1 Họ và tên thí sinh:…………………… ………… Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:…………………………… ……… …………….……………… SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * Bảng: A * Lớp: 10 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu 1: (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2222 416 14. x yxy xy+−= Câu 2: (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số f: → thỏa mãn điều kiện 2012 ( 1) 2011 (1 ) f xfxx − +−= , .x ∀ ∈ Câu 3: (4 điểm) Giải hệ phương trình: () () 2 2 42 215 42 215 xy yx ⎧ + =+ ⎪ ⎨ + =+ ⎪ ⎩ . Câu 4: (4 điểm) Chứng minh rằng với mọi a > 0 thì: a 2013 – 2013a + 2012 ≥ 0. Câu 5: (4 điểm) Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy tùy ý một điểm M. Chứng minh rằng T = MA 4 + MB 4 + MC 4 không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. HẾT (Gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC 1 SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * Bảng: A * Lớp: 10 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (4 điểm) Phương trình: xyyxyx 14164 2222 = −+ (1) - Có 0== y x thỏa mãn phương trình (1) (1.0đ) - Khi Z y x ∈, , 0≠ x y thì (1) 2 (2) 1 22 xy xy xy ⎛⎞ ⇔− = − ⎜⎟ ⎝⎠ (2) (1.0đ) Phương trình (2) có VT là số chính phương và VP là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên suy ra 10 2 xy −= 2 = ⇔ x y (3) (1.0đ) Từ (2) và (3) suy ra 2 1 x y =− ⎧ ⎨ =− ⎩ hoặc 2 1 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ . Kết luận nghiệm của (1) là: 0 0 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ , 2 1 x y = − ⎧ ⎨ = − ⎩ và 2 1 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ (1.0đ) Câu 2: (4 điểm) 2012. ( 1) 2011. (1 ) f xfxx−+ −= Đặt a = 2012, b = 2011. Thay x bởi x+1, ta có () ( ) 1 (1)af x bf x x+−=+ (1.0đ) () () 1 (2)af x bf x x⇒−+ =−+ (0.5đ) Cộng (1) và (2) theo vế ta có: 2 ()(()())2 ()()a b fx f x fx f x ab ++−=⇒+−= + (1.0đ) () ( ) 1 1 () 2 () ( ) af x bf x x x fx ab ab fx f x ab +−=+ ⎧ ⎪ ⇒⇒=+ ⎨ − + +−= ⎪ + ⎩ (1.0đ) Vậy 1 () 4023 fx x=+ . (0.5đ) Câu 3: (4 điểm) () () () () 2 2 42 2151 42 2152 xy yx ⎧ +=+ ⎪ ⎨ +=+ ⎪ ⎩ Lấy (1) trừ (2), ta được: ( ) ( ) 4444422 x yxy yx − ++=− (1.0đ) (Gồm 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC 2 ( ) ( ) 228890xyxy⇔− ++= 8890 xy xy = ⎡ ⇔ ⎢ + += ⎣ (1.0đ) • Với x y= , ta có: ( ) 2 42 215xx + =+ 2 16 14 11 0xx⇔+−= 1 2 x⇔= hoặc 11 8 x = − (1.0đ) • Với 8890 x y++=, ta có: () 2 89 42 15 4 x x + +=− 2 64 72 35 0xx ⇔ +−= 9221 16 9221 16 x x ⎡ −+ = ⎢ ⎢ ⇔ ⎢ −− = ⎢ ⎣ (0.5đ) 9 221 9 221 16 16 xy −± − =⇒= ∓ Vậy hệ có các nghiệm là: 1 1 11 11 9 221 9 221 9 221 9 221 ;;;;;;; 2 2 8 8 16 16 16 16 −− −+ −+ −− −− ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠⎝⎠ (0.5đ) Câu 4: (4 điểm) BĐT đã cho tương đương với: a 2013 + 2012 2013a (0.5đ) + Biến đổi và dùng BĐT Cô-si, ta có: a 2013 + 2012 = a 2013 + 2012 sô 1 1 1 + ++    (1.5đ) 2013 2013 2013. 2013aa≥= (1.0đ) + Vậy BĐT đã được c/m và dấu “=” xảy ra khi a = 1 (1.0đ) Câu 5: (4 điểm) - Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp A BC Δ và lập luận được 0OA OB OC + +=    (0.25đ) - Viết được ( ) 22 2. M ARMOOA=+  (0.25đ) - Viết được T= ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 42 128. 4. 4. 4. R R MO OA OB OC MOOA MOOB MOOC++++++     (0.25đ) - Gọi A 1 , B 1 , C 1 lần lượt là hình chiếu của M trên đường thẳng OA, OB, OC. Lập luận được ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 22 2 2 11 1 M OOA MOOB MOOAC R OA OB OC++ =++    (1.0đ) - Lập luận được A 1 , B 1 , C 1 là các đỉnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn đường kính OM. (1.0đ) 3 - Lập luận được 2222 11 1 3 2 OA OB OC R++= (1.0đ) - Vậy T = 18R 4 . (0.25đ) HẾT . c a điểm M. HẾT (Gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC 1 SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * Bảng: A * Lớp: 10. thí sinh: …………………… ………… Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:…………………………… ……… …………….……………… SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * Bảng: . 2012 * Môn thi: TOÁN * Bảng: A * Lớp: 10 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu 1: (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên c a phương trình: 2222 416 14. x yxy xy+−=