ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Thí sinh làm trực tiếp vào bản đề thi này, nếu không có yêu cầu gì thêm hãy làm tròn với năm chữ số thập phân. Câu 1: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x 3 là k, k nguyên dương thỏa mãn: f(2009) = 2010; f(2010) = 2011 Chứng minh rằng: f(2011) – f(2008) là số lẻ. Cách giải Kết quả Câu 2: Tìm a 2009 biết 1 1 0 ( 1) ( 1) ; * ( 2)( 3) n n a n n a a n N n n + =   +  = + ∈  + +  Cách giải Kết quả Câu 3: Tính chính xác ƯCLN và BCNN của hai số a = 24614205, b = 10719433 Cách giải Kết quả Câu 4: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thỏa mãn hai tính chất sau: 1) Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị. 2) Là số chính phương. Cách giải Kết quả Câu 5: Tính diện tích phần gạch chéo(được giới hạn trong 4 cung tròn như hình vẽ), biết ABCD là hình vuông cạnh 5,35 cm; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. A N B P C Q D M Cách giải Kết quả Câu 6: Cho 3 sin 0,3 0 ; cos 0,3 2 2 x x y y ∏ ∏     = < < = − ∏ < <  ÷  ÷     Tính gần đúng giá trị của biểu thức sau 5 2 2 5 2 2 7 7 tan ( 2 ) cot ( 2 ) sin ( ) cos ( ) x y x y P x y x y + + − = − + + Cách giải Kết quả ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Bài Cách giải Đáp số Điểm TP Điểm toán bài 1 - Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b). 5 Tìm a, b để g(2009) = g(2010) = 0. Ta được g(x) = f(x) – x – 1. - Tính giá trị của f(x) ta được f(x) = k(x – 2009)(x – 2010)(x – x 0 ) + x + 1 Từ đó tính được f(2011) – f(2008) = 3(2k + 1) là số lẻ với mọi k nguyên dương 2 - Tính vài số hạng đầu bằng quy trình: 1 0SHIFT STO A SHIFT STO B ( 1 )ANPHA C ANPHA ANPHA A ANPHA A= + ( ( 2 ) ( 3 ) )ANPHA A ANPHA A÷ + + × ( 1 ) :ANPHA B ANPHA ANPHA A ANPHA+ = 1 ) :ANPHA A ANPHA ANPHA B ANPHA ANPHA C+ = Ta được dãy: 1 7 27 11 13 9 , , , , , , 6 20 50 15 14 8 2.5 5 Dự đoán số hạng tổng quát ( ) ( ) ( ) 1 2 1 10 1 n n n a n − + = + , chứng minh bằng quy nạp. Từ đó ta được 2009 2008.4019 20100 a = 401,5001 2.5 3 Dùng thuật toán Euclide ƯCLN(24614205, 10719433) = 21311 21311 2.5 5 BCNN(24614205, 10719433) = 24614205.10719433 12380945115 21311 = 12380945115 2.5 4 - Gọi số cần tìm là: 1 2 3 4 5 6 n a a a a a a= - Đặt 1 2 3 x a a a= . Khi ấy 4 5 6 1x a a a x= = + và 2 1000 1 1001 1n x x x y= + + = + = hay ( ) ( ) 1 1 7.11.13y y x− + = . Vậy hai trong ba số nguyên tố 7, 11, 13 phải là ước của một trong hai thừa số của vế trái và số còn lại phải là ước của thừa số còn lại của vế trái. 183184, 328329, 528529, 715716 5 5 Diện tích hình gạch chéo MNPQ bằng diện tích hình vuông ABCD trừ 4 lần diện tích của một phần tư hình trong bán kính a/2. ( ) 2 2 2 4 1 4. . 4 4 4 MNPQ a a S a −∏ ∏ = − = 6,14cm 2 5 6 5 2 2 5 2 2 7 7 tan ( 2 ) cot ( 2 ) sin ( ) cos ( ) x y x y P x y x y + + − = − + + sin 0.3SHIFT SHIFT STO A ( ) cos ( 0.3 ) 2SHIFT SHIFT− − + ( ) 2 2 2 2 (( tan ( 2 ) ^ 5 ( tan ( 2 ) ^ 5 ) ( ( sin ( ) ) ^ 7 ( cos ( ) ^ 7 ANPHA A X ANPHA B X ANPHA A X ANPHA B X ANPHA A ANPHA B ANPHA A ANPHA B + + − − ÷ − + + 978,7071 5 . ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Thí sinh làm trực tiếp vào bản đề thi này, nếu không có yêu cầu gì thêm. – f(2008) là số lẻ. Cách giải Kết quả Câu 2: Tìm a 2009 biết 1 1 0 ( 1) ( 1) ; * ( 2)( 3) n n a n n a a n N n n + =   +  = + ∈  + +  Cách giải Kết quả Câu 3: Tính chính xác ƯCLN và BCNN. giải Kết quả Câu 4: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thỏa mãn hai tính chất sau: 1) Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị. 2) Là số chính phương. Cách giải