Chuyên đề iii Hàm số và đồ thị i. Kiến thức cơ bản 1. Hàm số a. Khái niệm hàm số - Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và x đợc gọi là biến số - Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức b. Đồ thị hàm số - Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ) c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến * Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R - Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 ) < f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R - Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 ) > f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R 1.1Hàm số bậc nhất a. Khái niệm hàm số bậc nhất - Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trớc và a 0 b. Tính chất Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau: - Đồng biến trên R khi a > 0 - Nghịch biến trên R khi a < 0 c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đờng thẳng - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b - Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0 * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Bớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy. Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d): y = ax + b (a 0). Khi đó + ' // ' ' a a d d b b = + { } ' ' 'd d A a a = + ' ' ' a a d d b b = = + ' . ' 1d d a a = e. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a 0) Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox. - Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b - Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b f. Một số phơng trình đờng thẳng - Đờng thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 )có hệ số góc k: y = k(x x 0 ) + y 0 - Đờng thẳng đi qua điểm A(x 0 , 0) và B(0; y 0 ) với x 0 .y 0 0 là 0 0 1 x y x y + = 1.2 Hàm số bậc hai a. Định nghĩa - Hàm số có dạng y = ax 2 (a 0) b. Tính chất - Hàm số y = ax 2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và: + Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0 + Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0 c. Đồ thị của hàm số y = ax 2 (a 0) - Đồ thị hàm số y = ax 2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị 2. Kiến thức bổ sung 2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x 1 , y 1 ) và B(x 2 , y 2 ). Khi đó - Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức 2 2 ( ) ( ) B A B A AB x x y y = + - Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức ; 2 2 A B A B M M x x y y x y + + = = 2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax 2 (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax 2 (a 0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó - Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình 2 y ax y mx n = = + - Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình ax 2 = mx + n (*) - Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*) + Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung + Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau + Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt II. Bài tập mẫu: Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d). a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến. b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm đợc của m. c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. e. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. Bài 2: Cho hai đờng thẳng: y = (k - 3)x - 3k + 3 (d 1 ) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d 2 ). Tìm các giá trị của k để: a. (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau. b. (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. c. (d 1 ) và (d 2 ) song song với nhau. d. (d 1 ) và (d 2 ) vuông góc với nhau. e. (d 1 ) và (d 2 ) trùng nhau. Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m có đồ thị là đờng thẳng d . Tìm giá trị của m để : a. Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến) b. (d) đi qua điểm (2;-1) c. (d)// với đờng thẳng y =3x-4 d. (d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1 e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0 f. (d) c¾t ®êng th¼ng 2x+ y = -3 t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng -2 g. Chøng tá (d) lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh trªn trôc tung Bµi 4: cho (p) y = 2x 2 vµ ®êng th¼ng (d) y = (2m-1)x – m 2 -9 . T×m m ®Ó : a. §êng th¼ng(d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt b. (d) tiÕp xóc víi (P) c. (d) vµ (P) kh«ng giao nhau. Bài 5: Cho hàm số: 2 1 2 y = x− có đồ thị (P). a) Tìm các điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt bằng –1 và 2. b) Viết phương trình đường thẳng AB. c) Viết phương trình đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm. Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x 2 có đồ thị (P). a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x > 0. b) Với m = – 2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2x – 3. c) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d): y = 2x – 3. Tìm tọa độ tiếp điểm. Bài 7: Chứng tỏ đường thẳng (d) luôn tiếp xúc với Parabol (P) biết: a) (d): y = 4x – 4; (P): y = x 2 . b) (d): y = 2x – 1; (P): y = x 2 . Bài 8: 8.1) Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt: a) (d): y = –3x + 4; (P): y = x 2 . b) (d): y = – 4x + 3; (P): y = 4x 2 . 8.2) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong các trường hợp trên. Bài 9: Cho Parabol (P) có phương trình: y = ax 2 và hai đường thẳng sau: (d 1 ): 4 1 3 y x = − (d 2 ): 4x + 5y – 11 = 0 a) Tìm a biết (P), (d 1 ), (d 2 ) đồng quy. b) Vẽ (P), (d 1 ), (d 2 ) trên cùng hệ trục tọa độ với a vừa tìm được. c) Tìm tọa độ giao điểm còn lại của (P) và (d 2 ). d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với (d 1 ). Bài 10: Cho Parabol (P): 2 1 2 y x = và đường thẳng (d): y = 2x + m + 1. a) Tìm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng – 2. b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dương. d) Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x 1 ≠ x 2 thỏa mãn: 2 2 1 2 1 1 1 2x x + = Bài 11: Cho hàm số: y = ax 2 có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d). a) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định. b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó. c) Viết phương trình đường thẳng qua M và tiếp xúc với Parabol (P). . Chuyên đề iii Hàm số và đồ thị i. Kiến thức cơ bản 1. Hàm số a. Khái niệm hàm số - Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định. sung 2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x 1 , y 1 ) và B(x 2 , y 2 ). Khi đó - Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức 2. trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. e. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. Bài 2: Cho hai đờng thẳng: y = (k - 3)x - 3k + 3 (d 1 ) và y = (2k