Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức = = = ( ) ' '( ) dy df x y dx f x dx Ví d ụ :  d(x 2 – 2x + 2) = (x 2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx  d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx    Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau  ( ) ( ) 1 2 2 2 2 d x dx dx d x = ⇒ =  ( ) ( ) 1 3 3 3 3 d x dx dx d x = ⇒ =  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 x xdx d d x d x a d a x   = = = ± = − −        ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 1 1 1 3 3 3 3 x x dx d d x d x a d a x   = = = ± = − −        ( ) ( ) ( ) ax 1 1 ln ax ln ax d b dx dx d b d x ax b a b a x + = = + → = + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os2 2 b dx b d b d b xdx d c x a a + = + + = − + → = −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 cos cos sin cos2 sin2 2 ax b dx ax b d ax b d ax b xdx d x a a + = + + = + → =  ( ) ( ) ( ) ax 2 2 1 1 1 ax 2 b ax b ax b x x e dx e d b d e e dx d e a a + + + = + = → =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax 1 1 1 tan tan2 2 cos cos cos 2 d b dx dx d ax b d x a a ax b ax b x + = =  +  → =   + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax 1 1 1 cot cot2 2 sin sin sin 2 d b dx dx d ax b d x a a ax b ax b x + = = −  +  → = −   + + II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm s ố f(x) liên t ụ c trên m ộ t kho ả ng (a; b). Hàm F(x) đượ c g ọ i là nguyên hàm c ủ a hàm s ố f(x) n ế u F’(x) = f(x) và đượ c vi ế t là ( ) f x dx ∫ . T ừ đ ó ta có : ( ) ( ) f x dx F x = ∫ Nh ậ n xét: V ớ i C là m ộ t h ằ ng s ố nào đ ó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên t ổ ng quát hóa ta vi ế t ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ , khi đ ó F(x) + C đượ c g ọ i là m ộ t h ọ nguyên hàm c ủ a hàm s ố f(x). V ớ i m ộ t giá tr ị c ụ th ể c ủ a C thì ta đượ c m ộ t nguyên hàm c ủ a hàm s ố đ ã cho. Ví d ụ :  Hàm s ố f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x 2 + C, vì (x 2 + C)’ = 2x  Hàm s ố f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho các hàm s ố f(x) và g(x) liên t ụ c và t ồ n t ạ i các nguyên hàm t ươ ng ứ ng F(x) và G(x), khi đ ó ta có các tính ch ấ t sau: a) Tính ch ấ t 1: ( ) ( ) ( ) f x dx f x ′ = ∫ Tài liệu bài giảng: 01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Chứng minh: Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx F x f x ′ ′ = = ⇒ ∫ đpcm. b) Tính chất 2: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ Ch ứ ng minh: Theo tính ch ấ t 1 ta có, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x ′ ′ ′ + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ Theo đị nh ngh ĩ a nguyên hàm thì v ế ph ả i chính là nguyên hàm c ủ a f(x) + g(x). T ừ đ ó ta có [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ c) Tính chất 3: ( ) . ( ) ( ) , 0 k f x dx k f x dx k = ∀ ≠ ∫ ∫ Ch ứ ng minh: T ươ ng t ự nh ư tính ch ấ t 2, ta xét ( ) ( ) . ( ) . ( ) ( ) k f x dx k f x k f x dx k f x dx ′ = → = ⇒ ∫ ∫ ∫ đ pcm. d) Tính chất 4: ( ) ( ) ( ) f x dx f t dt f u du = = ∫ ∫ ∫ Tính ch ấ t trên đượ c g ọ i là tính bất biến c ủ a nguyên hàm, t ứ c là nguyên hàm c ủ a m ộ t hàm s ố ch ỉ ph ụ thu ộ c vào hàm, mà không ph ụ thu ộ c vào bi ế n. IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM    Công thức 1: dx x C = + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) 1 x C dx x C ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c du u C = + ∫    Công thức 2: n 1 n x x dx C n 1 + = + + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do 1 1 1 1 n n n n x x C x x dx C n n + + ′   + = ⇒ = +   + +   ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c 1 1 n n u u du C n + = + + ∫ + V ớ i 1 2 2 2 2 2 dx dx du n x C u C x x u = − ⇒ = = + ←→ = + ∫ ∫ ∫ + V ớ i 2 2 1 1 2 dx du n C C x x u u = − ⇒ = − + ←→ = − + ∫ ∫ Ví dụ: a) 3 2 3 x x dx C = + ∫ b) ( ) 5 4 4 2 2 2 5 x x x dx x dx xdx x C + = + = + + ∫ ∫ ∫ c) 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 2 2 2 3 x x x x x x x dx dx xdx x dx C x C x x − − = − = − = − + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ d) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 4 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 5 n u du x I x dx x d x I C + = + = + + → = + ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn e) ( ) ( ) ( ) ( ) 2011 2010 2010 1 3 1 1 3 1 3 1 3 3 2011 n u du x I x dx x d x I C − = − = − − − → = − + ∫ ∫ f) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 du u d x dx I I C C x x x x + = = → = − + = − + + + + + ∫ ∫ g) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 2 3 4 5 4 5 4 5 . 4 5 4 5 4 4 3 8 I x dx x d x I x C x C = + = + + ⇒ = + + = + + ∫ ∫    Công thức 3: ln dx x C x = + ∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( ) 1 ln ln dx x C x C x x ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp ( ) u u x = , ta được ln du u C u = + ∫ + ( ) 1 ln 2 1 1 2x 2 ln ax 1 ax ax ln 2 2 2 dx x k C d ax b dx k b C dx b a b a k x C k x  = + +  +  + = = + + →  + +  = − − +  −  ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) 4 3 3 1 1 1 2 ln 4 dx x x dx x dx dx x x C x x x x   + + = + + = + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) 3 2 1 1 ln 3 2 3 2 3 3 2 3 du u d x dx I I x C x x + = = → = + + + + ∫ ∫ c) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 3 3 3 2 2 3 ln 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 d x x x dx dx x dx xdx x x x C x x x x + + +   = + = + = + = + + +   + + + +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫    Công thức 4: sinx cos dx x C = − + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) cos sin x sinx cos x C dx x C ′ − + = ⇒ = − + ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c sinu cos du u C = − + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 sin ax sin ax ax cos ax sin2 os2 2 b dx b d b b C xdx c x C a a + = + + = − + + → = − + ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) ( ) 3 2 2 1 1 1 sinx sinx cos 2 1 2 1 2 2 1 d x dx x x dx x xdx dx x dx x x x x −   + + = + + = − + =   − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 5 2 2 1 cos ln 2 1 5 2 x x x C = − + − + b) ( ) ( ) 4 3 3 1 3 1 3 sin2 sin 2 3 sin 2 2 os2 ln 4 3 4 3 4 3 2 4 4 3 2 4 d x dx x dx xdx xd x c x x C x x x −   + = + = + = − + − +   − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ c) sin sinx sin3 2 x x dx   + +     ∫ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 ; 2 2 2 ; 3 3 3 2 2 2 2 3 x x d dx dx d d x dx dx d x d x dx dx d x     = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =         T ừ đó : ( ) ( ) 1 1 sin sinx sin3 sin sin 2 sin3 2 sin sin 2 2 sin3 3 2 2 2 2 2 3 x x x x x dx dx xdx xdx d xd x xd x     + + = + + = + +         ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 1 1 2cos os2 os3 2 2 3 x c x c x C = − − − +    Công thức 5: cos sin xdx x C = + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) in cos cosx inx s x C x dx s C ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c cosu sin du u C = + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 os ax os ax ax sin ax os2 sin 2 2 c b dx c b d b b C c xdx x C a a + = + + = + + → = + ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) 4 1 5 cos sin cos sin x 4 sinx cos 4 5ln 1 1 1 x x x dx xdx dx dx x x x C x x −     − + = − + − = + + − + +     + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) 2 1 cos2 sin x os2 sinx sin 2 cos 2 2 x x x dx c xdx dx xdx x x C + − = + − = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ c) ( ) 2 1 os2 1 1 1 1 1 1 sin os2 os2 2 sin2 2 2 2 2 4 2 4 c x xdx dx c x dx x c xd x x x C −   = = − = − = − +     ∫ ∫ ∫ ∫    Công thức 6: 2 tan cos dx x C x = + ∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( ) 2 2 1 tan tanx cos cos dx x C C x x ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp ( ) u u x = , ta được 2 tanu os du C c u = + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 tan tan2 cos cos cos 2 2 d ax b dx dx ax b C x C ax b a ax b a x + = = + + → = + + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) 2 2 1 1 cos sin 2 cos sin2 tan sin cos2 cos cos 2 dx x x dx xdx xdx x x x C x x   + − = + − = + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 5 4 1 2 1 2 2 cos 2 1 5 4 cos 2 1 5 4 2 cos 2 1 4 5 4 d x d x dx dx I dx x x x x x x   − − = + = + = −     − − − − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 os 1 1 tan 2 1 ln 5 4 2 2 du c u x x C → = − − − + c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 os 2 2 3 2 1 1 tan 3 2 cos 3 2 2 cos 3 2 2 du c u d x dx I I x C x x − = = − → = − − + − − ∫ ∫    Công thức 7: 2 cot x sin dx C x = − + ∫ Ch ứ ng minh: Th ậ t v ậ y, do ( ) 2 2 1 cot cot x sin dx x C C sin x x ′ − + = ⇒ = − + ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c 2 cotu sin du C u = − + ∫ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ax 1 1 1 cot ax cot2 sin ax sin ax sin 2 2 d b dx dx b C x C b a b a x + = = − + + → = − + + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn a) 6 5 5 2 2 1 1 cos2 2 cos2 2 sin2 cot sin sin 2 3 dx x x x dx xdx x dx x x C x x   − + = − + = + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin 2 2 1 3 1 1 1 cot 1 3 cot 1 3 sin 1 3 3 sin 1 3 3 3 du u d x dx I I x C x C x x − = = − → = − − −  + = − +   − − ∫ ∫ c) 2 sin 2 2 2 2 2cot 2 sin sin 2 2 du u x d dx x I I C x x         = = → = − +                 ∫ ∫    Công thức 8: x x e dx e C = + ∫ Ch ứ ng minh: Thật vậy, do ( ) x x x x e C e e dx e C ′ + = ⇒ = + ∫  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp ( ) u u x = , ta được u u e du e C = + ∫ + ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 ax 1 2 x k x k ax b ax b ax b k x k x e dx e C e dx e d b e C a a e dx e C + + + + + − −  = +   = + = + →   = − +   ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 1 4 4 1 1 2 1 4.2 sin 3 sin 3 2 3 sin 3 x x x d x dx e dx e dx dx e d x x x x x x x − + − + − +   − + = − + = − − + − +     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 1 1 cot3 8 2 3 x e x x C − + = − + + + b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 4 1 4 os 1 3 4 os 1 3 3 2 os 1 3 1 3 3 3 x x x e c x dx e dx c x dx e d x c x d x + + + + − = + − = + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 3 2 4 1 sin 1 3 3 3 x e x C + = − − +    Công thức 9: ln x x a a dx C a = + ∫ Chứng minh: Thật vậy, do ln ln ln ln x x x x x a a a a C a a dx C a a a ′   + = = ⇒ = +     ∫  Chú ý: + M ở r ộ ng v ớ i hàm s ố h ợ p ( ) u u x = , ta đượ c u u a du a C = + ∫ + ( ) 1 1 kx m kx m kx m a dx a d kx m a C k k + + + = + = + ∫ ∫ Ví dụ: a) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3ln2 2ln3 u x x a dux x x x x x I dx dx dx d x d x I C = + = + = + → = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 4 3 1 3 2 3 2 2 3 2 1 2 4 3 2 4 2ln2 4 x x x x x x x x e dx dx e dx d x e d x e C − − + − + − + + − = − = − − − + = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp • 0 dx C = ∫ • dx x C = + ∫ • 1 , ( 1) 1 x x dx C + = + ≠ − + ∫ α α α α • 1 ln dx x C x = + ∫ • x x e dx e C = + ∫ • (0 1) ln x x a a dx C a a = + < ≠ ∫ • cos sin xdx x C = + ∫ • sin cos xdx x C = − + ∫ • 2 1 tan cos dx x C x = + ∫ • 2 1 cot sin dx x C x = − + ∫ • 1 cos( ) sin( ) ( 0) ax b dx ax b C a a + = + + ≠ ∫ • 1 sin( ) cos( ) ( 0) ax b dx ax b C a a + = − + + ≠ ∫ • 1 , ( 0) ax b ax b e dx e C a a + + = + ≠ ∫ • 1 1 ln dx ax b C ax b a = + + + ∫ LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Ví dụ 1. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng a) ( ) (4 5) ( ) (4 1) x x F x x e f x x e  = −   = −   b) 4 5 3 ( ) tan 3 5 ( ) 4tan 4tan 3 F x x x f x x x  = + −   = + +   c) 2 2 2 2 4 ( ) ln 3 2 ( ) ( 4)( 3) x F x x x f x x x    + =     +    −  =  + +  d) 2 2 2 4 2 1 ( ) ln 2 1 2 2( 1) ( ) 1 x x F x x x x f x x  − + =   + +  −  =  +  Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau 1) 2 1 – 3 x x dx x   + =     ∫ 2) 4 2 2 3 x dx x + = ∫ 3) 2 1 x dx x − = ∫ 4) 2 2 2 ( 1) x dx x − = ∫ 5) ( ) 3 4 x x x dx+ + = ∫ 6) 3 1 2 dx x x   − =     ∫ 7) 2 2sin 2 x dx = ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 8) 2 tan xdx = ∫ 9) 2 cos xdx = ∫ 10) 2 2 1 sin .cos dx x x = ∫ 11) 2 2 cos2 sin .cos x dx x x = ∫ 12) 2sin3 cos2 x xdx = ∫ 13) ( ) – 1 x x e e dx = ∫ 14) 2 2 cos x x e e dx x −   + =     ∫ 15) 3 1 2 1 x x e dx x +   + =   −   ∫ Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm F ( x ) c ủ a hàm s ố f ( x ) tho ả đ i ề u ki ệ n cho tr ướ c: a) 3 ( ) 4 5; (1) 3 f x x x F = − + = b) π = − = ( ) 3 5cos ; ( ) 2 f x x F c) 2 3 5 ( ) ; ( ) 1 x f x F e x − = = d) 2 1 3 ( ) ; (1) 2 x f x F x + = = e) − = − = 3 2 1 ( ) ; ( 2) 0 x f x F x f) 1 ( ) ; (1) 2 f x x x F x = + = − g)   π = =     ( ) sin2 .cos ; ' 0 3 f x x x F h) 4 3 2 3 2 5 ( ) ; (1) 2 x x f x F x − + = = i) 3 3 2 3 3 7 ( ) ; (0) 8 ( 1) x x x f x F x + + − = = + k) 2 π π ( ) sin ; 2 2 4 x f x F   = =     BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hàm s ố g ( x). Tìm nguyên hàm F ( x ) c ủ a hàm s ố f ( x ) tho ả đ i ề u ki ệ n cho tr ướ c: a) π   = + = =     2 ( ) cos ; ( ) sin ; 3 2 g x x x x f x x x F b) π = + = = 2 ( ) sin ; ( ) cos ; ( ) 0 g x x x x f x x x F c) 2 ( ) ln ; ( ) ln ; (2) 2 g x x x x f x x F = + = = − Bài 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) : a) 3 2 2 ( ) (3 2) 4 3 . . ( ) 3 10 4 F x mx m x x Tìm m f x x x   = + + − +  = + −   b) 2 2 ( ) ln 5 . . 2 3 ( ) 3 5 F x x mx Tìm m x f x x x  = − +  +  =  + +  Bài 3. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) : Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn a) 2 2 2 ( ) ( ) 4 . , , . ( ) ( 2) 4 F x ax bx c x x Tìm a b c f x x x x   = + + −  = − −  b) 2 ( ) ( ) . , , . ( ) ( 3) x x F x ax bx c e Tìm a b c f x x e   = + +  = −   Bài 4. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): a) 2 2 2 2 ( ) ( ) . , , . ( ) (2 8 7) x x F x ax bx c e Tìm a b c f x x x e − −   = + +  = − − +   b) 2 2 ( ) ( ) . , , . ( ) ( 3 2) x x F x ax bx c e Tìm a b c f x x x e − −   = + +  = − +   Bài 5. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): a) ( ) ( 1)sin sin2 sin3 . , , . 2 3 ( ) cos b c F x a x x x Tìm a b c f x x   = + + +   =  b) 2 2 ( ) ( ) 2 3 . , , . 20 30 7 ( ) 2 3 F x ax bx c x Tìm a b c x x f x x  = + + −  − +  =  −  Bài 6. Tính các nguyên hàm sau: 1) ( ) 5 1 2 I x x dx = + ∫ 2) 3 5 2 7 1 3 I x dx x   = −     ∫ 3) ( ) 5 2 3 3 3 4 2 I x x x dx = − + ∫ 4) 3 4 2 5 1 2 4 x I x dx x x   = − +       ∫ 5) 5 1 x+ dx x I   =     ∫ 6) 4 6 2 2 3 x I dx x + = ∫ Bài 7. Tính các nguyên hàm sau: 7) ( ) 2 7 1x I dx x − = ∫ 8) ( ) 2 3 8 2 1 I x dx = − ∫ 9) ( ) 2 2 9 2 4 x I dx x + = ∫ 10) 4 3 2 10 2 3 2 1 x x x I dx x + − + = ∫ 11) 2 11 x x x x I dx x − − = ∫ 12) 12 3 1 1 I dx x x   = −     ∫ Bài 8. Tính các nguyên hàm sau: 13) 3 13 1 I x dx x   = −     ∫ 14) 2 14 3 1 I x dx x   = +     ∫ 15) ( ) 2 3 15 2 3 x x I dx x − = ∫ 16) ( ) ( ) 4 16 2 I x x x x dx = − − ∫ 17) 17 5 1 (2 3) I dx x = − ∫ 18) 18 4 1 ( 3) x I dx x + = − ∫ Bài 9. Tính các nguyên hàm sau: 19) 19 π sin 2 7 x I dx   = +     ∫ 20) 20 sin2 sin 3 x I x dx   = +     ∫ 21) 21 sin 2 x I x dx   = +     ∫ 22) 22 π 1 sin 3 sin 4 2 x I x dx   +   = + −         ∫ 23) 2 23 cos 2 x I dx = ∫ 24) 2 24 sin 2 x I dx = ∫ Bài 10. Tính các nguyên hàm sau: 26) 26 2 cos 4 dx I x = ∫ 27) ( ) 27 2 cos 2 1 dx I x = − ∫ 28) ( ) 2 28 tan 2 I x x dx = + ∫ 29) 4 29 tan I x dx = ∫ 30) 2 30 cot I xdx = ∫ 31) ( ) 31 2 sin 2 3 dx I x = + ∫ Bài 11. Tính các nguyên hàm sau: 32) 32 1 cos6 dx I x = − ∫ 33) 2 2 33 2 1 cot dx I x x x   = + +     ∫ 34) 2 34 1 dx 3 2 I x x   = +   +   ∫ 35) 2 35 1 sin 2 5 I x dx x   = −   −   ∫ 36) 36 2 dx 3 x I x + = − ∫ 37) 37 2 1 4 3 x I dx x − = + ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Bài 12. Tính các nguyên hàm sau: 38) 38 6 5 x I dx x = − ∫ 39) 2 39 11 3 x x I dx x + + = + ∫ 40) 2 40 2 5 1 x x I dx x − + = − ∫ 41) 3 2 41 3 2 1 2 x x x I dx x + + + = + ∫ 42) 3 2 42 4 4 1 2 1 x x I dx x + − = + ∫ 43) 2 43 4 6 1 2 1 x x I dx x + + = + ∫ Bài 13. Tính các nguyên hàm sau: 44) 2x 3 44 I e dx − + = ∫ 45) 3 1 45 cos(1 ) x I x e dx −   = − +   ∫ 46) 2 1 46 . x I x e dx − + = ∫ 47) 47 2 2 sin (3 1) x I e dx x −   = +   +   ∫ 48) 48 2 2 cos x x e I e dx x −   = +     ∫ 49) ( ) 1 2 4 3 49 2 x x I e dx − + = − ∫ Bài 14. Tính các nguyên hàm sau: 50) 50 1 2 x I dx = ∫ 51) 51 2 7 x x I dx = ∫ 52) 2 1 52 3 x I dx + = ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG 1. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 xdx d x d x a d a x = = ± = − − 6. ( ) ( ) ( ) 2 cot cot cot sin dx d x d x a d a x x = − = − ± = − 2. ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 1 1 1 3 3 3 x dx d x d x a d a x = = ± = − − 7. ( ) ( ) ( ) 2 dx d x d x a d a x x = = ± = − − 3. sin (cos ) (cos ) ( cos ) xdx d x d x a d a x = − = − ± = − 8. ( ) ( ) ( ) x x x x e dx d e d e a d a e = = ± = − − 4. cos (sin ) (sin ) ( sin ) xdx d x d x a d a x = = ± = − − 9. ( ) ( ) ( ) ln ln ln dx d x d x a d a x x = = ± = − − 5. ( ) ( ) ( ) 2 tan tan tan cos dx d x d x a d a x x = = ± = − − 10. ( ) ( ) 1 1 dx d ax b d b ax a a = + = − − Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 1 2 1 x I dx x = + ∫ b) 2 10 2 (1 ) I x x dx = + ∫ c) 2 3 3 1 x dx I x = + ∫ Lời giải: a) S ử d ụ ng các công th ứ c vi phân ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 ln x xdx d d x d x a du d u u    = = = ±         =   Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 (ln ) ln 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 ln 1 . 2 2 2 1 1 1 du d u u C u d x d x x I dx I x C x x x = = + + = = = ←→ = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b) S ử d ụ ng các công th ứ c vi phân ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 n n x xdx d d x d x a u u du d n +    = = = ±           =    +    Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 10 10 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . 2 22 x I x x dx x d x C + = + = + + = + ∫ ∫ c) S ử d ụ ng các công th ứ c vi phân ( ) ( ) 3 2 3 1 3 3 2 x x dx d d x a du d u u    = = ±         =   Ta có ( ) ( ) 3 3 2 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 1 . 3 3 3 1 1 2 1 d x d x x dx x I C x x x + + + = = = = + + + + ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 2 4 1 I x x dx = − ∫ b) 5 2 1 dx I x = − ∫ c) 6 5 2 I x dx = − ∫ Tài liệu bài giảng: 02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng [...]... học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài liệu bài giảng: 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số I MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT Khi đó Q(x) = ax + b Nếu bậc của P(x) lớn... offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) 2 Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài liệu bài giảng: 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P2 Thầy Đặng Việt Hùng Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số... offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) 2 Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài liệu bài giảng: 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - P3 Thầy Đặng Việt Hùng Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số... dx 10) I10 = ∫ dx x x3 + 1 1 + 3ln x ln x 12) I12 = dx x ∫ 14) I14 = ∫ Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) ( dx x 1+ x ) 2 Học online: www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng: 03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Dạng 2 PP lượng giác hóa Nếu hàm f(x) có chứa dx = d (a sin t ) = a cos t dt  a 2 −... 2a a x+  + 2a  4a 2  2 ( ) Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để giải Nhận xét: Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát... 3cos x e2 ln x +1 30) I 30 = ∫ dx x 27) I 27 = ∫ dx ) + cos x cos x dx Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) x3 + 1 Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài liệu bài giảng: 03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Dạng 1 Đổi biến số cho các hàm vô tỉ Phương pháp giải: Nếu hàm f(x) có chứa n g ( x) thì... 4 5 5 x − 3x − 4  x +1 x − 4      ∫ ∫ ∫ Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) ∫ Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 1 11 Vậy I 3 = − ln x + 1 + ln x − 4 + C 5 5 Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm là 2x – 3 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau: d x 2 − 3x − 4 dx dx 2x + 3 2x − 3 + 6 (2 x − 3)dx... u 1+ u ∫1+ u ∫1− u 1− u 1+ u 2 Học trực tuyến tại: www.moon.vn 2 Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng 1 1 u −1 1 1 u −1 1 1 sin t − 1 − + ln + C  I 3 = → − + ln +C = − + ln + C u −1 1+ u u +1 u −1 u +1 u +1 sin t − 1 sin t + 1 sin t + 1 x 1 x2 4 x2 Từ giả thi t x = 2 tan t ⇔ tan t =  → = 1 + tan 2 t = 1 + ⇔ cos 2t =  sin 2 t = → 2 cos 2t... sin u t t 2 2 t −3 x − 2x − 2 1− 1− t x −1 Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau: 1+ 2 Học trực tuyến tại: www.moon.vn 3 Mobile: 0985.074.831 Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng dx 1 x = arc tan   + C 2 +a a a dx 1 x+a ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x − a + C dx 1 x−a ∫ a 2 − x 2 = 2a ln x + a + C dx 2 ∫ x 2 ± a = ln x + x ± a + C ∫x 2 BÀI TẬP... Sử dụng các công thức  2  u du = u + C ∫  2 Ta có I 23 = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 cot x dx cot 2 x cot 2 x dx = cot x 2 = − cot x d ( cot x ) = − + C  I 25 = − → + C 2 2 sin 2 x sin x sin x dx = −d ( cos x )  b) Sử dụng các công thức  du . giảng: 01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội). ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội). Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) : Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng