http://baigiangtoanhoc.com BÀI GIẢNG SỐ 07: Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa mặt cầu: Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng bẳng R không đổi gọi mặt cầu tâm O bán kính R Như ta có: S (O; R) = M / OM  R Vậy mặt cầu hoàn toàn xác định biết: - Tâm bán kính - Đường kính Chú ý: Nếu góc AMB  900 M thuộc mặt cầu đường kính AB Phương trình mặt cầu: 2 -Với phương trình cho dạng tắc:  x  a    y  b    z  c   R (S) có tâm O  a, b, c  , bán kính R - Với phương trình cho dạng tổng quát: x  y  z  2ax  2by  2cz  d  (1) Để (1) phương trình mặt cầu a  b  c  d  Khi (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R  a  b2  c  d Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S (O; R) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc O lên (P) d = OH khoảng cách từ O đến (P) Khi đó: - Nếu d  R  ( P)  ( S )   - Nếu d  R  (P) tiếp xúc với (S) H Khi (P) gọi tiếp diện (S) - Nếu d  R  ( P)  ( S )  (C ) đường tròn nằm mặt phẳng (P) với C H ; R  d   Chú ý: Trường hợp đặc biệt d =  O  H Khi C(O; R) gọi đường tròn lớn mặt cầu S(O; R) Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng Cho mặt cầu S (O; R) đường thẳng d Gọi H hình chiếu vng góc O lên d h = OH khoảng cách từ O đến d Khi đó: - Nếu h  R  d  ( S )   - Nếu h  R  d tiếp xúc với (S) H Khi d gọi tiếp tuyến (S) - Nếu h  R  d  ( S )   A, B Chú ý: Trường hợp đặc biệt d =  O  H Khi AB đường kính (S) B CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH Dạng 1: Tìm tâm bán kính mặt cầu, đường trịn Phương pháp: 2 Mặt cầu (S) có phương trình:  x  a    y  b    z  c   R  Mặt cầu (S) có tâm O  a, b, c  , bán kính R Mặt cầu (S) có phương trình x  y  z  2ax  2by  2cz  d   Mặt cầu (S) có tâm O  a, b, c  , bán kính R  a  b  c  d Ví dụ 1: Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình a) x  y  z  8x  y   2 b) x  y  z  4x  2y  6z   c) x  y  z  x  y  2z   d) x  ( y  2)2  (2 z  3)2  Bài giải: a) Ta có: a= 4, b = -1, c = d = nên: a  b  c  d  16     16  Vậy mặt cầu (S) có tâm O  4; 1;0  , bán kính R  2 b) Ta có: x  y  z  4x  2y  6z     x     y  1   z  3  2 Vậy mặt cầu (S) có tâm O  2;1; 3 bán kính R  2 c) Ta có: x  y  z  x  y  2z     x     y     z  1  25 Vậy mặt cầu (S) có tâm O  2; 4;1 , bán kính R  d) Ta thấy hệ số z khác với hệ số x , phương trình cho khơng phải phương trình mặt cầu Ví dụ 2: Tìm tâm bán kính đường trịn sau: x  y  z  6x  y  2z  10  a)  x  y  z   Bài giải: 2 Mặt cầu (S): x  y  z  x  y  z  10    x     y  1   z  1  Vậy (S) có tâm I  3; 1;1 , bán kính R = Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH  Mặt phẳng (P): x  y  z   có VTPT n 1; 2; 2   Đường thẳng qua I vng góc với mp (P) nên nhận VTPT n 1; 2; 2  (P) VTCP nên có PTTS là: x   t  (d):  y  1  2t , t  R  z   2t  Gọi H hình chiếu vng góc I lên mp (P) Khi H  d  ( P)  H nghiệm hệ phương trình: x   t  y  1  2t    t   4t   4t    9t   t   H  3; 1;1  O  z   2t  x  y  2z 1   Vậy đường trịn (C) có tâm H  3; 1;1 , bán kính R = Chú ý: Để tìm tâm bán kính đường trịn (C) ta làm sau: - Tìm tâm I bán kính R mặt cầu (S) - Tìm tọa độ hình chiếu H tâm I lên (P) Sau tính d = IH Khi đó: - Nếu d  R  ( P)  ( S )   - Nếu d  R  (P) tiếp xúc với (S) H Khi (P) gọi tiếp diện (S) - Nếu d  R  ( P)  ( S )  (C ) đường tròn nằm mặt phẳng (P) với C H ; R  d  Ví dụ 3: Cho họ (Sm ) : x  y  z  4mx  2my  6z  m  4m  a) Tìm m để (Sm ) mặt cầu? b) Chứng minh tâm (Sm ) nằm đường thẳng cố định Viết phương trình đường thẳng cố định Bài giải: a Ta có: (Sm ) : x  y  z  4mx  2my  6z  m  4m  2   x  2m    y  m    z  3  4m  4m  1  Ta thấy 4m  4m    m     0, m 2  Vậy (Sm ) mặt cầu với m Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà  http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích không gian ôn thi ĐH b Mặt cầu (Sm ) có tâm I m (-2m; m; 3)  x  2m   y   x Ta có:  y  m   z  z    Vậy mặt phẳng z = tâm I m nằm đường thẳng y   x Ví dụ 4: Cho họ mặt cong (Sm ) : x  y  z  2m x  4my  8m   a Tìm điều kiện m để (Sm ) họ mặt cầu b Chứng minh tâm họ (Sm ) nằm parabol cố định mặt phẳng Oxy, m thay đổi Bài giải: a Để (Sm ) họ mặt cầu điều kiện cần đủ là: m  m  8m     m     m    m   Với m   (Sm ) phương trình mặt cầu với tâm I  m ; 2m;  , bán kính R  m   x  m2  y2  x  b Ta có:  y  2m   z  z   Vậy mp (Oxy) tâm I m nằm parabol (P): y  x  Tổng quát phương pháp thực yêu cầu: “ Chứng tỏ tâm họ mặt cầu  S m  nằm đường cố định”:Ta tìm mối liên hệ hồnh độ tung độ điểm I mà không phụ thuộc vào m Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm I (3; -2; 1) qua A(-2; 3; 1) Bài giải: Vì (S) qua A nên (S) có bán kính R = IA = Vậy phương trình (S) có tâm I (3; -2; 1), bán kính R = là: 2  x  3   y  2   z  1  50 Chú ý: Từ ví dụ để viết phương trình mặt cầu biết tâm I(a; b; c) qua điểm A cho trước 2 ta tìm bán kính R = IA Khi phương trình (S) có dạng:  x  a    y  b    z  c   R Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu với đường kính AB, A(3; -4; 5), B(-5; 2; 1) Bài giải:   Ta có AB   8; 6; 4   AB  64  36  16  116 Gọi I trung điểm AB  I  1; 1;3 Vì (S) nhận AB đường kính nên R  116 AB =  29 2 Vậy (S) có tâm I  1; 1;3 , bán kính R= 29 có phương trình là:  x  1   y  1 Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng (d1 ) :  ( z  3)2  29 x  y   x y z4   (d ) :  4x  4y  3z  12  a) Chứng minh (d1 ), (d ) chéo b) Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vng góc chung (d1 ), (d ) Bài giải:  a) Đường thẳng  d1  có VTCP u1   2;1;  qua M (0;0; 4)   Đường thẳng  d  có VTCP u2   3; 3;  qua M (0;3; 0)         Ta có: u1 ; u2    0;0; 9  , M 1M   0;3; 4   u1 ; u2  M M  36      Vậy (d1 ), (d ) chéo  x  2t  b) Chuyển  d1  dạng tham số:  y  t , t  R z    x  3t '  Chuyển  d  dạng tham số:  y   3t ', t '  R z   Gọi M, M’ thuộc vào (d1 ), (d )  M  2t ; t ;  , M '  3t ';3  3t ';    MM '   3t ' 2t ;3  3t ' t ; 4  Để MM’ đoạn vng góc chung (d1 ), (d )      MM '  u1  MM '.u1  6t ' 4t   3t ' t  3t ' 5t     t '              9t ' 6t   9t ' 3t  18t ' 3t   MM '  u2  MM '.u2  t     Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tn –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH Vậy M  2;1;  , M '  2;1;0  Vì (S) nhận MN đường kính nên tâm I (S) trung điểm MN  I  2;1;  bán kính R MN  2 2 2 Vậy phương trinh (S) là:  x     y  1  ( z  2)  Chú ý: Từ ví dụ 1+2: Để lập phương trình mặt cầu nhận AB đường kính ta tìm tâm I trung điểm AB Ví dụ 4: Lập phương trình mặt cầu có tâm I( 2; -1; 4) a Tiếp xúc với mp (Oxy) AB bán kính R  b Tiếp xúc với mp (Oyz) c Tiếp xúc với mp (Oxz) Bài giải: a mp (Oxy) có phương trình z = Vì (S) tiếp xúc với mp(Oxy) nên R  d  I , (Oxy )   Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; -2; 4) bán kính R = là:  x     y  1  ( z  4)  16 b Tương tự phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mp (Oyz) là:  x     y  1  ( z  4)  c Phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mp (Oxz) là:  x     y  1  ( z  4)2  Chú ý: Từ ví dụ 4: để lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước, ta lập phương trình (S) với tâm I R  d  I  P   Ví dụ 5: Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -6) a Tiếp xúc với trục Ox b Tiếp xúc với trục Oy c Tiếp xúc với trục Oz Bài giải: a Gọi H1 hình chiếu vng góc I lên Ox  H1  2;0;0   R  d  I , Ox   IH1  12   6   37 Vậy (S) có tâm I(2; 1; -6) bán kính R  37 nên có phương trình là: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com  x     y  1 Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH  ( z  6)  37 2 b Tương tự phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với Oy là:  x     y  1  ( z  6)  40 2 c phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với Oz là:  x     y  1  ( z  6)  Chú ý: Từ ví dụ 5: để lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng (d) cho trước, ta lập phương trình (S) với tâm I R  d  I  d   Ví dụ 6: Lập phương trình mặt cầu qua hai điểm A(1; 2; 2), B(0; 1; 0) tâm I thuộc trục Oz Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm I thuộc trục Oz  I  0; 0; c  2 Vì A, B thuộc (S) nên IA  IB  IA2  IB      c     c   c   I  0;0;2   R  IA  Vậy phương trình (S) là: x  y  ( z  2)2  x 1 y z   hai điểm A(2; 1; 0), B( -2; 3; 2 2) Viết phương trình mặt cầu qua A, B có tâm thuộc đường thẳng (d) Ví dụ 7: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng  d  : Bài giải:  x   2t  Chuyển (d) dạng tham số:  y  t  z  2t  Gọi (S) mặt cầu cần tìm I tâm (S) Vì (S) qua hai điểm A, B nên tâm I thuộc mp (P) mp trung trực AB.Khi mp (P) qua E(0; 2; 1)   trung điểm AB nhận AB  4; 2;  VTPT nên có phương trình:  x  y  z   Khi tâm I   d    P  nên tọa độ I nghiệm hệ  x   2t y  t    4t  t  2t    5t  5  t  1  I  1; 1;   z  2t  2 x  y  z    Bán kính mặt cầu R  IA  17 2 Phương trình mặt cầu (S) là:  x  1   y  1  ( z  2)2  17 Chú ý: từ ví dụ ví dụ  ” để lập phương trình mặt cầu qua điểm A, B có tâm thuộc đường thẳng (d) ta có cách sau: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tn –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH Cách 1: Bước 1: Chuyển (d) dạng tham số Tâm I thuộc (d) nên thỏa mãn phương trình (d) ẩn t Bước 2: (S) qua A, B nên IA = IB  t  tọa độ tâm I  bán kính R = IA Bước 3: Viết (S) với tâm I, bán kính R Cách 2: Bước 1: (S) qua điểm A, B nên tâm I thuộc mặt phẳng (P) mp trung trực AB Bước 2: Tìm tọa độ tâm I với I   d    P   bán kính R = IA Bước 3: Viết (S) với tâm I bán kính R Ví dụ 8: Lập phương trình mặt cầu qua điểm A(2; 1; 1), B(1; 1; 0), C(0; 2; 4) a Có tâm nằm mp (Oyz) b Có bán kính Bài giải: Giải sử (S) có phương trình: x  y  z  2ax  2by  2cz  d  ,với a  b  c  d  Vì tâm I (a; b; c) thuộc mp (Oyz) nên a = Vì A, B, C thuộc (S) nên IA = IB = IC 2 2   AI  BI c   4   b  1   c  1    b  1  c    I  0;1;   2 2 2  AI  CI b   4   b  1   c  1   b     c    Bán kính R  IA  Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x   y  1  ( z  2)2  b Mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) bán kính  x  a   y  b nên có phương trình:  ( z  c )2  Vì A, B, C thuộc (S) nên ta có:   a 2  1  b   (1  c )2    a   b  c  1  a   1  b 2  c         2     a  c   c   a 1  a   1  b   c    a  b  4c  9  b  5a  2   a    b   (4  c)      a   b  1, c  2, d    a   b  19 , c  16 , d  9   x2  y2  z2  y  4z  Vậy (S) có phương trình là:   x  y  z  x  38 y  32 z    9  Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tn –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH Chú ý: Từ ví dụ 8: để lập phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) ta tận dụng tính chất ABC để có lời giải đơn giản hơn: Bước 1: Ta có: - Nếu ABC tâm đường tròn ngoại tiếp ABC trọng tâm H ABC Nếu ABC vng A tâm đường tròn ngoại tiếp ABC trung điểm H BC Bước 2: Lập phương trình đường thẳng (d) qua H vng góc với (ABC) Bước 3: Tim tâm I   P    d  Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) với tâm I, bán kính R = IA Ví dụ 9: Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1;1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2)và D(2; 2; 1) Bài giải:             Ta có: AB   0;1;  , AC   0;0;1 , AD  1;1;    AB, AC  AD            AB , AC , AD  điểm A, B, C, D không đồng phẳng Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) Vì (S) qua điểm A, B, C, D nên ta có hệ:  x  1   y  12   z  1   x  1   y  2   z  1  IA2  IB  IA  IB   2 2 2    IA  IC   IA  IC   x  1   y  1   z  1   x  1   y  1   z     IA  ID  2 2 2 2   IA  ID  x  1   y  1   z  1   x     y     z  1  2 y  3   3 3  2 z   x y z  I ; ;   2 2 x  y    2 3  3  3  Vậy phương trình mặt cầu (S) là:  x     y     z    2  2  2  Chú ý: Ngoài cách giải , để lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng A, B, C, D( hay ngoại tiếp tứ diện ABCD) ta vận dụng tính chất tứ diện ABCD để có lời giải đơn giản Trường hợp 1: Nếu DA = DB = DC xác định tâm I cách: - Dựng đường cao DH   ABC  - Dựng mp trung trực (P) DA Khi I  DH   P  - Viết (S) với tâm I, bán kính R  IA Trường hợp 2: Nếu DA   ABC  xác định tâm I cách: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com - Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Dựng đường thẳng (d) qua K song song với DA (  d    ABC  ) - Dựng mp trung trực (P) DA Khi I   d    P  - Viết phương trình (S) với tâm I bán kính R  IA Trường hợp 3: Nếu ACB  ADB   mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm I trung điểm AB Trường hợp 4: Nếu AD BC có đoạn trung trực chung EF AB bán kính R  - Lập phương trình tham số đường thẳng EF( theo t) Khi mặt cầu (S) có tâm I  EF ( thỏa mãn phương trình tham số EF) Từ điều kiện IA2  IC  R  giá trị t  tọa độ tâm I  R  IA Ví dụ 10: Cho điểm A(1; 2; 3), B(3; 5; 4), C(3; 0; 5).Lập phương trình mặt cầu nhận đường tròn ngoại - tiếp ABC làm đường trịn lớn Bài giải: Vì mặt cầu (S) nhận đường tròn ngoại tiếp ABC làm đường tròn lớn nên mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) tâm đường trịn ngoại tiếp ABC , ta có:  2  AI  BI  AI  BI   2  AI  CI   AI  CI       I  ABC    AB, AC  AI        x  1   y     z  3   x  3   y  5   z    2 2    x  1   y     z  3   x  3  y   z  5 4 x  y  z  13   39  x  2 x  y  z  36  89 667    39 89 81   x  y  z   y   I  ; ;   R  IA2  14 14  14 14  4 x  y  z  13   81   z  14  2 39   89   81  667  Vậy (S):  x     y     z      14   14  14  Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tn –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH Chú ý: Từ ví dụ 10: để lập phương trình mặt cầu (S) nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường trịn lớn ta có: - Tâm I (S) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC -  IA  IB  Giải hệ  IA  IC  I  ABC    Dạng 3: Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Phương pháp: Cho mặt cầu S (I; R) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc I lên (P) d = IH khoảng cách từ I đến (P) Khi đó: - Nếu d  R  ( P)  ( S )   - Nếu d  R  (P) tiếp xúc với (S) H Khi (P) gọi tiếp diện (S) - Nếu d  R  ( P)  ( S )  (C ) đường tròn nằm mặt phẳng (P) với C H ; R  d   Chú ý: Trường hợp đặc biệt d =  I  H Khi C(I; R) gọi đường tròn lớn mặt cầu S(I; R) Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng sau đây: a) x  y  z  6x  y  4z   x  y  z   b) x  y  z  6x  y  2z  10  x  y  2z   c) x  y  z  x  y  2z   x  y  z  10  Bài giải: a Mặt cầu (S) có tâm I (3; 1; -2) R      Ta có: d  I ,  P      1 1 1 Ta thấy d  I ,  P      6 < R =   P   ( S )   C  đường tròn nằm mặt Phẳng (P) b Mặt cầu (S) có tâm I (3; -1; 1) R     10  Ta có: d  I ,  P      1 1  0 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH Ta thấy d  I ,  P   = < R =   P   ( S )   C  đường tròn lớn mặt cầu (S) Với đường trịn (C) có tâm I (3; -1; 1), bán kính R = c Mặt cầu (S) có tâm I (-2; -4; 1) R   16    Ta có: d  I ,  P    2    10 Ta thấy d  I ,  P    > R =   P   (S )   1 1  21  Ví dụ 2: Cho mặt cầu (S): x  y  z  x  y  z  Tùy theo giá trị k, xét vị trí tương đối mặt cầu (S) mặt phẳng (P): x + y – z + k = Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2;3 , R  14 Ta có: d  I ,  P    1   k 111  k Khi đó: - Nếu d  R  k  14  k  42  (P) không cắt (S) - Nếu d  R  k  14  k  42  (P) tiếp xúc với (S) - Nếu d  R  k  14  k  42  (P) cắt (S) theo đường trịn Dạng 4: Các tốn tiếp diện Phương pháp: 2 Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S) : x  y  z  2x  4y  6z  điểm M(4, 3, 1) Bài giải: Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 3) bán kính R  14 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH Gọi (P) mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S) điểm M(4; 3; 1) Khi (P) qua M nhận   IM  3;1; 2  VTPT nên có phương trình là:  x    1 y  3   z  1   x  y  z  13  2 Vídụ2: Cho mặt cầu (S) : x  y  z  2x  4y  6z  đường thẳng (d) : x 1 y 1 z 1   2 a) Tìm toạ độ giao điểm M, N mặt cầu (S) với đường thẳng (d) b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu M N Bài giải: x  1 t  a Chuyển (d) dạng tham số:  y   2t , t  R  z   4t  Thay x, y, z vào phương trình (S) ta có: 2 1  t   1  2t   1  4t   1  t   1  2t   1  4t   t   7t  4t     3 t    13  Vậy (d) cắt (S) tai hai điểm M  2; 1;5  , N  ; ;   7 7 b Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R     14 Gọi (P), (Q) hai mp tiếp xúc với (S) M, N   Khi mp (P) qua M(2; -1; 5) nhận IM  1; 3;  VTPT nên có phương trình: 1 x     y  1   z     x  y  z  15    26   13  Mp (Q) qua N  ; ;   nhận IN    ;  ;   VTPT nên có phương trình:  7 7  7 x  y  26 z  106 0 Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH   Chú ý: Phương trình mp tiếp diện mặt cầu (S) điểm M cho trước mp qua M nhận IM VTPT 2 Ví dụ 3: Cho mặt cầu ( S ) : x   y  1   z    đường thẳng x3 y z 5   Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) xác định tọa độ tiếp điểm (d ) : Bài giải: + Mặt cầu (S) có tâm I (0; 1; 2) bán kính R = Lấy thêm điểm N(3; 2; 0) thuộc (d).Gỉa sử mp (P) có phương trình: ax  by  cz  d  0, a  b  c  3a  5c  d  d  3a  5c Vì M, N thuộc (P) nên có:   3a  2b  d  2b  6a  5c Vì (P) tiếp xúc với (S) nên: d  I ,  P   R  c  a   2a  3ac  c    a b c  c   2a b  2c  d 2 Với c = - a d = - 2a, b =  a nên chọn a = ta c = -2, d = -4, b = -1   P  : 2x  y  2z   Với c = - 2a d = -7a, b = 2a nên chon a = ta c = -2, d = -7, b =   P2  : x  y  z   + Xác định tọa độ T1 :  Đường thẳng IT1 qua I(0; 1; 2) vng góc với ( P ) nên nhận VTPT n1  2; 1; 2   x  2t  ( P ) VTCP nên có PTTS:  y   t  z   2t  Vì T1  IT1   P  nên T1 nghiệm hệ:  x  2t  y  1 t   9t   t   T1  2; 0;    z   2t 2 x  y  z    + Tương tự T2  IT2   P2   T2 1;3;  Dạng 4: Vị trí tương đối đường thẳng với mặt cầu Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tn –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH Phương pháp: Cách 1: Cho mặt cầu S (I; R) đường thẳng d Gọi H hình chiếu vng góc I lên d h = IH khoảng cách từ I đến d Khi đó: - Nếu h  R  d  ( S )   - Nếu h  R  d tiếp xúc với (S) H Khi d gọi tiếp tuyến (S) - Nếu h  R  d  ( S )   A, B Cách 2: Bước 1: Chuyển (d) dạng tham số theo t Bước 2: Thay x, y, z (d) vào (S) ta được: at  bt  c  (1) Bước 3: Kết luận: - Nếu (1) vô nghiệm   d    S    - Nếu (1) có nghiệm kép   S  tiếp xúc với (d) - Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt  d  (S )   A, B Chú ý: Với toán có chứa tham số ta nên sử dụng cách 2 Trường hợp đặc biệt d =  I  H Khi AB đường kính (S) Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d) mặt cầu (S) có phương trình: x  2   d  :  y   t , t  R, ( S ) :  x  3   y  1   z    14 z   t  Chứng tỏ (d) cắt (S) hai điểm A, B Tính độ dài AB Bài giải: 2 Thay phương trình (d) vào (S), ta được: 1  3  1  t  1    t    14 t   A 1; 2;3  t2     AB  2 t  1  B 1; 0;1  Ví dụ 2: Cho đường thẳng (d) mặt cầu (S) có phương trình: x 3 y x 3   , (S ) : x   y  3  z  24 1 a Chứng tỏ đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) Tìm tọa độ tiếp điểm d  : b Viết phương trình đường thẳng song song với (d) cắt (S) A, B cho độ dài AB lớn Bài giải: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH x   t  a Chuyển (d) dạng tham số:  d  :  y  t , t  R z   t  Thay phương trình (d) vào (S) được: 2   t    t  3    t   24  3t  6t    t  1 Vậy (d) tiếp xúc với (S) M (2; 1; 2) b Mặt cầu (S) có tâm I(0; -3; 0) Gọi    đường thẳng cần tìm  Vì    song song với (d) nên    có VTCP u 1; 1;1 Vì    cắt (S) hai điểm A, B AB lớn    phải qua tâm I mặt cầu (S) Do đó:    qua x  t   I(0; -3; 0) có VTCP u 1; 1;1 nên có phương trình là:    :  y  3  t , t  R z  t  Ví dụ 3: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; -2) đường thẳng x2 y2 z3   Tính khoảng cách từ A đến    Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt    hai điểm B, C cho BC =   : Bài giải:  Đường thẳng    qua điểm M(-2; 2; -3) có VTCP u   2;3;       Ta có MA   2; 2;1   MA, u    7; 2; 10        MA, u  49   100    d  A,       3  494 u Gọi (S) mặt cầu tâm A, cắt    B, C cho BC =  BC   bán kính R     d  16     Vậy phương trình (S) là: x  y   z    25 Dạng 5: Tìm điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Loại 1: Quỹ tích điểm mặt cầu Phương pháp: Để tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn tính chất K(quỹ tích mặt cầu) ta lựa chọn ba cách sau: Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH Cách 1: Tìm điểm O cố định từ dựa tính chất K chứng minh OM = R với R độ dài không đổi Cách 2: Tìm hai điểm A, B cố định từ dựa tính chất K chứng minh AMB  900 Cách 3: Tìm hai điểm A, B cố định dựa tính chất K chứng minh MA2  MB  k với k số Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a Tìm tập hợp điểm M cho: MA2  MB  MC  MD  2a Bài giải: Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD, ta có:       2a  MA2  MB  MC  MD  MA  MB  MC  MD             MG  GA  MG  GB  MG  GC  MG  GD     4MG  MG                4GA  MG  GA  GB  GC  GD   MG  a 2 2  a 2 a2 a  MG   M  S  G;   4    OM   M  O  a 2 2 Vậy tập hợp điểm M mặt cầu S  G;  M / MA  MB  k   M / OM  R  S  O; R      Chú ý: Với điểm A mặt cầu S(O; R), đặt OA = d, ta định nghĩa: PM /  O   d  R Ví dụ 2: Cho AB = hai mặt cầu S1  A;  , S  B;3 Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn PM /  A  PM /  B   27 (1) Bài giải: Ta có: PM /  A  MA2  RA  MA2  PM /  B   MB  RB  MB  (2) (3) Thay (2), (3) vào (1), ta được: MA2  MB  13  27  MA2  MB  40     Gọi I trung điểm AB Khi đó: (4)  MA  MB  40        MI  IA  MI  IB     (4)  40 AB  MI   40  MI  16  MI  Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích không gian ôn thi ĐH Vậy tập hợp điểm M mặt cầu S(I; 4) Ví dụ 3: Cho đường thẳng (d) điểm I không thuộc (d) Gọi M điểm di động (d) Tìm quỹ tích điểm N cho: IM IN  k , k số khác Bài giải: Gọi H hình chiếu vng góc I (d) Lấy E  IH : IH IE  k  E cố định Khi kết hợp với giả thiết, ta có: IH IE  IM IN  tứ giác MHNE nội tiếp  IHM  INE  N nhìn EI góc vng Vậy tập hợp điểm N thuộc mặt cầu đường kính EI Ví dụ 4: Cho hai điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M không gian cho: MA2  MB  k , với k số Bài giải: Gọi O trung điểm AB, với điểm M ta có: OM   MA2  MB   AB ( định lý đường trung tuyến)  OM   k AB k AB   Vậy ta được: M / MA2  MB  k   M / OM    4   Từ đó: - Nếu k AB k AB  đặt R   ta được: 4 M / MA - Nếu  MB  k   M / OM  R  S  O; R  k AB  OM   M  O Vậy quỹ tích M gồm điểm O k AB  quỹ tích M tập rỗng C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm tâm bán kính mặt cầu sau: - Nếu a 3x  3y  3z  6x  3y  15z   2 b  x  1    y    z  1  5  ĐS: O  1; ;  , R  2    ĐS: O   ; 2; 1  , R    2 x  y  z  4x  8y  2z   Bài 2: Tìm tâm bán kính đường trịn sau:  x  2y  z  10  ĐS: khơng tồn đường trịn Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ôn thi ĐH 2 Bài 3: Cho họ  S m  có phương trình:  x     y  1   z  m   m  2m  a Tìm điều kiện m để  S m  họ mặt cầu b Tìm mặt cầu có bán kính nhỏ họ  S m  c Chứng tỏ  S m  chứa đường tròn cố định ĐS: a Với m  S m  ln phương trình mặt cầu với I  2;1; m  , R  m2  2m  b Vậy họ  S m  mặt cầu  S1  có bán kính nhỏ c Vậy họ  S m  ln chứa đường trịn (C) có tâm I  2;1;1 , R  nằm mặt phẳng z =1 Chú ý: Tổng quát phương pháp thực yêu cầu: “ Chứng tỏ họ mặt cầu  S m  ln chứa đường trịn cố định” Bước 1: Gọi M  x0 ; y0 ; z0  điểm cố định mà họ  S m  qua Bước 2: Lập phương trình ẩn m Sau cho hệ số = Bài 4:Lập phương trình mặt cầu (S) trường hợp sau: a) Có tâm I(–2, 1, 1) tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình x  y  z   2 ĐS:  x     y  1   z  1  b) Có tâm I nằm trục Ox qua điểm A(3, 1, 0), B(5, 5, 0) ĐS:  x  10   y  z  50 c) Có tâm nằm mặt phẳng Oxy qua ba điểm A(1, 2, 4), B(1, –3, 1), C( 2, 2, 3) 2 ĐS:  x     y  1  z  26 Bài 5: Lập phương trình mặt cầu: a Có tâm nằm tia Ox, bán kính tiếp xúc với mp (Oyz) b Có bán kính tiếp xúc với mp (Oxy) điểm M(3; 1; 0) ĐS: a  x    y  z  25  x  3  ( y  1)2  ( z  2)2  b   x  3  ( y  1)2  ( z  2)2   x  t  Bài 6: Cho hai đường thẳng d1 :  y  t , z   tR  x  2z   d2 :  y   Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Hình học giải tích khơng gian ơn thi ĐH Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d1 cách d2 khoảng Cho biết mặt phẳng (P) 2x + 2y – 7z = cắt (S) theo đường trịn có bán kính  x     y    z  25 ĐS:   x  12   y  12  z  25  Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1; 1; 1) đường thẳng d : x  14 y z    2 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt d hai điểm A, B cho AB = 16 2 ĐS:  x  1   y  1   z  1  81 Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 10 = điểm I (2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo đường trịn có bán kính 2 ĐS:  x     y  1   z  3  25 Bài 9: Cho điểm A(1; -1; 5), B(0; 0; 1) a Lập phương trình mp (P) qua điểm A, B song song với trục Oy b Lập phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với mp (P) c Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ qua điểm A, B cắt (P) theo thiết diện đường tròn lớn ĐS: a (P): 4x – z + = b x   y  13  z  17 1  1  c  x     y     z  3  2  2  Bài 10: Cho điểm A( 2; 3; 4) mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z – = a Lập phương trình mp (P) qua A song song với (P) b Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) A tiếp xúc với (Q) c Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với (P) điểm A cắt (Q) theo thiết diện đường tròn lớn ĐS: 2 3  5  7  a (P): x + 2y + 3z – 20 = 0, b  x     y     z    2  2  2  2 c  x  1   y     z  3  Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà ... Dạng 1: Tìm tâm bán kính mặt cầu, đường tròn Phương pháp: 2 Mặt cầu (S) có phương trình:  x  a    y  b    z  c   R  Mặt cầu (S) có tâm O  a, b, c  , bán kính R Mặt cầu (S) có phương. .. quát phương pháp thực yêu cầu: “ Chứng tỏ tâm họ mặt cầu  S m  ln nằm đường cố định”:Ta tìm mối liên hệ hoành độ tung độ điểm I mà không phụ thuộc vào m Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu Ví... z khác với hệ số x , phương trình cho khơng phải phương trình mặt cầu Ví dụ 2: Tìm tâm bán kính đường trịn sau: x  y  z  6x  y  2z  10  a)  x  y  z   Bài giải: 2 Mặt cầu (S): x