Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Họcmai.vn GỬI TẶNG CÁC BẠN TỔNG HỢP 10 BÀI TOÁN ĐẦU TIÊN TRÊN FB CỦA THẦY www.facebook.com/ThayTungToan Bài (Nguyễn Thanh Tùng) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T  a  b  c  2abc  12 ab  bc  ca Giải  Với ba số a  1, b  1, c  theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số dấu có số Do vai trò a, b, c bình đẳng nên khơng tính tổng qt giả sử : ( a  1)(b  1)   ab  a  b   2abc  2ac  2bc  2c  Suy : a  b  c  2abc  a  b  c  2ac  2bc  2c  A Ta có A  (a  b)  (c  1)2  2(ab  bc  ca)   2(ab  bc  ca )  2 Vậy a  b  c  2abc  2(ab  bc  ca )  (*)  Khi từ (*) kết hợp bất đẳng thức AM – GM ta được: T  2(ab  bc  ca )   12 3  2(ab  bc  ca)  6 1 ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca  3 2(ab  bc  ca ).6 3   17 ab  bc  ca ab  bc  ca  Với a  b  c  T  17 Vậy giá trị nhỏ T 17 -   2(1  y )  y x  2 xy  y  (1)  Bài (Nguyễn Thanh Tùng) Giải hệ phương trình   x ( x  6)  x(12  y )  (2)  ( x, y   ) Giải:  Điều kiện : xy  (*) Ta hệ có nghiệm y  hai cách sau :  Cách 1: (Dùng phương pháp đánh giá) (2)  x  6( x  x  1)   xy  x3  6( x  1)2   xy  ( xy  y xy  – theo (*))  x  , kết hợp với (*) suy y  (3) Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Khi : (1)   y (  x  2 xy  y )    y2     x    (  x ).( 2 y )  y    y2   Họcmai.vn y 8 2 y       x  2 y  y8   y    y  (4) Từ (3) (4) suy ra: y   Cách 2: (Dùng kĩ thuật nhân liên hợp đánh giá biểu thức không âm)    (1)  xy  y 2 xy  y   y8 2    y xy  y xy  y    y  xy  y   ( y  8)2  y      y  ( xy  y   , xy  ) y  1 3   y       0  y  1  3     2   Khi hệ có dạng:   x ( x  6)  12 x   x  x  12 x    x  x3  x  12 x    2x   ( x  2)3  x  x   x  1   Vậy nghiệm hệ là: ( x; y)   ;0   1   11  Bài (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có đỉnh A  ;   2    Một điểm M (1; 1) nằm hình bình hành cho MAB  MCB BMC  1350 Tìm tọa độ đỉnh D , biết D thuộc đường trịn có phương trình (T ) : x  y  x  y   Giải: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Họcmai.vn  Dựng điểm E cho ABEM hình bình hành, DCEM hình bình hành     C2  A1     Ta có:   C2  E1  BECM nội tiếp đường tròn  BEC  BMC  1800 (1) E   A1   AMD Mặt khác : BEC  AMD (c.c.c)  BEC   (2) Từ (1) (2) suy   BMC  1800 (*) AMD   Đường tròn (T ) nhận M (1; 1) làm tâm có bán kính R  MD  10  Theo (*) ta có:   1800  BMC  450 AMD  Xét tam giác AMD : Ta có MA  45 10 25  AD  AD  MA2  MD  MA.MD.cos   AMD    2 2  11  Suy D thuộc đường trịn tâm A  ;  bán kính AD  có phương trình:  2 2 11   1 25   x  y  11x  y  18  x   y   2  2   Khi tọa độ điểm D nghiệm hệ :  x  y  11x  y  18  x  x   D(2;1)       2 x  y  2x  y   y 1  y  2  D(3; 2)  Vậy D (2;1) D(3; 2) -  y3  x 1   x   y  Bài (Nguyễn Thanh Tùng) Giải hệ phương trình  3 xy  x  y      x 1   x  (1) ( x, y  ) (2) Giải:  Điều kiện:  x  (*) Với điều kiện (*) ta có (2)  y (3 x  2)  x   y  Xét hàm số f ( x )  2x 1 3x  1 2x 1  với x  1;  với x  1;  Ta có f '( x )  3x  (3 x  2)2  f ( x ) nghịch biến 1; 2  f ( x)  f (1)  hay y   1  y  (2*) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trị Việt Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Họcmai.vn    Cách (Nguyễn Thế Duy) Biến đổi (1) ta được:  y  1 y  y    x   y  1 x  (3) Do y  không nghiệm (3) nên (3)  y 1 y 1 x 1 (3*)  0 y 1 y  y    x  y  1 Từ (2*) (3*) suy ra: y  1 , x  thỏa mãn hệ Vậy nghiệm hệ ( x; y )  (1; 1)  Cách (Nguyễn Thanh Tùng) Ta có (1)  (1  y ) x   ( y  1)    x  y  y   (3) (1  y ) x   1  x   Theo (*) (2*) ta có:   1  y  ( y  1)  x  y  y     Khi (3)  (1  y ) x   ( y  1)   x  (thỏa mãn hệ)  x  y2  y      y  1  Vậy hệ có nghiệm ( x; y )  (1; 1)  Cách (Vũ Đức Tùng) Ta có (2)  x (3 y  2)  y   x  Với điều kiện  x    y2 1   1  y  y2  Thay (3) vào (1), ta có: y  y 1 y2 1 1   2 3y2  3y   y  y   (1  y )  y2 1 (3) với y  3y   y2 1 y2 1  y 1    1  3y2  3y     1 y2 y2   ( y  1) 0 y2  3y2   1 y (4 y  3)( y  1)  y   y  1( y  y  2)  (1  y )  0 y2  3y2      1  Vì 1  y  nên  y  ta có y  y    y     , y   2  nên Do y  1( y  y  2)  (1  y ) 1 y (4 y  3)( y  1)   với 1  y  3y2  y2  y    y  1 (thỏa mãn) Thay y  1 vào (3) ta x  (thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm ( x; y )  (1; 1)  Chú ý: Ở Ví dụ ta y  cách phân tích: y2  2x 1 2      với x  x  3(3x  2) 3 Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Họcmai.vn Bài (Nguyễn Thanh Tùng) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 5a  12abc  16b  27c  60 Tìm giá trị lớn biểu thức T  a  2b  3c (Dựa ý tưởng từ bạn hỏi thầy) Giải x  a   Đặt  y  2b ,  z  3c   x, y , z   2 5 x  xyz  y  z  60 (*) Ta viết lại (*) thành: x  x yz  (4 y  3z  60)  (2*)  Lúc quan niệm (2*) phương trình bậc hai với ẩn x , đó:  '  y z  5(4 y  z  60)  ( y  15)( z  20)  (15  y )(20  z ) 4 y  60 15  y    Mặt khác với điều kiện (*) ta có:   3 z  60 20  z     yz  (15  y )(20  z )  yz  (15  y )(20  z ) Do x   x  5 2  Khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM (Cauchy) với hai số dương 15  y ; 20  z ta được: (15  y )  (20  z )  yz   yz  (15  y )(20  z ) 35  ( y  z ) 2 x   5 10 60   ( y  z )2  10( y  z )  25 60  ( y  z  5) 60 35  ( y  z )   Suy T  x  y  z   yz   6 10 10 10 10  Với a  b  c  thỏa mãn điều kiện toán T  Vậy giá trị lớn T Suy x  -     x2   x  Bài (Nguyễn Thanh Tùng) Giải hệ phương trình  7  x      y   y  (1) y4   y  ( x, y  ) (2) Giải: Bước 1: Ta khai thác phương trình (1) để chi y   x hai cách sau : Cách 1: (1)  x2   x   x2   x  y2   y y 5  y  x   x  ( y )   ( y ) (*) Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Xét hàm số f (t )  t   t  f '(t )  t t2  1  t  t2  t2  Họcmai.vn  t t t2   , t   suy f (t ) đồng biến liên tục  Khi (*)  f ( x)  f (  y )  x   y hay y   x (3)      y2   y  x2   x     y   y2 y2   y   x   x  y   y ( a) Cách 2: (1)      y   y  x   x (b) x2   x   y2   y   2  x 5 x x2   x  Cộng vế với vế ( a) (b) ta được: 2( x  y )   y   x (3) Bước 2: Thay (3) vào (2) ta được:  x      x   x  x  10 x  14  x   (2*) Để giải (2*) ta có:  x   x  x   x  ( x  2)  (2 x)  ( x  x  2)( x  x  2)  Cách 1: Ta có:  2 7 x  10 x  14  ( x  x  2)  6( x  x  2)  Nên (2*)  ( x  x  2)  6( x  x  2)  ( x  x  2)( x  x  2)  a  x  x   +) Đặt  b  x  x    a, b   phương trình có dạng: a  6b  5ab   ( a  2b)( a  3b)   a  2b a  3b +) Với a  3b  a  9b : x  x   9( x  x  2)  x  20 x  16  (vô nghiệm) +) Với a  2b  a  4b : x  x   4( x  x  2)  3x  10 x    x  5   5     5      Thay vào (3) ta nghiệm hệ là: ( x; y )   ,   ;   ;  3       Cách 2: (Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp)    3x  10 x    x     3x  10 x    x     3x  10 x    x     x  10 x    x    x     x   x   x   x    x     x  64 x  36   x     x    (10 x)       x    (3 x  10 x  6)(3 x  10 x  6)  (3*)  3x  10 x   x   x   2 2 2 2 4 4 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt 4 2 2 2 Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Họcmai.vn   3x  10 x    x   x   (3x  10 x  6)      x  10 x   (4*) x  10 x   x   (5*) +) Cộng (5*) với (2*) ta được: x  20 x  16  (vô nghiệm) +) Ta có (4*)  x  5   5     5      Thay vào (3) ta nghiệm hệ là: ( x; y )   ,   ;   ;  3       Bài (Nguyễn Thanh Tùng) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J (2;1) Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A tam giác ABC có phương trình x  y  10  D (2; 4) giao điểm thứ hai AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết B có hồnh độ âm B thuộc đường thẳng có phương trình x  y   Giải:  AJ qua J (2;1) D (2; 4) nên có phương trìn phương trình: x   Khi tọa độ điểm A nghiệm hệ : x   x    A(2; 6)  2 x  y  10  y   Gọi E giao điểm thứ hai BJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó:     EnC   AmE   AmE  EnC  CpD    DqB    CpD  DqB   AmE  hay ECD    DqB (1)    EBD  sd ECD  Mặt khác:     DJB  sd   sd DqB AmE     Từ (1) (2) suy ra: EBD  DJB  (2)  hay tam giác DBJ cân D , suy DB  DJ (*) Lại có   A2  DB  DC (2*) A1  Từ (*) & (2*) suy ra: DB  DJ  DC hay D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC  Suy B, C nằm đường tròn tâm D (2; 4) bán kính DJ  có phương trình : ( x  2)  ( y  4)  25 Khi tọa độ điểm B nghiệm hệ: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trị Việt Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Họcmai.vn ( x  2)2  ( y  4)2  25  x  3 x   B (3; 4)      y  4  y  9  B (2;9) x  y   Do B có hồnh độ âm nên ta B ( 3; 4)  BC qua B vng góc với đường thẳng x  y  10  nên có phương trình: x  y   Khi tọa độ điểm C nghiệm hệ : ( x  2)2  ( y  4)2  25  x  3 x  C (3; 4)  B     C (5;0)   y  4 y  C (5; 0) x  y   Vậy A(2;6), B ( 3; 4), C (5; 0) -     (2  y ) x   x  x xy  (1)  Bài (Nguyễn Thanh Tùng) Giải hệ phương trình  2 x y  xy  x  y  xy  x  y  (2)  ( x, y  ) Giải: Cách (Nguyễn Thanh Tùng)  Điều kiện:  x   Với điều kiện (2)  x ( y  1)  x( y  1)  3( y  1)  y ( x  1)  5( x  1)  ( y  1)(2 x  x  3)  ( x  1)( y  5)  y  x  3x   (*) y 1 x 1 x  3x  với x   0; 2 x 1 x  x2  x  Ta có: f '( x )  ; f '( x)   x  x     ( x  1)  x  3 Xét hàm số f ( x )   f (0)  min f ( x )   x0;2   Khi  f (1)    Do f ( x ) liên tục đoạn  0;2 , suy  f ( x)   m axxf ( x)   0;2  f (2)     y2  y   y2   Từ (*)   3   y2  y     y  y 1  y  3y    Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Họcmai.vn  Ta có: (1)  (2  y ) x  (2  y )  x  x y  x  (2  y )  x  x y  ( y  1) x  (2*) (2  y )  x  0  x    Với   x y   (2  y )  x  x y  ( y  1) x  1  y   ( y  1) x   x  Khi (2*)  (2  y)  x  x y  ( y  1) x    thỏa mãn (2) y  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  (0; 2)  Nhận xét: Thực toán tác giả mượn số liệu ý tưởng từ toán “cho điểm” đề thi x  3x  x 1 đoạn  0; 2 ” Sau “biến tấu, che đậy” “đánh nhiễu” số liệu kèm với đại học khối D 2013 vừa qua “ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x )  cách tiếp cận khác tốn làm “lột xác” nhiều Vì có nhiều tốn tưởng khó lại sinh từ ý tưởng đơn giản Cách (Tú Anh)  Điều kiện:  x  2(2  y )( x  1)  x  Ta có (1)  x  2 x   xy    (2  y )( x  1)   Với  x  , biến đổi phương trình (2): y (1  x )  y (3x   x )  x  x   (*) Để phương trình có nghiệm thì:   (3 x   x )  4( x  1)(2 x  x  2)  x  x  x  58 x    (4 x  x  13)( x  3x  2)  35 x  25  (2*) Mà ta có:  x   ( x  1)( x  2)   x  x    (4 x  x  13)( x  x  2)  35 x  25  , không thỏa mãn (2*) hay (*) vô nghiệm Suy  x   x     y   y  (3*)  Với  x  , biến đổi phương trình (2): y (1  x )  y (3x   x )  x  x   x 1 y 1  2 x  3x  y  2(1  x )( x  3) x 1  , x   0;1 Vậy f ( x ) đồng biến  0;1 Xét hàm f ( x)  ; f '( x)  x  3x  (2 x  x  3)2 y 1 x 1    f (0)   y   y    y  y  x  3x  3 Mà theo (3*) ta có y  nên suy y  2; x  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  (0; 2)  ( y  5)( x  1)  ( y  1)(2 x  3x  3)  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trị Việt Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Họcmai.vn Bài (Nguyễn Thanh Tùng).Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A M trung điểm AB  11  Đường thẳng CM có phương trình x  y  20  K  ;   trọng tâm tam giác ACM Đường tròn  6 ngoại tiếp tam giác ABC có tâm nằm đường thẳng x  y   có bán kính Tìm tọa độ đỉnh Giải: tam giác ABC , biết A C có tọa độ nguyên Giải:  Gọi G , I trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi N trung điểm MA , : CK CG    GK // MN hay GK // AB CN CM Do I tâm đường tròn ngoại tiếp nên MI  AB  MI  GK (1) Gọi P trung điểm AC ABC cân A nên: MP / / BC  MK / / BC   GI  MK (2)   AG  BC GI  BC Từ (1) (2) , suy I trực tâm tam giác MGK  KI  MG hay KI  CM  Khi KI có phương trình: x  y   7 x  y   7 7 7 Suy tọa độ điểm I nghiệm hệ   x  y    I  ;   2  2 2 x  y   25  IC   Gọi C (4  7t;5t )  CM , : R  IC  2 2 1  7 25 21    7t     5t     74t  42t   t  t   (loại)  C (4;0) 2  2 37  7   Gọi M (4  7m;5m)  CM , K trọng tâm tam giác ACM nên A  7 m  ; 5m   2  Ta có IA2  R   7m     5m    A(1; 1) m   25   148m  168m  47       72 12   A ;    m   47   37 37    74  1 5 Do A có tọa độ nguyên nên A(1; 1)  M  ;    B (0; 4) (vì M trung điểm AB ) 2 2 Vậy A(1; 1), B (0; 4), C (4; 0) Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt 10 Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Họcmai.vn Bài 10 (Nguyễn Thanh Tùng) Cho a, b, c số thực thỏa mãn  a  b   c 2b  c  4(2a  b  c)  18 13 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  ab  bc  ca  2a  5b   b  4bc  Giải:  Ta có 2b  c  4(2a  b  c)  18  2(b  2b  1)  (c  4c  4)  8( a  b  c)   18  24  2(b  1)  (c  2)  8( a  b  c )  8( a  b  c ) Suy a  b  c   Do  a  b  c , nên ta có ab  bc  ca  ab  bc  ca  a (a  b)(b  c)  abc  b (a  c )2 ( x  y  z )3 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM dạng xyz  , ta được: 27 ac ac  b    ac ac   ( a  b  c )3  b(a  c)  4.b   2 27 27 2 Khi ab  bc  ca  (*)  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM dạng xy  x  y 3 xyz  x  y  z , ta được: 2a  5b    b  4bc  2a  5b  3.2 b.1  2.3 2b.c.2  2a  5b  3(b  1)  2(2b  c  2)  2( a  b  c )   2.3   13 Suy 2a  5b    b  4bc  13   Mặt khác  b  , đó: ta có: 5b  b  b  b   2a  5b  Vậy  2a  5b    b  4bc  13   b  4bc  (2*) 13 3 13 Với a  0; b  1; c  thỏa mãn điều kiện đề P  Vậy giá trị lớn P  Từ (*) (2*), suy P   CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU ! Nguyễn Thanh Tùng https://www.facebook.com/ThayTungToan Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt 11 Tài liệu môn tiếng anh Lovebook - Tuyển tập đề thi thử trung học phổ thông môn tiếng anh có đáp án chi tiết http://123doc.org/share-tuyen-tap-de-thi-thu-trung-hoc-pho-thong-mon-tieng-anh-co-dap-an-chitiet/Nzc2MTY= Đề thi thử kỳ thi THPT quốc gia Tiếng Anh 2015 cô vũ mai phương moon- có hướng dẫn giải thích chi tiết http://123doc.org/share-de-thi-thu-ky-thi-thpt-quoc-gia-tieng-anh-2015-co-vu-mai-phuong-moon-co-huongdan-giai-thich-chi-tiet/Nzc2MTg= Vũ khí tiếng anh: cú huých ẵm trọn 1,5 điểm luận tổng hợp 60 luận tiếng anh 140 từ http://123doc.org/share-vu-khi-tieng-anh-cu-huych-am-tron-2-diem-bai-luan-tong-hop-60-bai-luan-tieng-anh140-tu/NzY4OTI= Bộ đề thi thử môn tiếng anh có đáp án chi tiết http://123doc.org/share-bo-de-thi-thu-mon-tieng-anh-co-dap-an-chi-tiet/NzMyMTg= Bộ đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia tiếng anh 2015 http://123doc.org/share-bo-de-thi-tot-nghiep-trung-hoc-pho-thong-quoc-gia-tieng-anh-2015/NzYwOTI= 60 luận tiếng anh thông dụng http://123doc.org/share-60-bai-luan-tieng-anh-thong-dung/NzY3MDM= luận tiếng anh thông dụng http://123doc.org/share-cac-bai-luan-tieng-anh-thong-dung-nhat/NzY3MDE= 45 đề trắc nhiệm tự luận tiếng anh 12 http://123doc.org/share-45-de-trac-nhiem-va-tu-luan-tieng-anh-12/NzY3MDI= luận mẫu tiếng anh kỳ thi trung học phổ thông quốc gia phần writing part http://123doc.org/share-bai-luan-mau-tieng-anh-trong-ky-thi-trung-hoc-pho-thong-quoc-gia-phan-writing-part2/NzYyMDQ= Bộ đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng môn tiếng anh hoàng thị lệ http://123doc.org/share-bo-de-thi-tuyen-sinh-dai-hoc-cao-dang-mon-tieng-anh-hoang-thi-le/NzQ0MDg= quy tắc phát âm tiếng anh luyện thi đại học http://123doc.org/share-quy-tac-phat-am-trong-tieng-anh-luyen-thi-dai-hoc/NDI4NTY= chuyên đề tập tiêng anh câu ĐỒNG NGHĨA http://123doc.org/share-chuyen-de-bai-tap-tieng-anh-cac-cau-dong-nghia/NTMxNjA= Tài liệu môn văn nghị luận xã hội nghị luận văn học ôn thi THPT quốc gia môn văn (hocmai.vn http://123doc.org/share-nghi-luan-xa-hoi-nghi-luan-van-hoc-on-thi-thpt-quoc-gia-mon-van-hocmaivn-bien-soan/Nzg3MjE= tài liệu chọn lọc ngữ văn trung học phổ thông gstt group 2015 http://123doc.org/share-tai-lieu-chon-loc-ngu-van-trung-hoc-pho-thong-gstt-group-2015/NzU4MTQ= Tài liệu ngữ văn ôn luyện kỳ thi trung học phổ thông quốc gia tài liệu tinh giảm kiến thức chọn lọc http://123doc.org/share-tai-lieu-ngu-van-on-luyen-ky-thi-trung-hoc-pho-thong-quoc-gia-tai-lieu-tinh-giam-kien-thucchon-loc-phan-1/NzM1OTM= Tài liệu mơn tốn Tổng hợp tuyệt kỹ bấm máy casio giải phương trình hệ phương trình bất phương trình http://123doc.org/share-tong-hop-tuyet-ky-bam-may-casio-giai-phuong-trinh-he-phuong-trinh-bat-phuongtrinh/NzY1MjI= sơ đồ tư duy, hướng tư vận dụng giải toán Oxy http://123doc.org/share-so-do-tu-duy-cac-huong-tu-duy-va-van-dung-giai-toan-oxy/NTM0OTI= tóm tắt cơng thức tốn học học nhanh tốn học cấp http://123doc.org/share-tom-tat-cong-thuc-toan-hoc-hoc-nhanh-toan-hoc-cap-3/MzkzNDg= tóm tắt kiến thức lượng giác http://123doc.org/share-tom-tat-kien-thuc-luong-giac/NDI2OTM= Tài liệu tinh giảm, ngắn gọn để đạt điểm mơn tốn ký thi THPT quốc gia 2015 http://123doc.org/share-tai-lieu-tinh-giam-ngan-gon-de-dat-7-diem-mon-toan-trong-ky-thi-thpt-quoc-gia2015/NzMyMTY= tập giải chi tiết toán lũy thừa, tập mũ, tập logarit- màu đẹp http://123doc.org/share-bai-tap-va-bai-giai-chi-tiet-toan-luy-thua-bai-tap-mu-bai-tap-logarit-ban-mau-dep/Mzk2Mzc= PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG- ÔN THI ĐIỂM 10 MƠN TỐN http://123doc.org/share-phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang-on-thi-diem-10-mon-toan/NzMzMjg= hướng dẫn giải dạng tích phân thường gặp ơn điểm 10 mơn tốn http://123doc.org/share-huong-dan-giai-6-dang-tich-phan-thuong-gap-on-diem-10-mon-toan/NzMzNDA= dạng tích phân cách tính ơn thi đại học http://123doc.org/share-cac-dang-tich-phan-va-cach-tinh-on-thi-dai-hoc/NDA0Nzc= CáchTÍNH TÍCH PHÂN đặc biệt http://123doc.org/share-cachtinh-tich-phan-dac-biet/NDQ2NzI= giải hệ phương trình http://123doc.org/share-giai-he-phuong-trinh/NDA2Mjg= Lượng giác tập 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất, số phương pháp lượng giác hóa http://123doc.org/share-luong-giac-tap-3-tim-gia-tri-lon-nhat-gia-tri-lon-nhat-mot-so-phuong-phap-luong-giachoa/NjIzMzY= Bảng cơng thức lượng giác dễ nhớ http://123doc.org/share-bang-cong-thuc-luong-giac-de-nho/NzIwNzQ= Bảng cơng thức tích phân - đạo hàm - Mũ - logarit http://123doc.org/share-bang-cong-thuc-tich-phan-dao-ham-mu-logarit/NTM5OTc= chinh phục hình học giải tích mặt phẳng http://123doc.org/share-chinh-phuc-hinh-hoc-giai-tich-trong-mat-phang/NzMzNzk= tổng hợp 90 đề thi đại học mơn tốn kèm đáp án hay khơng nên bỏ qua http://123doc.org/share-tong-hop-90-de-thi-dai-hoc-mon-toan-kem-dap-an-hay-khong-nen-bo-qua/NDMzMjE= tuyển tập hình học giải tích mặt phẳng hay đặc sắc phiên http://123doc.org/share-tuyen-tap-hinh-hoc-giai-tich-trong-mat-phang-hay-va-dac-sac-phien-ban-1/NzMzODA= tuyển tập tích phân có đáp án chi tiết http://123doc.org/share-tuyen-tap-tich-phan-co-dap-an-chi-tiet/NzMzNDM= Tuyển chọn tốn đặc sắc hệ phương trình hình phẳng oxy đặng việt hùng moon http://123doc.org/share-tuyen-chon-cac-bai-toan-dac-sac-he-phuong-trinh-hinh-phang-oxy-dang-viet-hungmoon/NzMyMjI= hướng dẫn tìm nhân tử với casio nhân tử từ nghiệm vô tỉ http://123doc.org/share-huong-dan-tim-nhan-tu-voi-casio-nhan-tu-tu-mot-nghiem-vo-ti/NzMzODE= luyện giải đề trước đề kỳ thi đại học tuyển chọn giới thiệu đề thi môn toán http://123doc.org/share-luyen-giai-de-truoc-de-ky-thi-dai-hoc-tuyen-chon-va-gioi-thieu-de-thi-mon-toan/NzMyMTc= tuyển tập 10 đề thi thử đại học cao đẳng mơn tốn (kèm lời giải chi tiết bình luận) http://123doc.org/share-tuyen-tap-10-de-thi-thu-dai-hoc-cao-dang-mon-toan-kem-loi-giai-chi-tiet-va-binhluan/NzMyMTk= tọa độ khơng gian ơn thi đại học ơn điểm 10 mơn tốn http://123doc.org/share-toa-do-khong-gian-on-thi-dai-hoc-on-diem-10-mon-toan/NzMzNDE= tập phương pháp tọa độ không gian http://123doc.org/share-bai-tap-phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian/NzMzNDI= Tài liệu môn hóa Tuyển tập 90 đề thi thử đại học cao đẳng mơn hóa học kèm lời giải chi tiết tập http://123doc.org/share-tuyen-tap-90-de-thi-thu-dai-hoc-cao-dang-mon-hoa-hoc-kem-loi-giai-chi-tiet-tap-2phan-1-file-dinh-kem-co-link-down-phan-2-va-phan-3/Nzc2MTk= Các phương pháp tư kĩ thuật ơn tổng lực tồn tập lý thuyết hóa học thi kỳ thi quốc gia 2015 http://123doc.org/share-cac-phuong-phap-tu-duy-va-ki-thuat-on-tong-luc-toan-tap-ly-thuyet-hoa-hoc-thi-ky-thi-quocgia-2015/NzM2NTY= tuyển chọn giải chi tiết 20 đề thi thử trọng điểm hóa học 2015- Nguyễn Anh Phong http://123doc.org/share-tuyen-chon-giai-chi-tiet-20-de-thi-thu-trong-diem-hoa-hoc-2015-nguyen-anhphong/NzY1NDc= Free tư thần tốc khám phá tư giải nhanh thần tốc hoá học nguyễn anh phong (full) http://123doc.org/share-kham-pha-tu-duy-giai-nhanh-than-toc-hoa-hoc-nguyen-anh-phong-full/NzY2MTc= Hướng dẫn giải nhanh đề thi khối B mơn Tốn Hóa Sinh http://123doc.org/share-huong-dan-giai-nhanh-de-thi-khoi-b-mon-toan-hoa-sinh/NzQ0MDk= tuyển tập 40 đề thi thử đại học mơn hóa có đáp án http://123doc.org/share-tuyen-tap-40-de-thi-thu-dai-hoc-mon-hoa-co-dap-an-new/NzMzMjk= Cơng thức giải nhanh trắc nghiệm hóa học http://123doc.org/share-cong-thuc-giai-nhanh-trac-nghiem-hoa-hoc/MzkwNTQ= 16 kĩ thuật phương pháp giải nhanh tập trắc nhiệm hóa học http://123doc.org/share-16-ki-thuat-va-phuong-phap-giai-nhanh-bai-tap-trac-nhiem-hoa-hoc/NDAzMDg= ơn thi cấp tốc kĩ thuật tổng hợp giải nhanh lý thuyết hóa học http://123doc.org/share-on-thi-cap-toc-ki-thuat-tong-hop-va-giai-nhanh-ly-thuyet-hoa-hoc/NzQxMzY= Tổng hợp 16 phương pháp giải nhanh trắc nhiệm hóa học kèm câu hỏi hướng dẫn http://123doc.org/share-tong-hop-16-phuong-phap-giai-nhanh-trac-nhiem-hoa-hoc-kem-cau-hoi-va-huongdan/NDE5MzQ= Nhận biết hóa chất hóa học http://123doc.org/share-nhan-biet-cac-hoa-chat-hoa-hoc-google-com/NDAxNDQ= ơn tập hệ thống hóa kiến thức Hóa Hữu Quan Hán Thành http://123doc.org/share-on-tap-va-he-thong-hoa-kien-thuc-hoa-huu-co-quan-han-thanh/NzMzMzc= phân tích , tránh số sai lầm Bẫy đề thi đại học mơn hóa http://123doc.org/share-phan-tich-tranh-1-so-sai-lam-bay-trong-de-thi-dai-hoc-mon-hoa/NDU3NjU= phương pháp giải nhanh tập trắc nhiệm hóa vô đỗ xuân hưng phần http://123doc.org/share-phuong-phap-moi-giai-nhanh-bai-tap-trac-nhiem-hoa-vo-co-do-xuan-hung-phan-1-phan-2http-123doc-org-share-phuong-phap-moi-giai-nhanh-bai-tap-trac-nhiem/NzMyMzI= phương pháp giải nhanh tập trắc nhiệm hóa vơ đỗ xuân hưng phần http://123doc.org/share-phuong-phap-moi-giai-nhanh-bai-tap-trac-nhiem-hoa-vo-co-do-xuan-hung-phan2/NzMyMzM= Phương pháp giải nhanh tập hóa hữu đỗ xuân hưng phần http://123doc.org/share-phuong-phap-moi-giai-nhanh-bai-tap-hoa-huu-co-do-xuan-hung-phan-1-phan-2-http-123docorg-share-phuong-phap-moi-giai-nhanh-bai-tap-hoa-huu-co-do-xuan-h/NzMyMzA= Phương pháp giải nhanh tập hóa hữu đỗ xuân hưng phần http://123doc.org/share-phuong-phap-moi-giai-nhanh-bai-tap-hoa-huu-co-do-xuan-hung-phan-2/NzMyMzE= Tài liệu tổng ơn tập luyện thi trắc nhiệm hóa học hóa đại cương vô phần http://123doc.org/share-tai-lieu-tong-on-tap-luyen-thi-trac-nhiem-hoa-hoc-hoa-dai-cuong-va-vo-co-phan-1-phan-2http-123doc-org-share-tai-lieu-tong-on-tap-luyen-thi-trac-nhiem/NzMzMzg= Tài liệu tổng ơn tập luyện thi trắc nhiệm hóa học hóa đại cương vô cao cự giác phần http://123doc.org/share-tai-lieu-tong-on-tap-luyen-thi-trac-nhiem-hoa-hoc-hoa-dai-cuong-va-vo-co-cao-cu-giac-phan2/NzMzMzk= Bộ đề ơn luyện thi trắc nhiệm mơn hóa học PGS TS nguyễn khuyến http://123doc.org/share-bo-de-on-luyen-thi-trac-nhiem-mon-hoa-hoc-pgs-ts-nguyen-thanh-khuyen/NzMyMjc= tuyển tập 20 đề thi đại học cao đẳng kèm lời giải chi tiết mơn hóa http://123doc.org/share-tuyen-tap-20-de-thi-dai-hoc-cao-dang-kem-loi-giai-chi-tiet-mon-hoa/NzMyMjM= chun đề giúp trí nhớ hóa học phần đại cương vô http://123doc.org/share-chuyen-de-giup-tri-nho-hoa-hoc-phan-dai-cuong-va-vo-co/NzMyMjU= Nhận biết hố học hữu http://123doc.org/share-nhan-biet-hoa-hoc-huu-co/NTI0NzY= 17 dạng tốn hóa học luyện thi đại học http://123doc.org/share-17-dang-bai-toan-hoa-hoc-luyen-thi-dai-hoc/NDA0ODM= HOT tuyển tập đề thi thử hóa có đáp án thủ khoa lê phạm thành http://123doc.org/share-hot-tuyen-tap-de-thi-thu-hoa-co-dap-an-cua-thu-khoa-le-pham-thanh/NDMxNTY= Những kiến thức luyện thi hóa học quan trọng http://123doc.org/share-nhung-kien-thuc-luyen-thi-hoa-hoc-quan-trong/NDI2MjE= Tài liệu môn lý tuyển tập 200 vật lý hay khó tập GSTT group http://123doc.org/share-tuyen-tap-200-bai-vat-ly-hay-va-kho-tap-1-gstt-group/NzMyMjY= Tóm tắt cơng thức lý 12 http://123doc.org/share-tom-tat-cong-thuc-ly-12/NDAxNTU= tuyển tập cách tính nhanh vật lý máy tính casio- có hình minh họa http://123doc.org/document/2160900-tuyen-tap-cach-tinh-nhanh-vat-ly-bang-may-tinh-casio-co-hinh-minh-hoa.htm siêu phẩm luyện đề trước kỳ thi đại học vật lý 2015 kèm theo đáp án bình luận chi tiết http://123doc.org/share-sieu-pham-luyen-de-truoc-ky-thi-dai-hoc-vat-ly-2015-kem-theo-dap-an-va-binh-luan-chitiet/NzMyODg= 69 đề thi trắc nhiệm khách quan vật lý đại học kèm đáp án http://123doc.org/share-69-de-thi-trac-nhiem-khach-quan-vat-ly-dai-hoc-kem-dap-an-moi-nhat-2015/NzMyODY= chun đề lắc lị xo có lời giải http://123doc.org/share-chuyen-de-con-lac-lo-xo-co-loi-giai/NDk5NTY= 60 đề thi trắc nhiệm đại học mơn vật lý có đáp án http://123doc.org/share-60-de-thi-trac-nhiem-dai-hoc-mon-vat-ly-co-dap-an/NDgzMjQ= Tài liệu mơn Sinh Sơ đồ tư lý thuyết sinh học hocmai forum http://123doc.org/share-so-do-tu-duy-ly-thuyet-sinh-hoc-hocmai-vn-forum/Nzc2MTc= tuyển tập đề thi thử trắc nhiệm sinh có đáp án http://123doc.org/share-tuyen-tap-de-thi-thu-trac-nhiem-sinh-co-dap-an/NzU5MDc= Hướng dẫn giải dạng tập theo đề thi quốc gia môn sinh học http://123doc.org/share-huong-dan-giai-cac-dang-bai-tap-theo-de-thi-quoc-gia-mon-sinh-hoc/NzMyMjA= cơng thức tính nhanh trắc nhiệm mơn sinh tập hướng dẫn kèm(lưu hành nội bộ) http://123doc.org/share-cong-thuc-tinh-nhanh-trac-nhiem-mon-sinh-va-bai-tap-huong-dan-di-kem-luu-hanh-noibo/NDQ4NjE= công thức sinh học lớp lớp 12 luyện thi đại học 11 trang giấy http://123doc.org/share-cac-cong-thuc-sinh-hoc-lop-9-va-lop-12-luyen-thi-dai-hoc-trong-11-trang-giay/NDExNzQ= Bài giảng ôn tập sinh học 12 http://123doc.org/share-bai-giang-on-tap-sinh-hoc-12/NDk5NzM= Tài liệu môn Sử HOT đề thi thử lịch sử có hướng dẫn đáp án bỏ qua http://123doc.org/share-hot-bo-de-thi-thu-lich-su-co-huong-dan-dap-an-khong-the-bo-qua/NTI4Mjc= tài liệu giáo án ôn thi lịch sử Việt Nam từ 1919 2000 http://123doc.org/share-tai-lieu-giao-an-on-thi-lich-su-viet-nam-tu-1919-2000/NDAzNTk= tóm tắt đề cương ơn tập luyện thi môn lịch sử http://123doc.org/share-tom-tat-de-cuong-on-tap-luyen-thi-mon-lich-su/NDA0NjE= tài liệu ôn thi kỳ thi THPT quốc gia lịch sử http://123doc.org/share-tai-lieu-on-thi-tot-nghiep-va-dai-hoc-lich-su/NDA1NTU= đề cương câu hỏi lịch sử lớp 12 http://123doc.org/share-de-cuong-cau-hoi-lich-su-lop-12/NDI2NTM= Tài liệu môn Địa 30 tập vẽ biểu đồ môn địa lý http://123doc.org/share-30-bai-tap-ve-bieu-do-mon-dia-ly/NDI0MTU= chủ đề cần học để ơn thi tốt đại học môn địa lý không nên bỏ qua http://123doc.org/share-cac-chu-de-chinh-can-hoc-de-on-thi-tot-dai-hoc-mon-dia-ly-khong-nen-bo-qua/NDA5MzA= TÀI LIỆU ôn THI đại học môn địa lý http://123doc.org/share-tai-lieu-on-thi-dai-hoc-mon-dia-ly-moi/NDI0MTY= ... http://123doc.org/share-so-do-tu-duy-cac-huong-tu-duy-va-van-dung-giai-toan-oxy/NTM0OTI= tóm tắt c? ?ng th? ?c tốn h? ?c h? ?c nhanh tốn h? ?c c? ??p http://123doc.org/share-tom-tat-cong-thuc-toan-hoc-hoc-nhanh-toan-hoc-cap-3/MzkzNDg= tóm tắt kiến th? ?c lượng gi? ?c http://123doc.org/share-tom-tat-kien-thuc-luong-giac/NDI2OTM=... B (0; 4), C (4; 0) Hocmai.vn – Ngôi trường chung h? ?c trị Việt 10 Khóa h? ?c PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Họcmai.vn Bài 10 (Nguyễn Thanh Tùng) Cho a, b, c số th? ?c thỏa mãn ... http://123doc.org/share-bang-cong-thuc-tich-phan-dao-ham-mu-logarit/NTM5OTc= chinh ph? ?c hình h? ?c giải tích mặt phẳng http://123doc.org/share-chinh-phuc-hinh-hoc-giai-tich-trong-mat-phang/NzMzNzk= tổng hợp 90 đề thi đại h? ?c mơn tốn kèm đáp án hay