Tìm tọa độ đỉnh của tam giác khi biết tọa độ ba điểm Đào Chí Thanh-THPT chuyên Vĩnh Phúc Trong các bài thi ĐH hay các đề thi thử ĐH của các trường THPT ta thấy bài toán có nội dung hình học giải tích phẳng là bài toán tương đối khó. Nó đòi hỏi học sinh có kiến thức hình học tương đối chắc chắn. Bài viết này nhằm củng cố cho học sinh một số kiến thức về một vài điểm đặc biệt (các điểm này có cùng chất) thường gặp ở tam giác, từ đó xác định được tam giác. Bài toán 1 : Cho tam giác ABC biết toa độ trung điểm của ba cạnh Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác. Hướng giải : Giả sử M; N ; P lần lượt là ba trung điểm của ba cạnh AB; BC; CA theo công thức tính tọa độ của trung điểm ta có 2 2 2 2 2 2 A B A B M M C B C B N N A C A C P P x x y y x y x x y x x y x x y y x y + +   = =     + +   = =     + +   = =     Giải hệ này ta có tọa độ đỉnh của tam giác ABC Bài tập minh họa 1. Cho tam giác ABC biết M(1;2); N(2;1) P(4;0) lần lượt là toa độ trung điểm của ba cạnh AB; BC;CA Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác Bài giải : Áp dụng công thức trên ta có 1 (1) 2 (4) 2 2 2 (2) 1 (5) 7; 3 2 2 4 (3) 0 (6) 2 2 A B A B C B C B A B C A B C A C A C x x y y x x y x x x x y y y x x y y + +   = =     + +   = = ⇒ + + = + + =     + +   = =     Vậy : 3; 1; 5; 1; 3; 1 (3;1); ( 1;3); (5; 1) A B C A B C x x x y y y A B C= = − = = = = − ⇒ − − Bài toán 2 : Cho tam giác ABC nhọn biết tọa độ chân đường cao . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác Hướng giải : Giả sử AD; BE; CF là các đường cao của tam giác ABC với trực tâm H . Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp dễ rằng chứng minh được HD;HE;HF là các đường phân giác trong của tam giác DEF. Bài tập minh họa 2: (HSG Thanh Hóa 2011) Cho tam giác ABC nhọn có tọa độ chân các đường cao hạ từ đỉnh A; B; C xuống các cạnh tương ứng là D(-1; - 2); E( 2; 2) ; F(-1; 2) .Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh AC. Bài giải : Gọi H là trực tâm tam giác ABC ta có phương trình DE : 4x – 3y – 2 = 0 ; EF : y – 2 = 0 Vậy phương trình phân giác góc FED là : 4 3 2 ( 2) 5 x y y − − = ± − Ta có hai phương trình đường thẳng là : 2 2 0 ( ) 2 6 0 ( )x y hay x y d− + = ∆ + − = Khi thay tọa độ của F; D vào (d) thấy F; D cùng phía đối với (d) nên phương trình AC : 2x + y – 6 = 0 (Ta có thể tìm phương trình các cạnh còn lại và từ đó xác định các định của tam giác ABC) Bài toán 3 : Cho tam giác ABC biết tọa độ P;Q;R là ba điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp tam giác ABC và các cạnh của tam giác ABC . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác \ Hướng giải Ta gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì ; ;IP BC IQ AC IR AB⊥ ⊥ ⊥ Do đó ta lập phương trình đường tròn qua P; Q; R và lập phương trình các cạnh tam giác ABC Bài tập minh họa 3: Cho tam giác ABC biết tọa độ P (3;0);Q (4;1);R 11 8 ; 5 5    ÷   lần lượt là ba điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC; CA; AB của tam giác ABC . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác Bài giải : Do đường tròn nội tiếp tam giác ABC qua P; Q; R nên phương trình của nó là : ( ) ( ) 2 2 3 1 1x y− + − = Ta có tâm I(3;1) vì vậy các đường thẳng AC; BC; AB đi qua Q; P ; R có véc tơ pháp tuyến là ; ;IQ IP IR uur uur uur sẽ có phương trình tương ứng là : AC : x = 4 BC: 4x – 3y – 4 = 0 ; AB : y = 0 Nên tọa độ các đỉnh tam giác là A(4;4) ; B(1;0) ;C(4;0) Bài toán 4: Cho tam giác ABC biết H là trực tâm tam giác ABC Biết tọa độ trung điểm E; F; K của ba đoạn HA; HB; HC.Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác Hướng giải: Ta có EK // AC; EF // AB; FK // BC nên tam giác ABC là ảnh của tam giác EFK qua phép vị tự tâm H tỷ số 2 Bài tập minh họa 4: Cho tam giác ABC nhọn với H là trực tâm tam giác ABC Biết tọa độ trung điểm 5 3 5 1 4; ; 1; ; ; 2 2 2 2 E F K       −  ÷  ÷  ÷       ; của ba đoạn HA; HB; HC.Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác. Bài giải Ta thấy trực tâm tam giác ABC cũng là trực tâm tam giác EFK Phương trình EH vuông góc với FK : - 3x + 4y + 2 = 0 Phương trình FH vuông góc với EK : x + 2y – 4 = 0 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ 3 4 2 0 (2;1) 2 4 0 x y H x y − + + =   + − =  Do 5 3 5 1 4; ; 1; ; ; 2 2 2 2 E F K       −  ÷  ÷  ÷       là trung điểm HA; HB; HC nên tọa độ đỉnh A (6;4);B(0;2); C(3 ;- 2) Bài toán 5 : Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm của các đường cao với đường tròn ngoại tiếp tam giác.Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác Hướng giải : Giả sử các đường cao cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại P,Q,R Theo tính chất trực tâm H ta có HE= EP; HG= GR nên EF//PQ; FG//QR vì vậy QC là phân giác góc PQR Hay đỉnh C là giao của đường tròn và phân giác QC , tương tự ta xác định được đỉnh A; B Bài tập minh họa 5: Cho tam giác ABC biết ba đường cao AH; BH; CH của tam giác lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại R(-1;-1) ; P (1;3); Q 11 3 ; 5 5    ÷   .Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác Bài giải : Do đường tròn ngoại tiếp tam giác qua P; Q; R nên có phương trình : 2 2 ( 1) 5x y+ − = Lại có phương trình các đường thẳng RP : 2x – y =1; PQ : 2x + y – 5 = 0; RQ : x – 2y – 1 = 0 Nên phương trình các đường phân giác góc QPR là: x= 1; y = 3 thử lại ta thấy phân giác trong góc QPR là x = 1 nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ : 2 2 ( 1) 5 ( 2;2); (1;3) (1;3) 1 x y C C F x  + − = ⇒ − ≡  =  Vậy tạo độ đỉnh C ( -2 ; 2) Tương tự tọa độ đỉnh A(2; 2) và B(1; -1) Bài toán 6 : Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm của các phân giác trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác.Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác Hướng giải : Ta có : ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ 1 1 0 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 1 ( ) 90 2 AQP sd AP Q N sd CP BN Q B sd AQ NP AQQ AQP ∠ = + = + + = + = ∠ ⇒ ∠ = Hay 1 AN Q P⊥ Từ đó ta có cách dựng sau : Dựng đường tròn qua ba điểm đã cho, sau đó dựng các đường thẳng Vuông góc với dây cung cắt đường tròn tại các điểm đó là đỉnh của tam giác Bài tập minh họa 6: Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm của các phân giác trong kẻ từ đỉnh A; B; C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt tại ( 2;3); (6;3); (1; 2)P Q R− − .Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác Hướng dẫn giải Nhu chứng minh trên ta lập phương trình đường tròn qua P; Q; R Ta có phương trình : ( ) ( ) 2 2 2 2 17x y− + − = Phương trình PQ : y = 3; QR : x – y – 3 = 0; PR : 5x – 3y – 1 = 0 Vậy đường thẳng qua R vuông góc với PQ : x = 1; đường thẳng qua P vuông góc với RQ : x + y = 1; đường thẳng qua Q vuông góc với PR : 3x – 5y = 3; Do đó tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ : ( ) ( ) 2 2 2 2 17 1 x y x  − + − =   =   Do đó tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ : ( ) ( ) 2 2 2 2 17 1 x y x y  − + − =   + =   Do đó tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ : Giải các hệ này ta có ( ) ( ) 39 18 3; 2 ; ; ; 1;6 51 17 A B C − −   −  ÷   Bài toán 7 : Cho tam giác ABC biết tọa độ ba tâm đường tròn bàng tiếp tam giác.Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác Hướng giải : Giả sử R; S ; T là tâm ba đường tròn bàng tiếp Tam giác ABC như hình vẽ Theo tính chất phân giác ngoài và trong ta có R;A; S thẳng hàng; S;C; T thẳng hàng; R; B T thẳng hàng Bên cạnh đó ta còn có : ; ;RS AT RC TS SB RT⊥ ⊥ ⊥ Từ đó ta có cách giải sau : Lập phương trình đường thẳng RS; ST; RT, sau đó tìm hình chiếu của T; R; S lên ba đường thẳng đó . Tọa độ hình chiếu là tọa độ đỉnh cần tìm. Bài tập minh họa 7: Cho tam giác ABC biết tọa độ tâm đường tròn bàng tiếp góc A là T(-3;-1); tâm đường tròn bàng tiếp góc B là S(4;0) tâm đường tròn bàng tiếp góc C là R(-2;4) .Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác Bài giải : Ta có phương trình qua R; S; T là : : 2 3 8 0; : 5 14 0; : 7 4 0RS x y RT x y ST x y+ − = − + = − − = Khi đó phương trình đường cao TA; SB; RC là : :3 2 7 0; : 7 10 0; : 5 4 0TA x y RC x y SB x y− + = + + = + − = Vậy : tọa độ ba đỉnh A; B; C là nghiệm của các hệ sau: 2 3 8 0 5 14 0 7 4 0 5 12 7 17 33 19 ;2 ; 2 ; ; ; 3 2 7 0 5 4 0 7 10 0 13 13 13 13 25 25 x y x y x y A B C x y x y x y + − = − + = − − =    − − −       ⇒ ⇒ − ⇒     ÷  ÷  ÷ − + = + − = + + =          Bài toán 8: Cho tam giác ABC biết tọa độ của ba điểm M; N; P là ba điểm đối xứng của trực tâm H qua trung điểm ba cạnh .Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Hướng giải : Giả sử M ; N; P là ác điểm đối xứng của trực tâm H qua trung điểm ba cạnh. Khi đó xét tứ giác BHCP đễ thấy tứ giác này là hình bình hành nên BH // CP hay AC vuông góc với AC vậy A; I ; P thẳng hàng; tương tự B; I; N và C; I ; M thẳng hàng (Với I là tâm đường tròn. Từ đó ta xác định được ba đỉnh tam giác khi biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nhưng đó chính là đường tròn qua ba điểm M; N; P Bài tập minh họa 8: Cho tam giác ABC biết tọa độ của ba điểm M (1;3); N (9;3); P(8; - 4) là ba điểm đối xứng của trực tâm H qua trung điểm ba cạnh .Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC. Bài giải : Qua ba điểm M; N; P ta có phương trình đường tròn là : ( x – 5 ) 2 + y 2 = 25 Vậy tâm đường tròn là : I(5;0) Do A đối xứng với P(8; -4) qua tâm I nên A(2:4); Do B đối xứng với N(9; 3) qua tâm I nên B(1:-3) Do C đối xứng với M(1; 3) qua tâm I nên C(9:-3) Vậy tọa độ ba đỉnh là A(2;4); B(1;-3) ; C(9;-3) Do khuôn khổ bài báo có hạn nên tôi xin đưa ra một vài bài tập để luyện tâp Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC khi biết tọa độ chân các đường cao hạ từ A; B; C tương ứng là : H(2;-1)’; Q(2;2) K(-2;2) Bài 2 : Cho tam giác ABC biết trung điêm ba cạnh AB; BC ; CA lần lượt là M(-2;1); P( -1;-2) Q( 0; 0) Bài 3 Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm của các phân giác trong kẻ từ đỉnh A; B; C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt tại (5;4); (5;0); ( 1;4)P Q R − .Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác Bài 4: Cho tam giác ABC biết tọa độ của ba điểm M (0;5); N (1;0); P(5; 0) là ba điểm đối xứng của trực tâm H qua trung điểm ba cạnh .Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC. . có tọa độ đỉnh của tam giác ABC Bài tập minh họa 1. Cho tam giác ABC biết M(1;2); N(2;1) P(4;0) lần lượt là toa độ trung điểm của ba cạnh AB; BC;CA Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác. 8: Cho tam giác ABC biết tọa độ của ba điểm M; N; P là ba điểm đối xứng của trực tâm H qua trung điểm ba cạnh .Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Hướng giải : Giả sử M ; N; P là ác điểm đối. đỉnh của tam giác Bài 4: Cho tam giác ABC biết tọa độ của ba điểm M (0;5); N (1;0); P(5; 0) là ba điểm đối xứng của trực tâm H qua trung điểm ba cạnh .Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC.