574 Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thành Công VCM2012 Về hai phương pháp giải bài toán động lực học ngược robot song song On two methods for calculating inverse dynamics of parallel manipulator Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thành Công Trường đại học Bách Khoa Hà Nội Email: nvankhang@mail.hut.edu.vn, ntcongbk@gmail.com Tóm tắt Trong báo cáo này trình bày hai phương pháp giải bài toán động lực học ngược robot song song – phương pháp sử dụng nhân tử Lagrange và phương pháp thu gọn tọa độ. Sau khi trình bày lý thuyết, đã tiến hành tính toán mô phỏng số một thí dụ về giải bài toán động lực học ngược robot song song phẳng 3RPR. Abstract In this paper, two methods – using Lagrange multiplier and using coordinate reduction – are proposed for calculating inverse dynamics of parallel manipulator. After addressing the principles of two methods, an example – a 3 RPR planar parallel manipulator – is demonstrated for the efficiency of the proposed methods in the analysis of inverse dynamic problem. 1. Mở đầu Các robot song song là các hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng [1-3]. Như đã biết, phương trình vi phân - đại số mô tả chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng có dạng [1]         , T s    M s s b s s g s τ Φ s λ   (1)    f s 0 (2) Gọi a n a q  là véc tơ các tọa độ khớp chủ động, z n z   là véc tơ tọa độ các khớp suy rộng dư (bao gồm các tọa độ khớp bị động và có thể cả tọa độ thao tác). Ký hiệu , , , s T n T T a s a z n n n s q z s            (3) Trong các phương trình (1) và (2) ta có     , , , s s s n n n r r T r s M s f Φ s λ               , , , s s s n n n s f Φ g s b s,s τ s           Bài toán động lực học ngược được phát biểu dưới dạng: Cho biết quy luật chuyển động của khâu thao tác   , m tx x x   và phương trình liên kết   , f x q 0  , , n r q f    . Xác định mô men (hay lực) của khâu dẫn động a n a τ  cần thiết để tạo ra chuyển động mong muốn của khâu thao tác. Trong các tài liệu [3-9] đã trình bày việc áp dụng các phương pháp nguyên lý công ảo, phương trình Lagrange dạng nhân tử để giải bài toán động lực học robot song song. Trong bài báo này áp dụng phương pháp tách cấu trúc để thiết lập phương trình vi phân đại số của các robot song song [10- 12]. Sau đó trình bày việc tính toán so sánh hai phương pháp giải bài toán động lực học ngược robot song song. 2. Giải bài toán động lực học ngược dựa trên phương trình Lagrange dạng nhân tử Theo phương pháp này, phương trình liên kết (2) được sử dụng để giải bài toán động học ngược. Khi giải xong bài toán này ta được [10-11]       , , , 0,1, , k k k t t t k K s s s    (4) Phương trình (1) dùng để tính các nhân tử Lagrange, các lực và mô men cần thiết của các khâu dẫn. Trước hết ta viết lại phương trình (1) dưới dạng       1 , , T s tM s s p s s τ Φ s λ      (5) Ta tách n s phương trình (5) thành hai nhóm, nhóm thứ nhất gồm n a phương trình có chứa mô men (hay là lực) của khâu phát động, nhóm thứ hai gồm n z phương trình còn lại               1 1 1 1 , , T a a z a a t   M s q M s z p s s τ Φ s λ   (6)               2 2 2 1 , , T a a z z tM s q M s z p s s Φ s λ      (7) Trong đó                   1 1 2 2 a z a z M s M s M s M s M s            (8)         , T a T s a z s T z              Φ s Φ Φ Φ Φ s Φ s (9) Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 575 Mã bài: 132 Xét trường hợp , z z r n Φ  là ma trận chính quy. Khi đó từ phương trình (7) ta suy ra               2 2 2 1 , , T z a a z t Φ s λ M s q M s z p s s       (10)               1 2 2 2 1 , , T z a a z t λ Φ s M s q M s z p s s                    (11) Thế (11) vào phương trình (6) ta được phương trình xác định a τ               1 1 1 1 , , T a a a z a t τ M s q M s z p s s Φ s λ       (12) Sơ đồ tính mô men (hay lực) phát động của robot song song Các bước giải bài toán động lực học ngược theo phương pháp thứ nhất Bước 1: Giải bài toán động học ngược. Cho biết   t x và   f x,q = 0 . Tính       , , t t t s s s   Bước 2 : Từ phương trình vi phân đại số mô tả chuyển động của robot song song, tính các ma trận         , , s M s ,b s,s Φ s g s  Bước 3 : Tính các nhân tử Lagrange (hay các phản lực liên kết) từ phương trình (11) Bước 4 : Tính các mô men phát động từ phương trình (12) 3. Giải bài toán động lực học ngược dựa trên các phương trình vi phân thu gọn về các tọa độ tối thiểu Ý tưởng của phương pháp này là: Khử các tọa độ suy rộng dư z và các nhân tử Lagrange λ , biến đổi hệ phương trình vi phân đại số (1) và (2) về hệ phương trình vi phân thường với các tọa độ là các thành phần của véc tơ a q , số lượng phương trình bằng số bậc tự do của hệ. Xét các phương trình liên kết (2)     , , , , a z n nr a a f s f q z 0 f z q        (13) Giả sử số lượng các tọa độ dư bằng số các phương trình liên kết bổ sung r=n z . Từ phương trình (13) ta suy ra   s f f s Φ s s 0 s d d d      (14) Gọi s d là nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính (14), ta có       s a a z Φ s s Φ s q Φ s z 0 d d d    (15) Viết lại phương trình (1), ta có         , T s Φ s λ M s s b s s g s τ       (16) Chuyển vị hai vế của phương trình (16) ta được       , T T s λ Φ M s s b s s g s τ             (17) Nhân hai vế của phương trình (17) với s d ta được       , T T s λ Φ s M s s b s s g s τ s d d             (18) Chú ý đến công thức (15),   s Φ s s 0 d  , từ (18) ta suy ra       , T T M s s b s s g s τ s 0 d             (19) Mặt khác từ phương trình (15) ta có     1 z a a z Φ s Φ s q d d    (20) Chú ý rằng véc tơ a q d có thể viết lại dạng a a n a q E q d d  (21) Kết hợp hai phương trình (20) và (21) ta có     1 a n a a z a E q s q z Φ s Φ s d d d d                       (22) Nếu ta đưa vào ký hiệu       1 a n z a E R s Φ s Φ s              (23) Thì phương trình (22) có dạng   a s R s q d d  (24) Từ (24) ta suy ra   a s R s q    (25) Thế biểu thức (24) vào phương trình (19) ta có         , T T a M s s b s s g s τ R s q 0 d             (26) Do 1 2 , , , n a a a a q q q d d d là các biến phân độc lập, nên từ phương trình (26) ta suy ra         , T R s M s s b s s g s τ 0             (27) Phương trình (27) có thể viết lại dưới dạng           , T T R s τ R s M s s b s s g s            (28) Từ phương trình (23) ta có   1 1 [ , ( ( ) ( )) ] ( ( ) ( )) a T T na z a z T a z a z               τ R s τ E Φ s Φ s τ τ Φ s Φ s τ (29) Thế (29) vào phương trình (28) ta được Động học ngược Xác định  (pt 11) Xác định momen phát động (pt 12) x(t)  s(t)  a 576 Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thành Công VCM2012         1 , +( ( ) ( )) T a T z a z τ R s M s s b s s g s Φ s Φ s τ             (30) Các bước giải bài toán động lực học ngược theo phương pháp thứ hai : Bước 1 : Giải bài toán động học ngược. Cho biết   t x và   f x,q = 0 , tính       , , t t t s s s   Bước 2 : Tính các ma trận       1 , , z a z Φ s Φ s ,Φ s      , ( , ), ( ) R s ,M s b s s g s  Bước 3 : Tính các mô men (hay lực) của các khâu dẫn động theo công thức (30) 4. Thí dụ áp dụng Trong thí dụ áp dụng, ta xét chuyển động của robot song phẳng 3RPR (H. 1). Robot song phẳng 3RPR có 3 bậc tự do (k=3). Chọn các tọa độ suy rộng dư là T T T T a p s q q x        . Trong đó a q là các tọa độ suy rộng độc lập (hay các tọa độ suy rộng của các khâu chủ động), p q z x            là các tọa độ suy rộng phụ thuộc (với p q là các tọa độ suy rộng của các khâu bị động và x là tọa độ suy rộng của bàn máy động). Ta sẽ giải bài toán động lực học ngược robot song phẳng 3RPR trong hai trường hợp như sau: * Khâu chủ động là 1 1 2 2 3 3 , , P A P A P A 1 1 2 2 3 3 , , P a p P u x u y u q q x q q q j                                              * Khâu chủ động là 1 1 2 2 3 3 , , A B A B A B 1 1 2 2 3 3 , , P a p P u x u y u q q x q q q j                                              a) Thiết lập các phương trình vi phân –đại số Phương trình xác định trọng tâm bàn máy động P có dạng 1 1 1 1 1 1 PP PA A B B P        (31) Chiếu (31) lên hai trục tọa độ x và y ta được 1 2 1 1 2 1 1 3 cos cos + 2 3 6 1 3 sin sin + 2 3 6 P P x u l h y u l h p q j p q j                                                   (32)   2 2 2 2 , , m l C x P 2  2  2 F 2 A 2   2 1 1 1 , , m l C u 2   1 2 2 2 , , C m l P 1 u 1  1  1 F 1   1 1 1 1 , , C m l A 1 B 3 B 2 B 1   3 2 2 2 , , C m l  3 P 3 u 3  3 F 3   3 1 1 1 , , C m l A 3 h  P y H. 1 Robot song phẳng 3RPR y P x P Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 577 Mã bài: 132 Phương trình của vòng động học thứ nhất 2 2 2 3 3 3 2 P A B B A PP 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 0 P A A B B B B A A P P P             (33) Sau khi biến đổi ta được 1 1 2 2 2 2 2 2 PP PP P A A B B P          (34) Chiếu (34) lên hai trục tọa độ x và y ta được 2 2 2 2 2 2 1 3 cos cos 2 3 6 1 3 sin sin 2 3 6 P P x c u l h y u l h p q j p q j                                                      (35) Phương trình của vòng động học thứ hai 1 1 1 3 3 3 1 P A B B A P P . Hoàn toàn tương tự như vòng động học thứ nhất ta được 3 2 3 3 2 3 1 3 cos sin 2 2 3 3 1 3 sin cos 2 2 3 P P c x u l h y c u l h q j q j                               (36) Để thiết lập phương trình vi phân chuyển động của robot, ta sử dụng phương pháp tách cấu trúc. Ta sẽ tách robot thành các cơ cấu con có cấu trúc đơn giản hơn như các hình (2-5). Để thiết lập phương trình vi phân chuyển động của chân thứ nhất (H. 2), ta chọn tọa độ suy rộng như sau     1 1 1 T u q q (37) Phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận của hệ hai khâu       * M q q +C q,q q +g q = f    (38) Từ hình vẽ ta có thể xác định véc tơ vị trí khối tâm 2 khâu     1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 cos 2 cos 1 sin , sin 2 0 0 C C l u l ur r q q q q                                       (39) Từ (39) ta tính được các ma trận Jacobi tịnh tiến P 1   2 2 2 2 , , C m l x P 2  2  2 F 2 A 2   2 1 1 1 , , C m l u 2 B 2 Y 2 X 2 y H. 3 Chân thứ hai y x P 1   3 2 2 2 , , C m l  3 P 3 u 3  3 B 3   3 1 1 1 , , C m l A 3 X 3 Y 3 H. 4 Chân thứ ba  P x y P 1 X 1 Y 1 X 3 X 2 Y 3 Y 2 x P y P h H. 5 Bàn máy động   1 2 2 2 , , C m l P 1 u 1  1  1 F 1   1 1 1 1 , , C m l A 1 y X 1 Y 1 B 1 x H. 2 Chân thứ nhất 578 Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thành Công VCM2012             1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin 0 2 1 cos 0 2 0 0 sin cos cos sin 0 0 C T C T l l u u r J q r J q q q q q q q                                               (40) Các véc tơ vận tốc góc của hai khâu     1 1 1 2 1 1 0 0 0 , 0 ω ω q q                             (41) Từ (41) ta tính được các ma trận Jacobi quay             1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 , 0 0 1 0 1 0 R R ω ω J J q q                                   (42) Gọi 1 2 , I I lần lượt là mô men quán tính của các khâu 1 1 1 1 , P A A B đối với trục đi qua khối tâm của chúng và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Từ đó suy ra các ma trận mô men quán quán tính khối có dạng     1 2 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 C C I I I I                           (43) Thay các giá trị ở (40), (42) và (43) vào biểu thức                     1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 T T T T T T T T R C R R C R m m M(q) J J J J J I J J I J     Ta được ma trận khối lượng của hệ hai khâu 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 0 4 0 m l m u I I m M(q)                 (44) Theo [12] ta có công thức ma trận Coriolis           1 2 T n n M q M q C q,q I q q I q q                         (45) Từ đó suy ra   2 1 1 2 1 1 2 0 0 m u u m u C q,q q              (46) Thế năng của robot có dạng 1 1 2 1 1 1 sin 2 m l m u g q               Từ đó suy ra   1 1 2 1 1 1 2 1 1 cos 2 sin T m l m u g m g g q q q                                         (47) Công ảo của các lực không có thế 1 1 1 1 1 1 1 1 A F u X x Y y d t dq d d d     (48) Từ hệ thức 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 cos , sin 2 2 x u l y u l q q                           ta suy ra 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 sin cos 2 1 cos sin 2 x u l u y u l u d q dq q d d q dq q d                              (49) Thay (49) vào (48) ta được   1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin 2 1 cos 2 cos sin A X u l Y u l F X Y u d t q q dq q q d                                       (50) Từ (50) ta tính được ma trận f * 1 1 2 1 1 1 2 1 * 1 1 1 1 1 1 1 1 sin cos 2 2 cos sin X u l Y u l F X Y f t q q q q                                            (51) Thế các biểu thức (44), (46), (47), (51) vào phương trình (38) ta được phương trình vi phân chuyển động của hai khâu gốc P 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 4 1 cos 2 1 1 sin cos 2 2 m l m u I I m u u m l m u g X u l Y u l q q q t q q                                                           (52) 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 sin cos sin m u m u m g F X Y q q q q        Bây giờ ta chuyển sang thiết lập phương trình vi phân chuyển động của bàn máy động (H. 5). Giả sử bàn máy động là một tam giác đều, đồng chất. Gọi m và I lần lượt là khối lượng và mô men quán tính của bàn máy động đối với trục đi qua khối tâm P và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Ta có véc tơ tọa độ suy rộng   T P P x yx j  . Chuyển động của bàn máy động là chuyển động song phẳng. Từ hình vẽ 5 ta thấy, bàn máy động chịu tác dụng của các phản lực liên kết là 1 1 2 2 3 3 , , , , , X Y X Y X Y . Do đó áp dụng phương trình vi Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 579 Mã bài: 132 phân chuyển động của vật rắn chuyển động song phẳng ta có  1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 3 sin cos 3 6 6 sin cos 6 6 ccos sin P P mx X X X my mg Y Y Y I h X Y X Y X Y p p j j j p p j j j j                                                                     (53) Tóm lại đối với robot phẳng 3 RPR ta có hệ các phương trình vi phân – đại số như sau : Sáu phương trình liên kết 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 3 cos cos + 2 3 6 1 3 sin sin + 2 3 6 1 3 cos cos 2 3 6 1 3 sin sin 2 3 6 2 P P P P P x u l h y u l h x c u l h y u l h c x p q j p q j p q j p q j                                                                                                          3 2 3 3 2 3 1 3 cos sin 2 3 3 1 3 sin cos 2 2 3 P u l h y c u l h q j q j                             (54) Chín phương trình vi phân 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 cos sin cos 4 2 2 2 sin cos sin m l m u I I m u u m l m u g X u l Y u l m u m u m g F X Y q q q t q q q q q q                                                                  2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 cos sin cos 4 2 2 2 m l m u I I m u u m l m u g X u l Y u l q q q t q q                                                           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin m u m u m g F X Y q q q q        (55) 2 2 1 1 2 3 1 2 3 2 3 3 3 1 1 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 2 cos sin cos 4 2 2 2 sin cos sin m l m u I I m u u ml m u g X u l Y u l m u m u m g F X Y q q q t q q q q q q                                                                   1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 3 sin cos sin cos ccos sin 3 6 6 6 6 P P mx X X X my mg Y Y Y I h X Y X Y X Y p p p p j j j j j j j                                                                     b) Mô phỏng số bài toán động lực học ngược robot song phẳng 3RPR i=1 i=2 i=3 x Pi [m] 0 0.3 3 0.15 3 y Pi [m] 0 0 0.45 h[m] 0.3 3 l 1 [m] 0.2 l 2 [m] 0.2 m 1 [kg] 3 m 2 [kg] 1.5 m[kg] 5 Bảng 1. Thông số kỹ thuật của robot 3RPR Để mô phỏng số ta cho các thông số kỹ thuật của robot song phẳng 3RPR trên bảng 1 [7]. Công thức tính mô men quán tính khối có dạng như sau 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0.01[ . ], 0.005[ . ] 12 12 0.1687[ . ] 8 C C m l m l I kg m I kg m mh I kg m       Giả sử bàn máy động chuyển động theo quy luật [7]     0 0 0 1 sin 3 cos 3 1 cos 3 P P P P x x R t y y R t t p p p j j                              Trong đó            0 0 0 0.15 3 , 0.15, 0.025 , 0,3 12 P P x m y R m t p j            580 Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thành Công VCM2012 Bài toán đặt ra là xác định mô men (hay lực) và công suất của khâu dẫn động cần thiết để tạo ra chuyển động của bàn máy động. Một phần các kết quả tính toán trên phần mềm MATLAB cho trên các hình từ hình 6 đến hình 17. Trong đó đưa ra hai phương án: Phương án 1 mômen dẫn động đặt vào các khâu quay nối giá, phương án 2 lực dẫn động đặt tại các khâu chuyển động tịnh tiến tương đối. Ta thấy các công suất của từng động cơ trong hai trường hợp khác nhau nhưng tổng công suất trong hai trường hợp là như nhau. Về hiệu quả của hai phương pháp tính, nếu chọn số bước tính toán K=150, ta có thể so sánh thời gian tính toán theo hai phương pháp như bảng sau : Phương pháp dựa trên phương trình Lagrange dạng nhân tử Truyền động bằn mô men 0.235(s) Truyền động bằng lực 0.234(s) Phương pháp dựa trên các phương trình vi phân thu gọn về tọa độ tối thiểu Truyền động bằng mô men 0.218(s) Truyền động bằng lực 0.212(s) Bảng 2. Thời gian tính toán của hai phương pháp Phương pháp giải bài toán động lực học ngược dựa trên phương trình Lagrange dạng nhân tử Trường hợp dẫn động mô men 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -30 -20 -10 0 10 20 30 t(s) Torque(Nm) torque1 torque2 torque3 H . 6 Đồ thị mô men các động cơ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 t(s) Power(W) power1 power2 power3 H. 7 Đồ thị công suất các động cơ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 t(s) Total Power(W) H. 8 Đồ thị tổng công suất các động cơ Trường hợp dẫn động lực 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 t(s) Force(Nm) force1 force2 force3 H. 9 Đồ thị lực dẫn động các động cơ Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 581 Mã bài: 132 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 t(s) Power(W) power1 power2 power3 H. 10 Đồ thị công suất các động cơ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 t(s) Total Power(W) H. 11 Đồ thị tổng công suất các động cơ Phương pháp giải bài toán động lực học ngược dựa trên phương pháp thu gọn về tọa độ tối thiểu Trường hợp dẫn động mô men 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -30 -20 -10 0 10 20 30 t(s) Torque(Nm) torque1 torque2 torque3 H. 12 Đồ thị mô men các động cơ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 t(s) Power(W) power1 power2 power3 H. 13 Đồ thị công suất các động cơ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 t(s) Total Power(W) H. 14 Đồ thị tổng công suất các động cơ Trường hợp dẫn động lực 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 t(s) Force(Nm) force1 force2 force3 H. 15 Đồ thị lực các động cơ 582 Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thành Công VCM2012 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 t(s) Power(W) power1 power2 power3 H. 16 Đồ thị công suất các động cơ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 t(s) Total Power(W) H. 17 Đồ thị tổng công suất các động cơ 5. Kết luận Tính toán động lực học ngược robot song song là một bài toán quan trọng trong việc điều khiển robot song song. Có nhiều phương pháp giải bài toán động lực học ngược, trong bài báo này, chúng tôi sử dụng 2 phương pháp đó là : phương pháp dựa trên phương trình Lagrange dạng nhân tử và phương pháp dựa trên phương trình vi phân thu gọn về tọa độ khớp chủ động. Dựa vào kết quả mô phỏng số ta thấy rằng, sử dụng cả hai phương pháp đều đạt độ chính xác cao hay sai số nhỏ (khoảng 10^-13 mm). Tuy nhiên sử dụng phương pháp dựa trên phương trình vi phân thu gọn về tọa độ khớp chủ động thì thời gian tính toán nhỏ hơn sử dụng phương pháp dựa trên phương trình Lagrange dạng nhân tử. Sử dụng phương pháp giải bài toán động học robot song song bằng phương pháp số [10-11] và kết hợp với phương pháp giải bài toán động lực học ngược trình bầy trong báo cáo này, nhóm nghiên cứu của chúng tôi đã tiến hành tính toán động học ngược, động lực học ngược và điều khiển nhiều robot song song phẳng và robot song song không gian. Các kết quả nghiên cứu sẽ được trình bày trong các công trình công bố sắp tới. Lời cảm ơn Công trình này được sự tài trợ về kinh phí của Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường về robot song song của Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu tham khảo [1] Nguyen Van Khang: Động lực học hệ nhiều vật. NXB khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2007. [2] J.P. Merlet: Parallel robots. Springer-Verlag, 2006. [3] L-W. Tsai: Robot analysis: The mechanics of serial and parallel manipulator. John Wiley & Sons, Inc, 1999. [4] Th. Geike; J. McPhee: Inverse dynamic analysis of parallel manipulators with full mobility. Mechanism and Machine Theory 38 (2003) 549 – 562. [5] W. A. Khan; V.N. Krori ; S.K. Saha; J. Angeles: Recursive kinematics and inverse dynamics for a planar 3 R parallel manipulator. Journal of Dynamic Systems, Measuremwnt, and Control, Vol. 127 (2005), pp. 529-536. [6] S. Staicu; D. Zhang; R. Rugescu: Dynamic modeling of a 3-DOF parallel manipulator using recursive matrix relations. Robotica Vol. 24 (2006), pp.125-130. [7] S. Staicu: Power requirement comparision in the 3-RPR planar parallel robot dynamics. Mechanism and Machine Theory 44 (2009) 1045 – 1057. [8] S. Staicu: Inverse dynamics of the 3-PRR planar parallel robot. Robotics and Autonomous Systems 57 (2009), pp. 556-563. [9] Do Thanh Trung; Jens Kotlarski; Bodo Heimann and Tobias Ortmainer: A new program to automatically generate the kinematic and dynamic equations of general robots in symbolic form. Proceeding of the ISRM 2009, Bach Khoa Publishing House 2009, pp 122-128. [10] Nguyen Van Khang: Inverse dynamics of constrained multibody systems using the projection matrix. Vietnam Journal of Mechanics, Vol. 35 (2013). [11] Nguyen Thanh Cong: Tính toán động lực học ngược robot song song sử dụng phương pháp tách cấu trúc. Đồ án tốt nghiệp đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 2012. [12] Nguyen Van Khang: Chu Anh My: Cơ sở robot công nghiệp. NXB giáo dục, Hà Nội 2011. Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 583 Mã bài: 132 Nguyễn Văn Khang, TS. 1973 (CHLB Đức), TSKH. 1986 (CHLB Đức), PGS Cơ học 1991 (ĐHBKHN), GS Cơ học 1996 (ĐHBKHN). Lĩnh vực nghiên cứu: Động lực học và điều khiển hệ nhiều vật/robot, Dao động tuyến tính và phi tuyến, Điều khiển các hệ cơ điện tử. Các giáo trình giảng dạy: Động lực học hệ nhiều vật, Động lực học phi tuyến và hỗn độn, Dao động kỹ thuật, Cơ học kỹ thuật, Động lực học và Điều khiển robot. Nguyễn Thành Công, sinh năm 1989, tốt nghiệp ngành cơ điện tử Trường ĐHBKHN 2012. Từ 2013 học cao học và nghiên cứu sinh tại Lab “Các hệ thống cơ điện tử thông minh”, Soongsil University, Seoul, Korea. Lĩnh vực nghiên cứu: Động lực học và Điều khiển robot, Dao động và Cơ điện tử. . tính toán so sánh hai phương pháp giải bài toán động lực học ngược robot song song. 2. Giải bài toán động lực học ngược dựa trên phương trình Lagrange dạng nhân tử Theo phương pháp này, phương. các động cơ 5. Kết luận Tính toán động lực học ngược robot song song là một bài toán quan trọng trong việc điều khiển robot song song. Có nhiều phương pháp giải bài toán động lực học ngược, . tính mô men (hay lực) phát động của robot song song Các bước giải bài toán động lực học ngược theo phương pháp thứ nhất Bước 1: Giải bài toán động học ngược. Cho biết   t x