Kè THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 11 Mụn thi: Toỏn Thi gian: 180 phỳt (Khụng k thi gian giao ) ( thi gm 01 trang v cú 5 cõu) THI: Cõu 1 Gii phng trỡnh: 2 2 tan tan 2 sin tan 1 2 4 x x x x + = + ữ + . Câu 2: Cho khai triển ( ) 15 2 14 2 210 0 1 2 210 1 x x x a a x a x a x+ + + + = + + + + . Chứng minh rằng: 0 1 2 15 15 15 15 14 15 13 15 0 15C a C a C a C a + = . Câu 3: Cho dóy (Un), (n = 0,1,2,3 ) xỏc nh bi: 0 2u = ; 2 1 4 15 60 n n n u u u + = + a) Hóy xỏc nh s hng tng quỏt ca n u . b) Chng minh rng s 2 1 ( 8) 5 n u + cú th biu din thnh tng bỡnh phng ca ba s nguyờn liờn tip. Câu 4: Cho hỡnh chúp SABCD, ABCD l hỡnh vuụng cnh 3 , SA (ABCD), SA = 2 3 . Mt phng ( ) qua BC to vi AC mt gúc 30 o , ct SA, SD ln lt ti M v N. Tớnh din tớch thit din BCNM. Câu 5: Cho , ,x y z là các số thực dơng thỏa mãn 3x y z+ + = . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 4 4 4 x y z y z x z x y xyz yz zx xy + + + + + HNG DN Cõu 1 Gii phng trỡnh: 2 2 tan tan 2 sin tan 1 2 4 x x x x + = + ữ + . iu kin: cos 0 2 x x k + (*) Phng trỡnh ó cho tng ng vi: 2 2 2cos (tan tan ) sin cosx x x x x+ = + 2 2sin 2sin .cos sin cos 2sin (sin cos ) sin cos (sin cos )(2sin 1) 0 x x x x x x x x x x x x x + = + + = + + = + Vi sin cos 0 tan 1 4 x x x x k + = = = + + Vi 1 5 2sin 1 0 sin 2 ; 2 2 6 6 x x x k x k = = = + = + i chiu iu kin (*), suy ra nghim ca phng trỡnh ó cho l: 5 ; 2 ; 2 ( ) 4 6 6 x k x k x k k = + = + = +  Câu 2: Cho khai triển ( ) 15 2 14 2 210 0 1 2 210 1 x x x a a x a x a x+ + + + = + + + + . Chứng minh rằng: 0 1 2 15 15 15 15 14 15 13 15 0 15C a C a C a C a + = . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 210 15 15 15 15 15 2 14 15 0 0 1 1 1 1 k k i k i i k x x x x x C a x + = = = + + + + = Suy ra hệ số của 15 x trong khai triển ( ) 15 15 1 x là ( ) 0 1 2 15 15 15 15 15 14 15 13 15 0 15 1 k k i i k C a C a C a C a C a + = = + Mặt khác ( ) 15 15 15 225 1 1 15 x x x = + . Suy ra hệ số của 15 x trong khai triển ( ) 15 15 1 x là 15 . Vậy 0 1 2 15 15 15 15 14 15 13 15 0 15C a C a C a C a + = (đpcm). Câu 3: Cho dóy (Un), (n = 0,1,2,3 ) xỏc nh bi: 0 2u = 2 1 4 15 60 n n n u u u + = + a) Hóy xỏc nh s hng tng quỏt ca n u . b) Chng minh rng s 2 1 ( 8) 5 n u + cú th biu din thnh tng bỡnh phng ca ba s nguyờn liờn tip. a)Theo bi ra ta cú: 2 2 1 1 8 60 0 (1) n n n n u u u u + + + + = Thay n bi n-1 ta c: 2 2 1 1 8 60 0 (2) n n n n u u u u + + = Tr theo tng v (1) cho (2) c: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 8 0 8 0 n n n n n n n n u u u u u u u u + + + + = + = (3) (do 1 1 1 1 4 16 0 n n n n n u u u u u + + > > > Phng trỡnh c trng ca (3) 2 4 15 8 1 0 4 15 t t t t = + = = + S hng tng quỏt: ( ) ( ) 4 15 4 15 n n n u = + + b) Vi mi s 1n , thỡ tn ti s kƠ : ( ) ( ) 4 15 4 15 15 n n k+ = Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 15 4 15 15. 4 15 4 15 15. 2 n n n n k k + = + + = + ữ Do vy, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 8 4 15 4 15 8 3. 2 1 1 5 5 n n n u k k k k + = + + + = + = + + + ữ Câu 4: Cho hỡnh chúp SABCD, ABCD l hỡnh vuụng cnh 3 , SA (ABCD), SA = 2 3 . Mt phng ( ) qua BC to vi AC mt gúc 30 o , ct SA, SD ln lt ti M v N. Tớnh din tớch thit din BCNM. Ta cú: BC// AD ( ) (SAD) MN MN// BC// AD BC ( ); AD (SAD) = M: BC BA; BC SA (SA (ABCD)) BC (SAB) BC BM Suy ra thit din BCNM l thang vuụng ti B, M. Dng AH BM Ta cú: BC AH (vỡ BC (SAB)) Suy ra: ã o AH ( ) ACH 30 . = Tam giỏc ABM vuụng ti A, ng cao AH cú: = = = = 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 AM 3 3 AM AH AB 3 3 =BM 6 (tam giỏc ABM vuụng cõn) v = 3 MN . 2 Din tớch hỡnh thang vuụng BCNM: = + = + = ữ 1 1 3 9 2 S MB.(MN BC) . 6 3 3,1820. 2 2 2 4 Câu 5: Cho , ,x y z là các số thực dơng thỏa mãn 3x y z+ + = . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 4 4 4 x y z y z x z x y xyz yz zx xy + + + + + (1) Ta có ( ) ( ) 2 2 9 3yz zx xy x y z yz zx xy+ + + + = + + C D N M S H B A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 4 4 4 y z z x x y yz yz zx zx xy xy + + + ⇔ + + ≥ − − − (2) Ta cã ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 2 2 2 y z yz yz yz yz yz yz yz yz yz yz + ≥ = ≥ −   + − + − +   Do ®ã ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 18 2 4 4 4 2 2 2 6 y z z x x y yz yz zx zx xy xy yz zx xy yz zx xy   + + + + + ≥ + + ≥   − − − + + + + + +     18 2 6 3 ≥ = + . VËy (2) ®óng (®pcm). . a + = = + Mặt khác ( ) 15 15 15 225 1 1 15 x x x = + . Suy ra hệ số của 15 x trong khai triển ( ) 15 15 1 x là 15 . Vậy 0 1 2 15 15 15 15 14 15 13 15 0 15C a C a C a C a + = . 15 15 15 2 14 15 0 0 1 1 1 1 k k i k i i k x x x x x C a x + = = = + + + + = Suy ra hệ số của 15 x trong khai triển ( ) 15 15 1 x là ( ) 0 1 2 15 15 15 15 15 14 15 13 15 0 15 1 k k i i. ( ) 15 2 14 2 210 0 1 2 210 1 x x x a a x a x a x+ + + + = + + + + . Chứng minh rằng: 0 1 2 15 15 15 15 14 15 13 15 0 15C a C a C a C a + = . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 210 15 15 15 15 15 2