắn sẽ phải kẻ thêm đường phụ Điểm khác biệt của bài toán này nằm ở trực tâm H thay vì tâm đường tròn nội tiếp Đề bài không cho bất cứ thông tin nào liên quan đến đường phân giác trong, nhưng cứ vẽ vào vì ta vừa có 2 tính chất đặc biệt liên hệ giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và phân giác Kẻ phân giác trong AD, ID cắt BC . toán hình học phẳng cơ bản nhằm mục đích giúp các bạn nhớ lại những kiến thức cũ đã học từ cấp 2 để có thể tiếp cân được một cách dễ dàng nhất với các bài toán giải tích phẳng sử dụng tính chất. gì liên quan lại có thể đến với nhau. Đây mới là bài đầu tiên, càng về sau càng có nhiều “mối quan hệ ngầm” vô cùng thú vị và có những sợi dây liên kết các yếu tố gần như không tưởng. Bài. Định hướng: Từ kinh nghiệm của bài trước, khi gặp bài toán ít dữ liệu và liên qua đến tâm các đường tròn chắc chắn sẽ phải kẻ thêm đường phụ. Điểm khác biệt của bài toán này nằm ở trực tâm H thay