1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI VĂN HÓA – HỘI THI VHTT CÁC TRƯỜNG DTNT TOÀN QUỐC LẦN THỨ VII - 2014 Đáp án và thang điểm Đề thi môn Toán lớp 10 Câu ý Đáp án Điểm 1 (2 đ) a Khi m = 0 hệ trở thành 2 2 1 0 2 1 0           x x x 0,25   2 2 1;1 1 0 ( 1) 0                     x x x R x 0,5   1;1x  0,25 b 2 2 1 0 (1) 2( 1) 4 1 0 (2)             x x m x m Giải (1) ta được [-1;1]x 0,25 Xét (2): 2 ' 2m m   TH1: ' 0   [0;2]m . Khi đó bất phương trình (2) có tập nghiệm là   hệ bất phương trình có nghiệm. 0,25 TH2: ' 0   ( ;0) (2; )m    (*) Ta có 2 2 1 2 1 2 , 1 2x m m m x m m m        Hệ bất phương trình có nghiệm khi 1 2 1 (3) 1 (4) x x       +) Giải (3) ta được 2 3 m   . Kết hợp (*) 2 [ ;0) (2; ). 3 m     +) Giải (4) ta được m = 0 (loại) 0,25 KL: Vậy hệ bất phương trình có nghiệm khi 2 3 m   . 0,25 2 (2 đ) a       2 2x 5x 7 x 2 0 (1). Điều kiện : x 2 . 0.25 TH1 : Với x = 2 khi đó (1) luôn đúng, vậy x = 2 là nghiệm 0.25 TH2: Với x > 2 khi đó (1)              2 x 1 2x 5x 7 0 7 x 2 0.25 Do x > 2 nên 7 x 2  . Vậy tập nghiệm   7 S 2 ; 2          . 0.25 2 b 1 4 5 (1) 1 4 5 (2) x y y x              . Điều kiện: 1 1 x y      Trừ vế với vế của hai phương trình ta được: 1 4 1 4 0x y y x        (3) 5 5 4 1 4 1 1 4 1 4 4 1 4 1 4 1 4 1 0(4) x x y y x x y y x x y y x x y y                                  0,25 Từ (3) và (4) suy ra được x = y. 0,25 Thay vào (1) ta được 1 4 5x x                 2 2 2 2 1 4 25 2 3 2 1 4 25 1 4 11 1 11 1 11 1 11 5 5 3 4 121 22 1 4 11 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                 0,25 Với x = 5 suy ra y = 5. Vậy hệ đã cho có nghiệm (x ; y) duy nhất là (5; 5). 0,25 3 (2 đ) a Phương trình đường thẳng d: y = kx – 1 PT hoành độ giao điểm của (P) và (d): x 2 + kx – 1 =0, 2 4 0,k    k R  0.25 1 2 ,x x k   1 2 1x x   0.25 Ta có: 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( )x x x x x x x x          = 2 1 2 1 2 1 2 . ( )x x x x x x   0.25 = 2 2 4( 1) 2k k   , k R . Đẳng thức xảy ra khi k = 0 0.25 b Có A(x 1 ; kx 1 -1), B(x 2 ; kx 2 -1) AB = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1)[( ) 4 ] ( 1)( 4)x x kx kx k x x x x k k          0.25 Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d) là: h = 2 1 1k  0.25 Diện tích tam giác OAB là: S = 2 1 1 . 4 2 2 AB h k  0.25 Ta có S 1 . Do đó S min = 1 0k  0.25 4 (3 đ) a Từ gt, ta có:   1 2 3 AD AB AC     (1), AN AC    , 1 2 AM AB    0.25 Điểm K MN  ( , 1)KM aKN a R a       AM AK a AN AK        0.25  1 1 2(1 ) 1 aAN AM a AK AB AC a a a              (2) 0.25 A, D, K thẳng hàng  AD mAK   (3). Từ (1), (2), (3)  1 2 1 1 2(1 ) a a a a              Kết luận: KM KN    hay K là trung điểm của MN. 0.25 K M N A B C D 3 b Tìm được (4;3)A 0,25 Gọi M(x; y) là điểm thuộc tia phân giác AC (của góc BAD), khi đó M cách đều 2 đường thẳng AB, AD; đồng thời M, E nằm cùng phía với mỗi đường thẳng AB, AD, tức là: 1 7 17 2 50 ( 1)(7 2 1) 0 ( 7 17)(7 14 17) 0 x y x y x y x y                         ( ) :2 11 0AC x y    0,25 Đường chéo BD qua E và BD AC nên BD có phương trình là: 2 3 0x y   Ta có: ( 1; 2)B AB BD B     , (11;4)D AD BD D   0,25 Tâm I của hình thoi ABCD là (5;1)I  Tọa độ đỉnh C là: (6; 1)C  0,25 c Ta có 1 1 3 1 1 3 c b a b a c a b c a b c a              0.25 1 c b a b c a      2 2 2 a b c bc    0.5 0 1 cos 60 2 A A    ( Do 0 0 0 180A  ) 0.25 5 (1 đ) Từ giả thiết, chỉ ra được   a;b;c 0;1 0 abc 1    . Ta có 2 3 3 3 ab bc ca 3 (abc) 3 (abc) 3abc 2abc      , suy ra 0F  0,25 Dấu bằng có xảy ra, chẳng hạn tại 0; 1a b c   Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 0 đạt được khi 0; 1a b c   và các hoán vị 0,25 Không mất tính tổng quát giải sử 1 a b c a 0; 3           Ta có:           2 1 ab bc ca 2abc a b c bc 1 2a a 1 a b c 1 2a 4                   2 1 a 1 a 1 a 1 2a 4          2 1 1 a 4a 1 3a 2a 4                2 2 1 1 1 a 2a a 1 1 2a a 1 4 4            0,25 3 1 1 2a a a 7 1 4 3 27                     . Vậy giá trị lớn nhất của P là 7 27 đạt được khi: 1 a b c  3    0,25