ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THỦY VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THỦY VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƢU Thái Nguyên - 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan: Bản luận văn tốt nghiệp này là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu khảo sát và phân tích từ thực tiễn dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu. Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận văn này là hoàn toàn trung thực và chưa được sử dụng để bảo vệ một học vị nào, phần tài liệu tham khảo được xếp đúng thứ tự và đủ các thông tin theo đúng yêu cầu. Thái Nguyên, ngày 24 tháng 03  Tác giả Phạm Thị Thủy Mục lục Trang Lời cam đoan……………………………………………………………… i Mục lục…………………………………………………………………… ii Danh sách kí hiệu ……………………………………………………… iv Lời nói đầu……………………………………………………… 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị……………………………………………. 4 1.1. Tập lồi……………………………………………………… 4 1.2. Hàm lồi……………………………………………………… 5 1.3. Các phép toán bảo toàn tính lồi ……………………… …… 7 1.4. Bài toán tối ưu………………………………………………. 7 1.5. Tính liên tục của hàm số ……………………………….…… 9 1.6. Đạo hàm và ma trận Hessian………………………….…… 10 1.7. Ma trận xác định dương, nửa xác định dương. ………… …. 11 1.8. Bổ đề Farkas. ………………………………………………… 11 1.9. Nón pháp tuyến. ……………………………………… ……. 11 1.10. Dưới vi phân………………………………………………… 12 Chương 2. Quy tắc Fermat trong bài toán cực trị………………………… 14 2.1. Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến không có ràng buộc…………………………………………………………. 18 2.2. Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến có ràng buộc…… 22 2.3. Quy tắc Fermat cho hàm nhiều biến khả vi không có ràng buộc………………………………………………………………. 27 2.4. Mở rộng nguyên lý Fermat cho hàm nhiều biến có ràng buộc……………………………………………………… ……… 32 Chương 3. Áp dụng giải một số bài toán phổ thông…………… ….… … 39 3.1. Áp dụng cho bài toán cực trị hàm một biến………………… 39 3.2. Áp dụng chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số nhiều biến …………………… … … ……… 43 Kết luận ………………………………………………… … ………… 55 Tài liệu tham khảo……………………………………… … … 56 Danh sách ký hiệu n  Không gian Euclid n chiều     f ' x , f " x Đạo hàm (bậc 1 và bậc 2) của hàm số f(x)   lim na fx  Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới a [a,b] Đoạn thẳng nối hai điểm a và b .,. Tích vô hướng trong n  f Gradient của hàm f 2 f Ma trận Hessian f Dưới vi phân của hàm f   C Nx nón pháp tuyến ngoài của C tại x 1 Lời nói đầu. Trong việc ứng dụng toán học vào các bài toán thực tiễn, các bài toán cực trị là một trong những dạng toán gần với những ứng dụng thực tế nhất. Những yêu cầu về đường đi ngắn nhất, đường đi nhanh nhất, góc nhìn lớn nhất, tổng thời gian chờ đợi ít nhất, tổng chi phí ít nhất, tổng lợi nhuận cao nhất, diện tích lớn nhất … là những yêu cầu rất tự nhiên xuất phát từ những bài toán của sản xuất, đời sống và khoa học. Chính vì thế những bài toán cực trị cần có một chỗ đứng xứng đáng trong chương trình toán ở phổ thông. Các phương pháp giải bài toán cực trị cũng cần phải được trình bày một cách bài bản. Trên phương diện phương pháp, có hai cách tiếp cận chính cho lời giải của các bài toán cực trị, đó là phương pháp sử dụng bất đẳng thức và phương pháp hàm số. Với phương pháp bất đẳng thức, sơ đồ cơ bản là: Để chứng minh M là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên miền C, ta sẽ chứng minh i) f(x)  M với mọi x thuộc C ii) Tồn tại x 0 thuộc C sao cho f(x 0 ) = M. Phương pháp hàm số sẽ khảo sát hàm f(x) trên C và dựa vào các định lý của giải tích để tìm ra điểm cực trị và giá trị M. Fermat – một luật sư, nhà toán học người Pháp đã sử dụng công cụ đạo hàm để giải bài toán cực trị bằng cách đưa bài toán cực trị từ cách giải đánh giá bằng bất đẳng thức cần nhiều tư duy, mẹo mực về cách giải tự nhiên tìm điểm nghi vấn chỉ nhờ giải các phương trình (đối với hàm số một biến) và hệ phương trình (đối với hàm số nhiều biến). Quy tắc Fermat là một công cụ mạnh, cho phép bài toán cực trị có được lời giải tự nhiên Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu quy tắc Fermat trong từng bước phát triển của nó từ sơ cấp lên cao cấp, nhằm nâng cao kiến thức và khả năng trong 2 giảng dạy và nghiên cứu về toán tối ưu, có được cái nhìn tổng thế từ toán cao cấp vào toán sơ cấp. Nội dung luận văn được viết trong 3 chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Một số kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi, hàm khả vi, điểm dừng… Chương 2. Quy tắc Fermat. Quy tắc Fermat và các ví dụ ứng dụng trong các trường hợp hàm số một biến, khả vi, không có ràng buộc, phát triển đến hàm một biến khả vi, có điều kiện ràng buộc, nâng cao lên hàm nhiều biến, khả vi, không ràng buộc, tổng quát nhất là bài toán hàm nhiều biến, không khả vi và có ràng buộc. Sau mỗi bước phát triển ta đều có thể quay trở về bài toán sơ cấp trước đó bằng cách bổ sung thêm giả thiết. Từ đó thấy được các bước phát triển của quy tắc Fermat, đồng thời cũng cho thấy cái nhìn của Toán cao cấp vào toán sơ cấp. Chương 3. Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải các bài toán phổ thông. Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải các bài toán phổ thông, từ những bài toán đơn giản đến những bài toán nâng cao, từ cách giải áp dụng trực tiếp quy tắc đến việc sử dụng toán cao cấp định hướng cho cách giải trong chương trình phổ thông. Do thời gian và kiến thức có hạn nên chắc chắn luận văn này còn nhiều thiếu sót, kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp thu và hoàn thiện luận văn hơn nữa. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH Lê Dũng Mưu, Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn. 3 Bên cạnh đó, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Khoa Toán Tin, trung tâm học liệu đã tạo điều kiện giúp tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn. 15 Học viên Phạm Thị Thủy 4 Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này chủ yếu nhắc lại một số khái niệm cơ bản về hàm lồi, tập lồi, các khái niệm cực tiểu cực đại, bài toán tối ưu, khái niệm đạo hàm, đạo hàm cấp hai. Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5]. 1.1. Tập lồi Định nghĩa 1.1. Một tập n C   được gọi là một , nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua 2 điểm bất kỳ của nó. Tức C là lồi khi và chỉ khi   , , 0,1 (1 ) .x y C x y C            Ta nói x là  của các điểm (véc-tơ) 12 , , , k x x x nếu 11 , 0 1, , , 1 kk j j j j jj x x j k           Một điểm xC được gọi là  của C nếu x không thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp lồi chặt của hai điểm phân biệt bất kì nào của C, tức không tồn tại ,,y z C y z sao cho   1x y z     với 01   . Ví dụ 1.1. Trong 1  các khoảng         , 1 | 0,1a b a b     , [...]... ông đã sử dụng đặc trưng sau đây của hàm số tại điểm cực trị của nó: 18 lim E 0 f  A  E   f  A  0  f '  A  0 E Đây chính là nội dung định lí Fermat về điều kiện cần để hàm số đạt cực trị được trình bày trong sách giáo khoa giải tích 12 Trong chương này ta sẽ tìm hiểu về quy tắc Fermat và các bước phát triển của quy tắc này qua các bài toán tối ưu đối với hàm số khả vi một biến không có ràng... liệu [1], [4], [6], [7] 2.1 Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến không có ràng buộc Ở đây, không gian X trong bài toán (P) là X   Xét bài toán: min { f  x  ; x }  P1  max { f  x  ; x }  P ' Hoặc 1 trong đó f :    khả vi Để giải bài toán trên ta sử dụng định lý Fermat Định lý 2.1 (Định lý Fermat) Nếu f :    là một hàm số khả vi thì mỗi điểm cực đại (cực tiểu) địa phương đều là... [1;2] thì x = 0 không thể là nghiệm của bài toán cực trị trên đoạn [1;2], khi đó điểm cực trị của bài toán sẽ rơi vào các điểm biên Đặc biệt trong trường hợp hàm f  x  lồi trên đoạn [a;b], ta có các bước để giải bài toán: Giải phương trình f '  x   0 tìm các nghiệm x* Nếu x *   a; b  , ta kết luận x* là nghiệm cực tiểu của bài toán (P2), y x* O a x b Hình 2.5a Cực tiểu hàm lồi trên một đoạn Nếu... [a;b] thì cực đại hoặc cực tiểu rơi vào điểm x0 [a,b] là nghiệm của f’(x) = 0 hoặc điểm cực biên x= a hoặc x = b Chứng minh Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại x0   a, b , theo quy tắc Fermat thì x0 là một nghiệm của f’(x) = 0 25 Trong trường hợp f’(x) = 0 không có nghiệm trên đoạn [a,b] thì rõ ràng cực trị đạt được tại hai biên x = a hoặc x = b Do đó ta có thể giải bài toán cực tiểu, cực đại trên... ngoài của C tại x0 14 Chƣơng 2 QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ Pierre de Fermat sinh ngày 17 tháng 8 năm 1601 tại Pháp, ông mất năm 1665 Fermat là một học giả vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và là cha đẻ của lý thuyết số hiện đại Fermat xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án nhưng lại vô cùng say mê toán học với thói quen nổi tiếng... được định nghĩa thì Fermat đã biết sử dụng nó để giải các bài toán cực trị như một công cụ mới mẻ đầy hiệu quả Ông xét bài toán sau: Cho trước một đoạn thẳng, hãy chia nó thành 2 phần sao cho tích của 2 phần này là lớn nhất? B-A A B Hình 2.1 16 Đáp án của bài toán này thì người ta đã biết từ trước (tích lớn nhất khi ta chia đoạn thẳng thành 2 phần bằng nhau) nhưng cách làm của Fermat thì lại rất mới...  A)  AB  A2 Nhà toán học Hi Lạp Pappus ở Alexandria trong một tác phẩm của mình có đưa ra một nguyên lý: “Một bài toán nào đó nói chung có 2 nghiệm thì nó sẽ đạt được giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) trong trường hợp chỉ có một nghiệm” Ta sẽ dành một chút thời gian để minh họa nguyên lí này của Pappus bởi vì đây là một nguyên lí rất thú vị và có ích Xét bài toán đơn giản sau: Từ điểm A nằm ngoài... *  a thì a là nghiệm cực tiểu của (P2), x *  b thì b là nghiệm cực tiểu của (P2) 24 y y x* O x a b x* O b x a Hình 2.5b Cực tiểu hàm lồi trên một đoạn Nếu hàm số lõm thì cực tiểu đạt được ở một trong hai đầu biên y y y x O a x* x O a b x O b x* x* a b Hình 2.6 Cực tiểu hàm lõm trên một đoạn Vậy trong trường hợp bài toán tối ưu một biến bị ràng buộc bởi đoạn [a;b] thì Định lý Fermat ở phần 2.1 không... này chỉ xảy ra khi M chính là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống d và đây cũng chính là đáp án của bài toán này Ví dụ này mặc dù khá tầm thường nhưng nguyên lí của Pappus thì lại rất hữu ích 17 trong nhiều trường hợp tìm cực trị khác nhau Bây giờ hãy trở lại với bài toán của Fermat Ông giả sử rằng bài toán trên còn có thêm một đáp số thứ hai nữa (tức là có một cách chia khác để tích hai đoạn lớn nhất),... Điều kiện tồn tại giá trị nhỏ nhất của một hàm số liên tục Nếu C không phải là một khoảng đóng và do vậy không có điểm cực biên thì để tìm giá trị cực trị trong một miền mở ta dùng nhận xét sau đây Mệnh đề 2.2 Nếu hàm số f :  a, b    liên tục và f  x    khi x  a, x  b thì nó đạt được giá trị cực tiểu trong  a, b  26 Chứng minh Ta coi Mệnh đề 2.2là hệ quả được suy ra từ định lý ở phần sau . THỊ THỦY VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI. HỌC PHẠM THỊ THỦY VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2015. quy tắc Fermat, đồng thời cũng cho thấy cái nhìn của Toán cao cấp vào toán sơ cấp. Chương 3. Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải các bài toán phổ thông. Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải các bài