Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ DẠY CHO HỌC SINH CẤP THCS A – ĐẶT VẤN ĐỀ: Qua dự giờ các đồng nghiệp, qua thực tiễn giảng dạy môn Toán ở THCS đặc biệt là thời gian tôi được phân công giảng dạy và ôn tập môn Toán ở hai lớp 9I, 9H tôi nhận thấy học sinh rất lúng túng trước các bài toán liên quan đến phương trình vô tỉ, các em không biết bắt đầu từ đâu và giải quyết như thế nào. Vì vậy khi gặp các bài toán về phương trình vô tỉ thì các em cho đó là bài toán khó, bên cạnh đó có một số học sinh khá khi gặp bài toán về phương trình vô tỉ mà không giải được bằng phương pháp dùng định nghĩa căn bậc hai số học hoặc dùng hằng đẳng thức 2 A A= là cảm thấy bế tắc. Trước sự lúng túng, khó khăn của học sinh như vậy đã thúc đẩy và tạo động lực cho tôi tìm tòi nghiên cứu các tài liệu và ghi chép lại các vấn đề liên quan đến phương trình vô tỉ và cuối cùng tổng hợp lại tôi đã tích lũy được “Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS” Để áp dụng kinh nghiệm này, giáo viên cần phải dạy cho học sinh cách giải phương trình vô tỉ từ đơn giản đến phức tạp để học sinh thấy được phương trình vô tỉ không phải là khó và đặc biệt để cho học sinh làm quen từ từ, tạo động cơ để học sinh tiếp thu và vận dụng tốt hơn. Sau đây tôi xin được trình bày một số phương pháp giải phương trình vô tỉ và kèm theo các bài tập cùng dạng để học sinh rèn luyện thêm. B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: I. Phương pháp nâng lên lũy thừa: 1) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 2 3x+ − (1) Giải: Điều kiện: 2x - 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 2 (*) Ta có: (1) ⇔ 2 3 3x x− = − (2) Ta phải có: x - 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 (**) Với điều kiện (*) và (**) thì: (2) ⇔ 2x – 3 = (x – 3) 2 (3) 1 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS ⇔ 2x – 3 = x 2 – 6x + 9 ⇔ x 2 – 8x + 12 = 0 ⇔ (x – 2)(x – 6) = 0 ⇔ x 1 = 2; x 2 = 6 Giá trị x 1 = 2 (loại) vì không thỏa mãn (**) Giá trị x 1 = 6 thỏa mãn (*) và (**) là nghiệm của phương trình (1) Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 6. Nhận xét: Nếu không đặt điều kiện (**) thì ta sẽ sai lầm khi nhận x = 2 là nghiệm của phương trình (1). Chú ý rằng từ phương trình (2) suy ra phương trình (3) nhưng từ phương trình (3) suy ra phương trình (2) phải có điều kiện x ≥ 3. Do đó khi ghiair loại phương trình này cần chú ý cho học sinh đặt điều kiện để sao cho 2 vế của phương trình đều không âm rồi mới bình phương hai vế. Sau khi giải xong cần đối chiếu điều kiện để kết luận nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 3 2 1x x + + = 1 (4) Giải: Lập phương hai vế của phương trình và áp dụng hằng đẳng thức: (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) ta có: (4) ⇔ 2x + 1 + x + 3 3 3 3 (2 1).( 2 1 ) 1x x x x + + + = (5) Thay 3 3 2 1x x + + = 1 vào phương trình (5) ta được: 3 3 1 3 (2 1) 1x x x + + + = (6) ⇔ 3 (2 1)x x x + = − ⇔ 3 (2 1)x x x+ = − ⇔ 2 (2 1 ) 0x x x+ + = ⇔ 2 ( 1) 0x x + = ⇔ x 1 = 0; x 2 = -1 Thử lại: thay x 1 = 0 vào phương trình (4) ta thấy thỏa mãn thay x 2 = -1 vào phương trình (4) không thỏa mãn Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất là x = 0. Nhận xét: Các phương trình (4) và (5) tương đương, nhưng phương trình (5) và (6) không tương đương. Từ (5) ⇒ (6) nhưng từ (6) không suy ra được (5). Do đó giáo viên cần lưu ý cho học sinh biến đổi phương trình loại này mà không tương đương được thì sau 2 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS khi giải được nghiệm của phương trình (5) là x = 0 và x = -1 cần phải thử các giá trị đó vào (4) để chọn ra nghiệm của phương trình (4). 2) Bài tập luyện thêm: Giải các phương trình sau: a) 2 4 8 1x x x− = − b) 3 4 1x x+ − − = c) 3 3 1 7 2x x+ + − = II. Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. 1) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 1 2 1 2x x x x + − + − − = (1) Giải: Điều kiện x ≥ 1. Biến đổi phương trình (1) ta có: (1) ⇔ 1 2 1 1 1 2 1 1 2x x x x − + − + + − − − + = ⇔ 1 1 1 1 2x x− + + − − = ⇔ 1 1 1 1x x− + − − = (2) * Nếu x > 2 thì (2) ⇔ 1 1 1 1x x− + − − = ⇔ 1 1x − = ⇒ x = 2 không thuộc khoảng đang xét. * Nếu 1 2x ≤ ≤ thì (2) ⇔ 1 1 1 1x x− + − − = phương trình này có vô số nghiệm trong đoạn 1 2x ≤ ≤ . Vậy phương trình (1) có vô số nghiệm 1 2x ≤ ≤ . Nhận xét: Sau khi biến đổi phương trình (1) về phương trình (2) có thể viết phương trình (2) dưới dạng 1 1 1 1x x− − = − − Áp dụng BĐT A A≥ để giải, dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi 0A ≥ Khi đó: 1 1 0 1 1 2x x x− − ≥ ⇔ − ≤ ⇒ ≤ . Kết hợp với điều kiện ba đầu 1x ≥ . Ta có nghiệm của phương trình (1) là: 1 2x ≤ ≤ . 3 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS Đối với phương pháp giải này ta thường áp dụng cho các phương trình mà biểu thức dưới dấu căn đưa về được hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu rồi áp dụng hằng đẳng thức 2 A A= để giải. 2) Bài tập tự luyện thêm: a) 2 2 4 4 6 9 1x x x x− + + − + = b) 4 4 9 6 1x x x x+ − + + − = c) 6 4 2 11 6 1x x x x+ − + + + − = III.Phương pháp đặt ẩn phụ. 1) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2 3 21 18 2 7 7 2x x x x+ + + + + = (1) Giải: Điều kiện: 2 7 7 0x x+ + ≥ Đặt 2 7 7 0x x y+ + = ≥ thì 2 2 7 7x x y+ + = . Khi đó: (1) ⇔ 3y 2 – 3 + 2y = 2 ⇔ 3y 2 + 2y – 5 = 0 ⇔ (y – 1)(3y + 5) = 0 ⇔ 1 1y = ; 2 5 3 y = − (loại) Khi đó: 2 7 7 1x x+ + = ⇔ 2 7 6 0x x+ + = ⇔ 1 2 ( 1)( 6) 0 1; 6x x x x+ + = ⇔ = − = − Các giá trị x 1 = -1; x 2 = - 6 thỏa mãn 2 7 7 0x x+ + ≥ . Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x 1 = -1; x 2 = - 6. Nhận xét: Đối với cách giải này giáo viên cần chú ý cho học sinh cách đặt ẩn phụ thích hợp, điều kiện của ẩn phụ để có thể đưa phương trình về phương trình đơn giản hơn hoặc phương trình không chứa căn thức. Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 3 25 3 4x x+ + − = (2) Giải: Đặt 3 25 x a+ = ; 3 3 x b− = . Ta có a + b = 4 ⇒ b = 4 – a và a 3 + b 3 = 25 + x + 3 – x = 28. Ta có: (2) ⇔ a 3 + b 3 = 28 ⇔ (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = 28 (3) Thay a + b = 4 và b = 4 – a vào phương trình (3) ta có: 2 2 (4 ) (4 ) 28a a a a   − − + − =   2 4 3 0a a⇔ − + = ⇔ 1 2 ( 1)( 3) 0 1; 3a a a a− − = ⇔ = = 4 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS *Với a 1 = 1 khi đó 3 1 25 1 25 1 24x x x + = ⇔ + = ⇔ = − *Với a 2 = 3 khi đó 3 2 25 3 25 27 2x x x + = ⇔ + = ⇔ = Nhận xét: Giáo viên cần lưu ý cho học sinh có thể chọn hai ẩn phụ trong một bài toán miễn rằng đưa về được biểu thức đơn giản hơn hoặc không chứa căn thức nữa. 2) Bài tập luyện thêm: Giải các phương trình: a) 2 2 2 5 2 1x x x x − + = − − b) 3 2 1 1x x− + − = c) 3 3 3 6 1x x+ − − = IV. Phương pháp hệ phương trình: 1) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 2 1 3x x− + + = (1) Giải: Điều kiện x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1 (*) Đặt 3 2x y− = ; 1x z+ = . Khi đó: x – 2 = y 3 ; x + 1 = z 2 nên z 2 – y 3 = 3, phương trình đã cho có thể đưa về hệ phương trình sau: 2 3 3 3 0 y z z y z + =   − =   ≥  Rút z từ phương trình (2) ta có z = 3 – y. Thay vào phương trình (3) ta có: 3 2 2 6 6 0 ( 1)( 6) 0y y y y y− + − = ⇔ − + = 1 2y z⇔ = ⇒ = thỏa mãn (4). Từ đó x = 3 thỏa mãn (*). Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = 3. Nhận xét: Khi giải phương trình dạng này giáo viên cần lưu ý cho học sinh hội tụ các điều kiện của bài toán lập thành một hệ, chúng ta phải giải và tìm các yếu tố thỏa mãn hệ phương trình đó rồi kết luận nghiệm của phương trình. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 1 1 2 2 x x + = − (2) Giải: Điều kiện: 0x ≠ ; 2 2x− ≤ ≤ (a) 5 (2) (3) (4) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS Đặt 2 2 ( 0)x y y− = > (b) ⇒ 2 – x 2 = y 2 Phương trình đã cho có thể đưa về hệ phương trình sau: 2 2 2 1 1 2 x y x y  + =   + =   (I) Đặt S = x + y; P = x.y hệ phương trình (1) trở thành hệ: 2 2 2 2 S P S P  − =  =  (II) Dễ dàng tìm được hệ phương trình (II) có nghiệm P = 1; S = 2 và P = 1 2 − ; S = -1 *Với P = 1; S = 2 thì x; y là nghiệm của phương trình: x 2 – 2x + 1 = 0 ⇔ (x – 1) 2 = 0 ⇔ x = 1; do đó x = 1; y = 1 TMĐK (a) và (b) *Với P = 1 2 − ; S = -1 thì x; y là nghiệm của phương trình: x 2 + 2x – 1 = 0. Giải phương trình này ta được 1 2 1 3 1 3 ; 2 2 x x − + − − = = ; Do y > 0 nên 1 3 1 3 ; 2 2 x y − − − + = = thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình (2) là: x = 1; x = 1 3 2 − − . 2) Bài tập rèn luyện thêm: Giải các phương trình sau: a) 3 3 2 2 1 1x x− = + b) 3 3 3 1 2 3 0x x x+ + + + + = V. Phương pháp bất đẳng thức: Đối với phương pháp bất đẳng thức có thể sử dụng để giải nhiều dạng phương trình vô tỉ. Ta xét một số dạng sau: Dạng 1: Giải phương trình vô tỉ bằng cách đánh giái hai vế. Xét phương trình ( ) ( ) f x g x= xác định trên miền D 6 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) f x m x g x m x ≥   ≤  mọi x thuộc D thì ( ) ( ) f x g x= với mọi x thuộc D tương đương với: ( ) ( ) ( ) ( ) f x m x g x m x =   =  1) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2 2 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x + + + + + = − − (1) Giải: Ta có VT = 2 2 3 6 7 5 10 14x x x x+ + + + + 2 2 3( 1) 4 5( 1) 9 4 9 5x x= + + + + + ≥ + = ; VP = 4 – 2x – x 2 = 5 – (x + 1) 2 ≤ 5 Do đó để 2 2 2 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x + + + + + = − − thì cả hai vế phải đều bằng 5, xảy ra khi x = -1 Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = -1 Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 2 2 2 1 3 1 1 (7 4) 2 2 x x x x x x x− + − − + = − + (2) Giải: Điều kiện: 1x ≥ hoặc 1 3 x ≤ − Ta biến đổi vế trái: Áp dụng BĐT Bunhiacovski cho hai bộ số (1; 1; -x) và ( 2 2 2 3 1; ; 1)x x x x− − + ; ta có: 2 2 2 2 2 3 1 1 ( 2)(5 )x x x x x x x x− + − − + ≤ + − Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = -1. Do x ≥ 1 hoặc 1 3 x ≤ − nên 5x 2 – x > 0 Biến đổi vế phải: Áp dụng BĐT Côsi ta có: 2 2 2 1 1 (7 4) 5 2( 2) 2 2 2 2 x x x x x   − + = − + + ≥   2 2 1 .2 (5 ).2( 2) 2 2 x x x− + = 2 2 (5 ).2( 2)x x x − + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = -1 và x = 4 3 Vậy nghiệm của phương trình (2) là x = -1. 7 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS Nhận xét: Khi giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá hai vế ta có thể sử dụng các BĐT như Côsi, Bunhiacovski để đánh giá từng vế, đặc biệt là dựa vào điều kiện xẩy ra dấu “=” của chúng. 2) Bài tập rèn luyện thêm: Giải các phương trình sau: a) 1 5 1 3 2x x x − − − = − b) 4 1 2 4 1 x x x x − + = − c) 2 4 4 4 1 1 1 3x x x − + + + − = Dạng 2: Giải phương trình vô tỉ bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số Với cách giải này ta thường dự đoán nghiệm của phương trình và chứng minh đó là nghiệm duy nhất của phương trình. 1) Ví dụ: Ví dụ 3: Giải phương trình: 4 8 4 3 4x x + = − − (3) Giải: Điều kiện x < 3 Ta thấy x = 2 là nghiệm đúng của phương trình (3). Thật vậy: *Với 2 < x < 3; ta có: 4 2 3 x > − và 8 2 4 x > − nên 4 8 4 3 4x x + > − − Do đó phương trình (3) không có nghiệm trong khoảng (2; 3) *Với x < 2; ta có: 4 2 3 x < − và 8 2 4 x < − nên 4 8 4 3 4x x + < − − Do đó phương trình (3) không có nghiệm trong khoảng (- ∞ ;2) Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất là x = 2. Nhận xét: Để giải phương trình vô tỉ bằng cách này điều quan trọng nhất mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh là phải đoán được nghiệm của nó. Để đoán được nghiệm ta cần chia khoảng chứa nghiệm và xét trường hợp đặc biệt để tìm ra nghiệm của phương trình. Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 3 1 1x x+ + > (4) Giải: Ta thấy rằng x = 0 là nghiệm đúng của phương trình (4). Thật vậy: 8 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS *Với x > 0 thì 3 1 1x + > và 3 0x > nên 3 3 1 1x x+ + > Do đó phương trình (4) không có nghiệm trong khoảng (0;+ ∞ ) *Với x < 0 thì 3 1 1x + < và 3 0x < nên 3 3 1 1x x+ + < Do đó phương trình (4) không có nghiệm trong khoảng (- ∞ ;0) Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất là x = 0. 2) Bài tập rèn luyện thêm: Giải các phương trình sau: a) 2 2 3 (2 9 3) (4 2)(1 1 ) 0x x x x x+ + + + + + + = b) 3 3 3 6 1x x+ − − = c) 3 3 3 1 2 3 0x x x+ + + + + = VI. Phương pháp dung biểu thức liên hợp Ta biết rằng ( )( )a b a b a b+ − = − với a ≥ 0, b ≥ 0 trong đó a b+ và a b− là hai biểu thức liên hợp của nhau mà xuất hiện nhân tử chung với một biểu thức khác của phương trình thì sau khi đặt nhân tử chung ta chuyển về phương trình đơn giản hơn. 1) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 4 1 3 2 5 x x x + + − − = (1) Giải: Điều kiện: 4 1 0 2 3 2 0 3 x x x + ≥  ⇒ ≥  − ≥  Từ đó x + 3 > 0. Ta nhận thấy (4x + 1) – (3x – 2) = x + 3; Nhân cả hai vế của phương trình (1) với biểu thức liên hợp của vế trái (biểu thức liên hợp này luôn luôn dương) thì xuất hiện nhân tử chung của hai vế là x + 3. Ta có: (1) ⇔ 3 3 ( 4 1 3 2) 5 x x x x + + = + + − ⇔ ( 3)( 4 1 3 2 5) 0x x x+ + + − − = ⇒ 4 1 3 2 5x x+ + − = (do x + 3 > 0) (2) Ta có thể giải phương trình (2) theo phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Ta nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình (2). Thật vậy: *Với x > 2 thì 4 1 3x + > và 3 2 2x − > nên 4 1 3 2 5x x+ + − > Do đó phương trình (2) không có nghiệm trong khoảng (2;+ ∞ ) 9 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS *Với 2 2 3 x≤ < thì 4 1 3x + < và 3 2 2x − < nên 4 1 3 2 5x x+ + − < Do đó phương trình (2) không có nghiệm trong 2 ;2 3   ÷    Thử lại ta thấy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2. Nhận xét: Phương trình (2) ta có thể giải theo phương pháp bình phương hai vế đưa về phương trình bậc hai để giải. Ví dụ 2: Giải phương trình: 12 13 4 13 1x x x+ − + = + (3) Giải: Điều kiện 12 13 0 4 13 0 1 1 0 x x x x + ≥   + ≥ ⇒ ≥ −   + ≥  Nhân cả hai vế của phương trình (3) với biểu thức lien hợp của vế trái ( biểu thức này luôn dương) ta được phương trình: 8 1( 12 13 4 13)x x x x= + + + + Từ (3) ta có phương trình: 1 1( 12 13 4 13)x x x x+ = + + − + Trừ từng vế của hai phương trình trên ta có phương trình: 7 1 2 ( 1)(4 13)x x x− = + + (4) Dùng phương pháp nâng lên lũy thừa đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai rồi giải ta tìm được nghiệm là: 1 2 17 3; 33 x x − = = . Thử lại thấy 2 17 33 x − = không thỏa mãn (3). Vậy pt (3) có nghiệm duy nhất là x = 3 2) Bài tập rèn luyện thêm: Giải các phương trình sau: a) 2 2 2 16 18 1 2 4x x x x+ + + − = + b) 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − + c) 2 2 2 2 2 1 3 3 17 4 3 2 4 3x x x x x x x x+ − + + − = + − + + − C-KẾT LUẬN: Trên đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ mà bản thân tôi đã đúc rút được qua quá trình giảng dạy môn Toán 9 và tìm tòi các tài liệu tham khảo. Tôi nhận thấy khi các em học sinh lớp 9 được trang bị những cách giải phương trình vô tỉ như trình bày 10 [...].. .Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS ở trên thì hầu hết các em tự tin, không lung túng nữa khi các em gặp phương trình vô tỉ và có thể nói đa số các em giải tốt hơn Tuy rằng, ngoài các phương pháp và các ví dụ tôi đã nêu trong bài viết này còn có các phương pháp và các ví dụ hay hơn mà bản than tôi chưa được tìm... mà bản than tôi chưa được tìm hiểu đến Rất mong sự đóng góp ý kiến của tất cả các đồng nghiệp để kinh nghiệm này ngày càng hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán nói chung và phương pháp giải phương trình vô tỉ nói riêng Thạch Hà, ngày 5 tháng 3 năm 2010 11 . Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ DẠY CHO HỌC SINH CẤP THCS A – ĐẶT VẤN ĐỀ: Qua dự. 4 3 Vậy nghiệm của phương trình (2) là x = -1. 7 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS Nhận xét: Khi giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá hai vế. giải phương trình vô tỉ như trình bày 10 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạy cho học sinh ở cấp THCS ở trên thì hầu hết các em tự tin, không lung túng nữa khi các em gặp phương trình