http://baigiangtoanhoc.com Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia Chuyên đề: TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP 2 ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Trường THPT chuyên Hưng Yên Phần I: Tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2. I. LÝ THUYẾT: Đó là các dãy số thực có dạng n 2 n 1 n u au bu     (*) với mọi n 0  , trong đó a và b là các hằng số thực. Cách xác định số hạng tổng quát của dãy như sau: Xét phương trình ẩn t sau đây: 2 t at b 0    (**) được gọi là phương trình đặc trưng của (*). Phương trình có biệt thức 2 a 4b    . Trường hợp 1: 2 a 4b 0     khi đó (**) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2 t ;t . Số hạng tổng quát của (*) có dạng n n n 1 2 u x.t y.t   , với mọi n 0  và x, y là hai số thực tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước 0 u và 1 u . Trường hợp 2: 2 a 4b 0     khi đó (**) có một nghiệm kép thực t. Số hạng tổng quát của (*) có dạng n n 1 n u x.t y.nt    , với mọi n 0  ( ở đây ta qui ước 1 0 0   ) và x, y là hai số thực tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước 0 u và 1 u . Trường hợp 3: 2 a 4b 0     , ( **) có hai nghiệm phức. Thuật toán làm trong trường hợp này như sau: Bước 1: Giải phương trình 2 t at b 0    và nhận được nghịêm phức a i z . 2    Bước2: Đặt r = | z | là module của z, còn Argz   , ta nhận được n n u r (pcosn qsin n )    với mọi p, q là các số thực. Bước 3: Xác định p, q theo các giá trị cho trước 0 1 u ;u . Về cơ sở lí thuyết của cách làm trên được chứng minh bằng kiến thức của đại số tuyến tính. Ở đây, tôi xin trình bày chứng minh trường hợp 1 và trường hợp 2 bằng kiến thức trung học phổ thông. Trường hợp 1: 0   (**) có hai nghiệm phân biệt 1 2 t ,t khi đó theo định lí Vi-et ta có: 1 2 1 2 t t a t t b        . Khi đó n 1 1 2 n 1 2 n 1 u (t t )u t t u      2 n n 1 1 n 2 n 1 n 1 2 n 1 1 n 2 2 1 1 0 u t u t (u t u ) t (u t u ) t (u t u )              . Như vậy n n 1 1 n 2 1 1 0 u t u t (u t u )     (1); Tương tự n n 1 2 n 1 1 2 0 u t u t (u t u )     (2). Trừ từng vế (2) cho (1) ta có: http://baigiangtoanhoc.com Chuyờn ụn thi hc sinh gii Quc gia n n 1 2 n 1 2 0 1 1 1 0 2 (t t )u (u t u )t (u t u )t . Do 1 2 t t nờn n n 1 2 0 1 1 0 n 1 2 1 2 1 2 (u t u ) (u t u ) u t t t t t t . Vy n u cú dng n n n 1 2 u x.t y.t vi x,y l hai s thc. Trng hp 2: 0 khi ú 2 a b 4 , (**) cú nghim kộp a t 2 . Ta cú 2 n n 1 n n 1 n 1 n n n 1 1 0 u 2t.u t u u tu t(u tu ) t (u tu ) Nh vy n n 1 n 1 0 u tu t (u tu ) (3); Tng t n 1 n n 1 1 0 u tu t (u tu ) (4); n 2 n 1 n 2 1 0 u tu t (u tu ) (5); . 1 0 1 0 u tu u tu (n+3). Nhõn hai v ca (4) vi t, hai v ca (5) vi 2 t , , hai v ca (n+3) vi n t v cng li ta c: n 1 n n 1 0 1 0 u t .u n.t .(u tu ) . Do ú n u cú dng n n 1 xt yn.t vi x, y l hai s thc. II. CC V D: Vớ d 1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số thoả mãn: 0 1 n 2 n 1 n u 1,u 2 . 1 2 u u u , n 0 3 3 Gii: Phng trỡnh c trng 2 1 2 t t 0 3 3 ca dóy cú hai nghim thc phõn bit l 1 2 2 t ,t 1 3 . Do ú n n n 2 u x. y.( 1) 3 vi x,y . Ta li cú: 0 1 x y 1 9 x u 1 5 2 u 2 4 x y 2 y 5 3 . Vy n n n 9 2 4 u ( ) ( 1) , n 0. 5 3 5 Trong cụng thc tng quỏt (*), khi chn nhng giỏ tr a v b thớch hp ta cú th a ra toỏn thuc vo trng hp 2 v 3 c núi n trờn. Hoc l bng cỏch bin i n u ta cng cú th a ra c nhng toỏn khỏ hay. Chng hn trong bi trờn: http://baigiangtoanhoc.com Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia *) Đặt n n 1 u v  , 0 0 1 1 1 u 1 v 1;u 2 v 2       . n n 1 n 2 n 1 n n 2 n 2 n 1 n n n 1 1 2 1 1 2 3v v u u u v , n 0 3 3 v 3v 3v v 2v                     . Như vậy ta có đề toán mới như sau: Xác định số hạng tổng quát của dãy số thoả mãn: 0 1 n n 1 n 2 n n 1 1 v 1,v 2 3v v v , n 0. v 2v                  *) Đặt n n u ln v  , 2 0 0 1 1 u 1 v e;u 2 v e .       2 n 3 n 2 n 1 n n 2 n 1 n n 2 n 1 1 2 1 2 v u u u lnv lnv ln v v , n 0 3 3 3 3 v                  . Như vậy ta có đề toán mới như sau: Xác định số hạng tổng quát của dãy số thoả mãn: 2 0 1 2 n 3 n 2 n 1 v e,v e v v , n 0. v             Ví dụ 2: Tìm n u biết 1 2 n 1 n n u u a.u b.u c            . Trong đó: 2 a b 1, 0,a 1      . Giải: Từ (*) 2 2 n 1 n n n 1 n n u a.u b.u c u a.u b.u c 0           2 2 2 2 2 2 n 1 n n n 1 n n 1 n n (u a.u ) b.u c u 2.a.u .u a u b.u c             2 2 2 2 2 n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n u 2.a.u .u u (a b) c u 2.a.u .u u c              n 1   2 2 2 2 n 1 n n 1 n n n n 1 n 1 u 2.a.u .u u u 2.a.u .u u           2 2 n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 u u 2.a.u (u u ) (u u ).(u 2.a.u u ) 0                  (**) Bằng quy nạp ta CM được: 1 2 n n 1 n 1 u u u u u 0          n 1 n n 1 u 2.a.u u 0       Từ đó: 2 1 2 n 1 n n 1 u ;u a. b. c u 2.a.u u 0                  Ta tính được n u theo dạng (1). http://baigiangtoanhoc.com Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia Phần II: Áp dụng việc tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 trong một số bài toán về dãy số. Ví dụ 1: Cho dãy n (u ) thoả mãn 0 1 n 2 n 1 n u 0;u 1 . 1 u u u ,n 0 2             Tìm n limu . Giải: Phương trình đặc trưng của dãy là 2 1 t t 0 2    có một nghiệm phức là 1 i t 2   ; |t|= 1 2 , Argt= 4  . Do đó số hạng tổng quát của dãy có dạng n n 2 n n u (x.cos ysin ),n 0;x,y . 2 4 4              Từ giả thiết 0 1 u 0;u 1   ta suy ra x= 0; y= 2. Vậy số hạng tổng quát của dãy là n n n n n 2 2 n u 2sin ( ) sin ,limu 0 4 2 4 ( 2)      vì n n 2 | u | 0. ( 2)   Ví dụ 2: Cho dãy n (x ) thoả mãn 0 1 n 1 n n 1 x 1;x 5 . x 6x x , n 1            Hãy tìm n n limx { 2x }. Giải: Bằng phương pháp xác định số hạng tổng quát ở trên, ta xác đinh được số hạng tổng quát của dãy là n n n 2 2 2 2 x ( )(3 2 2) (3 2 2) 4 4             . Hay 2n 1 2n 1 n 1 1 x ( 2 1) ( 2 1) 2 2 2 2       2n 1 2n 1 n 2n 1 2n 1 2n 1 n 2n 1 2n 1 2n 1 k 2n 1 k k 2n 1 k k n 2n 1 2n 1 k 0 k 0 1 1 2x ( 2 1) ( 2 1) 2 2 2 1 2x ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) 2 1 2x ( 2 1) C ( 2) C ( 2) ( 1) 2                                               http://baigiangtoanhoc.com Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia 2n 1 n 2t 1 2n 1 2k 1 2t 1 (n t) 2n 1 2n 1 2t 1 1 t 0 C ( 2) C 2 .                   n 2n 1 2t 1 (n t) n 2n 1 t 0 2x ( 2 1) C 2             n 2n 1 2t 1 n t n 2n 1 t 0 2n 1 2n 1 n n n 0 2 1 1 0 ( 2 1) 1 2x C .2 2x 2x ( 2 1) 2x ( 2 1)                                     2(2n 1) 4n 2 n n 4n 2 n n 1 1 x 2x (1 ( 2 1) ) (1 ( 2 1) ) 2 2 2 2 1 1 1 limx 2x lim( 2 1) . 2 2 2 2 2 2               Ví dụ 3: Cho dãy số n u được xác định như sau: n n n (2 3) (2 3) u ;n 0,1,2 2 3      a. Chứng minh rằng n u là số nguyên với mọi n = 0, 1, 2, …. b. Tìm tất cả số hạng của dãy chia hết cho 3. Giải: a) Với 0 1 n 0 u 0;n 1 u 1.       Đặt 2 3; 2 3       , ta có 4 . 1          Dễ thấy n u là số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức: 0 1 n 2 n 1 n u 0;u 1 u 4u u 0           Do 0 1 u 0;u 1     ; n 2 n 1 n u 4u u     nên n u   , n 0,1,   . b) Ta có n 2 n 1 n 1 n u 3u (u u )       . Do n 1 u    nên n 2 n 1 n u u u     (mod 3). Bằng phép tính trực tiếp ta thấy 8 số hạng đầu tiên của dãy 0 1 7 u ,u , ,u khi chia cho 3 có các số dư tương ứng là 0,1,1,0,2,2,0,1. Suy ra n 6 n u u   (mod 3). Từ đó ta thấy trong dãy số nói trên mọi số hạng có dạng 3k u , k=0,1,2… chia hết cho 3 và chỉ những số hạng ấy mà thôi. http://baigiangtoanhoc.com Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia Ví dụ 4: (Thi HSG QG năm 2011): Cho dãy số nguyên n (a ) xác định bởi: a 0 = 1, 1 n n 1 n 2 a 1,a 6a 5a       với mọi n 2  . Chứng minh rằng 2012 a 2010  chia hết cho 2011. Giải: Cách 1: Xét dãy ( n b ) được xác định như sau: 0 1 n n 1 n 2 b 1;b 1;b 6b 2016b        , với mọi n 2  . Dãy này có phương trình đặc trưng là 2 x 6x 2016 0    có hai nghiệm là x = -42, y = 48. Từ đây suy ra số hạng tổng quát của dãy là n n n 41.48 49.( 42) b , n . 90       Ngoài ra, ta cũng dễ dàng chứng minh bằng qui nạp rằng n n a b (mod2011), n .     Do đó ta chỉ cần chứng minh 2012 b 1 0(mod2011)   . Ta có: 2012 2012 2012 41.48 49.( 42) 90 b 1 . 90      Do 2011 là số nguyên tố và 2011, 90 là hai số nguyên tố cùng nhau nên ta chỉ cần chứng minh: 2012 2012 41.48 49.( 42) 90 0(mod2011).     (1) Mà theo định lí Fermat nhỏ , ta có 2012 2012 2 2 41.48 49.( 42) 90 41.48 49.42 90(mod2011)       = 90. 2 b +90 = 90 [6(-1)+2016.1]+90 = 90.2010 + 90 = 90.2011  0 (mod 2011). Vậy (1) đúng, bài toán được chứng minh. Cách 2: Phương trình đặc trưng của dãy đã cho là 2 x 6x 5 0    có hai nghiệm là 3 14  và 3 14  , do đó ta tìm được số hạng tổng quát của dãy là n a  n n (7 2 14)(3 14) (7 2 14)(3 14) 14      n 1 n 1 n n ( 7 14)(3 14) (7 14)(3 14) 14 u 2v .             Trong đó n 1 n 1 n 1 n 1 n n (3 14) (3 14) (3 14) (3 14) u ,v 2 2 14             Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn, ta có http://baigiangtoanhoc.com Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia 1005 1005 2k 2011 2k k 2011 2k 2011 2k k 2012 2011 2011 k 0 k 1 u C 3 14 3 C 3 14 .          Do 1<2k<2011 với 1 k 1005   và 2011 là số nguyên tố nên 2k 1 2k 2010 2011 C C 2011( ) 2011 2k    Mặt khác, theo định lí Fermat nhỏ thì 2011 3 3  (mod 2011). Do vậy, kết hợp các lập luận lại với nhau ta được 2012 u 3  (mod 2011) (2) Tương tự với n v , ta cũng sử dụng khai triển Niu-Tơn và thu được 1006 1005 2k 1 2012 2k k 1 2k 1 2012 2k k 1 2012 2011 2011 k 1 k 1 v C 3 14 C 3 14 .             Đến đây, cũng bằng cách sử dụng tính nguyên tố của 2011, ta thấy 2k 2 2k 1 2010 2011 C C 2011 2011 2k 1            Với   k 1,2, ,1005  . Vì vậy 1005 2012 v 14  (mod 2011). Do 2 2 14 2025 2011 45 2011 45      (mod 2011) nên áp dụng định lí Fermat nhỏ, ta có 1005 2010 14 45 1   (mod 2011). Suy ra 2012 v 1  (mod 2011). (3) Từ (2) và (3), ta có 2012 a 2010 3 2.1 2010 0       (mod 2011) Bài toán được chứng minh xong. Ví dụ 5: Cho ( n u ) xác định:   1 2 n 1 n n 1 u 7 u 50 u 4.u 5.u 1975 1             CMR: 1996 u chia hết 1997 Giải: Tìm công thức xác định số hạng TQ: Xét dãy n n n 1 n n 1 1975 x u x 4.x 5.x 8        . http://baigiangtoanhoc.com Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi Quốc gia Chuyên đề: TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP 2 ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Trường THPT chuyên Hưng Yên . được số hạng tổng quát của dãy là n n n 2 2 2 2 x ( )(3 2 2) (3 2 2) 4 4             . Hay 2n 1 2n 1 n 1 1 x ( 2 1) ( 2 1) 2 2 2 2       2n 1 2n 1 n 2n 1 2n 1 2n 1 n 2n. Áp dụng việc tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 trong một số bài toán về dãy số. Ví dụ 1: Cho dãy n (u ) thoả mãn 0 1 n 2 n 1 n u 0;u 1 . 1 u u u ,n 0 2        