Mục lục Trang Mở ñầu 1 Chương I. DẠNG ðẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 2 I.1. Kiến thức cần nhớ 2 I.2. Các dạng bài tập 3 I.2.1 Thực hiện phép tính 3 I.2.2 Viết số phức dưới dạng ñại số - Tìm phần thực, phần ảo của số phức 5 I.2.3 Xác ñịnh số phức 6 I.2.4 Xác ñịnh tập hợp ñiểm trên mặt phẳng phức 8 I.2.5 Biểu diễn hình học của số phức z 10 Chương II. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 12 II.1. Kiến thức cần nhớ 12 II.1.1 Căn bậc hai của số phức 12 II.1.2 Phương trình bậc hai 12 II.2. Các dạng bài tập 12 II.2.1 Tìm căn bậc hai của số phức 12 II.2.2 Giải phương trình bậc hai trên tập số phức 13 II.2.3 Giải hệ phương trình bậc hai trên tập số phức 16 Chương III. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 18 III.1. Kiến thức cần nhớ 18 III.1.1 Số phức dưới dạng lượng giác 18 III.1.2 Nhân chia dưới dạng lượng giác 18 III.1.3 Công thức Moa- vrơ 18 III.2 Các dạng bài tập 18 III.2.1 Tìm acgumen của số phức – viết sô phức dưới dạng lượng giác 18 III.2.2 Thực hiện phép tính dưới dạng lượng giác – Viết số phức dưới dạng ñại số 20 III.2.3 Ứng dụng số phức vào giải toán Niutơn và lượng giác 23 Bài tập tổng hợp 26 Kết luận 31 Chuyên ñề BÀI TẬP SỐ PHỨC 1 Lời nói ñầu Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, gần như trường số phức thỏa mãn các yêu cầu của toán học. Chính vì thế mà mặc dù gọi là số ảo nhưng trường số phức ñóng vai trò quan trọng trong ñời sống thực của chúng ta. ðặc biệt ở cấp trung học phổ thông nó có rất nhiều ứng dụng ñể dễ dàng tiếp cận các bài toán sơ cấp khó, vì vậy trong những năm gần ñây Bộ Giáo dục ñã ñưa vào chương trình giảng dạy ở cấp phổ thông. Nhằm mục ñích giới thiệu ñến quí thầy cô giáo và các em học sinh một cách chi tiết hơn về số phức, cách tiếp cận cũng như ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán ôn thi ñại học nên tôi viết chuyên ñề này. Hy vọng rằng qua chuyên ñề này quí thầy cô giáo và các em học sinh phát hiện ñược các vấn ñề mới mẻ và hấp dẫn cũng như ứng dụng ña dạng của số phức trong giải toán phổ thông. Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học chủ ñề số phức trong trường phổ thông. Bài viết ñược chia thành ba chương: Chương I. Dạng ñại số của số phức. Nội dung chương I bao gồm các vấn ñề cơ bản về dạng ñại số của số phức, các dạng toán thường gặp như thực hiện phép tính, xác ñịnh phần thực, phần ảo, xác ñịnh tập hợp ñiểm biểu diễn số phức… Chương II. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai. Nội dung chương II trình bày vắn tắt cách xác ñịnh căn bậc hai của số phức và cách giải phương trình bậc hai trên trường số phức. Từ ñó mở rộng thêm cách tìm nghiệm của phương trình bậc cao bằng cách qui về giải phương trình bậc hai và giải hệ phương trình trên tập số phức. Chương III. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng. Nội dung chương III trình bày các kiến thức cơ bản học sinh cần nhớ khi thực hiện phép toán dưới dạng lượng giác. Nêu các ứng dụng của số phức trong giải toán tổ hợp và lượng giác. Trong mỗi chương ñều tóm tắt kiến thức cơ bản và phân dạng bài tập thường gặp. Cuối mỗi dạng ñều có bài tập tương tự. Phần bài tập tổng hợp có tập hợp các ñề thi tuyển sinh ñại học – cao ñẳng về số phức. Mặc dù ñã rất cố gắng, bằng những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và việc nghiên cứu tài liệu nhưng do năng lực bản thân còn hạn chế, thời gian thực hiện chuyên ñề chưa dài nên không tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận ñược sự ủng hộ, ñóng góp ý kiến của quí thầy cô giáo và bạn ñọc ñể chuyên ñề ñược hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn. Người viết chuyên ñề Thân Thị Nguyệt Ánh. Chuyên ñề BÀI TẬP SỐ PHỨC 2 Chương I DẠNG ðẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC I.1 Kiến thức cần nhớ. I.1.1 Các ñịnh nghĩa ðịnh nghĩa 1 Số phức z là biểu thức có dạng a + bi ( a, b ∈ R), kí hiệu z = a + bi. * i gọi là ñơn vị ảo, i 2 = -1; *a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo. * Tập hợp tất cả các số phức z kí hiệu là C. ðịnh nghĩa 2 Cho hai số phức z = a + bi, z’ = a’ + b’i (a, b , a’, b’∈ R ). Số phức z và z’ bằng nhau nếu a = a’ và b = b’. Kí hiệu z = z’. I.1.2 Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức z = a + bi ( a, b ∈ R) ñược biểu diễn bởi ñiểm M(a; b) trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy. Ngược lại, mỗi ñiểm M(a; b) biểu diễn một số phức là z = a + bi, ta viết M(a + bi) hay M(z). I.1.3 Các phép toán. a) Phép cộng hai số phức Tổng của hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i (a, b, a’, b’∈ R ) là số phức z + z’ = ( a + a’) + (b + b’)i. b) Phép trừ hai số phức Hiệu của số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i ( a, b, a’, b’∈ R ) là tổng của z với –z’ kí hiệu z – z’ = a – a’ + ( b – b’)i. c) Phép nhân số phức Tích của hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i (a, b, a’, b’∈ R ) là số phức z.z’ = (aa’ – bb’) + ( ab’ + a’b)i. I.1.4 Số phức liên hợp và mô ñun của số phức. a) Số phức liên hợp Số phức liên hợp của z = a + bi ( a, b ∈ R) là số phức a – bi, kí hiệu z = )( bia + = a – bi. b) Mô ñun của số phức Mô ñun của số phức z = a + bi ( a, b ∈ R) là |z| = 22 ba + . Chuyên ñề BÀI TẬP SỐ PHỨC 3 I.1.5 Phép chia cho số phức khác 0. * Số phức nghịch ñảo của số phức z ≠ 0 là z -1 = z z 2 || 1 . * Thương z z' của phép chia số phức z’ cho z khác 0 là tích của z’ với nghịch ñảo của z, tức là z z' = z’.z -1 . Như vậy z z' = 2 '. z zz ( z ≠ 0). I.2 Các dạng bài tập. I.2.1 Thực hiện phép tính. Ví dụ 1 Tính z + z’, z – z’; z.z’, z z' trong các trường hợp sau: a) z = 5 + 2i, z’ = 4 + 3i b) z = -4 – 7i, z’ = 2 – 5i. Lời giải a) z + z’ = ( 5 + 4) + ( 2 + 3)i = 9 + 5i. z – z’ = ( 5 - 4) + ( 2 - 3)i = 1 – i. z.z’ = ( 20 - 6) + ( 15 + 8)i = 14 + 23i. z z' = i ii i i 25 7 25 26 9 16 )34)(25( 3 4 25 −= + − + = + + . b) z + z’ = ( -4 + 2) – ( 7 + 5)i = -2 – 12i. z – z’ = ( -4 - 2) + (-7 + 5)i = -6 – 2i. z – z’ = ( -4 – 7i)( 2 – 5i) = ( -8 - 35) + ( 20 - 14)i = -43 + 6i. z z' = i ii i i 29 34 29 27 25 4 )52)(74( 5 2 74 −= + + − − = − − − . Ví dụ 2 Rút gọn các biểu thức sau: a) ( 1 + i) 3 b) i 2011 (1 – i) 2 c) ( 2 – 3i) 2 . Lời giải a) ( 1 + i) 3 = 1 + 3i + 3i 2 + i 3 = -2 + 2i. b) i 2011 (1 – i) 2 = (i 2 ) 1005 ( 1 – 2i + i 2 ) = -1(-2i) = 2i. c) ( 2 – 3i) 2 = 4 – 12i + 9i 2 = -5 – 12i. Ví dụ 3 Thực hiện phép tính a) i 3 2 1 − b) i i23 − c) i i − − 4 43 . Lời giải a) i 3 2 1 − = 13 3 13 2 9 4 32 += + + i b) i ii i i 32 1 ))(23(23 −−= − − = − Chuyên ñề BÀI TẬP SỐ PHỨC 4 c) . 17 13 17 16 17 )163(412 1 16 )4)(43( 4 43 i iii i i −= − + + = + + − = − − Ví dụ 4 Tính giá trị của biểu thức A =       − 7 7 1 2 1 i i i ; B = i iii i i 1 )32)(32()1( 1 1 10 3 +−++−+       − + C = 1 + (1+i) + ( 1 +i) 2 + ( 1+i) 3 +…+ (1+i) 20 . Lời giải A= .1 2 21 2 1 )( 1 )( 4 2 32 32 −= − =       +−−=       − − i i i ii ii ii i B = [ ] iii ii i iii i i −−+−+       + ++ =+−++−+       − + 2 5 2 3 10 3 94)1( 11 )1)(1(1 )32)(32()1( 1 1 = .341313)2( 2 2 5 3 iii i −=−+−+       C= [ ] i i i i ii i ii i i 10251024 102410251)2)(1(1)1()1( 1 1 1)1( 10 10 221 +−= −− = −+ = −++ = −+ −+ . Ví dụ 5 Thực hiện phép tính: a) )21)(1( 3 ii i −+ + b) 22 22 )2()23( )1()21( ii ii +−+ −−+ . Lời giải a) . 2 3 5 4 10 )3( 3 3 )21)(1( 3 2 i i i i ii i += + = − + = −+ + b) . 17 9 34 21 644 )82)(63( 82 63 444129 21441 )2()23( )1()21( 22 22 22 22 i ii i i iiii iiii ii ii += + −+− = + +− = −−−++ −+−++ = +−+ −−+ Bài tập tự luyện. Bài 1. Cho iz 4 26 4 26 − + + = . Tính a) z + z ; b) z - z c) z. z d) z z . Bài 2 Cho P(z) = z 3 + 2z 2 – 3z + 1.Tính giá trị của P(z) khi z = 1 – i; z = 2 + i 3 . Bài 3. Cho iz 2 1 2 3 −= , tính các số phức sau: z , z 2 ; ( z ) 3 ; 1 + z + z 2 . Bài 4. Thực hiện các phép tính sau: a) i i i i + − + − + 1 1 1 1 b) 32 332 i i i − − + Chuyên ñề BÀI TẬP SỐ PHỨC 5 c) 44 2 51 2 51         − +         + ii d) i ii 4 2 13)1( 3 + ++ . Bài 5. Cho z = 2 – 3i, z’ = -1 + 5i Tính a) z.z’ b) '.zz c) z z' d) z 2 + z’ e) |z 2 + z’|. I.2.2. Viết số phức dưới dạng ñại số - Tìm phần thực, phần ảo của số phức. Ví dụ 1 Xác ñịnh phần thực, phần ảo của các số phức sau: a) i + ( 2 – 4i) – ( 3 – 2i) b) i(2 - i)( 3 + i). Lời giải a) z = i + ( 2 – 4i) – ( 3 – 2i) = -1 – i ; phần thực của z bằng -1; phần ảo bằng -1. b) z = i(2 - i)( 3 + i) = i( 7 - i) = 1 + 7i; phần thực của z bằng 1; phần ảo bằng 7. Ví dụ 2 Chứng minh rằng số phức z z v + − = 1 1 là số thuần ảo khi và chỉ khi |z| = 1. Lời giải ðặt v = a + bi; z = x + iy ( a, b, x, y ∈ R). Ta có i yx y yx yx z z 2222 22 )1( 2 )1( 1 1 1 ++ − ++ −− = + − ðiều kiện cần: Nếu v là số thuần ảo thì 22 22 )1( 1 yx yx ++ −− = 0 ⇔ 1 – x 2 – y 2 = 0 ⇔ 1= x 2 + y 2 ⇔ |z| = 1. ðiều kiện ñủ: Do z z v + − = 1 1 ⇔ 1 – z = v + vz ⇔ (1 + v)z = 1 – v ⇔ v v z + − = 1 1 . Nếu |z| = 1 thì 1 1 1 = − + v v ⇔ | 1+ v| = | 1 - v| ⇔ | 1 + a + bi| = | 1 – a - bi| ⇔ ( 1+a) 2 + b 2 = ( 1 - a) 2 + b 2 ⇔ a = 0 ⇒ v là số ảo. Ví dụ 3 Viết các số phức sau về dạng ñại số: a) )3)(21( 1 ii −+ b) )32)(1( 5 ii i −+ + . Lời giải a) )3)(21( 1 ii −+ = i i i 10 1 10 1 10 1 5 5 1 −= − = + . Chuyên ñề BÀI TẬP SỐ PHỨC 6 b) )32)(1( 5 ii i −+ + = 13 5 13 12 26 )5( 5 5 2 += + = − + i i i . Bài tập tự luyện. Bài 1. Viết các số phức sau về dạng ñại số. a) 23 32 )2()23( )1()21( ii ii +−+ −−+ b) ( 2 + i)( -1 + i)( 1 + 2i) 2 . c) ( ) 3 31 i+ d) )2( 31 )31)(23( i i ii −+ + − + e) ( 1 + i) 20 f) i i − + + 1 1 1 1 g) i 2010 + i 2011 h) i i i i + − + − 2 1 3 . Bài 2. Xác ñịnh phần thực, phần ảo của các số phức sau: a) ( 2 - i) 6 b) 2 31 31         − + i i c) i i 2 3 )43( −− + d) 31 )3( 3 i i + + e) 7 9 )1( )1( i i − + f) 1)1( 1)1( 5 5 ++ −− i i . I.2.3. Xác ñịnh số phức. Ví dụ 1 Tìm số phức z thỏa mãn iz + z – i = 0. Lời giải Từ giả thiết ta ñược z = i ii i i 21 1 )2(2 += + − − = + − . Ví dụ 2 Tìm số phức z thỏa mãn z 2 + 5 = 0. Lời giải Ta có z 2 + 5 = 0 ⇔ z 2 – ( 5 i) 2 = 0 ⇔ (z - 5 i ) ( z + 5 i) = 0 ⇔ z = 5 i; z = - 5 i. Ví dụ 3 Tìm số phức z thỏa mãn z . z + 3(z – z ) = 4 – 3i. Lời giải Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ R). Theo giả thiết ta có z . z + 3(z – z ) = 4 – 3i ⇔ (x + yi)(x - yi) + 3( x + yi – x + yi) = 4 – 3i ⇔ x 2 + y 2 + 6yi = 4 – 3i ⇔             −= = ⇔ −= =+ 2 1 4 15 36 4 2 22 y x y yx . Chuyên ñề BÀI TẬP SỐ PHỨC 7 Vậy có hai số phức z thỏa mãn z 1 = i 2 1 2 15 − và z 2 = - i 2 1 2 15 − . Ví dụ 4. Trong các sô phức z thỏa mãn ñiều kiện |z – 2 – 4i| = 5 tìm số phức có mô ñun lớn nhất, nhỏ nhất. Lời giải Xét số phức z = x + iy (x, y ∈ R), từ giả thiết ta có ( x- 2) 2 + (y - 4) 2 = 5. Suy ra tập hợp các ñiểm M(x; y) biểu diễn số phức z là ñường tròn (C) tâm I(2;4) bán kính R = 5 . Ta có |z| 2 = OM 2 = x 2 + y 2 . Gọi d là ñường thẳng ñi qua O(0; 0) và tâm I(2; 4), phương trình ñường thẳng d có dạng y = 2x. Gọi A, B là các giao ñiểm của d và ñường tròn (C) , tọa ñộ của A(1;2) và B(3;6). Khi ñó OA = 5 ; OB = 3 5 . Vậy khi M trùng với A thì OM ngắn nhất, và khi M trùng với B thì OM lớn nhất. Vậy số phức có mô ñun nhỏ nhất là z = 1 + 2i; số phức có mô ñun lớn nhất là z = 3 + 6i. Nhận xét Ngoài phương pháp hình học trên ta có thể sử dung bất ñẳng thức bunhia ñể xác ñịnh số phức z. Thật vậy, xét ñiểm M(2+ 5 sinα; 4+ 5 cosα), khi ñó |z| = OM. Ta có |z| 2 = OM 2 = (2+ 5 sinα) 2 + (4+ 5 cosα) 2 = 25 + 4 5 (sinα + 2cosα). Áp dụng bất ñẳng thức Bunhia ta có (sinα + 2cosα) 2 ≤ ( 1 + 4)( sin 2 α + cos 2 α) = 5 Suy ra - 5 ≤ sinα + 2cosα ≤ 5 hay 5 ≤ |z| ≤ 3 5 . |z| = 5 khi và chỉ khi sinα + 2cosα = - 5 ⇔ sinα = - 5 1 ; cosα = - 5 2 ⇔ x = 1; y = 2 . |z| = 3 5 khi và chỉ khi sinα + 2cosα = 5 ⇔ sinα = 5 1 ; cosα = 5 2 ⇔ x = 3; y = 6. Vậy số phức có mô ñun nhỏ nhất là z = 1 + 2i; số phức có mô ñun lớn nhất là z = 3 + 6i. Ví dụ 5 Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức    =− +−=−+ 5|| |2||21| iz iziz . Lời giải Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R). Từ giả thiết ta có    =−+ −+−=−++ 5|)1(| |)1()2(||)2()1(| iyx iyxiyx    =−+ −+−=−++ ⇔ 5)1( )1()2()2()1( 22 2222 yx yxyx       = = ⇔ =−− = ⇔ 3 1 04610 3 2 y x xx xy hoặc      −= −= 5 6 5 2 y x . Vậy có hai số phức thỏa mãn là z = 1 + 3i; z = i 5 6 5 2 −− . Chuyên ñề BÀI TẬP SỐ PHỨC 8 Ví dụ 6 Xét số phức z thỏa mãn hệ thức z = )2(1 imm mi −− − ( m là số thực), tìm m ñể: a) z. 2 1 =z ; b) |z-i| ≤ 4 1 ; c) z có mô ñun lớn nhất. Lời giải Ta có i mm m mm immmmm mimmim mimmi imm mi z 1 1 1 4)1( )21(2)1( )21)(21( )21)(( )2(1 22 22 222 22 2 2 + + + = +− +−++−− = −−+− −−− = −− − = a) suy ra i m m m z 1 1 1 22 + − + = . Khi ñó z. 2 1 =z ⇔ 2 1 )1( 1 22 2 = + + = m m z ⇔ m 2 + 1 = 2 ⇔ m = 1 hoặc m = -1. b) |z-i| ≤ 4 1 16 1 )1()1(4 1 11 22 4 22 2 2 2 2 ≤ + + + ⇔≤ + − + ⇔ m m m m i m m m m ⇔ 16m 2 ≤ 1 + m 2 15 1 15 1 ≤≤−⇔ m . c) |z| = 1 1 )1( 1 2 22 2 + = + + m m m ≤ 1. Dấu ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m = 0. Bài tập tự luyện Bài 1. Tìm số phức z thỏa mãn a) ( 1 – 3i)z = z + 2 b) ( 2 +i) z - 4 = 0. Bài 2. Tìm x, y ∈ R thỏa mãn: a) x + y + ( x – y)i + 1 = 0 b) x – 1 + yi = -x + 1 +i c)    +=+−+ +=++− iyixi iyixi 45)32()24( 62)24()3( . Bài 3. Tìm x, y ∈ R sao cho: a) z = ( x+ iy) 2 là số thực. b) v = ( x + iy) 3 là số ảo. Bài 4. Tìm số phức z thỏa mãn a) z 2 + |z| = 0 ; b) i i z i i + + − = − + 2 31 1 2 ; c) z + z 2 = 0 ; d) z + 2 z = 2 – 4i. Bài5. Tìm số phức z thỏa mãn Chuyên ñề BÀI TẬP SỐ PHỨC 9 a)        = + − = − − 1 3 1 1 iz iz iz z ; b)        = − − = − − 1 8 4 3 5 8 12 z z iz z ; c) 1 4 =       − + iz iz . I.2.4 Xác ñịnh tập hợp ñiểm trên mặt phẳng phức. Ví dụ 1 Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết rằng | z – 2 + i| = 1. Lời giải Giả sử z = x + iy (x, y ∈ R), khi ñó M(z) thì M có tọa ñộ (x; y). Theo giả thiết ta có |( x - 2) + ( y +1)i| = 1 ⇔ ( x - 2) 2 + ( y +1) 2 = 1. Vậy tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thuộc ñường tròn tâm I( 2; -1), bán kính R = 1. Ví dụ 2 Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z + 2 – 3i biết rằng | z – 1| ≤ 2. Lời giải Giả sử v = x + iy (x, y ∈ R), sao cho v = z + 2 – 3i ⇔ z = v – 2 + 3i = ( x - 2) + (y +3)i Theo giả thiết | z – 1| ≤ 2 ⇔ | ( x - 3) + ( y + 3)i| ≤ 2 ⇔ ( x - 3) 2 + ( y + 3) 2 ≤ 4. Vậy tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z + 2 – 3i thuộc hình tròn tâm I( 3; -3), bán kính R = 2. Ví dụ 3 Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết rằng |z| = | z – 3 + 4i| = 1. Lời giải Giả sử z = x + iy (x, y ∈ R), khi ñó M(z) thì M có tọa ñộ (x; y). Theo giả thiết ta có | x + iy| = | ( x - 3) + ( 4 - y)i| ⇔ x 2 + y 2 = ( x - 3) 2 + ( 4 - y) 2 ⇔ 6x + 8y – 25 = 0. Vậy tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thuộc ñường thẳng 6x + 8y – 25 = 0. Bài tập tự luyện. Bài 1. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn ñiều kiện: a) z 2 là số ảo b) z 2 = 2 )(z c) | z - i| + | z + i| = 4 [...]... 2| = 6 K t lu n Trên th c t , qua quá trình gi ng d y chuyên ñ s ph c tôi nh n th y h c sinh ti p c n s ph c m t cách khá t nhiên, h c t p h ng thú, gi i ñư c h u h t các yêu c u c a giáo viên nêu ra ða s h c sinh ñ u c m th y yêu thích h c chương s ph c vì th y nó có nhi u ng d ng hay trong gi i toán, nh t là m t s bài toán khó Trong n i dung chuyên ñ s ph c l n này, tác gi chưa minh h a ñư c h t... tham kh o có ích cho nh ng ai quan tâm ñ n nó R t mong nh n ñư c s ñóng góp c a các th y cô giáo và các b n B c giang, ngày 10 tháng 4 năm 2011 31 BÀI T P S Chuyên ñ PH C Ngư i vi t: Thân Th Nguy t Ánh ð a ch : T toán – tin trư ng trung h c ph thông Chuyên B c giang 32 ... Cho hai ñi m A, B là hai ñi m trong m t ph ng ph c theo th t bi u di n các s ph c z0, z1 khác 0 th a mãn z02 + z12 = z0.z1 Ch ng minh r ng tam giác OAB là tam giác ñ u ( O là g c t a ñ ) 11 BÀI T P S Chuyên ñ Chương II CĂN B C HAI C A S PH C PH C VÀ PHƯƠNG TRÌNH B C HAI II.1 Ki n th c c n nh II.1.1 Căn b c hai c a s ph c a) ð nh nghĩa Cho s ph c w M i s ph c z th a mãn z2 = w g i là m t căn b c hai... trình có nghi m kép z1 = z2 = −B 2A • ð nh lý viet N u z1 và z2 là các nghi m c a phương trình (1) thì z1 + z2 = II.2 Các d ng bài t p II.2.1 Tìm căn b c hai c a s ph c 12 −B C ; z1.z2 = A A BÀI T P S Chuyên ñ PH C Ví d 1 Tìm các căn b c hai c a các s ph c sau: a) w = -9 b) w = 2i c) w = -8 + 6i L i gi i G i z là căn b c hai c a s ph c w a) V i w = -9 ⇔ z2 = (3i)2 ⇔ z = 3i ho c z = -3i b) V i w = 2i... trên t p s ph c Ví d 1 Gi i phương trình sau trên t p s ph c: b) z2 -2(2+i)z + ( 7 + 4i) = 0 a) z2 = z + 1 L i gi i a) Phương trình ñã cho có d ng z2 - z – 1 = 0 13 c) z2 – (5 + 2i)z + 10i = 0 BÀI T P S Chuyên ñ Ta có ∆ = 1 + 4 = 5 , phương trình có hai nghi m phân bi t z1 = PH C 1+ 5 1− 5 ; z2 = 2 2 b) z2 -2(2+i)z + ( 7 + 4i) = 0 Ta có ∆’ = (2 +i)2 – (7+4i) = - 4 = (2i)2 V y phương trình ñã cho có hai... 5i) = - 3 – 14i 3 2 b) z13 + z 2 = (z1 + z2)( z12 + z 2 - z1.z2) = ( -2 + i)( -6 – 19 i) = 31 + 32i 4 2 c) z14 + z 2 = ( z12 + z 2 )2 – 2(z1.z2)2 = ( 3 + 14i)2 – 2( 3 + 5i)2 = -155 + 24i 14 BÀI T P S Chuyên ñ d) PH C 2 z1 z 2 z12 + z 2 − (3 + 14i )(3 − 5i ) − 79 − 27i 79 27 + = = = =− − i z 2 z1 z1 z 2 (3 − 5i )(3 + 5i ) 34 34 34 Ví d 5 Tìm m ñ phương trình z2 + mz + 3i = 0 có hai nghi m sao cho t... ng (2z + 1)(z – 3z + 3 + i) = 0 1 2 Gi i phương trình trên ta ñư c các nghi m z = - ; z = 2 – i; z = 1 + i Bài t p t luy n Bài 1 Gi i các phương trình sau trên t p s ph c 15 1 th a mãn h pt 2 BÀI T P S Chuyên ñ 2 PH C 2 1) 2z + z + 3 = 0 3) 2z2 – 2( 5 – 2i)z + 28 – 4i = 0 5) 2iz2 – 3z + 4 + i = 0 2) z + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0 4) z2 – (3 + 4i)z – 1 + 5i = 0 6) z2 – ( 5 - i)z + 8 –i = 0 8) 2iz2 – 2(... − i  z1 + z 2 = 4 − i  H phương trình ñã cho tương ñương  V y z1, z2 là hai nghi m c a phương trình z2 – ( 4 – i)z + 5 – 5i = 0 Xét ∆ = ( 4 - i)2 – 4( 5 – 5i) = - 5 + 12i = ( 2 + 3i)2 16 BÀI T P S Chuyên ñ PH C V y h phương trình ñã cho có nghi m (z1; z2) = ( 3 + i;1– 2i) ho c (z1; z2) = (1 – 2i; 3+i) Ví d 2  z1 + z 2 + z 3 = 4 + 2i  Gi i h phương trình  2 z1 + z 2 − z 3 = 2 + 5i  z + 2 z +... 3  1 1)   (3 − i ) z1 + (4 + 2i ) z 2 = 2 + 6i (4 + 2i ) z1 − (2 + 3i ) z 2 = 5 + 4i 7)  2  z12 + z 2 = −5 + 14i  z1 + z 2 = 3 + 4i  z −1  z −i =1  8)   z − 3i = 1  z +i  17 BÀI T P S Chuyên ñ Chương III D NG LƯ NG GIÁC C A S III.1 Ki n th c c n nh PH C VÀ PH C NG D NG III.1.1 S ph c dư i d ng lư ng giác a) Acgumen c a s ph c khác 0 Cho s ph c z khác 0 G i M là ñi m trong m t ph ng... r.r’[cos(ϕ +ϕ’) + isin(ϕ + ϕ’)] z r = [cos(ϕ − ϕ ' ) + i sin(ϕ − ϕ ' )] z' r ' III.1.3 Công th c Moa – vrơ [r (cos ϕ + i sin ϕ )]n = r n (cos nϕ + i sin nϕ ) ( n là s nguyên dương; r > 0) 18 BÀI T P S Chuyên ñ PH C III.2 Các d ng bài t p III.2.1 Tìm acgumen c a m t s ph c – Vi t s ph c dư i d ng lư ng giác Ví d 1: Bi t ϕ là m t acgumen c a s ph c z khác 0 Hãy tìm m t acgumen c a m i s ph c sau: a) –z . nhân số phức Tích của hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i (a, b, a’, b’∈ R ) là số phức z.z’ = (aa’ – bb’) + ( ab’ + a’b)i. I.1.4 Số phức liên hợp và mô ñun của số phức. a) Số phức. + . Chuyên ñề BÀI TẬP SỐ PHỨC 3 I.1.5 Phép chia cho số phức khác 0. * Số phức nghịch ñảo của số phức z ≠ 0 là z -1 = z z 2 || 1 . * Thương z z' của phép chia số phức z’ cho. chủ ñề số phức trong trường phổ thông. Bài viết ñược chia thành ba chương: Chương I. Dạng ñại số của số phức. Nội dung chương I bao gồm các vấn ñề cơ bản về dạng ñại số của số phức, các