Trường……………………………… Khoa………………………… Lý thuyết luyện thi đại học mơn tốn LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1: ÔN TẬP – CÔNG THỨC I Tam thức bậc hai:  a  b   c    x   , ax  bx  c     a        a  b   c    x   , ax  bx  c     a        Cho phương trình : ax2 + bx + c = Giả sử phương trình có nghiệm x1 ; x thì: b c S  x1  x   ; P  x1.x  a a a   Pt có nghiệm phân biệt     a   Pt có nghiệm kép     a    Pt vô nghiệm  b  c   a       Pt có nghiệm trái dấu  P     Pt có nghiệm dấu   P   Pt có nghiệm phân biệt dương     P  S    Pt có nghiệm phân biệt âm     P  S   II Đa thức bậc ba:  Cho phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = Giả sử phương trình có nghiệm x1; x ; x thì: b c S  x1  x  x   ; x1.x  x x  x x1   ; a a d P  x1.x x  a III Đạo hàm: BẢNG ĐẠO HÀM (kx) '  k (ku) '  k.u ' (x  ) '  .x 1 (u  ) '  .u '.u ( x)'  1 u' ( u)'  x  u ' ' 1    x x u' 1    u u (sin x) '  cos x (sin u) '  u '.cos u (cos x) '   sin x (cos u) '  u '.sin u (tan x) '  (cot x) '  cos x 1 sin x (ex ) '  ex (ln x) '  (cot u) '  u' cos u u ' sin u (eu ) '  u '.eu x  log a x  '  (tan u) '  (ln u) '  x ln a (a x ) '  a x ln a u' u  loga u  '  u' u ln a (a u ) '  u '.a u ln a Quy tắc tính đạo hàm (u  v) = u  v (uv) = uv + vu  u  uv  vu (v  0)    v2 v yx  yu.ux Đạo hàm số hàm thông dụng y  ax  b ad  bc  y'  cx  d  cx  d  y  ax  bx  c adx  2aex  be  cd  y'  dx  e  dx  e  Trang LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam Vấn đề 2: CÁC BƢỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bƣớc khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số  Tìm tập xác định hàm số  Xét biến thiên hàm số: o Tính y o Tìm điểm đạo hàm y khơng xác định o Tìm giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực tìm tiệm cận (nếu có) o Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị hàm số  Vẽ đồ thị hàm số: o Tìm điểm uốn đồ thị (đối với hàm số bậc ba hàm số trùng phương) – Tính y – Tìm điểm y = xét dấu y o Vẽ đường tiệm cận (nếu có) đồ thị o Xác định số điểm đặc biệt đồ thị giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị khơng cắt trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thị để vẽ xác o Nhận xét đồ thị: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thị y‟ = vơ nghiệm  D‟ = b2 – 3ac < a>0 a0 a  Các dạng đồ thị: y‟ = có nghiệm phân biệt  D‟ = b2 – 3ac > a>0 a>0 a  a  Hai bậc hai a <  a.i Phƣơng trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A  )   B2  4AC    : (*) có hai nghiệm phân biệt B   , (  bậc hai ) z1,2  2A    : (*) có nghiệm kép: B z1  z   2A Chú ý: Nếu z0  C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) z  r(cos   isin ) (r > 0) dạng lương  cos   i sin n  cos n  i sin n 13 Căn bậc hai số phức dƣới dạng lƣợng giác:  Số phức z  r(cos   isin ) (r > 0) có hai bậc hai là:       r  cos  i sin   r  cos  i sin   2  2       r cos      i sin       2   2  Mở rộng: Số phức z  r(cos   isin ) (r > 0) có n bậc n là:   k2   k2  n  r  cos  i sin  , k  0,1, , n   n n  Vấn đề 2: CÁC DẠNG TOÁN I Thực phép toán cộng trừ, nhân chia số phức  Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, bậc hai số phức  Chú ý tính chất giao hốn, kết hợp phép toán cộng nhân II Giải phƣơng trình - hệ phƣơng trình số phức: - Giả sử z = x + yi Giải phương trình ẩn z tìm x, y thoả mãn phương trình - Giải phương trình bậc hai tập số phức, kết hợp với định lý Vi-et Trang 42 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH - Chú ý: Cao Hồng Nam độ lớn số phức trị tuyệt đối (trị tuyệt đối trường hợp riêng độ lớn định nghĩa trục số thực) III Tập hợp điểm - Giả sử số phức z = x + yi biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp điểm M tìm hệ thức x y - Chú ý: Các dạng phương trình đường thẳng, đường trịn, conic IV Dạng lƣợng giác - Áp dụng công thức nêu Chú ý: Việc kết hợp khai triển nhị thức Newton tập số phức để chứng minh đẳng thức hay sử dụng ĐẠI SỐ TỔ HỢP – XÁC SUẤT Vấn đề 1: HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP V Quy tắc đếm, cộng nhân: Quy tắc đếm: a Quy tắc: Với điều kiện khoảng cách số (cách đều), ta có: số số  số lớn  số nhỏ 1 khoảng cách số liền kề b Các dấu hiệu chia hết:  Chia hết cho 2: số có chữ số tận 0, 2, 4, 6,  Chia hết cho 3: số có tổng chữ số chia hết cho  Chia hết cho 4: số có chữ số tận lập thành số chia hết cho  Chia hết cho 5: số có chữ số tận 0,  Chia hết cho 6: số chia hết cho  Chia hết cho 8: số có chữ số tận lập thành số chia hết cho  Chia hết cho 9: số có tổng chữ số chia hết cho  Chia hết cho 10: số có chữ số tận  Chia hết cho 11: số có hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn chia hết cho 11 (VD: 1345729 (1+4+7+9) – (3+5+2) = 11)  Chia hết cho 25: số có chữ số tận 00, 25, 50, 75 Quy tắc cộng: 1) Nếu q trình (bài tốn) thực hai cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ cho m kết cách thứ hai cho n kết Khi việc thực trình cho m + n kết 2) Nếu q trình (bài tốn) thực k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ cho m1 kết quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, …, cách thứ k cho mk kết Khi việc thực q trình cho m1 + m2 + … + mk kết Quy tắc nhân: Trang 43 LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH 1) Nếu q trình (bài tốn) thực theo hai giai đoạn (bước) liên tiếp cho có m cách thực giai đoạn thứ nhất, đồng thời ứng với cách có n cách để thực giai đoạn thứ hai Khi có mn cách thực trình 2) Nếu trình (bài toán) thực theo k giai đoạn (bước) liên tiếp cho có m1 cách thực giai đoạn thứ nhất, với cách có m2 cách để thực giai đoạn thứ hai, …, có mk cách thực giai đoạn thứ k Khi đó, tồn q trình có m1.m2…mk cách thực VI Hốn vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp: Hoán vị: Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt  n   Mỗi cách xếp n phần tử X theo thứ tự gọi hốn vị n phần tử Số hoán vị n phần tử ký hiệu Pn Pn = n! = 1.2…n Chỉnh hợp: Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt  n   Mỗi cách chọn k   k  n  phần tử X xếp theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu Ak n Ak  n n! (n  k)! Tổ hợp: Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt  n   Mỗi cách chọn k   k  n  phần tử X gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu C k n Ck  n n! k!(n  k)! Nhận xét: 1) Điều kiện để xảy hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp n phần tử phải phân biệt 2) Chỉnh hợp tổ hợp khác chỗ sau chọn k n phần tử chỉnh hợp có thứ tự cịn tổ hợp khơng Cao Hồng Nam VII Phƣơng pháp giải tốn đếm: Phƣơng pháp Bƣớc Đọc kỹ yêu cầu số liệu đề Phân toán trường hợp, trường hợp lại phân thành giai đoạn Bƣớc Tùy giai đoạn cụ thể giả thiết toán để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp Bƣớc Đáp án tổng kết trường hợp Phƣơng pháp Đối với nhiều tốn, phương pháp dài Do ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép toán A  A  X  A  X \ A Bƣớc 1: Chia yêu cầu đề thành phần yêu cầu chung X (tổng quát) gọi loại yêu cầu riêng A Xét A phủ định A, nghĩa không thỏa yêu cầu riêng gọi loại Bƣớc 2: Tính số cách chọn loại loại Bƣớc 3: Đáp án số cách chọn loại trừ số cách chọn loại Chú ý: 1) Cách phân loại loại có tính tương đối, phụ thuộc vào chủ quan người giải 2) Giải phương pháp phần bù có ưu điểm ngắn nhiên nhược điểm thường sai sót tính số lượng loại 3*) Thường ta xử lý điều kiện trước, đơn giản điều kiện giải tốn VIII Phƣơng pháp phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ đại số tổ hợp: Bƣớc 1: Đặt điều kiện cho tốn - Px có điều kiện x   - A k , C k có điều kiện k,n    k  n n n Bƣớc 2: Áp dụng công thức tính để đưa tốn phương trình, hệ phương trình quen thuộc Bƣớc 3: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình so điều kiện chọn nghiệm Chú ý: Do tính đặc biệc nghiệm số tự nhiên nên số ta phải nhẩm nghiệm, bất phương trình đơi ta cần liệt kê nghiệm Trang 44 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam  Vấn đề 2: NHỊ THỨC NEWTON I Định nghĩa: Nhị thức Newton khai triển tổng lũy thừa có dạng: a  b n C a n k n 1.2C  2.3C3 x  3.4C4 x   (n 1)nCn x n 2 n n  n(n  1)(1  x)n 2   n b   C b   Ck a n k bk n k n n n k 0 1) Ck  Cn k (0  k  n) n n 2) Ck  Ck 1  Ck 1 (1  k  n) n n n II Phƣơng pháp giải toán: Dạng khai triển:  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp lũy thừa – xen kẽ Khai triển  a  b   a  b  n  C0  C1 x  C2 x   Ck x k   Cn x n n n n n n   Đạo hàm vế (1) Thay số thích hợp vào (1) sau đạo hàm b Đạo hàm cấp 2:  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 đến (n–1).n tăng (giảm) dần từ 12 đến n2  Xét khai triển (1): 1  x   n n 1 n  C  C x  C x   C x n n n n 1 1  x  n  C0  C1 x  C2 x   Cn 1x n 1  Cn x n n n n n n  Lấy tích phân vế (1) từ a đến b ta được: b b C x n n Đạo hàm vế (1) ta (2): C1  2C2 x  3C3 x   nCn x n 1  n 1  x  n n n n n 1 b b a a a n n  1  x  dx  Cn  dx  Cn  xdx   Cn  x dx n a  Cộng trừ hai vế khai triển Dạng đạo hàm: a Đạo hàm cấp 1:  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp lũy thừa tăng dần từ đến n (hoặc giảm dần từ n đến 1)  Xét khai triển (1): n Đạo hàm vế (4) ta (5): n Dạng tích phân:  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) phân số giảm 1 dần từ đến tăng dần từ n 1 n 1 đến  Xét khai triển (1):  Các hệ số C tính theo cơng thức tổ hợp chập dựa vào tam giác Pascal sau: Tính chất 1  x   n(1  nx)(1  x)n 2 k n n n 1 C  22 C2 x  32 C3 x   n 2Cn x n 1 n n n  Số hạng thứ k+1 Tk 1  Ck a n k bk n thường gọi số hạng tổng quát  Nhân x vào vế (2) ta (4): C1 x  2C2 x  3C3 x   nCn x n  nx 1  x  n n n n  C0 a n  C1 a n 1b  Cn a n 2 b  n n k n Tiếp tục đạo hàm vế (2) ta (3): n 1  x   n 1 b n 1 b b x x2 x n 1 C  C1   Cn n n 1a a n 1 a b n a b  a b2  a b n 1  a n 1 n  Cn  Cn   Cn n 1 (1  b)n 1  (1  a) n 1  n 1 Chú ý: Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị n Để nhận biết cận a b ta nhìn vào b n 1  a n 1 n Cn số hạng n 1 Tìm số hạng khai triển nhị thức Newtơn: a Dạng tìm số hạng thứ k:  Số hạng thứ k khai triển (a  b)n Ck 1a n (k 1) bk 1 n b Dạng tìm số hạng chứa xm: n  Số hạng tổng quát khai triển (a  b)n Ck a n k bk  M(k).x f (k) (a, b chứa x) n Trang 45 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH  Giải phương trình f (k)  m  k , số hạng cần tìm Ck0 a n k0 bk0 hệ số số hạng chứa n m x M(k0) Chú ý: Số hạng khơng chứa x m = c Dạng tìm số hạng hữu tỉ:  Số hạng tổng quát khai triển (a  b)n k n k n C a m p r q b  C   ( ,  hữu tỉ) k k n  m  p   Giải hệ  (k  ,  k  n)  k  r  q   Số hạng cần tìm Ck0 a n k0 bk0 n d Dạng tìm hệ số lớn khai triển Newton:  Xét khai triển (a  bx)n có số hạng tổng quát Ck a n k bk x k n  k Đặt u k  Cn a n k bk ,  k  n ta có dãy hệ số u k   Để tìm số hạng lớn dãy ta giải hệ u k  u k 1  k0 bất phương trình  u k  u k 1  Hệ số lớn Ck0 a n k0 bk0 n P( A)  Vấn đề 3: XÁC XUẤT I Cao Hoàng Nam a Khái niệm: Cho phép thử T - Biến cố A liên quan đến phép thử T kiện mà việc xảy hay không xảy A phụ thuộc vào kết phép thử T - Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy gọi kết thuận lợi cho A Tập hợp kết thuận lợi cho A kí hiệu : A Khi ta nói biến cố A mô tả tập A b Chú ý: - Biến cố phép thử ta hay kí hiệu : A , B , C , D … A1 , A2 , … - Ta ln có : A   - Biến cố chắn biến cố xảy thực phép thử T Biến cố chắn mô tả tập  không gian mẫu phép thử T - Biến cố biến cố không xảy thực phép thử T Biến cố mô tả tập rỗng  II Xác suất biến cố Định nghĩa: - Cho phép thử T với không gian mẫu  tập hữu hạn phần tử kết phép thử T đồng khả - Gọi A biến cố liên quan đến phép thử T A tập hợp kết thuận lợi cho A - Khi xác suất A số , kí hiệu P(A) , xác định cơng thức : Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên: a Khái niệm: Phép thử ngẫu nhiên (phép thử ) thí nghiệm hay hành động mà: - Kết khơng đốn trước - Có thể xác định tập hợp kết sảy phép thử b Kí hiệu: Phép thử ngẫu nhiên hay kí hiệu : T Không gian mẫu phép thử: a Khái niệm : Tập hợp tất kết xảy phép phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử b Kí hiệu Khơng gian mẫu kí hiệu :  Biến cố phép thử: A  Trong + A số phần tử A +  số phần tử  Vậy để tính xác suất biến cố A phép thử T ta làm theo bƣớc sau : - Xác định không gian mẫu  đếm số phần tử (số kết xảy phép thử T ) - Xác định số kết thuận lợi cho A ( số phần tử A) - Áp dụng công thức Chú ý:   P(A)   P() = , P() =  Xác suất số dương nhỏ 1, xác suất biến cố chắn 1, xác suất biến cố III Biến cố đối Trang 46 LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Định nghĩa Cho A biến cố Khi biến cố “ khơng xảy A ”, kí hiệu A , gọi biến cố đối A Nhận xét:  Gọi  không gian mẫu  Gọi A tập kết thuận lợi cho A Khi tập kết thuận lợi cho A : A =  \ A IV Quy tắc cộng xác suất: Biến cố hợp: Cho hai biến cố A B Biến cố “A B xảy ra” gọi biến cố hợp hai biến cố A B, kí hiệu A  B Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố A B Hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố khơng xảy Quy tắc cộng xác suất: Nếu A B hai biến cố xung khắc, thì: P  A  B  P  A   P  B  V Quy tắc nhân xác suất Biến cố giao Cho hai biến cố A B Biến cố “Cả A B xảy ra” gọi biến cố giao hai biến cố A B kí hiệu : AB Vậy AB biến cố: “Cả A B xảy ra” Hai biến cố độc lập a Khái niệm: Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố b Nhận xét: Nếu hai biến cố A B độc lập với A B ; A B; A B độc lập với Quy tắc nhân xác xuất  Nếu A B hai biến cố độc lập với : P(AB) = P(A).P(B)  Nếu A1 ; A2 ; A3 ba biến cố đơi độc lập với : P(A1 A2 A3) = P(A1).P(A2).P(A3) Chú ý: Học kĩ công thức kết hợp phương pháp đếm phần đại số tổ hợp Cao Hoàng Nam BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ Dạng tốn dạng tốn khó thường nằm câu V đề thi đại học Ở xin nêu ngắn gọn phương pháp Bạn xem kĩ “Chuyên đề bất đẳng thức – cực trị” Vấn đề 1: Các tính chất  a, b  R có ba quan hệ: a > b, a = b, a < b  a, b, c  R mà a > b, b > c a > c  a, b  R mà a > b a + c > b + c Nếu a > b c > d a + c > b + d ( Không trừ hai bất đẳng thức) Nếu a > b c > ac > bc ( c < ac < bc) Nếu a > b > c > d > ac > bd > Nếu a > b > < a n  b n  n 1  a b a  n b  A  Vấn đề 2: Bất đẳng thức Cauchy I Phát biểu:  Cho số a, b không âm: a + b  ab hay a2 + b2  2ab Dấu „=‟ xảy a = b  Cho số a, b, c không âm: a + b + c  3 abc Dấu „=‟ xảy a = b = c  Tổng quát: Cho n số x1, x2, x3, …, xn không âm: (trung bình cộng lớn trung bình nhân) x1  x  x   x n n  x1x x x n n Dấu xảy x1 = x2 = x3 = …= xn II Một số lƣu ý: Khi áp dụng phương pháp cịn lại “tọa độ điểm rơi” phải đảm bảo Nếu đề yêu cầu: Cho a, b, c > Chứng minh ta xét miền a  b  c  , (do bất đẳng thức với (a, b,c) với (ta, tb, tc)) Cố gắng chọn miền hợp lý để toán đơn giản Trang 47 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Cao Hồng Nam           a  b  a  b Đẳng thức xảy a,b Vấn đề 3: Bất đẳng thức B.C.S I Phát biểu:  Cho cặp số: hướng       2 a1.b1  a b2  (a1  a )(b1  b2 ) Dấu „=‟ xảy (Nếu bỏ dấu a1 a  b1 b cần thêm điều kiện  0)  Cho cặp số: 2 2 2 a1.b1  a b2  a 3b3  (a1  a  a )(b1  b2  b3 ) Dấu „=‟ xảy (Nếu bỏ dấu a1 a a   b1 b b3  Cho n cặp số: a1.b1   a n bn  (a   a )(b   b ) Dấu „=‟ xảy (Nếu bỏ dấu n 2 n a1 a a    n b1 b bn cần thêm điều kiện  0) Dấu “=” xảy a1 a a    n b1 b bn II Một số lƣu ý: Dùng nhập tổng bình phương thành Hệ B.C.S cho phép gộp mẫu Chú ý: kĩ thuật thêm bớt Vấn đề 4: Bất đẳng thức Vectơ I Phát biểu: Sử dụng quy tắc ba điểm bất đẳng thức tam giác, ý trường hợp bất đẳng thức trở thành đẳng thức Các bất đẳng thức:          a b  a.b Đẳng thức xảy a,b phương           a  b  a  b Đẳng thức xảy a,b hướng Bài toán: Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện G(x, y)  (hoặc G(x, y)  0;G(x, y)  ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) P  F(x, y) Cách giải: Đặt F(x,y) = m Ta có hệ: Hệ quả: Cho số không âm: a1 a a  a  a   a n     n  b1 b bn b1  b   bn II Một số lƣu ý: Chọn điểm có tọa độ thích hợp Thường dùng để đưa nhiều thức bậc hai thức bậc hai Vấn đề 5: Dùng điều kiện có nghiệm hệ tìm max, cần thêm điều kiện  0)        a1  a   a n  a1  a   a n Đẳng       thức xảy a1 ,a1 , ,a n hướng   Trong Oxy : a  (a1 ,a );b  (b1 , b2 )   Trong Oxyz : a  (a1 ,a ;a );b  (b1, b2 ;b3 ) G(x, y)  G(x, y)  G(x, y)  (  ;  F(x, y)  m F(x, y)  m F(x, y)  m Biện luận m để hệ có nghiệm Từ suy giá trị lớn giá trị nhỏ P Lƣu ý: Các phương pháp giải hệ phương trình, hệ bất phương trình Vấn đề 6: Cơng cụ đạo hàm I Chứng minh bất đẳng thức: Phƣơng pháp:  Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc