hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn T LUYN THPT QUC GIA NM HC 2014- 2015 Mụn: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt Cõu *1.(2). Cho hm s 34 24 += xxy , gi th ca hm s l (C) . a)Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho . b)Da vo th (C) , tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh ( ) 022 2 2 =+ mx cú 4 nghim phõn bit. Cõu 2*.(1) a)Gii phng trỡnh: 2 2 sin 4 tan 2 cos 0 sin cos x x x x x + ữ + + = b)Tỡm phn thc v phn o ca s phc sau: ( ) ( ) 3 5 5 2 3 1 4 i z i i i = + + C õu 3*. (0,5 ). Gii bt phng trỡnh 2 2 2 1 2 1 4 (2 3) (2 3) 2 3 x x x x + + + = C õu 4. (1 ) Gii h phng trỡnh: ( ) ( ) 2 2 2 33 4 1 2 ( ; ) 12 10 2 2 1 x x y y x y y y x + + + + = + = + Ă C õu 5*. (1 ) Tớnh tớch phõn 2 1 3 2ln 1 ln e x x I dx x x x + + = + C õu 6. (1 ) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, tam giỏc SBD vuụng ti S v nm trong mt phng vuụng gúc vi mt phng (ABCD), gúc gia ng thng SB v mt phng ỏy bng 0 60 .Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD theo a.Tớnh khong cỏch gia hai ng thng SB v CD theo a. C õu 7. (1 ) Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng : 1 0d x y = v hai ng trũn: 2 2 1 ( ) : 6 8 23 0C x y x y + + + = ; 2 2 2 ( ): 12 10 53 0C x y x y+ + + = . Vit phng trỡnh ng trũn (C) cú tõm thuc ng thng d, tip xỳc trong vi ng trũn 1 ( )C tip xỳc ngoi vi ng trũn 2 ( ).C C õu 8*. (1 ) Trong khụng gian vi h trc to độ Oxyz cho 1 1 1 : , 2 1 1 x y z d = = 2 1 1 2 : 1 1 1 x y z d = = và điểm A( 1, 1,2) . Tìm toạ độ điểm ,B C lần lợt thuộc 1 d , 2 d sao cho đờng thẳng BC nằm trong mặt phẳng đi qua A và đờng thẳng 1 d , đồng thời 2AC AB= . Biết điểm B có hoành độ dơng. C õu 9*. (0,5 )Cho tp { } A 0;1;2;4;5;7;8= .Gi X l tp hp cỏc s t nhiờn cú 4 ch s phõn bit ly t A.Tớnh s phn t ca X.Ly ngu nhiờn mt s t tp X,tớnh xỏc sut s ly c l s chn. C õu 10. (1 ) Cho a, b, c l di 3 cnh ca mt tam giỏc. Chng minh rng: 2 2. 3 3 2 3 3 a a a b c a b a c a b c a c a b + + + + < + + + + + + hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ht H ng d n ch m C õu im C õu1.a 1.b TX : D = R xxy 84' 3 = == == = 1;2 3;0 0' yx yx y Kt lun ng bin nghch bin Lp bng bin thiờn ỳng th 4 2 -2 -4 -5 5 O 2 -2 3 -1 Phng trỡnh vit thnh : 1234 24 =+ mxx S nghim phng trỡnh l s giao im (C) v (d):y = - 2m -1 023121 <<<< mm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 C õu.2.a ĐK : cos2x 0. Biến đổi phơng trình ( ) 2 2 sin cos sin 2 cos .cos 2 0x x x x x x + + + = 2 cos .cos2 1 0pt x x = 2 cos 2 cos2 2 0pt x x + = cos2 1x = (thoả mãn ĐK) hoặc cos2x = -2 (vn) Với cos2x = 1 4 2 k x = + , k Z 0,25 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. 4 2 k x π π = + , k ∈ Z C âu.2.b Tìm phần thực và phần ảo của số phúc sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 5 2 3 1 4 3 5 1 4 15 2 5 6 1 16 1 17 18 i z i i i i i i i i i − = + − − − + − − = + − − − + + = − − + − + = − kết luận phần thực bằng -18, phần ảo bằng 0 0,25 0,25 C âu.3 pt 2 2 2 2 (2 3) (2 3) 4 x x x x− − ⇔ + + − = . +) Ta có: 2 2 2 2 2 2 (2 3) .(2 3) (4 3) 1, x x x x x x x − − − + − = − = ∀ ∈ ¡ . đặt 2 2 2 2 1 (2 3) 0 (2 3) x x x x t t − − = + > ⇒ + = . trở thành: 2 2 3 ( ) 1 4 4 1 0 . 2 3 ( ) t TM t t t t t TM  = − + = ⇔ − + = ⇔  = +   2 3t = + , ta có: 2 2 2 2 1 2 (2 3) 2 3 2 1 2 1 0 1 2 x x x x x x x x −  = − + = + ⇔ − = ⇔ − − = ⇔  = +   2 3t = − , ta có: 2 2 1 2 2 (2 3) (2 3) 2 1 2 1 0 1 x x x x x x x − − + = + ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ = . +) KL: 0,25 0,25 C âu.4 Gi ải h ệ ( ) ( ) 2 2 32 3 4 1 2 (1) 12 10 2 2 1 (2) x x y y y y x  + + + + =    − + = +  Ta có: 2 2 (1) 4 ( 2 ) 4 ( 2 ) (*)x x y y⇔ + + = − + + − . Xét hàm số đặc trưng 2 2 2 2 2 4 ( ) 4 '( ) 1 0. 4 4 4 t t t t t f t t t f t t t t + + + = + + ⇒ = + = > ≥ + + + Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R. Từ (*) suy ra: ( ) ( 2 ) 2f x f y x y= − ⇒ = − . Thay vào phương trình (2) ta được: ( ) ( ) ( ) 32 3 3 33 3 3 5 2 2 1 1 2 1 1 2 1 (**) x x x x x x x + + = + ⇔ + + + = + + + 0,25 0,25 0,25 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Xét hàm số 3 ( ) 2g t t t= + ta thấy g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy ra 3 3 0 1 1 1 x x x x =  + = + ⇔  = −  . Vậy hệ có hai nghiệm là 1 ( 1; ); (0;0) 2 − . C âu.5 Ph©n tÝch 2 1 3 2ln 1 ln e x x I dx x x x + + = + ∫ = 2 1 2( ln ) ln e x x dx x x x + + + ∫ 2 1 1 ln e x dx x x x + + ∫ TÝnh 2 1 2( ln ) ln e x x dx x x x + = + ∫ 2 1 1 e dx x = ∫ 2. TÝnh 2 1 1 ln e x dx x x x + + ∫ = 1 1 1 ln e x dx x x + = + ∫ 1 ( ln ) ln e d x x x x + = + ∫ 1 ln( ln ) ln( 1) e x x e+ = + VËy I = 2 + ln(e+1). 0,25 0,25 0,25 0,25 C âu.6 . +) Học sinh phải vẽ hình.+) 2 S ABCD a= . +) Gọi O = AC ∩ BD, H là hình chiếu của S trên BD. +) (ABCD) ∩ (SBD) = BD; (SBD)⊥(ABCD); SH⊥BD; SH⊂(SBD) ⇒ SH⊥(ABCD). +) BH là hình chiếu của SB trên (ABCD) ⇒ góc giữa SB và (ABCD) là · 0 60SBH = . +) · · 0 0 ; . 3 tan 60 tan30 3 tan tan SH SH SH SH SH HB HD SH SBH SDH = = = = = = 4 6 . 3 2 4 3 3 SH SH a HB HD SH BD a SH⇒ + = + = = = ⇒ = . Vậy: 3 2 . 1 1 6 6 . . . . . 3 3 4 12 S ABCD ABCD a a V SH S a= = = +) Ta có: CD // AB, AB ⊂ (SAB) ⇒ CD // (SAB) mà SB ⊂ (SAB). ⇒ d(SB,CD) = d(CD,(SAB)) = d(D,(SAB)). 0,25 0,25 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán +) 6 2 1 4 4 4 3 3 a SH a HB HB DB = = = ⇒ = ⇒ d(SB,CD) = d(D,(SAB)) = 4. d(H,(SAB)). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BM ⇒ OM ⊥ AB, H là trung điểm của OB ⇒ HN là đường trung bình của ∆OBM ⇒ HN // OM ⇒ HN ⊥ AB, lại có AB ⊥ SH vì SH⊥(ABCD) ⇒ AB ⊥ (SHN), kẻ HK ⊥ SN tại K, ta có: HK ⊥ AB và AB ⊥ (ABCD) ⇒ HK ⊥ (SAB) ⇒ d(H,(SAB)) = HK; 2 4 4 OM BC a HN = = = +) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 16 16 56 3 42 6 3 56 28 a a HK HK HK SH HN a a a = + = + = ⇒ = ⇒ = . +) Vậy: d(SB,CD) = 42 7 a . 0,25 C âu.7 +) 1 ( )C có tâm 1 (3; 4)I − , bán kính 1 2R = ; 2 ( )C có tâm 1 (3; 4)I − ,bán kính 2 2 2R = . +) Gọi I là tâm, R là bán kính của đường tròn (C). ( ; 1)I d I a a∈ ⇔ − . +) (C) tiếp xúc trong với 1 ( )C 1 1 (1)II R R⇔ = − . +) (C) tiếp xúc ngoài với 2 ( )C 2 2 2 2 (2)II R R R II R⇔ = + ⇔ = − . +) TH1: 1 R R> , (1) 1 1 R II R⇔ = + , từ (1) và (2) ta có: 1 1 2 2 II R II R+ = − 2 2 2 2 ( 3) ( 3) 2 ( 6) ( 6) 2 2 0a a a a a⇔ − + + + = + + − − ⇔ = (0; 1); 4 2I R⇒ − = ⇒ PT đường tròn (C): 2 2 ( 1) 32.x y+ + = +) TH2: 1 R R< , (1) 1 1 R R II⇔ = − , từ (1) và (2) ta có: 1 1 2 2 R II II R− = − 2 2 2 2 2 2 2 ( 3) ( 3) ( 6) ( 6) 2 2 9 36 3a a a a a a ⇔ − − + + = + + − − ⇔ + + + = (vô ng) +) KL: … 0,25 0,25 0,25 0,25 C âu.8 + 1 d ®i qua M( 0,1,1) vtcp 1 1 (2,1,1) ( 1, 2, 1) , ( 3,1,5)u AM u AM   = ⇒ = − − ⇒ = −   ur uuuur uuruuuur => (P) : -3x + y + 5z - 6 = 0 + Theo gi¶ thiÕt ( )C P∈ vµ 2 C d∈ => 2 ( )C d P= ∩ => C(-1,3,0) 0,25 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn C õu.9 + 1 B d => B(2t; 1+t; 1+t) . Ta có 24,AC = 2 6 2 6AB t t= + + AC = 2AB 2 6 2 6 6t t + = => t = 0 hoặc t = 1 3 Với t = 0 => B(0,1,1) ( loại) do hoành của B bằng 0. Với t = 1 3 => B( 2 , 3 4 , 3 4 3 ) thoả mãn. Vậy 2 điểm phải tìm C(-1,3,0) , B( 2 , 3 4 , 3 4 3 ) +) Xột cỏc s t nhiờn cú 4 ch s phõn bit ly t A, gi s cỏc s ú cú dng: , 0.abcd a Chn 0a , cú 6 cỏch chn, chn cỏc ch s , ,b c d a v xp th t cú: 3 6 120A = cỏch. cú tt c: 6.120 = 720 s t nhiờn nh vy. Vy s phn t ca X l: 720. S phn t ca khụng gian mu l: ( ) 720n = . +) Gi B l bin c: S t nhiờn c chn l s chn. +) Xột cỏc s t nhiờn chn cú 4 ch s phõn bit ly t A, gi s cỏc s ú cú dng: { } 1 2 3 4 1 4 , 0, 0;2;4;8a a a a a a . +) TH1: 4 0a = , cú 1 cỏch chn; chn cỏc ch s 1 2 3 , , 0a a a v xp th t cú 3 6 120A = cỏch chn TH1 cú: 1.120 = 120 s t nhiờn nh vy. +) TH2: { } 4 2;4;6a , cú 3 cỏch chn; chn { } 1 4 \ 0;a A a , cú 5 cỏch chn; chn cỏc ch s { } 2 3 1 4 , \ ;a a A a a v xp th t cú 2 5 20A = cỏch chn TH2 cú: 3.5.20 = 300 s t nhiờn nh vy. cú tt c: 120 + 300 = 420 s t nhiờn nh vy S phn t thun li cho bin c B l: n(B) = 420. +) Vy: ( ) 420 7 ( ) ( ) 720 12 n B P B n = = = . 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 C õu.10 +) Vỡ a, b, c l 3 cnh ca mt tam giỏc nờn ta cú: ; ;a b c b c a c a b+ > + > + > . +) t ; ; ( , , 0). 2 2 a b c a x y z a x y z + + = = = > Ta cú: ; ;x y z y z x z x y + > + > + > . 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán VT = 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 a c a b a x y z x y z a b a c a b c y z z x x y y z z x x y + + + + = + + = + + + + + + + + + + + + (1). Lại có: 2z ( ) 2z( ) z x y z z x y z x y x y z x y + > ⇔ + + < + ⇔ > + + + . CM tương tự ta có: 2 2 (2); (3). x x y y y z x y z z x x y z < < + + + + + + Từ (1),(2) và (3) ta có 2 2 2 2 x y z x y z y z z x x y x y z + + + + < = + + + + + ⇒ (đpcm). 0,25 0,25 0,25 . x x x + + = + ⇔ + + + = + + + 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Xét hàm số 3 ( ) 2g t t t= + ta thấy g(t). (SAB). ⇒ d(SB,CD) = d(CD,(SAB)) = d(D,(SAB)). 0 ,25 0 ,25 0 ,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán +) 6 2 1 4 4 4 3 3 a SH a HB HB DB =. (vn) Với cos2x = 1 4 2 k x = + , k Z 0 ,25 0 ,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. 4 2 k x π