http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Bài giảng sô 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa Cho hàm số )(xfy  xét trên tập . - Số  gọi là giá trị lớn nhất của hàm số  =  (  ) trên  nếu  ∀ ∈ : (  ) ≤  ∃  ∈ : (   ) =  . Kí hiệu là max ∈  (  ) =  =  (   ) . - Số  gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số  = (  ) trên  nếu  ∀ ∈ : (  ) ≥  ∃  ∈ : (   ) =  . Kí hiệu là min ∈  (  ) =  = (   ) . 2. phương pháp tìm min và max Phương pháp 1: Bảng biến thiên Bước 1: Tìm miền xác đinh và tính y’ Bước 2: Lập bảng biến thiên Bước 3: Kết luận giá trị min và max dựa vào bảng biến thiên. Phương pháp 2: Phương pháp hàm liên tục trên đoạn. B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 2 3( 1) ( ) 2 2 x f x x x     trên khoảng   ;   Lời giải Tập xác định  =ℝ Ta có 2 2 2 6 1 (1) 3 3 '( ) ; '( ) 0 5 (2 2) 1 ( 1) 2 x f x f x f x x x x f                    2 3 )(   xfLim x Bảng biến thiên  − ∞ − 1 1 + ∞  ′ (  ) + 0 − 0 +  (  ) 3 2 2 6 5 3 2 Dựa vào bảng biến thiên ta có: 12)(max  xxf D ; 1 5 6 )(min  xxf D http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 4)( xxxf  trên miền xác định của nó. Lời giải Tập xác định   2;2D Ta có: 20)(' 4 1)(' 2    xxf x x xf 2)2(;22)2(;0)2(;2)2(  ffff Vậy 222)(max  xxf D ; 22)(min  xxf D Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số x x y 2 ln  trên đoạn   3 ;1 e Lời giải Ta có : 2 )ln2(ln ' x xx y   ;                  32 3 ;1 ;11 2ln 0ln 0' eex ex x x y Khi đó 0)1(  y ; 2 2 4 )( e ey  ; 3 3 9 )( e ey  Vậy   2 2 ;1 4 max 3 ex e y e  ; 10min  xy Ví dụ 4: Tìm GTNN của hàm số )sincos2(sin cos 2 xxx x y   trên khoảng       3 ;0  Lời giải Hàm số xác định trên khoảng       3 ;0         3 ;0  x ta có 0cos  x . Chia cả tử và mẫu cho x cos ta được )tan2(tan 1 tan2 1 2 xxx y     Đặt x t tan  thì   3;0 3 ;0         tx  http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Khi đó ta có: )( )2( 1 2 1 2 tg ttt y                     1 0 0430)(' )2( 43 2 1 )(' 3 24 2 2 t t ttttg tt tt t tg Bảng biến thiên t 0 1 3 )(' tg - 0 + )(tg 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy   4 12)(minmin 1;0 3 ;0          xttgy Ví dụ 5: Cho các số thực không âm y x , thay đổi và thỏa mãn 1   yx . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức     xyxyyxS 253434 22  . Lời giải Ta có S   xyxyyxyx 2591216 3322        xyyxxyyxyx 3431216 3 22    xyxyyx 34311216 22  12216 22  xyyx Đặt xy t  với            4 1 ;0 4 1 4 0 2 t yx xy Ta được 12216 2  ttS với        4 ;0  t        4 1 ;0 16 1 0'232' tStS Bảng biến thiên http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần t 0 16 1 4 1 )(' tg  0  )(tg 12 16 191 2 25 Dựa vào bảng biến thiên ta có                      4 32 ; 4 32 4 32 ; 4 32 16 1 2 25 )(minmin 4 1 ;0 yx yx ttgS 2 1 4 1 2 25 )(maxmax 4 1 ;0        yxttgS Ví dụ 6: Tìm m để phương trình   xxmxxx  4512 (1) có nghiệm. Lời giải Điều kiện: 40   x . Khi đó   )( 45 12 1 xF xx xxx m     Ta có: 12)(  xxxxf có   )(4;0,0 122 1 2 3 )(' xfx x x xf    tăng trên   4;0 và     4;0,0)(  xxf . xxxg  45)( có   )(4;0,0 42 1 52 1 )(' xgx xx xg        giảm trên   4;0 và   4;0,0)(  xxg Do đó ) ( x F là hàm tăng trên   4;0 . Ta có bảng biến thiên: http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần x 0 4 )(' xF  )(xF )0(F )4(F Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để (1) có nghiệm )4()0( FmF    12 25 12    m C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1 1 2    x x y trên đoạn   2;1 . Đs: )1(0min);1(2max  fyfy Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1)3( 2  xxy trên đoạn   2;0 . Đs: 5min;3max  yy Bài 3: Cho 1,0,0     yxyx .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức yx P 33 2  . Đs:                  3 3 3 3 3 2 3 log1; 2 3 log 4 9 min));0;1((10max yPyP Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số x x xx y 66 44 cos sin cossin    . Đs: 1max; 7 5 min  yy . Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 1 1 3 1 1 )( 2 2 2 3 2 2                        xx xx xx xx xf Đs: 2min;2max    yy Bài 6: Cho hai số thực 0,0   yx thay đổi thỏa mãn điều kiện xyyxxyyx  22 )( . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 33 11 yx A  . http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Đs: 2 1 16max  yxA Bài 7: Cho x, y là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn 4 5  yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức yx S 4 14  . Đs: )1(5max SS   Bài 8: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 2 22  yx . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức   xyyxP 32 33  . Đs: 7min, 2 13 max  PP Bài 9: Cho 2 3 ;0,,  zyxzyx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức zyx zyxP 111  . Đs: Bài 10: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn   24 3  xyyx . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức     123 222244  yxyxyxA . Đs: 2 1 16 9 min  yxA Bài 11: Tìm m để phương trình     mxxxxx  4sincossin4cossin4 26644 có nghiệm. Đs: 1 16 9   m . fyfy Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1)3( 2  xxy trên đoạn   2;0 . Đs: 5min;3max  yy Bài 3: Cho 1,0,0     yxyx .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của. Đs:                  3 3 3 3 3 2 3 log1; 2 3 log 4 9 min));0;1((10max yPyP Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số x x xx y 66 44 cos sin cossin    . Đs: 1max; 7 5 min  yy . Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 1 1 3 1 1 )( 2 2 2 3 2 2                        xx xx xx xx xf . 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa Cho hàm số )(xfy  xét trên tập . - Số  gọi là giá trị lớn nhất của hàm số  =  (  ) trên  nếu