Rút gọn biểu thức trên tập số phức và một số dạng bài tập liên quan

9 6.1K 9
Rút gọn biểu thức trên tập số phức và một số dạng bài tập liên quan

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 01. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tập các số phức   2 | , , 1 C z a bi a b R i       Mỗi số phức có dạng:   z a bi . Trong đó a là phần thực, b là phần ảo của số phức. Số đối của số phức   z a bi là số phức     z a bi Môđun của số phức   z a bi là 2 2   z a b . Số phức nghịch đảo của số phức   z a bi là số phức 1 2 1   z z z Các phép toán về số phức: Cho hai số phức Các phép toán: Cho hai số phức   z a bi và   z' a' b' i. Khi đó Hai số phức bằng nhau:          a a' a bi a' b' i b b' Phép cộng:      z z' (a a') (b b')i Phép trừ:      z z' (a a') (b b')i Phép nhân:     z.z' (aa' bb') (ab' ba')i Phép chia:     2 2 a' b' i a bi z' a' b' i z a bi a b         Các tính chất: Môđun của số phức có tính chất là  z.z' z . z'    z z' z z'        z' z' z z  z' z' z z B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức Phương pháp: Dùng các phép toán về số phức rút gọn biểu thức đã cho về dạng a bi  . http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) 2 ( 2 ) (1 2 ) z i i    b)   3 2 1 2 i z i    c) 3 2 1      i i z i i Giải a) 2 ( 2 ) (1 2 ) z i i        2 2 2 2 . 1 2 i i i         2 2 2 1 . 1 2 i i         1 2 2 . 1 2 i i    2 1 2 2 2 4 i i i       1 2 2 2 4 i       5 2 2 2 i      5 2 2 2 z i     Vậy số phức z có phần thực là 5 , phần ảo là 2 2 2  b)   3 2 1 2 i z i                  3 2 2 1 2 2 . 1 2 . 2 3 1 2 . 1 2 i i i i i i i              2 3 2 . 2 2 2 1 3 i i          3 . 1 2 2 3 i i    2 3 6 2 3 6 2 2 2 3 3 i i i i          2 2 z i     Vậy số phức z có phần thực là 2 2  , phần ảo là 1 c) 3 2 1      i i z i i http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà           2 2 2 3 . 1 2 . 3 3 1 2 1 . 1 1 1 i i i i i i i i i i i i                     3 1 3 1 3 1 3 1 2. 2 1 2 1 2 1 2 i i i i               3 3 2 2 3 1 3 3 2 2 3 1 2 2 2 i i           Vậy số phức z có phần thực là 3 3 2  , phần ảo là 2 2 3 1 2   Ví dụ 2: Tìm k để bình phương của số phức 9 1 k i z i    là số thực. Giải Ta có: 9 1 k i z i      2 2 2 2 2 18 81 . 9 18 81 1 2 2 k ki i k i k ki z i i i                   2 18 81 2 k i k i      2 81 9 2 k i k     Để 2 z là số thực thì phần ảo bằng 0 hay 2 2 81 0 81 0 9 2 k k k         Dạng 2: Tìm modun của số phức Phương pháp: Dùng các phép toán về số phức để rút gọn biểu thức đã cho về dạng a bi  và dùng công thức modun để tính. Ví dụ 3: Tìm modun của số phức z iz  thỏa mãn điều kiện sau: 2 (1 3 ) 1 i z i    Giải Ta có: 2 (1 3 ) 1 i z i            2 2 3 . 1 1 2 3 3 2 2 3 1 1 1 . 1 i i i i i i i i                 2 3 2 2 1 3 2 2 2 3 2 3 2 2 i i i            3 1 1 3 i       3 1 1 3 z i      http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà z iz       3 1 1 3 3 1 1 3 i i        2 2 i        2 2 2 2 8 2 2 z iz        Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn 2 6 13 0. z z    Tính modun 6 z z i   Giải Ta có: 2 6 13 0. z z    2 ' 9 13 4 4 ' 2 i i           3 2 z i     Với 3 2 z i    6 6 2 3 2 3 2 3 3 1 z i i z i i i             2 1 3 2 2 i i     3 2 1 4 i i i       2 2 6 4 1 17 z z i        Với 3 2 z i     6 3 6 6 3 2 3 2 3 10 i z i i z i i              3 3 3 2 5 i i       3 3 15 10 9 3 24 7 24 7 3 2 5 5 5 5 5 i i i i i i             2 2 6 24 7 625 25 5 5 5 25 z z i                      Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức, chứng minh đẳng thức Phương pháp: Sử dụng các phép toán về số phức và một số công thức đặc biệt dưới đây 2 2 1 2 ( 1) ; ( 1) ; (1 ) 2 ; n n n n i i i i i         Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức sau đây a) 33 10 1 1 2 3 2 3 1 1                i z ( i )( i ) ( i ) i i http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà b) 2 20 1 1 1 1        z ( i ) ( i ) ( i ) Giải a) 33 10 1 1 2 3 2 3 1 1                i z ( i )( i ) ( i ) i i        33 5 2 2 2 1 1 1 4 9 1 1 i i i i i i                        33 5 1 2 4 9 2 2 i i i              33 5 1 1 13 32i i i            1 1 13 32 i i i     13 32 i   b) 2 20 1 1 1 1        z ( i ) ( i ) ( i ) Ta nhận thấy z là cấp số nhân với 1 1, 1 , 21 u q i n         21 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n i i q z S u q i i                        10 10 1 2 1 1 1024 1 1 1024 1 1 1 1 i i i i i i i i             1025 1024 1025 1024 1 1 1025 1023 1 i i i i          1023 1025 i    Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn 11 8 1 2 . 1 1 i i iz i i                  Tính modun của số phức z iz  Giải Ta có:   8 11 8 11 2 1 1 2 1 1 1 2 i i i i iz i i i                                      8 11 1 1 i i i     http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà     8 4 8 2 1 1 1 . 1 2 16 16 16 i i i i i i i i i              16 1 1 16 z i i       1 16 z i        2 2 17 17 17 2 z iz          1 16 1 16 1 16 16 17 17 z iz i i i i i i                    2 2 17 17 17 2 z iz       Dạng 4: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Dựa vào tính chất hai số phức bằng nhau để thiết lập điều kiện cho phần thực và phần ảo của số phức z. Từ đó giải hệ để tìm ra a, b. Ví dụ 7: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện 2 2, z z  là số thuần ảo. Giải Gọi số phức z cần tìm có dạng: z a bi   Có: 2 2 2 2 2 2 2 z a b a b        (1) Có : 2 2 2 2 z a b abi    Vì 2 z là số thuần ảo nên 2 2 0 a b   (2) Từ (1) và (2) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 1 a b a a b a b b                           Vậy số phức z cần tìm là: 1 , 1 z i z i      Bình luận: Số ảo là số có dạng ( 0) a bi b   . Số thuần ảo là số có dạng ( 0). bi b  Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1 2 z i z z         . Tìm số phức liên hợp của z. Giải Gọi số phức z có dạng: z a bi   2 2 2 2 1 1 z a b a b        Có:   3 2 2 3 2 2 2 2 i a bi i i a ab a bi b i ai b z a bi a bi z a bi a b a b                  http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) a ab b a b b a i a ab b a b b a i a b a b a b                    2 2 2 2 2 2 2 2 b a b a i a a b b a b a b             Vì 2 2 a b  = 1   i z a b a b i z             2 2 2 2 2 2 2(1 2 ) i z a b a b a b ab ab z            Mặt khác 2 i z z   . Do đó:     1 2 1 2 2 2 1 2 4 1 2 2 2 ab ab ab ab           Vậy ta có 2 2 2 4 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 4 4 1 0 2 4 a a b a b b ab b b b b                              2 1 2 2 2 1 2 2 2 b b a a b                       2 2 2 2 , 2 2 2 2 z i z i       Vậy số phức liên hợp của z là 2 2 2 2 , 2 2 2 2 z i z i      C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm phần thực của số phức z = (1 + i) n , biết rằng n  N thỏa mãn phương trình log 4 (n – 3) + log 4 (n + 9) = 3 ĐS: phần thực a = 8 Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau a)     2 2 1 1     z i i b)     3 3 2 3     z i i c) 7 7 1 1 2         z i i i d) 3 2 1      i i z i i ĐS: a) 4  z i b) 16 37    z i c) 1   z d) 3 3 2 2 3 1 2 2      z i Bài 3: Cho số phức   z a bi . Tìm phần thực và phần ảo của số phức a) 2 2 4   z z i b) 1   z i iz http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà ĐS: a)     2 2 2 2 2      a a b ab b i b) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ab a b i a (b ) a (b )          Bài 4:Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = a + bi 1. Xác định phần ảo của số phức z, biết 1 1 2 z i    2. Xác định phần thực, phần ảo của số phức       3 2 2 3 2 5 4 2 3 z i i i i       3. Xác định phần thực, phần ảo của số phức 3 1 3 1 i z i            ĐS: 1) b = 2 a 2) a = 88, b = -59 3) a = b = 2 Bài 5: Tính toán rồi tìm phần thực và phần ảo của số phức z: 1. 2 2010 1 z i i i      ĐS: a = 2, b = 0 2.      2011 2 3 1 1z i i i     ĐS: a = 1005 2 2   , b = 3 Bài 6: Tìm môđun của số phức 1. Tìm môđun của số phức z, biết   2 2 3 1 2 i z i i z z      ĐS: 1 z  2. Cho các số phức     3 3 1 2 1 2 1 4 3 1 , 1 i i z i i z i          . Tính môđun của số phức 1 2 . z z z  ĐS: z  725 2 Bài 7:Cho 1 2 , z z C  , sao cho 1 2 1 2 3; 1 z z z z     . Tính 1 2 z z  ĐS: 1 2 z z  = 1 Bài 8:Xét số phức   , 1 2 i m z m R m m i      . Tìm m để 1 . 2 z z  ĐS: 1 m   Bài 9: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà 1. 2 2 z z i    và 2 2 z i z   là số thuần ảo ĐS: không có z thỏa mãn 2. 2 2 z i    , biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. ĐS: 4 z i   . của số phức   z a bi là 2 2   z a b . Số phức nghịch đảo của số phức   z a bi là số phức 1 2 1   z z z Các phép toán về số phức: Cho hai số phức Các phép toán: Cho hai số phức. THUYẾT Tập các số phức   2 | , , 1 C z a bi a b R i       Mỗi số phức có dạng:   z a bi . Trong đó a là phần thực, b là phần ảo của số phức. Số đối của số phức   z a bi là số phức. và phần ảo của số phức Phương pháp: Dùng các phép toán về số phức rút gọn biểu thức đã cho về dạng a bi  . http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc

Ngày đăng: 03/08/2015, 20:16

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan