A Phương pháp “So sánh hai đoạn thẳng” Để chứng minh hai đoạn thẳng ta sử dụng phương pháp sau đây: 1) Trong tam giác cân, hai cạnh bên Trong tam giác đều, cạnh Các cạnh đa giác 2) Trong hai tam giác cạnh tương ứng 3) Hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba Trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vng nửa cạnh huyền Đường trung bình ứng với cạnh tam giác nửa cạnh Đường trung trực đoạn thẳng chia đoạn thẳng thành hai đoạn thẳng Đường trung tuyến tam giác chia cạnh tương ứng thành hai đoạn thẳng a Trong hình bình hành: – Các cạnh đối diện – Các đường chéo cắt trung điểm đường b Trong hình thang cân: Hai cạnh bên Hai đường chéo c Trong hình chữ nhật: Các cạnh đối diện Các đường chéo cắt trung điểm đường Hai đường chéo d Trong hình thoi: Các cạnh bên Các đường chéo cắt trung điểm đường e Hình vng có tất tính chất f Trong đường trịn hay hai đường tròn nhau: Các dây cách tâm Các dây trương cung g Hai tiếp tuyến phát xuất từ điểm đến đường trịn h Một điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc i Hai đoạn thẳng nghiệm hệ thức Để chứng minh đoạn thẳng a lớn đoạn thẳng b, ta sử dụng phương pháp sau đây: 1) Hai đoạn thẳng a b hai đoạn thẳng dối diện với hai góc A B tam giác ABC A > B 2) a = m + n b, m, n độ dài ba cạnh tam giác 3) a độ dài cạnh huyền b độ dài cạnh góc vng tam giác vuông 4) a b hai dây cung đường tròn (hay hai đường tròn nhau) mà khoảng cách từ tâm đường tròn đến a nhỏ khoảng cách từ tâm đường tròn đến b 5) Cung nhỏ đường tròn trương dây a lớn cung nhỏ đường trịn trương dây b 6) Góc nội tiếp đường tròn chắn dây cung a lớn góc nội tiếp đường trịn chắn dây cung b 7) Nếu a = b đưa đến điều vô lý áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” 1) Cho hình thang ABCD Đường phân giác góc A cắt cạnh BC điểm E Cm: AB = BE 2) Cho tam giác ABC Trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, ta dựng đường vng góc với AB A lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B ta dựng đường vng góc với AB A lấy điểm E cho AE = AC Chứng minh CD = BE 3) Trên tia phân giác góc nhọn xOy ta lấy điểm A Vẽ hai đường tròn qua O A Đường tròn thứ cắt Ox M cắt Oy P Đường tròn thứ hai cắt Ox N Oy Q Chứng minh MN = PQ 4) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ hai đường cao BI CK Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh MI = MK 5) Cho tam giác ABC trung tuyến AM thuộc cạnh BC Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Chứng minh BD = AC 6) Cho đường trịn dường kính AB Từ A B kẻ hai dây cung song song với nhau, hai dây cung cắt đường tròn C D Chứng minh AC = BD 7) Hai đường trịn (O) (O’) có bán kính nhau, cắt A B Đường tròn (O) cắt đường nối tâm C đường tròn (O’) cắt đường nối tâm D Chứng minh AC = BD 8) Cho đường trịn dường kính AB M điểm đường tròn Đường tròn (A; AM) cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Chứng minh BM = BN 9) Qua điểm P nằm đường tròn (O), ta kẻ hai dây cung APB CPD cho OP tia phân giác góc hợp hai dây cung AB CD Chứng minh AB = CD AD = BC 10) Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH Trên tia BH lấy điểm D cho HD = HB Kẻ DI vng góc với AC I kẻ CK vng góc với AD K Chứng minh DI = DK B>C 11) Cho tam giác ABC Kẻ đường cao AH BK Tia AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Kẻ CE vng góc với BD E Chứng minh CE = CK 12) Cho hình thang ABCD Qua giao điểm I hai đường chéo ta kẻ đường thẳng song song với cạnh đáy AB, đường cắt cạnh bên AD E cắt cạnh bên BC F Chứng minh IE = IF 13) Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia AD, lấy điểm F cho AF = AB Trên tia đối tia AB, lấy điểm E cho AE = AD Đường thẳng FC cắt AB N đường thẳng EC cắt AD M Chứng minh MD = BN 14) Cho tam giác ABC Gọi I tâm đường trịn nội tiếp tam giác Tia AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác điểm D Chứng minh DC = DB = DI 15) Cho đường trịn dường kính AB Từ đầu mút A ta kẻ dây cung AC từ đầu mút B ta kẻ tiếp tuyến với đường tròn Tia phân giác cắt BC F, cắt đường tròn H, cắt tiếp tuyến B điểm D Chứng minh BF = BD, HF = HD BAC 16) Cho tam giác ABC, AD phân giác góc A Từ D kẻ đường song song với AB, cắt AC điểm E Qua E kẻ đường song song với BC, cắt AB F Chứng minh AE = BF 17) Cho đường tròn (O) điểm C ngồi đường trịn Từ C kẻ hai tiếp tuyến CA, CB đến đường tròn (O) Lấy điểm P đoạn thẳng AB kẻ đường vuông góc với OP, đường cắt đoạn thẳng CB điểm D cắt tia CA điểm E Chứng minh PE = PD, AE = BD B Phương pháp “So sánh hai góc –Số đo góc” Để chứng minh hai góc ta sử dụng phương pháp sau đây: 1) Tia phân giác góc chia góc thành hai góc 2) – Trong tam giác cân, hai góc đáy Trong tam giác cân, đường trung tuyến, đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời đường phân giác góc đỉnh Tam giác có tất tính chất 3) Hai đường thẳng song song hợp với cát tuyến: Những góc so le nhau, Những góc so le ngồi nhau, Những góc đồng vị 4) – Hai góc có cạnh tương ứng song song nhọn tù Hai góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn tù 5) – Hai góc góc thứ ba Hai góc bù với góc thứ ba Hai góc phụ với góc thứ ba Hai góc n lần với góc thứ ba 6) – Trong hai tam giác góc tương ứng – Trong hai tam giác đồng dạng góc tương ứng 7) Trong đường trịn hay hai đường trịn nhau, góc nội tiếp (hoặc góc tia tiếp tuyến dây cung qua tiếp điểm) chắn cung 8) Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đường trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến 9) – Các góc đối củahình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng Các góc đáy hình thang cân Các góc đa giác Để chứng minh góc a lớn góc ị ta sử dụng phương pháp sau đây: 1) Hai góc a ị hai góc đối diện với hai cạnh a b tam giác mà a > b 2) Hai góc a ị có đỉnh chung, có cạnh chung, nằm phía cạnh chung cạnh thứ hai góc ị nằm cạnh chung cạnh thứ hai góc ị 3) Hai góc a ị nội tiếp đường tròn dây cung (hay cung) bị chắn a lớn dây cung (hay cung) bị chắn ò 4) Nếu a = ị dẫn đến điều vơ lý Để tính số đo góc tốn ta sử dụng phương pháp sau đây: 1) Tổng góc tam giác 1800 2) Góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với 3) Mỗi góc tam giác 600 4) Góc lớn tam giác vng có số đo 900 Các góc cịn lại nhỏ 900 5) Hai góc kề Hình bình hành, Hình chữ nhật, Hình thoi, Hình vng có tổng 1800 6) Hai góc phía, ngồi phía hai đường thẳng song song bị cắt cát tuyến có tổng 1800 7) Hai góc đối tứ giác nội tiếp bù 8) Hai góc nhọn, tù có cạnh tương ứng song song vng góc bù 9) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng Góc nội tiếp chắn ẳ đường tròn 450 áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” 1) Cho tam giác ABC (AB > AC) Trên cạnh AB ta lấy điểm D cho DB = AB – AC Từ A kẻ AH ⊥ CD Chứng minh = DAHCAH 2) Cho tam giác ABC cân A Kẻ đường cao AH xuống cạnh BC Gọi M trung điểm cạnh AC Chứng minh AHM = HAM 3) Từ điểm M đường tròn (O), ta kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn tia MA, lấy điểm B cho AB = AM Chứng minh AMO = ABO 4) Cho tam giác ABC, Kẻ phân giác AD góc Từ chân D phân giác, ta kẻ đường song song với AB, cắt AC E Qua E, ta kẻ đường song song với AD, cắt BC F Qua F, kẻ đường song song với AB cắt AC I Tìm tất góc góc B A = 2.BA 5) Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB, ta lấy điểm B’ cho B’A = BA tia đối tia AC lấy điểm C’ cho C’A = CA Chứng minh ACB = AC'B' 6) Cho tam giác cân ABC P điểm cạnh đáy BC Gọi M trung điểm BC, N trung điểm PC Qua M kẻ đường vng góc với BC, cắt AB E Qua N kẻ đường vng góc với BC, cắt AC F Chứng minh EPF= A 7) Từ điểm D cạnh đáy BC tam giác cân ABC, ta kẻ đường vuông góc DI xuống cạnh bên AC Chứng minh 1IDC=BAC2 8) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H chân đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh BC Chứng minh OAC=BAH 9) Trên nửa đường trịn dường kính AB, ta lấy điểm C D điểm đoạn thẳng AB cho đường vng góc kẻ từ D với đoạn AB, cắt đoạn thẳng AC điểm E cắt tiếp tuyến điểm C với nửa đường tròn điểm F Chứng minh FCE=FEC 10) Cho góc nhọn Trên tia Ox, lấy hai điểm A B Trên tia Oy, lấy hai điểm C, D cho OA = OC, OB = OD Đoạn thẳng AC cắt BD M Chứng minh điểm M nằm tia phân giác góc xOyxOy 11) Cho tam giác ABC, > Trên cạnh AC, ta lấy điểm D cho hệ thức sau thỏa mãn: AB 2= AD.AC Chứng minh B CABD=ACE 12) Cho đường tròn hai dây cung AB = AC Trên cung AC (không chứa điểm B), ta lấy điểm M Gọi S giao điểm AM BC Chứng minh ASC=MCA 13) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Từ điểm M cung AC, Ta vẽ dây cung MN // AB, dây cung cắt BC I cắt đường tròn N Chứng minh tam giác BIM cân 14) Cho tam giác ABC vuông A Trên tia AB ta lấy điểm D cho AD = AC tia AC, ta lấy điểm E cho AE = AB Kẻ đường cao AH tam giác ABC Đường thẳng AH cắt DE điểm M Hãy so sánh tam giác ABC, ADE tìm góc tương ứng 15) Trên tia phân giác Oy góc, ta lấy điểm A vẽ đường tròn (A; OA) Đường tròn cắt tia Ox điểm B tia Oy điểm C Chứng minh xOyOBA=OCA 16) Cho tam giác ABC, Lấy cạnh BC hai điểm M N cho, Chứng minh B < C < ACAM=BBAN=CCMA=BNA 17) Cho tam giác ABC Gọi N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CA I, J, K trung điểm đoạn thẳng NP, BP, CN Chứng minh QJI=JQK 18) Cho tam giác ABC, Lấy điểm M cạnh AB Trên tia CA lấy điểm N cho AM = AN (điểm N ngồi đoạn thẳng AC) Chứng minh A=2.BBMD=ABC Ni chẳng răn lỗi cha, Dạy trị khơng nhiêm lỗi thầy Cha nghiêm, Thầy giỏi mà học không nên Tội C Phương pháp “ Chứng minh hai đường thẳng vng góc với ” 1) Trong tam giác cân (hay tam giác đều), đường phân giác góc đỉnh đường trung tuyến thuộc cạnh đáy đồng thời đường cao thuộc cạnh đáy 2) Định nghĩa: Tam giác vuông tam giác có hai cạnh vng góc với Để chứng minh tam giác tam giác vuông, ta chứng minh: - Tam giác nội tiếp nửa đường trịn - Tam giác có tổng hai góc 900hoặc 1v - Tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh - Tam giác có độ dài cạnh thỏa mãn hệ thức Pytago hệ 3) Đường phân giác hai góc kề bù vng góc với 4) – Nếu a // b mà a ⊥ c b ⊥ c – Nếu a // b c // d mà a ⊥ c b ⊥ d 5) – Các đường chéo hình thoi (hoặc hình vng) vng góc với – Các cạnh hình chữ nhật (hoặc hình vng) vng góc với 6) – Đường kính qua trung điểm dây cung khơng qua tâm vng góc với dây cung – Đường kính qua trung điểm cung qua trung điểm dây cung vng góc với dây cung 7) – Tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm Hai đường trịn cắt đường nối tâm vng góc vơí dây chung Đường trung trực đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” Cho tam giác ABC vng góc A BC có điểm D cho CD = CA Trên cạnh AB ta lấy điểm E cho AE = AH (AH đường cao của) Chứng minh: ABC? a) b) ADEH⊥ DEAB⊥ Cho góc xOy điểm M nằm góc Từ M kẻ Gọi A trung điểm OM H trung điểm BC Chứng minh MBOy ⊥AHBC⊥ Cho nửa đường trịng đường kính AB Trong nửa mặt phẳng bờ AB, có chứa nửa đường trịn ta kẻ tia Ax, By vng góc với AB Tại điểm C nửa đường trịn, ta dựng tiếp tuyến với nửa đường tròn Tiếp tuyến cắt tia Ax điểm D cắt tia By điểm E Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh OEOD ⊥ Cho ba điểm B, H, C cho BC = 13 cm; BH = cm, HC = cm Từ H ta dựng đường vng góc với đường thẳng BC đường thẳng vng góc này, chọn điểm A cho AH = cm Chứng minh ABAC ⊥ Cho hình vng ABCD Trên tia BC, ta lấy điểm M nằm điểm B, C tia CD ta lấy điểm N cho DN = BM đường vng góc với MA M đường vng góc với NA N cắt F Chứng minh: CFCA⊥ Cho vng góc A, đường cao AH M trung điểm cạnh BC N trung điểm cạnh AC Đường thẳng MN cắt tia AH điểm D Chứng minh ABC?AMDC ⊥ Cho hai điểm A, B cố định đường thẳng d Trong nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d, ta kẻ tia Ax, By vuông góc với d lấy Ax điểm C, By điểm D thoả mãn hệ thức: AB 2= 4AC BD Gọi O trung điểm AB Chứng minh: a) Hệ thức CD = OC2 + OD2 b) Các cặp tam giác sau đồng dạng ODC AOC; ODC BOD c) Giả sử C, D thay đổi đoạn thẳng AB, AC, BD ln ln thoả mãn hệ thức (1) Tìm tập hợp hình chiếu trung điểm O lên đoạn CD Cho góc vng xOy Trên cạnh Oy lấy điểm A cố định cạnh Ox có điểm B di động Dựng hình vng ABCD (nằm góc vng xOy) Tìm tập hợp tâm I hình vng Cho nửa đường trịn đường kính AB điểm M di động nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt đường song song với AM, kẻ từ tâm O, điểm P Tìm tập hợp điểm P Cho góc vng xOy điểm P tia phân giác Oz Một đường tròn thay đổi tâm I, qua O P, cắt Ox A Oy B a) Chứng minh I trung điểm AB Tìm tập hợp điểm I b) Chứng minh PIAB ⊥ c) Gọi Q điểm đối xứng P qua điểm I Tìm tập hợp điểm Q Cho hai đường tròn tâm O O’ có bán kính tiếp xúc với điểm B Đường thẳng nối tâm OO’ cắt đường tròn tâm O điểm A cắt đường tròn tâm O’ điểm C Ta kẻ hai dây AP thuộc đường tròn tâm O, BM thuộc đường tròn tâm O’, song song với Các tia AP CM cắt điểm H a) Chứng minh PM = BH b) Tìm tập hợp điểm H c) Tìm tập hợp trung điểm I PM Cho góc xOy, điểm B cố định Oy điểm C cố định Ox cho OC = OB, M điểm di động tia BC (M phía ngồi góc xOy) Kẻ MEOy ⊥ MFOx⊥ a) So sánh góc; BMEBMF xOy b) Từ suy tập hợp điểm có hiệu khoảng cách đến hai cạnh tam giác độ dài l cho trước Cho hình chữ nhật ABCD góc vng xAy quay xung quanh đỉnh A Tia Ax cắt đường thẳng BC điểm M tia Ay cắt đường thẳng CD điểm P Dựng hình chữ nhật PAMN a) Chứng minh tâm O hình chữ nhật cách ba điểm M, P, C Từ suy tập hợp điểm O b) Chứng minh góc Tìm tập hợp điểm N ACN1v= Trên đường thẳng d có hai điểm cố định A, B Từ điểm C thuộc đường thẳng AB, ta kẻ đường vng góc Cx với đường thẳng d lấy Cx đoạn CM = AC a) Tìm tập hợp điểm M C di chuyển AB b) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB lấy đoạn BD = BA Gọi H hình chiếu D lên MB Tìm tập hợp điểm H c) Từ A B kẻ đường vng góc với MA, MB, đường cắt P Chứng minh tứ giác AMBP nội tiếp đường tròn Xác định tâm O đường trịn tìm tập hợp điểm O 10 Cho đường tròn tâm O điểm A cố định đường tròn Một góc có số đo khơng đổi, quay xung quanh điểm A Hai tia Ax, Ay cắt đường tròn điểm B, C xAy a) Tìm tập hợp trung điểm I BC b) Kẻ từ C đường vuông góc với CA, đường cắt tia Ox điểm M Tìm tập hợp điểm M 11 Cho nửa đường trịn ANB, tâm O, đường kính AB, M điểm cung AB Kẻ hai bán kính vng góc OC, OD (điểm C hai điểm A, M) Gọi C’và D’ hình chiếu C D AB a) So sánh tam giác OCC’ ODD’ b) Chứng minh đường phân giác góc C’CO qua điểm cố định F Tính góc CFD c) Xác định hình tính tứ giác CDBF d) Chứng minh: CBDF⊥ e) Tìm tập hợp giao điểm N CB AD điểm C di chuyển cung AM 12 Cho đường trịn tâm O, đường kính AB tiếp tuyến Ax điểm A Từ điểm M di chuyển Ax, ta kẻ tiếp tuyến MC đến đường tròn a) Chứng minh tứ giác AOCM nội tiếp b) Tìm tập hợp tâm đường trịn ngoại tiếp AMC? c) Tìm tập hợp trực tâm d) Tìm tập hợp tâm I đường tròn nội tiếp ABC? ABC? 13 Cho điểm M di động đoạn thẳng cố định AB Gọi Bx đường vng góc với AB B Dựng tam giác AMN Đường vng góc với MN N cắt Bx điểm P a) Tìm tập hợp điểm N b) Tìm tập hợp trung điểm I BN c) Tìm tập hợp tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác BPNM 14 Cho ba điểm cố định A, B, C theo thứ tự đường thẳng d Một đường tròn thay đổi qua hai điểm B, C Từ A ta kẻ tiếp tuyến AM với đường tròn Tìm tập hợp điểm M S Phương pháp “ Dựng hình” Giải tốn dựng hình thỏa số điều kiện cho trước thước compa (nếu phép sử dụng dụng cụ đề cần nói rõ) Muốn giải tốn dựng hình ta cần trình tự thực phép dựng hình (dựng đường thẳng qua hai điểm biết, dựng đường tròn biết tâm bán kính nó, …) để tạo nên hình thỏa điều kiện đề Nói chung, lời giải tốn dựng hình chia làm phần: 1) Phân tích: giả sử dựng hình thỏa điều kiện đề Phân tích hình để tìm cách đưa tốn cho tốn dựng hình biết 2) Cách dựng: trình bày phép dựng tạo nên hình cần dựng 3) Chứng minh: chứng tỏ hình vừa dựng thoả điều kiện đề 4) Biện luận: xét xem trường hợp tốn có nghiệm có nghiệm, trường hợp tốn vơ nghiệm Sau tốn dựng hình bản: Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng a cho trước Dựng đoạn thẳng có độ dài tổng (hiệu) độ dài hai đoạn thẳng cho trước Dựng trung điểm đoạn thẳng cho trước Dựng góc góc cho trước Dựng đường phân giác góc cho trước Dựng đường thẳng qua điểm cho trước vuông góc với đường thẳng cho trước Dựng đường thẳng qua điểm cho trước song song với đường thẳng cho trước không qua điểm Dựng tam giác biết hai cạnh góc xen hai cạnh ấy, biết cạnh góc kề cạnh ấy, biết ba cạnh Dựng tam giác vng biết cạnh huyền cạnh góc vuông 10 Dựng điểm chia đoạn thẳng cho trước thành nhiều phần Dựng tam giác vng biết cạnh góc vng hiệu cạnh huyền cạnh góc vng Cho đường trịn đường kính AB điểm C ngồi đường tròn Chỉ dùng thước thẳng, dựng đường thẳng qua điểm C vng góc với đường thẳng AB Dựng hình bình hành ABCD biết AB = a, tổng hai đường chéo AC + BD = m góc tạo hai đường chéo a Dựng tam giác biết tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường trịn bàng tiếp Cho đường trịn tâm O, bán kính R điểm M đường tròn Hãy dựng dây cung qua M có độ dài a cho trước Dựng tam giác ABC biết cạnh BC đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A chia góc BAC thành góc Cho bốn đường tròn (O 1;r1); (O2; r2); (O3; r3); (O4; r4) Hãy dựng hình vng cho cạnh (hay cạnh kéo dài) tiếp xúc với đường tròn cho Dựng hai đường trịn tiếp xúc ngồi với nhau, có tâm hai điểm cố định cho trước tiếp tuyến chung chúng qua điểm cố định cho trước Dựng tam giác vuông ABC biết cạnh huyền BC = a khoảng cách tâm đường tròn nội tiếp tam giác trọng tâm tam giác nhỏ 10 Cho trước góc 190 Hãy dùng thước thẳng compa để vẽ góc 10 T Phương pháp “ Các phép biến hình” Phép đối xứng trục 1) Hình đối xứng qua đường thẳng: a) Định nghĩa 1: hai điểm M M’ gọi đối xứng với qua đường thẳng d d đường trung trực đoạn thẳng NM’ Kí hiệu: phép đối xứng qua trục d SdđịnhnghĩadMM'd(tạiH)M'S(M)HMHM'⊥?=?= b) Định nghĩa 2: hai hình F F’ gọi đối xứng với qua đường thẳng d điểm thuộc hình đối xứng với điểm thuộc hình qua d ngược lại địnhnghĩaddF'S(F)(MFM'S(M)F')?=∈⇔=∈? c) Định lý: hai đường thẳng AB A’B’ có điểm A A’; B B’ đối xứng với qua đường thẳng d hai đoạn thẳng đối xứng qua đường thẳng d Từ định lý ta suy ra: Nếu đỉnh tam giác ABC đối xứng với đỉnh tam giác A’B’C’ qua trục d hai tam giác đối xứng với Nếu hai điểm đường thẳng đối xứng với hai điểm đường thẳng khác qua trục d hai đường thẳng đối xứng với dddA'S(A)A'B'ABA'B'S(AB)B'S(B)==⇒== 2) Trục đối xứng hình: Định nghĩa: đường thẳng d gọi trục đối xứng hình F điểm đối xứng điểm thuộc hình F qua trục d thuộc hình F địnhnghĩadcótrụcđốixứngdFFS(F)?=? dddA'S(A)A'B'ABA'B'S(AB)B'S(B)==⇒== Phương pháp Chứng minh Hình học  HọC SINH GIỏI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 34 3) Trục đối xứng số hình: a) Một góc có trục đối xứng đường phân giác góc b) Một đoạn thẳng có trục đối xứng đường trung trực đoạn thẳng c) Một tam giác cân có trục đối xứng đường trung trực (cũng đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy) d) Một hình thang cân có trục đối xứng đường thẳng qua trung điểm hai đáy e) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng hai đường thẳng qua giao điểm đường chéo vng góc với cạnh hình chữ nhật f) Hình vng có bốn trục đối xứng, hai đường chéo hai đường thẳng qua giao điểm hai đường chéo vng góc với cạnh hình vng g) Bất kì đường kính trục đối xứng đường trịn Phép đối xứng tâm 1) Hình đối xứng qua điểm: a) Điểm đối xứng qua điểm: địnhnghĩaoMM'M'S(M)OMOM'2?===?  b) Hình đối xứng qua điểm: địnhnghĩaOOF'S(F)(MFM'S(M)F')? =∈⇔=∈? c) Định lí: OOOA'S(A)A'B'ABA'B'S(AB)B'S(B)==⇒== d) Hệ quả: OOOOA'S(A)B'S(B)A'B'C'S(ABC)C'S(C)==⇒?=?= 2) Tâm đối xứng hình: Định nghĩa: Một số hình có tâm đối xứng: Hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vng có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo Đường tròn có tâm đối xứng tâm Phép tịnh tiến địnhnghĩaOcótâmđốixứngHìnhFFS(F)?=? 1) Khái niệm vectơ: Vectơ đoạn thẳng có định hướng tức đoạn thẳng rõ thứ tự điểm mút Điểm mút đầu gọi gốc, điểm mút thứ hai gọi vectơ Kí hiệu: Đường thẳng AB gọi giá Độ dài đoạn thẳng AB gọi mơđun kí hiệu Vectơ nhau: Hai vectơ phương giá chúng song song trùng Các véctơ;; hình bên phương Hai vectơ phương hướng (và) kí hiệu hay ngược hướng (và) kí hiệu Định nghĩa: hai vectơ gọi chúng có mơđun hướng ABhaya ABABABABCDEF ABCDABCD ABEFABEF a bđịnhnghĩaababab?=?= 2) Phép tịnh tiến: Phương pháp Chứng minh Hình học  HọC SINH GIỏI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 35 a) Định nghĩa: Trong mặt phẳng P cho vectơ Phép biến hình mặt phẳng P biến điểm M thuộc P thành điểm M’ thuộc P cho gọi phép tịnh tiến theo kí hiệu V MM'V= V VT b) Cách viết: VT:MM' 3) Một số tính chất phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến biến: a) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng phương b) Đường thẳng thành đường thẳng phương, tia thành tia phương c) Góc thành góc có cạnh tương ứng phương d) Đường tròn thành đường trịn Phép quay 1) Phép quay: Cho điểm O góc () Ta quy ước chiều quay ngược chiều kim đồng hồ chiều dương, thuận chiều kìm đồng hồ chiều âm Phép biến hình biến điểm M tuỳ ý mặt phẳng thành điểm M’ cho: gọi phép quay tâm O, góc quay Điểm M’ gọi ảnh điểm M phép quay Kí hiệu: Hoặc Trong hình bên ta có: Hoặc Hoặc ảnh hình phép quay: a00O180=a=OM'OMMOM'==aaO,M'Q(M) a= O,Q:MM'a0O,60M'Q(M)= 0O,60Q:MM' 0O,90N'Q(N) -= 0O,90Q:NN'- a) Trong phép quay, tập hợp ảnh tất điểm hình (H) tạo thành hình (H’) gọi ảnh hình (H) b) Nếu: O,O,O,A'Q(A)A'B'Q(AB)B'Q(B) aaa=⇒== 2) Các tính chất phép quay: Phép quay biến: a) Một đoạn thẳng thành đoạn thẳng b) Một đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia c) Một góc thành góc d) Một đường trịn thành đường trịn e) Nếu góc quay phép quay trở thành phép đối xứng tâm (tâm quay tâm đối xứng) 0180a= 3) Cách xác định tâm quay a) Trường hợp cho biết ảnh điểm A’ = Q(A) góc quay Gọi O tâm quay ta có: OA = OA’ nên O thuộc đường trung trực d đoạn AA’ Vậy tâm quay O giao điểm đường trung trực d cung chứa góc aa b) Trường hợp cho biết ảnh hai điểm A’ = Q(A); B’ = Q(B) Nếu AA’ không song song với BB’: tâm quay O giao điểm hai đường trung trực d1, d2của hai đoạn thẳng AA’ BB’ Nếu AA’ // BB’ tâm quay O giao điểm hai đường thẳng AB A’B’ áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” Phương pháp Chứng minh Hình học  HọC SINH GIỏI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 36 Trong tất tam giác có chung cạnh diện tích nhau, tìm tam giác có chu vi nhỏ Cho trực tâm H tam giác ABC H’ điểm đối xứng H qua BC a) Chứng minh H’ nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác AHB, BHC, CHA có bán kính c) Gọi (O; R) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cho B, C cố định cịn A di động (O; R) Tìm tập hợp trực tâm H tam giác ABC d) Cho trước đường tròn (O; R), điểm A nằm đường tròn điểm H đường tròn Dựng tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) nhận A làm đỉnh H trực tâm Dựng tam giác ABC biết đường tròn ngoại tiếp tam giác, trực tâm H tam giác điểm E cạnh BC Cho đường thẳng d hai điểm E, F nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng d Hãy dựng tam giác nhận E, F chân hai đường cao đường cao thứ ba nằm đường thẳng d Cho tam giác cân ABC (CA = CB) có Qua A B vẽ tia AL BK (L thuộc BC, K thuộc AC) cho ; AL cắt BK M tính góc ACM, BCM 0ACB100=0LAB30=0KBA20= Cho ba điểm O1; O2; O3 điểm M (trong điểm O1; O2; O3; M khơng có ba điểm thẳng hàng) Gọi M1 điểm đối xứng M qua O 1; M2 điểm đối xứng M1 qua O2; M3 điểm đối xứng M2 qua O3; M4 điểm đối xứng M3 qua O1; M5 điểm đối xứng M4 qua O2; M6 điểm đối xứng M5 qua O3 Chứng minh M6trùng M Cho ba đường tròn (O ;; Chứng minh 1; R);(O2; R);(O3; R) tiếp xúc đôi 1: (O1) tiếp xúc với (O2) A; (O2) tiếp xúc với (O3) B; (O3) tiếp xúc với (O1) C điểm M tuỳ ý đường tròn (O 1; R) gọi 1AMS(M)=2B1MS(M)=3C2MS(M)=13OMS(M)= 31M(O;R)∈ Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định điểm C di động đường tròn Trên tia AC lấy điểm D cho AC = CD Vẽ hình bình hành ADBE Tìm tập hợp điểm E Dựng hình bình hành nội tiếp tứ giác cho trước nhận điểm O cho trước làm tâm đối xứng 10 Dựng hình bình hành biết ba trung điểm ba cạnh 11 Cho tam giác ABC Dựng hình vng BCDE nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng BC khơng chứa đỉnh A Gọi AH đường cao tam giác ABC Từ D E dựng, Chứng minh ba đường thẳng EK, DI, AH đồng quy DIAB ⊥EKAC⊥ 12 Cho hình thang ABCD (BC// AD) có tổng hai đáy lớn tổng hai cạnh bên Gọi M giao điểm đường phân giác hai góc A B, N giao điểm đường phân giác hai góc C D Chứng minh rằng: 2MN(BCAD)(ABCD)=+ -+ 13 Cho hình vng ABCD tâm O gọi M N điểm theo thứ tự nằm cạnh AB CD Hãy xác định M N cho đường gấp khúc OMNB có độ dài nhỏ MN // BC Tính độ dài theo cạnh hình vng a Giải tốn đường gấp khúc OMNB có độ dài lớn 14 Qua giao điểm A hai đường tròn nhau, người ta vẽ cát tuyến di động cắt hai đường tròn B C Từ B vẽ Bx từ C vẽ Cy song song với đường nối tâm OO’ cắt Bx M Tìm tập hợp điểm M BC ⊥ Phương pháp Chứng minh Hình học  HọC SINH GIỏI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 37 15 Cho đường tròn (O; R), dây cung AB cố định điểm M di động đường trịn a) Tìm tập hợp trực tâm H tam giác MAB b) Tìm tập hợp giao điểm E F đường tròn tâm M bán kính MH đường trịn tâm H bán kính HM 16 Cho đường trịn (O) đường kính EF hai điểm A, B đường tròn Dựng góc nội tiếp cho hai cạnh góc chắn EF đoạn thẳng có độ dài l cho trước ACB 17 Trên cạnh tam giác ABC miền tam giác, vẽ tam giác ABC1, BCA1, CAB1 Chứng minh rằng: a) AA1 = BB1 = CC1 b) Ba đường thẳng AA1; BB1; CC1đồng quy điểm 18 Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý a) Chứng minh khoảng cách từ điểm M đến ba đỉnh tam giác ABC không lớn tổn khoảng cách đến hai đỉnh lại b) Tìm điều kiện cần đủ để M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 19 Cho góc vng xOy điểm A cố định đường phân giác góc Một đường trịn thay đổi qua hai điểm O A, cắt Ox C cắt Oy D Chứng minh OC + OD số 20 Cho góc vuông xOy điểm A cố định Ox Tam giác ABC nằm miền góc xOy có đỉnh B thuộc Oy Tìm tập hợp đỉnh C 21 Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm C di động đường tròn Trên tia AC lấy đoạn AD = BC a) Xác định phép quay biến BC thành AD b) Tìm tập hợp điểm D U Phương pháp “ Hình học Khơng gian” A Phần đại cương: Cách xác định mặt phẳng biểu diễn mặt phẳng: a) Cách biểu diễn mặt phẳng: dùng hình bình hành b) Các cách xác định mặt phẳng: - Hai đường thẳng cắt xác định mặt phẳng - Một đường thẳng điểm nằm đường thẳng xác định mặt phẳng - Ba điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng - Hai đường thẳng song song xác định mặt phẳng Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: a) Vị trí tương đối đường thẳng với đường thẳng không gian: - Hai đường thẳng trùng - Hai đường thẳng song song - Hai đường thẳng cắt Đặc biệt: Hai đường thẳng vng góc với - Hai đường thẳng chéo b) Vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng không gian: - Đường thẳng nằm mặt phẳng - Đường thẳng cắt mặt phẳng Đặc biệt: Đường thẳng mặt phẳng vng góc với - Đường thẳng song song với mặt phẳng c) Vị trí tương đối hai mặt phẳng khơng gian: - Hai mặt phẳng trùng - Hai mặt phẳng song song với - Hai mặt phẳng cắt Đặc biệt: Hai mặt phẳng vng góc với Phương pháp chứng minh: Phương pháp Chứng minh Hình học  HọC SINH GIỏI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 38 - Hai đường thẳng trùng nhau, ta chứng minh chúng có hai điểm chung - Hai đường thẳng song song, dùng phương pháp hình học phẳng - Hai đường thẳng cắt nhau, ta chứng minh chúng có điểm chung Đặc biệt: Hai đường thẳng vng góc với nhau, ta chứng minh chúng tạo thành góc vng - Hai đường thẳng chéo nhau, ta chứng minh chúng khơng đồng phẳng khơng có điểm chung Đặc biệt: Đường thẳng mặt phẳng vuông góc với nhau, ta chứng minh: Đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng - Đường thẳng song song với mặt phẳng, ta chứng minh: + Đường thẳng mặt phẳng khơng có điển chung + Đường thẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng cho - Hai mặt phẳng trùng nhau, ta chứng minh cách xác định mặt phẳng - Hai mặt phẳng song song với nhau, ta chứng minh: + Hai mặt phẳng khơng có điển chung + Hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng - Hai mặt phẳng cắt nhau, ta chứng minh chúng có đường thẳng chung Đặc biệt: Hai mặt phẳng vng góc với nhau, ta chứng minh đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng B Phần cơng thức tính diện tích hình hình học: Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng là: Với p chu vi đáy, l độ dài cạnh bên Diện tích tồn phần hình lăng trụ tổng diện tích xung quanh với hai lần diện tích đáy Thể tích hình lăng trụ đứng: Với B diện tích đáy, h độ dài đường cao lpSxq⋅= hBV⋅= Diện tích xung quanh hình chóp tính theo cơng thức: Với p chu vi đáy, d độ dài đường cao mặt bên Thể tích hình chóp tính theo cơng thức: Với B diện tích đáy, h độ dài đường cao Diện tích xung quanh hình chóp cụt: Thể tích hình cóp cụt tính theo cơng thức: dpSxq ⋅=21 hBV⋅=31 ()xq1Spp'd2=+ ()''31BBBBhV++= Diện tích xung quanh hình trụ là: RhSxqπ=2 Thể tích hình trụ là: Diện tích xung quanh hình nón là: Thể tích hình nón là: Diện tích xung quanh hình nón cụt là: Thể tích hình nón cụt là: Hình cầu: hRV2p= RlSxqπ= hRV231p= ()lrRSxq+π= ()hRrrRV++π=2231 Phương pháp Chứng minh Hình học  HọC SINH GIỏI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 39 Diện tích mặt cầu là:; Thể tích hình cầu là: áp dụng: Các Bài tập dành cho “ tất học sinh” 24RSxqπ=334RV= Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) A Trên đường thẳng d lấy điểm K a) Chứng minh BC ⊥ KH b) Kẻ AI đường cao tam giác KAH Chứng minh AI ⊥ (KBC) c) Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm, AK = 16 cm Tính độ dài đoạn thẳng BC, KH, IH, IK tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (KBC) Cho hình vng ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Một đường thẳng d vng góc với mp (ABCD) O Lấy điểm S đường thẳng d, nối SA, SB, SC SD a) Chứng minh AC ⊥ (SBD) b) Chứng minh mp (SAC) ⊥ mp (ABCD) mp (SAC) ⊥ mp (SBD) c) Tính SO biết AB = a SA = a d) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp S.ABCD Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đường thẳng d lấy điểm S nối SA, SB, SC a) Chứng minh SA = SB = SC b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O (như hình vẽ) a) Tìm hình vẽ đường thẳng chéo với đường thẳng SA b) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SAC) mặt phẳng (SBD) c) Gọi M; N trung điểm SC; SD; chứng minh rằng:  MN//AB MN song song với mặt phẳng (ABCD)  Bốn điểm A; B; M; N đồng phẳng d) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SBD) mặt phẳng (ABMN), suy giao điểm mặt phẳng (SBD) với đường thẳng AM Không xét mặt phẳng (ABMN) có tìm giao điểm khơng? Cho tia Sx; Sy; Sz vng góc đơi lấy điểm A; B; C tia (khác S) a) Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (SAB); SB vng góc với mặt phẳng (SAC); SA vng góc với mặt phẳng (SBC); b) Chứng minh mặt phẳng (SAB); mặt phẳng (SBC); mặt phẳng (SCA) vng góc với đôi c) Vẽ CH ⊥ AB Chứng minh SH vng góc với AB Tính SH theo SA, SB, SC Cho hình chữ nhật ABCD có AB =2cm; AD=4cm Từ A dựng AA’ vng góc với mặt phẳng (ABCD) AA’ =5cm a) Chứng tỏ ?ACA’ vng, tính độ dài A’C b) Chứng tỏ ?BCA’ vng tìm lại độ dài A’C c) Hãy vẽ thêm đỉnh B’; C’; D’ để hình hộp chữ nhật ABCD, A’B’C’D’ d) Tính diện tích tồn phần thể tích hình hộp chữ nhật Cho ?ABC vng B có cạnh huyền AC = 6cm Từ A dựng AA’ vng góc với mặt phẳng (ABC) AA’ =4cm 030A= a) Tính độ dài BA; BC; A’B; A’C Phương pháp Chứng minh Hình học  HọC SINH GIỏI  Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 40 b) Tính thể tích ABCA’ hai cách khác c) Hãy vẽ thêm hai đỉnh để hình lăng trụ có đáy ?ABC Tính thể tích hình lăng trụ Cho ?ABC cạnh a có trực tâm H; từ H dựng HS vng góc với mặt phẳng (ABC) 33aHS= a) Chứng tỏ S.ABC hình chóp tam giác b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp c) Gọi A’; B’; C’ trung điểm SA; SB; SC:  Chứng tỏ ABC, A’B’C’ hình chóp cụt có chiều cao SH21  Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp cụt Cho hình chữ nhật ABCD có AB =3cm; AD=4cm, quay vịng quanh cạnh BC a) Xác định tên gọi hình sinh yếu tố b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình 10 Cho tam giác vng ABC có hai cạnh góc vng AB = 4cm; AC = 3cm, quay quanh AB vịng a) Xác định tên gọi hình sinh yếu tố b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình c) Cắt hình mặt phẳng qua trung điểm I AB song song với mặt phẳng sinh đường thẳng CA Hãy gọi tên tính diện tích xung quanh, thể tích hai hình vừa cắt 11 Cho nửa hình tròn có đường kính AB quay vòng quanh AB a) Gọi tên hình sinh yếu tố b) Cho AB=10cm, tính diện tích thể tích hình treân ... Chứng minh tính chất phần tử” Chứng minh đường trung tuyến: Đưa việc chứng minh hai đoạn thẳng Dựa vào tính chất trọng tâm (giao điểm ba đường trung tuyến), đưa toán việc chứng minh ba điểm thẳng. .. Muốn chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn, ta chứng minh chúng cách điểm cho trước gọi tâm Muốn chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn, ta chứng minh chúng nằm đường thẳng mà bờ đường thẳng qua hai. .. “ Chứng minh đường thẳng song song” 1) Khi hai đường thẳng tạo với cát tuyến: Hai góc vị trí so le (hoặc so le ngồi) nhau, Hai góc vị trí đồng vị nhau, Hai góc vị trí phía (hoặc ngồi phía) hai