Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Bài 1: Tìm nguyên hàm ca các hàm s sau: a.   3 2 1 dx x  b. 2 23 dx xx  c. 2 2 1 x dx I x    . d.   3 2 1 dx I x    Gii a. t : x = sint ; t ; ostdt 22 dx c         Suy ra :       32 33 22 ostdt ostdt tan cos os 1 1-sin dx c c dt dt t c t xt      . Khi đó :     3 2 2 2 sin tan tan 1 sin 1 1 dx t x d t t C C tx x          b. Vì :     2 2 2 2 3 1 2x x x     , nên t : 2 1 1 2 tan ; ; 2. ;tan 2 2 os 2 dt x x t t dx t ct             Suy ra :       2 22 22 2 1 ostdt . 1-sin 2 ost 2 23 2 tan 1 . os 12 dx dx dt dt c t c xx t c t x        1 ostdt ostdt . sint-1 sint+1 22 cc       . Khi đó : 2 1 ostdt ostdt 1 sin 1 ln sint-1 sint+1 sin 1 2 2 2 2 23 dx c c t C t xx              (*) T :   2 2 22 22 1 1 sin 2 tan tan sin 1 1 sin 2 2 3 2 x xt t t t t x x             . Ta tìm đc sint , thay vào (*) ta tính đc I . c. 2 2 1 x dx I x    . Vì điu kin : 1x  , nên ta xét hai trng hp : BÀI 04. CÁC PHNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHN 03) ÁP ÁN BÀI TP T LUYN Giáo viên: LÊ BÁ TRN PHNG Các bài tp trong tài liu này đc biên son kèm theo bài ging Bài 04. Các phng pháp tính nguyên hàm (Phn 03) thuc khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng ti website Hocmai.vn giúp các Bn kim tra, cng c li các kin thc đc giáo viên truyn đt trong bài ging Bài 04. Các phng pháp tính nguyên hàm (phn 03).  s dng hiu qu, Bn cn hc trc Bài ging sau đó làm đy đ các bài tp trong tài liu này. Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -  Vi x>1 t 2 1 2cos2 ; 0; sin 2 4 sin 2 tdt x t dx tt          . Do đó :   22 2 2 3 3 3 2 2 2 2 sin os 1 2cos2 2 sin 2 sin 2 8sin cos 1 1 sin 2 . 1 sin 2 t c t dt x dx tdt dt t t t t x t t             = 2 2 2 1 1 1 2 1 cot . tan . . 4 sin os tan os t t dt t c t t c t       Vy : 22 1 2 1 1 1 cot . (cot ) tan . (tan ) . (tan ) cot tan 2ln tan 4 tan 4 2 2 I I t d t t d t d t t t t C t                          22 11 1 ln 1 22 x x x x C       Vi x<1 .  ngh hc sinh t làm . * Chú ý : Tích phân dng này ta có th gii bng cách khác nhanh hn : Ta có :   2 2 2 22 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x dx dx x I x dx J K x x x x x                     Vi : J   2 2 2 2 2 1 1 1 1 x x dx x x dx x x I a x           Tích phân : 2 2 2 2 ln 1 1 ln 1 1 dx K x x I x x I x x x              2 2 2 2 11 2 1 ln 1 1 ln 1 22 I x x x x I x x x x C             d. Tính tích phân:   3 2 1 dx I x    t : 2 tan ; ; 2 2 os dt x t t dx ct          Suy ra :     2 33 22 1 . ostdt os 1 1 tan dx dt c ct xt   . Khi đó :   32 2 ostdt sin 1 1 dx x I c t C C x x          Chú ý : 1. S d trong ví d trên có kt qu nh vy vì : 22 2 2 1 ost= ;sin 1+x 1 ; ost>0 cos ost;sint=tant.cost= 22 1 x ct x x t c t c x                    Bài 2: Tính tích phân bt đnh sau Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - a.   8 22 23I x x dx  b. 3 1 x dx x  c.   2 52 3 12x x dx  d. 3 sin osxI x c dx  e. 3 2 osx.sin 1 sin cx I dx x    f. 2 8 os sin cx I dx x   g.   2 0 dx Ia xa    h.    12 dx I xx    Gii a.   8 22 23I x x dx  t :     8 2 2 2 8 8 9 2 6 21 2 3 2 3 2 2 33 3 dt xdx t t x x x t t t t x                     . Vy :         8 9 10 2 2 8 9 9 10 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 3 2 3 3 27 30 27 30 I x x dx t dt t dt t t C x x C               b. 3 1 x dx x  t : t=       3 2 2 2 2 4 6 12 1 1 2 1 2 3 2 1 t tdt xt x dx x t t t dt t dx tdt x                 . Vy :   3 2 4 6 3 5 7 4 6 2 2 4 6 2 2 3 5 7 1 x dx t t t dt t t t t C x                    23 4 6 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 5 7 x x x x x x x C             c.   2 52 3 12x x dx  t : t =     3 2 3 2 2 2 3 13 1 2 1 2 2 22 t x t x x xdx t dt           Do đó :     3 2 5 2 2 2 7 4 3 1 3 3 1 2 . 2 4 8 t x x dx t t dt t t dt          Vy :       2 5 2 7 4 8 5 6 3 2 3 3 3 1 1 3 1 2 5 8 8 8 8 5 320 x x dx t t dt t t t t t C             =       22 2 2 2 3 3 5 1 2 8 1 2 1 2 320 x x x C         d. 3 sin osxI x c dx  t : t = 2 osx osx 2tdt=-sinxdxc t c   . Do đó :       3 2 4 6 2 sin osx 1 os osx sinxdx= t 1 2 2x c dx c x c t tdt t t dt     . Vy :   3 6 2 7 3 3 2 2 2 1 sin osx 2 os osx osx osx+C 7 3 7 2 I x c dx t t dt t t C c x c c c         e. 3 2 osx.sin 1 sin cx I dx x    Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - t : 2 2 sin 1 1 sin 2sin cos xt tx x xdx dt         Suy ra :   32 22 1 osx.sin 1 sin .2sin . osx.dx 1 1 1 1 1 sin 2 1 sin 2 2 t dt c x x xc dx dt x x t t          . Vy :     3 22 2 osx.sin 1 1 1 1 1 ln 1 sin ln 1 sin 1 sin 2 2 2 cx I dx dt t t C x x C xt                   f. 2 8 os sin cx I dx x   Vì :       2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 8 os os sin 1 sin 1 sin sin os sin sin sin c x c x x x x x cx x x x        t : t = 2 22 2 1 sin cot 1 1 cot 1 sin dt dx x x xt x              Suy ra :     2 22 2 2 2 2 2 8 6 2 os 1 1 cot cot 1 cot . 1 sin sin sin cx dx x dx x x dx t t dt x x x                 Vy :   2 2 4 6 3 5 7 8 os 1 2 1 2 sin 3 5 7 cx I dx t t t dt t t t C x               . Thay : t = cotx vào . g.   2 0 dx Ia xa    t :   2 2 2 2 2 2 1 x x a dx x tdx dt dx t x x a dt dx t x a x a x a x a                Vy : 2 2 ln ln dx dt I t C x x a C t xa           h.    12 dx I xx    xét hai trng hp :  Vi : 10 1. 20 x x x         t : 12t x x     Suy ra :       1 1 1 1 2 22 12 1 2 1 2 tdx dt dx dt dx t xx x x x x              Vy :    2 2ln 2ln 1 2 12 dx dt I t C x x C t xx             Vi : 10 2. 20 x x x         t t =     12xx     Suy ra :           1 1 1 1 2 22 1 2 1 2 1 2 tdx dt dx dt dx t x x x x x x                    Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - Vy :    2 2ln 2ln 1 2 12 dx dt I t C x x C t xx               Bài 3: Tính các tích phân bt đnh sau: a.   2 2 .ln 1 1 x x x I dx x     Vit li :   2 2 ln 1 . 1 xdx I x x x      . t :   2 2 22 2 2 1 ln 1 1 11 1 1 x u x x dx x du xdx x x x dv x vx                         Khi đó :     2 2 2 2 . 1ln 1 1ln 1I udv x x x dx x x x x C             b.   2 ln osx os c I dx cx   Ta vit li :   2 ln osx . os dx Ic cx   t :     2 2 2 sinx ln osx tanx cosx . t anx.ln cosx tan v= tanx os os uc du I u dv xdx dx dx dv cx cx                        . Khi đó :     2 1 tanx.ln cosx 1 t anx.ln cosx t anx-x+C os I dx cx          c. 2 sinx xdx  Ta có :   2 1 os2x 1 1 1 1 cos2 1 2 2 2 4 2 c I x dx xdx x xdx x J             Tính : cos2J x xdx  t : 11 sin 2 sin 2 sin2 os2x+C 1 os2xdx 2 2 2 4 sin 2 2 du dx ux xx J x xdx x c dv c vx                   Thay vào (1) : 22 1 1 1 1 1 sin 2 os2x sin 2 os2x 4 2 2 4 4 2 x I x x c x x x c C                    d.   32 2 3 sinxI x x x dx     Theo nhn xét trên , ta s dng phng pháp h s bt đnh Ta có :       3 2 3 2 3 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 sinx osx+ sinxI x x x dx a x b x c x d c a x b x c x d            (1) Ly đo hàm hai v ca (1)       3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 sinx= a 3 2 osxx x x x a b x b c x c d c             Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 -       32 1 2 1 2 1 2 1 - a 3 2 sinx 2x a b x b c x c d         ng nht thc ta đc : 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 0 1 1; 0 3 0 3 1 1; 3 2 0 2 2 4; 2 0 3 1; 4 a a a a a b a b b b b c b c c c c d c d d d                                                    Khi đó :     3 2 2 4 1 osx+ 3x 2 4 sinx+CI x x x c x       . * Có nhn xét gì khi gii bng cách ly tích phân tng phn ba ln ( Do đây là đa thc bc ba ). t :       2 32 3 2 2 3 2 2 23 osx 2 3 3 2 2 osxdx sinxdx osx du x x dx u x x x I c x x x x x c dv vc                            (1) Tính :J=   2 3 2 2 osxdxx x c  t :         2 1 2 1 1 1 62 3 2 2 sinx 3 2 2 6 2 sinxdx 2 osxdx sinx du x dx u x x J x x x dv c v                       Tính : K=   6 2 sinxdxx  t :     22 22 6 2 6 osx 6x-2 6 osxdx= osx 6x-2 6sin sinxdx osx u x du dx K c c c x dv v c                  Thay các kt qu tìm đc ln lt vào (2) và (1) ta tính đc I J=           22 sinx 3 2 2 osx 6x-2 6sin sinx 3 2 4 6 2 osxx x c x x x x c          I=       3 2 2 osx 2 3 sinx 3 2 4 6 2 osxc x x x x x x c                 3 2 2 4 1 osx+ 3x 2 4 sinx+CI x x x c x       - Nh vy vn đ đt ra là : Em nào thy cách nào d hiu và không b nhm ln , thì chn cách đó , không nht thit là dài hay ngn , quan trng nht là kt qu phi chính xác . e. 22 sin x I e xdx  Ta có :   2 2 2 2 2 2 1 os2x 1 1 1 1 sin os2xdx 1 2 2 2 4 2 x x x x x c I e xdx e dx e dx e c e J               Tính tích phân J= 2 os2xdx x ec  . t :   2 2 2 2 2x 2sin 2 os2x 11 os2x+ sin 2 os2x+K 2 1 22 dv=e 2 x x x x du xdx uc J e c e xdx e c ve dx                Tính tích phân K= 2 sin2 x e xdx  . t :   1 1 2 2 2 2 2 1 1 2cos2 sin2 11 sin2 os2xdx sin2 3 1 22 2 x x x x x du xdx ux K e x e c e x J ve dv e dx                   Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 7 - T (2) và (3) ta có h :   2 2 2 1 os2x 1 2 sin 2 os2x 1 4 sin 2x 2 x x x J K e c J e x c J K e             Thay vào (1) ta đc : I=     2 2 2 1 1 1 1 1 . sin 2 os2x 1 sin 2 os2x 4 2 4 4 2 x x x e e x c e x c C          f. 3x I xe dx  t : 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 3 3 3 9 3 x x x x x x du dx ux I xe e dx xe e C ve dv e dx                    g. 22x I x e dx  t :   2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 .1 1 22 2 x x x x x du xdx ux I x e xe dx x e J ve dv e dx                    Tính tích phân J= 2x xe dx  . t : 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 x x x x x x du dx ux J xe e dx xe e ve dv e dx                   Thay vào (1) ta đc : I=   2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 4 4 x x x x x e xe e C e x x C           * Chú ý : Qua hai ví d trên ta thy s ln ly tích phân tng phn bng vi s bc ca đa thc P(x). Ngha là : s bc ca P(x) càng cao thì s ln ly tích phân tng phn càng nhiu . h.   2 2 lnI x x xdx  t :   2 32 ln 2 1 3 dx du ux x dv x x dx v x x                Suy ra : 3 2 3 2 3 2 2 1 1 1 1 ln ln 3 3 3 3 dx I x x x x x x x x x dx xdx x                                   I 3 2 3 2 1 1 1 ln 3 9 2 x x x x x C         Giáo viên: Lê Bá Trn Phng Ngun: Hocmai.vn . Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 5 8-5 8 -1 2 - Trang | 1 - Bài 1: Tìm nguyên. dx x    Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 5 8-5 8 -1 2 - Trang | 4 - t :.   Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng Chuyn đ 03. Nguyên hàm – Tích phân Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit Tng đài t vn: 1900 5 8-5 8 -1 2 - Trang | 5 - Vy :