http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 02. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: I. Phương trình tổng quát của mặt phẳng Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm   0 0 0 0 ; ; M x y z và có VTPT n  (A; B; C) có phương trình: (       0 0 0 ): 0 P A x x B y y C z z       II. Các trường hợp riêng  Nếu D = 0, mặt phẳng (P) đi qua gôc tọa độ.  Nếu 0, 0, 0 A B C    , mặt phẳng (P): 0 By Cz D    chứa hoặc song song với trục Ox Tương tự: mp (P): Ax 0 Cz D    chứa hoặc song song với trục Oy mp (P): Ax 0 By D    chứa hoặc song song với trục Oz  Nếu 0, 0, 0 A B C    , mặt phẳng (P): 0 Cz D   chứa hoặc song song với Ox và Oy nên nó song song hoặc trùng với mp (xOy) Tương tự: mp (P): Ax 0 D   song song hoặc trùng với mp (yOz) mp (P): 0 By D   song song hoặc trùng với mp (xOz) Đặc biệt: Các phương trình x = 0, y = 0, z = 0 theo thứ tự là phương trình của các mp tọa độ yOz, xOz, xOy  Nếu 0, 0, 0 A B C    thì bằng cách đặt: , , ( ): 1 D D D x y z a b c P A B C a b c           (1) Phương trình (1) gọi là phương trình đoạn chắn của (P). Mặt phẳng đó cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0 ), B (0; b; 0), C(0; 0; c) Vậy ta có : aA( ;0;0) ( ): (0; ;0) ( ): 1 (0;0; ) qu a x y z P quaB b P a b c quaC c          B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng    đi qua điểm   0 0 0 ; ; M x y z và có vectơ pháp tuyến   ; ; n a b c   Phương pháp: Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến n  (nếu chưa cho sẵn). Bước 2: Sử dụng công thức       0 0 0 0 a x x b y y c z z       Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua điểm A ( 3; 4; -1) và có VTPT http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà n  (2; -3; 4) Bài giải: Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A ( 3; 4; -1) và có VTPT n  (2; -3; 4) là:       2 3 3 4 4 1 0 x y z       2 3 4 10 0 x y z      Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A ( 2; 3; 4) và song song với mặt phẳng (Q): 2 3 6 0 x y z     Bài giải: (P) // (Q) ( ) P  có VTPT là   1;2;3 Q n   Phương trình mặt phẳng (P) qua A ( 2; 3; 4) nhận   1;2;3 Q n   là VTPT là:       1 2 2 3 3 4 0 x y z       2 3 20 0 x y z      Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB Phương pháp: Bước 1: Tìm tọa độ điểm I là trung điểm của ABtheo công thức , , . 2 2 2 A B A B A B I I I x x y y z z x y z       Bước 2: Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I nhận AB  làm vectơ pháp tuyến. Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của AB với A(-2; 1; 4), B(1; 3; -3) Bài giải: Ta có: (3;2; 7) AB   Gọi I là trung điểm của AB  tọa độ điểm I là: 1 2 2 2 2 1 2 2 A B I I A B I I A B I I x x x x y y y y z z z z                            http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Phương trình mặt phẳng trung trực của AB qua I nhận (3;2; 7) AB   là VTPT là:   1 1 3 2 2 7 0 2 2 x y z                   3 2 7 1 0 x y z      Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng    đi qua điểm A và có cặp vectơ chỉ phương , u v   Phương pháp: Bước 1: Tính vectơ ; . n u v         Bước 2: Mặt phẳng    đi qua điểm A nhận ; n u v         làm vectơ pháp tuyến. Ví dụ 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; -1; 5) và B (0; 0; 1) và song song với trục Oy Bài giải: Ta có: ( 1;1; 4) AB     , trục Oy có VTCP (0;1;0) j   Vì mp (P) qua hai điểm A, B và song song với trục Oy nên (P) có cặp VTCP là ( 1;1; 4) AB     và (0;1;0) j   Gọi n  là VTPT của mp (P). Khi đó   ; 4;0; 1 n AB n AB j n j                       Phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; -1; 5) nhận   4;0; 1 n    là VTPT là:       4 1 0 1 1 5 0 x y z       4 1 0 x z     Vi dụ 5: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A ( 2; -2; -4 ) và chứa trục Ox Bài giải: Vì mặt phẳng (P) qua A ( 2; -2; -4) và chứa trục Ox nên mp(P) có cặp VTCP là   2; 2; 4 OA     và   1;0;0 i   http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Gọi n  là VTPT của mp (P). Khi đó   ; 0; 4;2 n OA n OA i n i                       Chọn   0;2; 1 n    . Phương trình mặt phẳng (P) qua A(2; -2; -4) nhận   0;2; 1 n    là VTPT là:       0 2 2 2 1 4 0 x y z        2y – z = 0 Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C Phương pháp: Bước 1: Tính , . AB AC   Từ đó tính ; . n AB AC         Bước 2: Mặt phẳng   ABC đi qua A nhận ; n AB AC         làm vectơ pháp tuyến. Ví dụ 6: Viết phương trình mp (P) qua ba điểm       3; 1;5 , 4;2; 1 , 1; 2;3 . A B C   Bài giải: Ta có:   (1;3; 6), 2; 1; 2 AB AC         Gọi n  là VTPT của mp (P)   ; 12;14;5 n AB AC            Phương trình mp (P) qua A (3; -1; 5) nhận n  là VTPT là:       12 3 14 1 5 5 0 x x x         12 14 5 25 0. x y z     Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; -2; 3 ). Lập phương trình mp (P) đi qua các hình chiếu của điểm M trên các trục tọa độ. Bài giải: Các hình chiếu vuông góc của điểm M trên các trục tọa độ là:       1 2 3 1;0;0 , 0; 2;0 , 0;0;3 M M M Khi đó, phương trình mp (P) là: 1 6 3 2 0 1 2 3 x y z x y z         Dạng 5. Viết phương trình mặt phẳng    đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng     , P Q http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Phương pháp: Bước 1: Vì    vuông góc với hai mp     , P Q nên có cặp VTCP là 1 2 ; n n   với 1 2 ; n n   lần lượt là VTPT của (P) và (Q) Bước 2: áp dụng loại 3 Ví dụ 8: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A( 3; 2; 3 ) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 2x + y +2z – 5 = 0 và (R): x + 2y + 3z – 2 = 0 HD: Gọi 1 2 ; n n   lần lượt là VTPT của (Q) và (R) (P) qua A và có cặp VTCP là 1 2 ; n n   Áp dụng loại 3 Đs: x + 4y – 3z – 2 = 0 Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng    đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) Phương pháp: Bước 1: Vì mặt phẳng    đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) nên    có cặp vectơ chỉ phương là , . P AB n   Bước 2: Áp dụng loại 3. Ví dụ 9: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A (-2; 0; 0 ), B (4; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x + 2y + z – 5= 0 Bài giải: Gọi n  , Q n  lần lượt là VTCP của (P) và (Q), ta có Q n  ( 2; 2; 1)   ; 2; 2;8 Q Q n AB n AB n n n                        Chọn   1;1; 4 n   Phương trình mặt phẳng (P) qua A ( -2; 0; 0) và nhận   1;1; 4 n   là VTPT là:       1 2 1 0 4 0 0 x y z       4 2 0 x y z      http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Ví dụ 10: Hãy viết phương trình mặt phẳng qua   2; 1;2 , M  song song với Oy và vuông góc với mặt phẳng   :2 3 4 0. P x y z     Bài giải: Mặt phẳng (P) có VTPT   2; 1;3 p n    , trục Oy có VTCP   0;1;0 j   Vì mp (P) song song với Oy và vuông góc với mp(P) nên (P) nhận   2; 1;3 p n    và   0;1;0 j   là cặp VTPT Gọi n  là VTPT của mp (P)   ; 3;0;2 P n n j           Phương trình mặt phẳng (P) qua M ( 2; -1; 2 ) nhận   3;0;2 n    là VTPT là:       3 2 0 1 2 2 0 x y z        3 2 2 0 x z     Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp: Chọn hai điểm A, B phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng  A, B cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng này. Ví dụ 11: Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình   :2x y z 1 0      và   : 3 2 0 x y z      và đi qua điểm   1;2;1 . M Bài giải: Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm và n  là VTPT của (P) Chọn     1;0;1 , 1; 3; 6 A B    cùng thuộc vào    và    , A B  cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng này. Ta có:   2; 3; 7 AB     ,   2;2;0 AM   Vì (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng    và    nên (P) chứa hai điểm A và B nên (P) nhận AB  và AM  là cặp VTCP ; n AM AB         =   14; 14;10  Chọn n    7; 7;5   . Vậy phương trình (P) qua   1;2;1 . M nhận n    7; 7;5   là VTPT là:       7 1 7 2 5 1 0 x y z       7 7 5 2 0 x y z      http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Dạng 8: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Phương pháp: Với hai mặt phẳng   1 2 ( ), P P có phương trình: 1 ( ) P : 1 1 1 0 A x B y C z    , điều kiện 2 2 2 1 1 1 0 A B C      2 P : 2 2 2 0 A x B y C z    , điều kiện 2 2 2 2 2 2 0 A B C    Khi đó:     1 1 1 1 2 2 2 2 ; ; , ; ; n A B C n A B C   lần lượt là VTPT của 1 ( ) P và   2 P , do đó: a. Nếu 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D    thì 1 ( ) P    2 P b. Nếu 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D    thì 1 ( ) P //   2 P c. Nếu 1 1 1 2 2 2 : : : : A B C A B C  thì         1 2 P P d   Ví dụ 12: Tìm a và b để các mặt phẳng sau đây song song với nhau a)     :2 2 3 0, : 2 4 7 0. x ay z bx y z           b)     :2 2 0, : 2 8 0. x y az x by z           Bài giải: a) 2 2 3 ( ) / /( ) 1, 4 2 4 7 a a b b             b) 2 1 2 1 ( ) / /( ) 4, 1 2 8 2 a a b b           C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Lập phương trình các mặt phẳng đi qua điểm A (2; -2; -4 ) và song song với các mặt phẳng tọa đ ộ Đs: z + 4 = 0; x – 2 = 0; y + 2 = 0 Bài 2:Viết phương trình mặt phẳng    đi qua điểm   2; 3;4 M  và thoả mãn điều kiện sau: a) Có vectơ pháp tuyến   2;3;1 . n    Đs: 2 3 9 0. x y z      b) Vuông góc với trục Oy. Đs: 3 0. y   c) Vuông góc với NP với     0;2; 3 , 2; 1;3 . N P  Đs: 2 3 6 37 0. x y z     http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà d) Song song với mặt phẳng   :2 3 4 0. P x y z     Đs: 2 3 19 0. x y z     Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB trong các trường hợp sau a)     2;3; 4 , 4; 1;0 . A B  Đs: 2 2 3 0. x y z     b)     1;2;3 , 0;3; 1 . A B   Đs: 4 2 0. x y z     Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và có cặp vectơ chỉ phương , u v   trong các trường hợp: a)       1; 2;1 , 1;0;1 , 2;1;0 . A u v     Đs: 2 4 0. x y z     b)       2;3; 2 , 2;4;3 , 2; 4; 5 . A u v          Đs: 2 1 0. x y    Bài 5:Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , A B C trong các trường hợp: a)       1;2;3 , 2; 4;3 , 4;5;6 . A B C  Đs: 6 3 13 39 0. x y z     b)       2;0;0 , 0; 1;0 , 0;0;3 . A B C Đs: 3 6 2 6 0. x y z     Bài 6:Cho điểm   2;3;4 . A Hãy viết phương trình các mặt phẳng qua các hình chiếu của Atrên: a) Các trục tọa độ Đs: 6 4 3 12 0. x y z     b) Các mặt tọa độ Đs: 6 4 3 24 0. x y z     c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 1; 1) cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất: Đs: 3 x y z    Bài 7: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm G (-1; -3; 2) và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC Đs: 6 2 3 18 0 x y z     Bài 8: Lập phương trình mp (P) đi qua 1 1 1; ; 2 4 M       và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Đs: 2 4 3 0 x y z     Bài 9: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua H và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm ABC  . Đs: 2 6 0 x y z     Bài 10:Viết phương trình mặt phẳng    đi qua điểm A, vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) trong những trường hợp: a)       1; 2;5 , : 2 3 1 0, :2 3 1 0. A P x y z Q x y z           Đs: 2 0. x y z     http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích trong không gian ôn thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà b)       1;0; 2 , : 2 2 0, : 3 0. A P x y z Q x y z          Đs: 2 3 4 0. x y z     Bài 11:Viết phương trình mặt phẳng đi qua a) Đi qua điểm   2;1; 1 A  và qua giao tuyến của hai mặt phẳng   : 4 0, x y z        :3 1 0. x y z      Đs: 15 7 7 16 0. x y z     b) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng     : 2 4 0, : 3 0 y z x y z          và song song với mặt phẳng   : 2 0. x y z      Đs: Không có c) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng     :3 2 0, : 4 5 0 x y z x y          và vuông góc với mặt phẳng   :2 7 0. x z     Đs: 22 2 21 0. x y z     Bài 12:Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình   :2x y z 1 0      và   : 3 2 0 x y z      và song song với trục Oy. ĐS: 7x 2z 5 0    Bài 13: Tìm các giá trị a và b để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng:       :3 7 3 0, : 9 2 5 0, :5 4 0. x y z x y z x ay z b                ĐS: 5x 8y 2z 7 0     Bài 14: Biện luận theo m vị trí tương đối của hai mặt phẳng   :2 3 6 0 x my z m       và       : 3 2 5 1 10 0. m x y m z        ĐS: 1 m  thì     / /   , 1 m  thì     .    Bài 15: Cho hai mp (P) và (Q) lần lượt có phương trình là: (P): 2 10 1 0 x my z m      và (Q):   2 3 1 10 0 x y m z      Với giá trị nào của m thì a. Hai mặt phẳng đó song song? Đs: không tồn tại m b. Hai mặt phắng đó trùng nhau? Đs: không tồn tại m c. Hai mặt phẳng đó cắt nhau? Đs: với m  d. Hai mặt phẳng đó vuông góc? Đs: 3 13 m   . BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Lập phương trình các mặt phẳng đi qua điểm A (2; -2; -4 ) và song song với các mặt phẳng tọa đ ộ Đs: z + 4 = 0; x – 2 = 0; y + 2 = 0 Bài 2:Viết phương trình mặt phẳng. tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp: Chọn hai điểm A, B phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng  A, B cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng này. Ví dụ 11: Viết phương trình mặt phẳng đi qua. Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng    đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) Phương pháp: Bước 1: Vì mặt phẳng    đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) nên