SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN I NĂM 2012 TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 4 Môn: Toán khối A, B Thời gian:180 phút không kể thời gian giao đề. I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I. (2điểm) Cho hàm số ( ) 3 2 3 1 12 3 4y x m x mx m= − + + − + (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0. 2. Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm 9 1; 2 C   − −     lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm. Câu II. (2điểm) 1. Giải phương trình: ( ) 3 cos 1 2 3sin 2 cos3 4cos 2 2 x x x x π   + = − −     . 2. Gi ả i h ệ ph ươ ng trình. ( ) ( ) 2 2 3 8 5 8 3 13 x y y x x x y y  + + + =   + + + =   Câu III. (1điểm) Tính tích phân: 2 4 2 3 sin 1 cos cos x x I dx x π π − − = ∫ Câu IV. (1điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. Biết AB = 2a, AD =a, DC = a (a > 0) và SA ⊥ mặt phẳng đáy (ABCD). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng (SBC) với đáy bằng 45 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B tới mặt phẳng (SCD) theo a. Câu V. (1điểm) Cho các số dương a, b, c thoả mãn điều kiện 2 2 2 4a b c abc+ + + = . Ch ứ ng minh r ằ ng 3a b c+ + ≤ . II. PHẦN RIÊNG. (3điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần. 1. Theo chương trình chuẩn. Câu VIa. (2 đ i ể m). 1. Trong m ặ t ph ẳ ng Oxy cho hình vuông ABCD có tâm 3 1 ; 2 2 I       . Các đườ ng th ẳ ng AB, CD l ầ n l ượ t đ i qua các đ i ể m ( ) 4; 1M − − , ( ) 2; 4N − − . Tìm to ạ độ các đỉ nh c ủ a hình vuông đ ó bi ế t B có hoành độ âm. 2. Tìm m để ph ươ ng trình sau có nghi ệ m th ự c: ( ) 2 9 2 4 2 2 x m x x + − = − + + Câu VIIa . (1 đ i ể m). Trong m ặ t ph ẳ ng to ạ độ Oxy. Ở góc ph ầ n t ư th ứ nh ấ t ta l ấ y 2 đ i ể m phân bi ệ t, c ứ th ế ở các góc ph ầ n t ư th ứ hai, th ứ ba, th ứ t ư ta l ầ n l ượ t l ấ y 3, 4, 5 đ i ể m phân bi ệ t (các đ i ể m không n ằ m trên các tr ụ c to ạ độ ). Trong 14 đ i ể m đ ó ta l ấ y 2 đ i ể m b ấ t k ỳ . Tính xác su ấ t để đ o ạ n th ẳ ng n ố i hai đ i ể m đ ó c ắ t c ả hai tr ụ c to ạ độ . 2. Theo chương trình nâng cao. Câu VIb . (2 đ i ể m). 1. Trong m ặ t ph ẳ ng t ọ a độ Oxy, cho hình ch ữ nh ậ t ABCD có di ệ n tích b ằ ng 12, tâm I thu ộ c đườ ng th ẳ ng ( ) : 3 0d x y− − = và có hoành độ 9 2 I x = , trung đ i ể m c ủ a m ộ t c ạ nh là giao đ i ể m c ủ a (d) và tr ụ c Ox. Tìm t ọ a độ các đỉ nh c ủ a hình ch ữ nh ậ t. 2. Trong không gian Oxyz cho đườ ng th ẳ ng 1 1 : 1 2 1 x y z d − + = = − và hai đ i ể m ( ) ( ) 1;1; 2 , 1;0;2 .A B− − a. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (P) ch ứ a A và B đồ ng th ờ i song song v ớ i đườ ng th ẳ ng d. b. Qua A vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng ( ) ∆ vuông góc v ớ i d sao cho kho ả ng cách t ừ B t ớ i ( ) ∆ là nh ỏ nh ấ t. Câu VIIb . (1 đ i ể m). Cho hai s ố ph ứ c liên h ợ p nhau 1 2 , z z tho ả mãn đ i ề u ki ệ n 1 2 2 z z là m ộ t s ố th ự c và 1 2 2 3z z− = . Tìm s ố ph ứ c z 1 . H ế t http://kinhhoa.violet.vn ĐÁP ÁN TOÁN LẦN 1 CÂU N ỘI DUNG ĐIỂM Với 0 m = ta có hàm số 3 2 3 4 y x x = − + * TX Đ: D = ℝ * S ự biến thiên. 2 ' 3 6 y x x = − , nên ' 0 0 y x = ↔ = hoặc 2 x = 0,25 - Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ;0 −∞∞ và ( ) 2; +∞ , nghịch biến trên ( ) 0;2 - C ực trị. Cực đại ( ) 0;4 ; cực tiểu ( ) 2;0 - Gi ới hạn. lim , lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ 0,25 - B ảng biến thiên. x −∞ 0 2 +∞ y’ + 0 - 0 + y 4 +∞ −∞ 0 0,25 1 * Đồ thị. y Giao v ới Ox : ( ) ( ) 1;0 ; 2;0 − 4 Giao v ới Oy : ( ) 0;4 Các điểm khác ( ) ( ) 1;2 ; 3;4 -1 x 2 0,25 Ta có ( ) 2 ' 3 3 1 12 y x m x m = − + + . Hàm số có hai cực trị khi y’ đổi dấu hai lần, khi đó y’ = 0 có hai nghi ệm phân biệt nên ( ) 2 1 0 1 m m ∆ = − > ↔ ≠ 0,25 Khi đó hai cực trị là ( ) ( ) 3 2 2;9 , 2 ; 4 12 3 4 A m B m m m m − + − + 0,25 Theo bài ra ta có. 3 2 2 2 1 0 1 9 2 4 12 6 4 0 2 m m m m m + − =   ↔ = −  − + + + − =   thỏa mãn 0,25 I. 2 Khi đó dễ thấy A, B, C là tam giác nh ận O làm tr ọng tâm 0,25 PT cos 2 3sin 2 cos cos3 4sin2 x x x x x ↔ + = + ( ) 2 sin 2 sin 3cos 2 0 2 6 k x x x x x k π π π  =  ↔ + − = ↔   = +   0,5 II. 1. Vậy phương trình có các nghiệm. , 2 2 6 k x x k π π π = = + 0,25 ĐK của hệ: 2 2 3 0 8 0 x y y x  + ≥   + ≥   đặt ( ) 2 2 3 , 8 0, 0 a x y b y x a b = + = + ≥ ≥ Khi đó ta có hệ. 2 2 5 3 4 13 a b a b a b + = =   ↔   = + =   hoặc 4 3 a b =   =  0,25 Với 4 3 a b =   =  ta có. ( ) 2 2 2 4 2 1 4 3 4 3 8 9 8 72 65 0 y x x y y x x x x   = − + =   ↔   + =    − + − =  ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 4 3 1 5 4 13 0 y x x x x x  = −  ↔   − + − + =  0,25 hệ có hai nghiệm. ( ) ( ) ; 1;1 x y = và ( ) ( ) ; 5; 7 x y = − − 0,25 2. Với ( ) 2 2 2 4 2 1 9 3 9 3 8 4 18 72 45 0 y x x y y x x x x   = − + =   ↔   + =    − + − =  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 9 9 3 3 9 36 72 36 0 9 36 72 36 0 y x y x x x x x x x   = − = −   ↔ ↔     + − + − = + − + − =   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 9 9 0 3 3 9 6 6 0 3 6, 3 6 y x y x x x x x   = − = − =   ↔ ↔     + − − = = − + = − −   V ậy hệ có 4 nghiệm ( ) ( ) ; 1;1 x y = , ( ) ( ) ; 5; 7 x y = − − , ( ) ( ) ; 3 6;2 6 2 x y = − + − và ( ) ( ) ; 3 6;2 6 2 x y = − − + 0.25 * Ta có 4 4 2 2 2 3 3 sin sin 1 cos sin cos cos x x I xdx x dx x x π π π π − − = − = ∫ ∫ 0,25 = 0 4 2 2 0 3 sin sin sin sin cos cos x x x dx x dx x x π π − − = + ∫ ∫ 0,25 = 0 0 2 2 4 4 2 2 2 2 0 0 3 3 sin sin 1 1 1 1 cos cos cos cos x x dx dx dx dx x x x x π π π π − −     − + = − + −         ∫ ∫ ∫ ∫ 0,25 III. = ( ) ( ) 0 4 0 3 7 tan tan 3 1 12 x x x x π π π − − + − = − − 0,25 s * Ta có 2 AC a = nên tam giác ACD vuông t ại C → góc 0 45 SCA ∠ = do đó 2 SA a = - . 1 . 3 S ABCD ABCD V S SA = trong đó ( ) 2 1 3 2 2 ABCD a S AB DC AD= + = V ậy 2 3 . 1 3 2 2 3 2 2 S ABCD a a V a = = A B D C 0,5 * Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) . . 3 1 ; ; 3 S DCB S DCB BCD BCD V V S d B SCD d B SCD S = ↔ = 0,25 IV Trong đó 3 . 1 1 1 2 . . sin . 3 3 2 6 S BCD BCD a V S SA CB CD C SA = = = V ậy ( ) ( ) 3 . 2 3 2 6 ; 3 3 S DCB BCD V a a d B SCD S a = = = 0,25 Giả sử ( ) ( ) 1 1 0 1 a b a b ab − − ≥ ↔ + ≤ + khi đó ta chỉ cần chứng minh 2 2 c ab c ab ≤ − ↔ + ≤ 0,25 Theo giả thiết. 2 2 2 2 2 4 2 4 2 a b c abc ab c abc ab c abc = + + + ≥ + + ↔ ≥ + + 0,25 ( ) ( ) 2 2 0 2 0 c ab c ab c ↔ + + − ≤ ↔ + − ≤ đpcm D ấu bằng khi 1 a b c = = = . 0,25 V. Trong tr ường hợp ngược lại thì ( ) ( ) 1 1 0 b c − − ≥ hoặc ( ) ( ) 1 1 0 c a − − ≥ và làm tương tự 0,25 PH Ầ N RIÊNG 1. Theo chương trình chuẩn Gọi ( ) ' 7;2 M và ( ) ' 5;5 N là điểm đối xứng với M, N qua I . ta có ' N AB ∈ và ' M CD ∈ Nên đường thẳng AB có phương trình 2 3 5 0 x y − + = 0,25 Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB 1 ;2 2 H   →     0,25 Gọi ( ) ;A a b khi đó ta có ( ) 2 2 2 3 5 2 1 13 3 2 2 4 a b A AB a HA HI b a b − = −  ∈ =    ↔ ↔      = = − + − =         hay ( ) 2;3 A khi đó ( ) 1;1 B − 0,25 1. Bằng cách đối xứng A, B qua I ta có được ( ) ( ) 1; 2 , 4;0 C D − 0,25 Điều kiện. 2 2 x − ≤ ≤ Đặt 2 2t x x= − + + khi đó ta có 2 2 2t≤ ≤ 0,25 Bài toán quy về tìm m để phương trình 2 5t mt+ = trên 2;2 2     0,25 VIa. 2. Bằng việc xét hàm số ( ) 2 5x f x x + = trên đoạn 2;2 2     0,25 Ta có kết quả 13 2 2 5 4 m ≤ ≤ 0,25 Để đoạn thẳng nối hai điểm được chon cắt cả hai trục thì hai đầu đoạn thăng đó phải ở góc ph ần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư thứ hai và thứ bốn 0,25 Do vậy số cách chọn được số đoạn thẳng như vậy là 1 1 1 1 2 4 3 5 23 C C C C + = cách 0,25 Số cách chọn hai điểm bất kỳ 2 14 91 C = 0,25 VIIa. Vậy xác suất xẩy ra ở đề bài là: 23 91 0,25 2. Theo ch ương trình nâng cao I có hoành độ 9 2 I x = và ( ) 9 3 : 3 0 ; 2 2 I d x y I   ∈ − − = ⇒     Vai trò A, B, C, D là nh ư nhau nên trung đ i ể m M c ủ a c ạ nh AD là giao đ i ể m c ủ a (d) và Ox, suy ra M(3;0) ( ) ( ) 2 2 9 9 2 2 2 3 2 4 4 I M I M AB IM x x y y = = − + − = + = D 12 . D = 12 AD = 2 2. 3 2 ABCD ABC S S AB A AB = ⇔ = = ( ) AD d M AD ⊥    ∈   , suy ra phương trình AD: ( ) ( ) 1. 3 1. 0 0 3 0 x y x y − + − = ⇔ + − = . L ạ i có MA = MD = 2 . 0,5 V ậ y t ọ a độ A, D là nghi ệ m c ủ a h ệ ph ươ ng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 0 3 3 3 2 3 3 2 3 2 x y y x y x x y x x x y + − =  = − + = − +      ⇔ ⇔    − + = − + − = − + =       3 2 3 1 1 y x x x y = − =   ⇔ ⇔   − = ± =   ho ặ c 4 1 x y =   = −  .V ậ y A(2;1), D(4;-1), 1 9 3 ; 2 2 I       là trung đ i ể m c ủ a AC, suy ra: 2 9 2 7 2 2 3 1 2 2 A C I C I A A C C I A I x x x x x x y y y y y y +  =  = − = − =   ⇔   + = − = − =   =   T ươ ng t ự I c ũ ng là trung đ i ể m BD nên ta có: B(5;4). V ậ y t ọ a độ các đỉ nh c ủ a hình ch ữ nh ậ t là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1). 0,5 a. 0,5 VIb. 2. b. G ọ i (P) là m ặ t ph ẳ ng đ i qua A và vuông góc v ớ i d, G ọ i H là hình chi ế u vuông góc c ủ a B lên (P) khi đ ó đườ ng th ẳ ng đ i qua A và H th ỏ a mãn bài toán 0,5 G ọ i 1 z a bi = + ( ) , a b ∈ ℝ khi đ ó 2 z a bi = − T ừ đ i ề u ki ệ n c ủ a bài toán ta l ậ p h ệ ph ươ ng trình Tìm đượ c. 1 1 3 z i = ± + Hoặc 1 1 3 z i = ± − . …………………………… H ết ……………………………. . SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG LẦN I NĂM 2 012 TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 4 Môn: Toán khối A, B Thời gian:180 phút không kể thời gian giao đề. I. PHẦN CHUNG CHO TẤT. z 1 . H ế t http://kinhhoa.violet.vn ĐÁP ÁN TOÁN LẦN 1 CÂU N ỘI DUNG ĐIỂM Với 0 m = ta có hàm số 3 2 3 4 y x x = − + * TX Đ: D = ℝ * S ự biến thi n. 2 ' 3 6 y x x = − , nên. THÍ SINH Câu I. (2điểm) Cho hàm số ( ) 3 2 3 1 12 3 4y x m x mx m= − + + − + (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0. 2. Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai