hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. Câu 1* (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 − (m + 1)x + 5 − m 2 . 1) Khảo sát hàm số khi m = 2; 2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu và điểm I(0 ; 4) thẳng Câu 2* (1,0 điểm) 1. Giải phương trình: 3sin cos 2 cos2 sin 2 0x x x x− + − − = 2. Gọi 1 2 ; z z là 2 nghiệm phức của phương trình sau: 2 1 0,( )z z z C − + = ∈ Tính A= 1 2 z z + Câu 3* (0,5 điểm) Giải bất phương trình sau: ( ) ( ) 2 2 2 1 log log 2 log 6x x x+ + + > − Câu 4 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 3 2 3 5 2 3 2 3 4 2 x y x y x y x y  + + − − =   − − − + + =   ( ) ,x y ∈¡ Câu 5* (1,0 điểm). Tính tích phân sau: 3 0 3 3. 1 3 x dx x x − + + + ∫ Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc bằng 0 60 α = . Xác định rõ góc α và tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a . Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh BC,phương trình đường thẳng DM: x y 2 0− − = và ( ) C 3; 3− .Biết đỉnh A thuộc đường thẳng d :3x y 2 0+ − = ,xác định toạ độ các đỉnh A,B,D. Câu 8* (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) và hai đường thẳng 1 ( ): 1 2 3 x y z d + = = − − và 1 4 ( ') : 1 2 5 x y z d − − = = . Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. Câu 9* (0,5 điểm) Cho tập { } 0;1;2;3;4;5A = , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3. Câu 10 (1,0 điểm). Cho x, y, z 0≥ thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 3 3 3 3 16x y z P x y z + + = + + hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn P N Cõu í Ni dung im 1 1 HS t lm (HS lm cỏc bc) 1 2 Cú y = 3x 2 (m + 1). Hm s cú C, CT y = 0 cú 2 nghim phõn bit 3(m + 1) > 0 m > 1 (*) 0,25 Phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là 2 2 ( 1) 5 3 y m x m= + + 0,25 Cỏc im cc i, cc tiu v im I(0 ; 4) thng hng. 2 5 4 1 m m = = 0,5 2 1 2 sin x cos x 1 2sin x 2sin x 2sin x cos x 0 + + + = (1+2sinx)(sinx - cosx +1) = 0 0,25 2 sinx cos x 1 sin(x ) 4 2 1 sinx 1 sinx 2 2 = = = = 7 2 6 2 6 3 2 2 2 x k x k x k x k = + = + = + = k  0,25 2 1 2 1 8 1 8 ; 2 2 2 2 z i z i = + = 0.25 1 2 1 2 1 8 3 3 2 2 2 z z i z z = = = + = 0.25 3 K: 0 6x < < . BPT ( ) ( ) 2 2 2 2 log 2 4 log 6x x x + > . 0.25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Hay: BPT ( ) 2 2 2 2 4 6 16 36 0x x x x x⇔ + > − ⇔ + − > Vậy: 18x < − hay 2 x< So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là 2 6x< < . 0.25 4 Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 4 7 3 6 2 3 u x y x y u y u v x y u v x y v x u v v x y  = +   + = = + −    ⇒ ⇒ ⇒ + + = − +    − − = = − −   = − −     Kết luận nghiệm là (- 3; 2) 0,25 Khi đó hệ ban đầu trở thành: ( ) 2 2 3 5 2 7 2 * u v v u v + =    − − + =   thế v = 5 – 3u vào phương trình (*) giải tìm được u = 1, từ đó v = 2 0,5 suy ra x = - 3, y = 2. 0,25 5 Đặt u = 2 1 1 2x u x udu dx+ ⇒ − = ⇒ = ; đổi cận: 0 1 3 2 x u x u = ⇒ =   = ⇒ =  0,25 Ta có: 3 2 2 2 3 2 0 1 1 1 3 2 8 1 (2 6) 6 3 2 1 3 1 3 x u u dx du u du du u u u x x − − = = − + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 0,5 ( ) 2 2 1 2 6 6ln 1 1 u u u= − + + 3 3 6ln 2 = − + 0,25 6 Gọi H là trung điểm của AB ( ) SH AB SH ABC⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Kẻ ( ) AK SC SC AKB⊥ ⇒ ⊥ SC KB ⇒ ⊥ 0,25 ( ) ( ) ( ) 0 SAC ; SBC KA;KB 60   ⇒ = =   0 0 AKB 60 AKB 120⇒ ∠ = ∨ ∠ = 0,25 Nếu 0 AKB 60⇒ ∠ = thì dễ thấy KAB∆ đều KA KB AB AC ⇒ = = = (vô lí) Vậy 0 AKB 120∠ = ∆ΚΑΒ cân tại K 0 AKH 60⇒ ∠ = 0 AH a KH tan 60 2 3 ⇒ = = 0,25 Trong SHC∆ vuông tại H,đường cao KH có 2 2 2 1 1 1 KH HC HS = + thay a KH 2 3 = và a 3 HC 2 = vào ta được a 6 SH 8 = 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 2 3 S.ABC ABC 1 1 a 6 a 3 a 2 V .SH.dt . . 3 3 8 4 32 ∆ = = = 7 Gọi A ( ) t; 3t 2− + .Ta có khoảng cách: ( ) ( ) 4t 4 2.4 d A,DM 2d C,DM t 3 t 1 2 2 − = ⇔ = ⇔ = ∨ = − hay ( ) ( ) A 3; 7 A 1;5− ∨ − .Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM nên chỉ có A ( ) 1;5− thoả mãn. Gọi D ( ) m;m 2− DM∈ thì ( ) ( ) AD m 1;m 7 ,CD m 3;m 1= + − = − + uuur uuur Do ABCD là hình vuông ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 m 5 m 1 DA.DC 0 m 1 m 7 m 3 m 1 DA DC = ∨ = −   =   ⇒ ⇔   + + − = − + + =     uuur uuur m 5⇔ = Hay D ( ) 5;3 ( ) ( ) AB DC 2; 6 B 3; 1= = − − ⇒ − − uuur uuur . Kết luận A ( ) 1;5− , ( ) B 3; 1− − , D ( ) 5;3 0,5 0,5 8 *(d) đi qua 1 (0; 1;0)M − và có vtcp 1 (1; 2; 3)u = − − uur (d’) đi qua 2 (0;1;4)M và có vtcp 2 (1;2;5)u = uur *Ta có 1 2 ; ( 4; 8;4)u u O   = − − ≠   uur uur ur , 1 2 (0;2;4)M M = uuuuuuur Xét 1 2 1 2 ; . 16 14 0u u M M   = − + =   uur uur uuuuuuur  (d) và (d’) đồng phẳng . 0,5 *Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) => (P) có vtpt (1;2; 1)n = − ur và đi qua M 1 nên có phương trình 2 2 0x y z+ − + = *Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ đó ta có đpcm 0,5 9 -Gọi số cần tìm là ( ) 0abcde a ≠ -Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a. Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có: 2 5 A cách 3 vị trí còn lại có 3 4 A cách Suy ra có 2 3 5 4 A A số 0.25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán -Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0. Xếp 3 có 4 cách 3 vị trí còn lại có 3 4 A cách Suy ra có 3 4 4.A số Vậy số các số cần tìm tmycbt là: 2 3 5 4 A A - 3 4 4.A = 384 0.25 10 Trước hết ta có: ( ) 3 3 3 4 x y x y + + ≥ (biến đổi tương đương) ( ) ( ) 2 0x y x y⇔ ⇔ − + ≥ 0.25 Đặt x + y + z = a. Khi đó ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 64 64 4 1 64 x y z a z z P t t a a + + − + ≥ = = − + (với t = z a , 0 1t ≤ ≤ ) 0.25 Xét hàm số f(t) = (1 – t) 3 + 64t 3 với t [ ] 0;1∈ . Có ( ) [ ] 2 2 1 '( ) 3 64 1 , '( ) 0 0;1 9 f t t t f t t   = − − = ⇔ = ∈   0.25 Lập bảng biến thiên ( ) [ ] 0;1 64 inf 81 t M t ∈ ⇒ = ⇒ GTNN của P là 16 81 đạt được khi x = y = 4z > 0 0.25 Chú ý : Học sinh làm cách khác mà vẫn đúng vẫn được điểm tối đa . Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. Câu. 3 4 A cách Suy ra có 2 3 5 4 A A số 0.25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán -Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3. 3 HC 2 = vào ta được a 6 SH 8 = 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 2 3 S.ABC ABC 1 1 a 6 a 3 a 2 V .SH.dt . . 3 3 8 4 32 ∆ =