Bài tốn quỹ tích hình học THCS Bài giảng số 3: DẠNG BÀI QUỸ TÍCH THUỘC LOẠI TRỊN Dạng 4: Quỹ tích đường trịn, cung trịn 4.1 Quỹ tích điểm cách điểm O cố định khoảng R khơng đổi đường trịn (O; R) Ví dụ 18: Cho hai đường thẳng x y vng góc với O Đoạn thẳng AB = h (h cố định) chuyển động cho A thuộc x, B thuộc y Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB + Về phía Ox ta ln tìm hai điểm thuộc quỹ tích  Quỹ tích nhận Ox trục đối xứng + Vế phía Oy ta ln tìm hai điểm thuộc quỹ tích tích  Quỹ tích nhận Oy trục đối xứng Suy quỹ tích đường trịn có tâm O Bước 2: Chứng minh thuận Ta có OM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông OAB nên OM = AB h = cố định 2 Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Bài tốn quỹ tích hình học THCS Vậy M nằm đường tròn (O; h ) *Giới hạn: Vì A, B chạy đường thẳng x y nên M di động đường tròn (O; h ) Bước 3: Chứng minh đảo Thiết lập mệnh đề đảo sau: lấy điểm M’ thuộc (O; h ) Vẽ (M’, MO) cắt x A’, cắt y B’ Chứng minh M’ trung điểm A’B’ OA’ + OB’ = h Phần chứng minh giành cho bạn đọc Ví dụ 19: Cho đường (O; R); A điểm cố định nằm đường tròn, B điểm chuyển động đường tròn Tìm tập hợp trung điểm M AB Hướng dẫn: a) Phần thuận: Gọi I trung điểm OA, suy I cố định Xét ΔABO ta có:  MI = MI = MA = MB   MI đường trung bình tam giác ΔABO IA = IO  OB R = 2 R (không đổi) I cố định nên M thuộc đường tròn Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400  R  I;   2 Page Bài tốn quỹ tích hình học THCS Giới hạn B chuyển động đường tròn (O; R) nên M chuyển động đường R tròn  I;   2   b) Phần đảo Lấy điểm M' thuộc đường tròn  R  I;  Trên tia đối tia M' A lấy  2 điểm B' cho: M'A = M'B' , ta cần chứng minh B' thuộc (O; R) Thật vậy, ta có: OB’ = 2MI = R (t/c đường trung bình) suy đpcm Bài tập áp dụng Bài 1: Cho đường (O) dây AB cố định M điểm tuỳ ý cung nhỏ AB Gọi K trung điểm đoạn MB Từ K hạ đường KP  MA Tìm tập hợp P M di chuyển cung nhỏ AB cho Bài 2: Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định đường tròn Điểm M di động tiếp tuyến xy A (O; R) Qua M vẽ tiếp tuyến thứ hai với (O; R) Gọi tiếp điểm B a) Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AMB b) Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác AMB Bài 3: Đường trịn tâm O có dây cung AB cố định, gọi I điểm cung lớn AB Lấy điểm M thuộc cung lớn AB, dựng tia Ax vng góc với đường thẳng MI H cắt tia BM C a) Chứng minh tam giác AIB AMC tam giác cân b) Khi điểm M di động, chứng minh điểm C chuyển động cung tròn cố định Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Bài toán quỹ tích hình học THCS (Đề tuyển sinh vào THPT Chu Văn An Hà Nội – Amsterdam năm học 2005 – 2006) Bài 4: Cho hai điểm A, B cố định (O ; R) điểm C chuyển động đường trịn Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác ABC (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2005 – 2006) Bài 5: Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự đường thẳng d Vẽ nửa đường trịn đường kính AB, AC thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ đường thẳng d Một điểm H chuyển động đoạn AB Đường thẳng vng góc với d H cắt hai nửa đường trịn nói D E Gọi M giao điểm hai đường thẳng DB EC Tìm quỹ tích điểm M Bài 6: Cho đường tròn (O; R) tam giác cân ABC có AB = AC nội tiếp đường trịn (O; R) Kẻ đường kính AI Gọi M điểm cung nhỏ AC Mx tia đối tia MC Trên tia đối tia MB lấy điểm D cho MD = MC a) Chứng minh MA tia phân giác của góc BMx b) Gọi K giao thứ hai đường thẳng DC với đường trịn (O) Tứ giác MIKD hình gì? sao? c) Gọi G trọng tâm tam giác MDK Chứng minh M di động cung nhỏ AC G ln nằm đường tròn cố định Bài 7: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O), M chuyên động đường trịn Gọi H hình chiếu C tren AM, gọi I giao điểm BM CH Chứng minh điểm I di chuyên đường tròn cố định điểm M di động (O) Bài 8: Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định đường tròn Điểm M lưu động tiếp tuyến xy A (O; R) Qua M vẽ tiếp tuyến thứ hai với (O; R) Gọi tiếp điểm B a) Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AMB b) Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác AMB 4.2 Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB góc vng đường trịn đường kính AB Ví dụ 20: Cho đường trịn (O;R) AB đường kính Gọi d đường trung trực OB Gọi M N hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d Trên tia OM, ON lấy điểm M’ N’ cho OM’.OM = ON’.ON  R Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Bài toán quỹ tích hình học THCS a) Chứng minh bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc đường tròn b) Khi điểm M chuyển động d, chứng minh điểm M’ thuộc đường trịn cố định (Trích đề thi HSG cấp tỉnh Hải Dương năm học 2011 – 2012) Lời giải Chứng minh bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc đường tròn M OM ' ON ' (vì OM’.OM = ON’.ON);  ON OM MON chung nên OM ' N đ dạng với M' A ON ' M B O  ONM '  OMN ' N N' b) Khi điểm M chuyển động d, chứng minh điểm M’ thuộc đường tròn cố định Bước 1: Dự đốn quỹ tích: - Về phía đường thẳng AB ta ln tìm điểm M’ M’’ thuộc quỹ tích đối xứng với qua AB Vậy quỹ tích đường trịn có tâm nằm đường thẳng AB - Khi M  C M'  C' thỏa mãn R2 R2 OC.OC' = R  OC' =  = 2R = AB  OC R : C' đối xứng với A qua O suy quỹ tích M’ đường trịn đường kính OC’ Bước 2: Chứng minh thuận Gọi giao d với OB C Lấy điểm C’ đối xứng với O qua B  điểm C’ cố định tia OC Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Bài tốn quỹ tích hình học THCS Ta có: OC.OC '  BO.2BO  R  OC.OC '  OM '.OM  OC OM ' ; MOC chung  OCM đồng dạng với OM ' C '  OM OC '  OM ' C  OCM  900 Vậy M’ thuộc đường tròn đường kính OC’ cố định Dễ thấy M’ khác O R > O nên quỹ tích đường trịn đường kính OC’ trừ điểm O Ví dụ 21: Trên đoạn AB lấy điểm M tùy ý Trên AM BM dựng phía AB hình vng Đường trịn ngoại tiếp hình vng cắt I Chứng minh I di động đường cố định M di chuyển AB? Lời giải Ta có: AIM  ACM  45o FIM  180o  FNM  180o  45o  135o  AIM + FIM = 180o  A, I, F thẳng hàng DMA  ABF  45o Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Bài tốn quỹ tích hình học THCS  DM // FB mà AC  DM nên AC  FB Xét tam giác AFB có - FM  AB (gt) - AC  FB (cmt)  C trực tâm tam giác AFM  BC  AF A, I, F thẳng hàng nên BC  AI Mặt khác IC  AI  B, I, C thẳng hàng  BI  AI Hay I nằm đường trịn đường kính AB + Giới hạn: Quỹ tích I nửa đường trịn đường kính AB Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm quỹ tích đỉnh C tam giác ABC có AB cố định, đường cao BH cạnh AC Bài 2: Cho đường tròn (O) điểm M nằm ngồi đường trịn (O) Từ M kẻ cát tuyến MAB Tìm quỹ tích trung điểm N AB cát tuyến quay quanh M Bài 3: Cho nửa (O) đường kính AB Điểm C di động cung AB Hạ CH  AB Trên CO lấy điểm M cho OM = CH Tìm tập hợp điểm M Bài 4: Cho nửa (O) đường kính AB Điểm C di động cung AB Dựng hình vng CBEF phía ngồi đường ABC Tìm tập hợp điểm E C chạy cung AB Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A Gọi O1 , O2 tâm đường trịn đường kính ABC AC Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt ( O1 ) E, cắt ( O2 ) F Chứng minh trung điểm M EF thuộc đường trịn cố định Bài 6*: Cho hình vng ABCD cố định Một điểm I di động cạnh AB (I khác A B) Tia DI cắt tia CB E Đường thẳng CI cắt đường thẳng AE M Đường thẳng BM cắt đường thẳng DE F Tìm quỹ tích điểm F Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Bài tốn quỹ tích hình học THCS Bài 7: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Kẻ tiếp tuyến (d) B đường tròn (O) Gọi N điểm di động (d), kẻ tiếp tuyến NM (M thuộc (O)) a) Tìm quỹ tích tâm P đường trịn ngoại tiếp tam giác MNB b) Tìm quỹ tích tâm Q đường trịn nội tiếp tam giác MNB Bài 8: Cho BC dây cung cố định đường tròn O A điểm di động cung lớn BC, phân giác góc BAC cắt cung BC D M hình chiếu B AD Tìm quỹ tích điểm M Bài 9: Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định Điểm C di động (O) Trên đoạn thẳng CA lấy điểm D cho AD = BC Tìm quỹ tích điểm D Dạng 5: Quỹ tích cung chứa góc Ví dụ 22: Cho đường trịn tâm O đường kính AB cố định, dựng dây cung AC tùy ý kéo dài Trên tia AC đặt phía điểm C đoạn CM = CB (M nằm ngồi đường trịn) Tìm quĩ tích điểm M Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Bài tốn quỹ tích hình học THCS Lời giải: a) Phần thuận Ta có ACB  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  CBM vng mặt khác CB = CM (gt) suy CBM vuông cân C  CMB  45o hay AMB  45o  M nằm cung chứa góc 45 độ dựng đoạn AB +Giới hạn - Khi C  A  M  D (D nằm đường thẳng qua A vuông góc với AB cách A khoảng AB) Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Bài toán quỹ tích hình học THCS - Khi C  B  M  B Vậy quỹ tích M cung BD cung BD’ đối xứng với cung BD qua đường thẳng AB Ví dụ 23: Cho xOy   cố định, điểm I cố định góc xOy Một góc vng có đỉnh I quay quanh I, cạnh góc vng cắt Ox A cắt Oy B Tìm tập hợp điểm H hình chiếu I AB a) Phần thuận Gọi E, F hình chiếu I Ox, Oy Tứ giác IEOF nội tiếp suy EIF  180o   Tứ giác IHBF nội tiếp suy I1 = H1 Tứ giác IEAH nội tiếp suy I2 = H2  I1  I2 = H1  H2  180o    90o  90o    EHF  180o  90o    90o    H nằm cung chứa góc 90o   dựng đoạn EF Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 10 Bài tốn quỹ tích hình học THCS *Giới hạn - Khi A  E B  O  H trùng E - Khi B  F A  O  H trùng F Vậy quỹ tích H cung EF nằm góc xOy b) Phần đảo Bạn đọc tự chứng minh Bài tập áp dụng Bài 1: Cho ABC nội tiếp đường trịn (O) có A  120o , dây cung BC cố định Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC Tìm quỹ tích điểm C A di động (O) Bài 2: Cho đường trịn tâm O đường kính AB cố định , dựng dây cung AC tùy ý kéo dài Trên tia AC đặt phía điểm C đoạn CM =CM’= CB (M nằm ngồi đường trịn) Tìm quĩ tích điểm M M’ Bài 3: Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') cắt A D có đường kính AOB AO'C vng góc với A Một đường thẳng d qua A cắt nửa đường trịn khơng chứa điểm D (O), (O') tương ứng điểm M, N khác A a) Chứng minh tam giác ABM tam giác CAN đồng dạng b) Tìm quỹ tích giao điểm P OM O'N d di động Bài 4: Một điểm A động nửa đường trịn đường kính BC cố định Đường thẳng qua C song song với BA cắt đường phân giác ngồi góc BAC tam giác ABC D Tìm quỹ tích D Bài 5: Tứ giác lồi ABCD có AC cố định, A  45o ; B = C = 90o a) Chứng minh BD cố độ dài không đổi b) Gọi E giao BC AD, F giao DC AB Chứng minh EF có độ dài khơng đổi Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 11 Bài toán quỹ tích hình học THCS c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 12 ... nằm đường tròn đường kính AB + Giới hạn: Quỹ tích I nửa đường trịn đường kính AB Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm quỹ tích đỉnh C tam giác ABC có AB cố định, đường cao BH cạnh AC Bài 2: Cho đường tròn. .. E Đường thẳng CI cắt đường thẳng AE M Đường thẳng BM cắt đường thẳng DE F Tìm quỹ tích điểm F Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 098 7708400 Page Bài tốn quỹ tích hình học THCS Bài 7: Cho đường. .. B a) Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AMB b) Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác AMB 4.2 Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB góc vng đường trịn đường kính AB Ví dụ 20: Cho đường trịn