KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang và có 5 câu) C©u 1: 1)Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 3 sin .sin 3 cos .cos3 1 8 tan( ) tan( ) 6 3 x x x x x x π π + = − − + (1) 2)Giải bất phương trình sau: ( ) ( ) 2 2 2 6 3 2 5 3 0 3 2 10 x x x x x x x − − + − + − ≥ + − + C©u 2: Cho các tập hợp các số nguyên liên tiếp như sau:{1},{2,3},{4,5,6}, {7,8,9,10}, , trong đó mỗi tập hợp chứa nhiều hơn tập hợp ngay trước nó 1 phần tử, và phần tử đầu tiên của mỗi tập hợp lớn hơn phần tử cuối cùng của tập hợp ngay trước nó 1 đơn vị. Gọi S n là tổng của các phần tử trong tập hợp thứ n. Tính S 999 . Câu 3 Cho dãy số (u n ) xác định như sau: 1 2 n 1 n n u 2012 (n N*) u 2012u u + =  ∈  = +  Tìm 1 2 3 n 2 3 4 n 1 u u u u lim( ). u u u u + + + + + Câu 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. P và Q là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và AD sao cho 2 3 AP AB;AQ AD. 3 4 = = I và J là hai điểm lần lượt thuộc đoạn B’Q và A’P sao cho IJ song song với AC. Hãy xác định tỉ số IB' QB' . Câu 5 a) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 a b c S (ab 2)(2ab 1) (bc 2)(2bc 1) (ac 2)(2ac 1) = + + + + + + + + . b) Cho a, b, c 0 ≥ và 2 2 2 3a b c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 2 2 2 1 1 1 a b c P b c a = + + + + + Hết ĐÁP ÁN THI HSG Câu Nội dung Điểm Câu 1 §iÒu kiÖn ( ) ( ) sin .cos 0 6 6 sin 2 0 * 3 6 2 sin .cos 0 3 3 x x x x m m x x π π π π π π π      − − ≠  ÷  ÷         ⇔ − ≠ ⇔ ≠ + ∈   ÷        + + ≠  ÷  ÷       ¢ Ta cã tan tan cot .tan 1 6 3 3 3 x x x x π π π π         − + = − + + = −  ÷  ÷  ÷  ÷         . Suy ra (1) [ ] [ ] 3 3 2 2 1 1 sin sin3 cos cos3 sin sin sin 3 cos cos cos3 8 8 x x x x x x x x x x⇔ + = ⇔ + = [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 1 1 sin cos 2 cos4 cos cos2 cos 4 sin cos cos 2 cos sin .cos4 4 4 x x x x x x x x x x x x     ⇔ − + + = ⇔ + + − =     [ ] ( ) 3 1 1 1 1 cos2 cos2 cos4 cos2 1 cos 4 cos 2 cos 2 4 4 8 2 6 x x x x x x x x k k π π ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + ∈ ¢ KÕt hîp ®iÒu kiÖn (*) ta ®îc ( ) 6 x k k π π = − + ∈¢ . Điều kiện: 3x ≥ Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 9 9 9 2 18 2 20 2 10 3 2 10 3 2 10 0 x x x x x x x x x x x x + = + + ≤ + + + = + < + = + ⇒ + < + ⇒ + − + < Bất phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 3 2 5 3 0 6 3 2 5 3 6 3 2 5 3 6 6 2 6 6 2 2 34 108 0 17 181 34 108 17 181 : 3;17 181 17 181; x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x KL S − − + − + − ≤ ⇔ − − + ≤ + − ⇔ − − + ≤ + − ⇔ − − ≤ + ⇔ − − ≤ + ⇔ + − + ≥  ≤ − ⇔ − + ⇔  ≥ +      = − ∪ + +∞    Câu 2 Ta thấy tập hợp thứ n chứa n số nguyên liên tiếp mà số cuối cùng là ( ) 1 1 2 3 4 2 n n n + + + + + + = . Khi đó S n là tổng của n số hạng trong một cấp số cộng có số hạng đầu ( ) 1 1 u 2 n n + = , công sai d=-1(coi số hạng cuối cùng trong tập hợp thứ n là số hạng đầu của cấp số cộng này), ta có ( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 1 2 2 n S n u n d n n= + − = +    . Vậy ( ) 2 999 1 .999 999 1 498501999 2 S = + = Câu 3 - CM được dãy tăng : 2 n 1 n n u u 2012u 0 n + − = > ∀ - giả sử có giới hạn là a thì : 2 a 2012a a a 0 2012= + ⇒ = > VL nên limu n = +∞ - ta có : 2 n n n 1 n n 1 n 1 n n 1 n n n 1 u u (u u ) 1 1 1 ( ) u u u 2012u u 2012 u u + + + + + − = = = − Vậy : 2 n 1 n 1 1 1 1 1 S .lim( ) 2012 u u 2012 →+∞ + = − = . Câu 4 12 IB' QB' 29 → → = đáp số 12/29. Câu 5a 2 2 2 a 1 4 4 1 2 1 2 1 1 (ab 2)(2ab 1) 9 (b )(2b ) (b 2b ) (b ) a a a a a = ≥ = + + + + + + + + đáp số : 1/3 Câu 5b Ta có: P + 3 = 2 2 3 2 2 3 2 2 3 111 a a c c c b b b a + + ++ + ++ + 24 1 1212 24 6 2 2 2 2 3 b b a b a P + + + + + =+⇔ 24 1 1212 2 2 2 2 3 c c b c b + + + + + + 24 1 1212 2 2 2 2 3 a a c a c + + + + + + 3 6 3 6 3 6 216 3 216 3 216 3 cba ++≥ 6 222 3 82 9 )( 222 3 22 3 =++≥+⇒ cbaP 2 3 22 3 22 9 22 3 22 9 6 3 =−=−≥⇒ P Để P Min khi a = b = c = 1 . KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang và có 5 câu) C©u 1: 1)Gi¶i. số nguyên liên tiếp mà số cuối cùng là ( ) 1 1 2 3 4 2 n n n + + + + + + = . Khi đó S n là tổng của n số hạng trong một cấp số cộng có số hạng đầu ( ) 1 1 u 2 n n + = , công sai d=-1(coi số. QB' 29 → → = đáp số 12/29. Câu 5a 2 2 2 a 1 4 4 1 2 1 2 1 1 (ab 2)(2ab 1) 9 (b )(2b ) (b 2b ) (b ) a a a a a = ≥ = + + + + + + + + đáp số : 1/3 Câu 5b Ta có: P + 3 = 2 2 3 2 2 3 2 2 3 111 a a c c c b b b a + + ++ + ++ + 24 1 1212 24 6 2 2 2 2 3 b b a b a P + + + + + =+⇔