1 1/ ( ) ( ) 1 1 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2 A n n n = + + +×××+ + + 2/ 1 1 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 970200 A = + + +×××+ 3/ 5 5 5 5 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2009.2010.2011 A = + + +×××+ 4/ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1.3.5 3.5.7 5.7.9 2 1 2 3 2 5 A n n n = + + +×××+ + + + 5/ 36 36 36 36 1.3.5 3.5.7 5.7.9 2009.2011.2013 A = + + +×××+ Bài 1.2.3.2: 1/Tính giá trị của biểu thức: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 9 16 A n         = − × − × − ××× − ×  ÷  ÷  ÷  ÷         2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 9 16 10000 A         = − × − × − ××× − ×  ÷  ÷  ÷  ÷         Bài 1.2.3.3: Tính tổng và viết quy trình tính: 1/ S = 1 + 2 + 3 + + 72 2/ 1 1 1 1 1 2 3 71 72 P = + + + + + 3/ 1 1 1 1 1 2 3 4 72 Q = − + − + − 4/ K = 1 + 3 + 5 + …+ 99 5/ H = 1.2 +2.3 +3.4 + …+ 49.50 6/A = 1. 2 2. 3 3. 4 49. 50+ + + + Bài 1.2.3.4: 1/ A = )1.( 1 12 1 6 1 2 1 + ++++ nn 2 A = 9999900000 1 12 1 6 1 2 1 ++++ Bài 1.2.3.5: Tính ( làm tròn đến 6 chữ số thập phân): 1 / 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A = − + − + − + − + − 2/ M = P Q với P = 3 + 3 2 +…+ 3 19 ; Q = 2 3 19 1 1 1 1 3 3 3 3 + + + + 3/ N = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 3 15       + × + + ××× + + + ×××  ÷  ÷  ÷       (chính xác tới 0,0001) Bài 1.2.3.6: Cho S 1 = 100 ; S 2 = S 1 + 15 2 ; S 3 = S 1 + S 2 + 30 2 S 4 = S 1 + S 2 + S 3 +55 2 ; S 5 = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 +90 2 Tính S 8 ; S 9 ; S 10 ;S 20 Bài 1.2.3.7: Cho S 1 = 100 ; S 2 = S 1 + 13 2 ; S 3 = S 1 + S 2 + 21 2 S 4 = S 1 + S 2 + S 3 + 34 2 ; S 5 = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 +52 2 Tính S 8 ; S 9 ; S 10 ;S 30 Bài 1.2.3.8: Cho S 1 = 196 ; S 2 = S 1 + 2 2 ; S 3 = S 1 + S 2 + 9 2 S 4 = S 1 + S 2 + S 3 + 23 2 ; S 5 = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + 44 2 Tính S 8 ; S 9 ; S 10 ;S 50 Bài 1.2.3.9: Cho dãy số u n = 4 3n n − .và S n = u 1 + u 2 +…+u n . a/ Viết quy trình bấm phím tính S n .b/ Hãy tính S 5 ;S 10 ;S 15 ;S 20 . Bài 1.2.3.10: Cho dãy số u n Với u 1 = 7 ;u 2 = 7 7+ ;u n = 7 7 7+ + 1 4 4 2 4 43 a/ Viết quy trình bấm phím tính u n .b/ Tính u 1000 Bài 1.2.3.11: Cho dãy số u n .Tính u 10000 với u 1 = 10 ;u 2 = 10 10+ ;u n = 10 10 10+ + 1 4 44 2 4 4 43 Bài 1.2.3.12: Cho dãy số u n = 3 4 5n n + .và S n = u 1 + u 2 +…+u n .Hãy tính S 5 ;S 10 ;S 15 ;S 20 . Bài 1.2.3.13: Cho dãy số u n .Tính u 10000 với u 1 = 3 15 ;u 2 = 3 3 15 15+ ;u n = 3 3 3 15 15 15+ + + 1 4 4 42 4 4 43 Bài 1.2.3.14: Cho dãy số :S n = (1 3 +2 3 )(1 3 +2 3 +3 3 )…(1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 ) a/ Viết quy trình bấm phím tính S n . b/ Tính S n với n = 1,2,3,…,10. Bài 1.2.3.15: n dấu căn n dấu căn n dấu căn Cho dãy số :S n = 1 4 +(1 4 +2 4 )+(1 4 +2 4 +3 4 )+…+(1 4 +2 4 +3 4 +…+n 4 ) a/ Viết quy trình bấm phím tính S n .b/ Tính S n với n = 5;10;15;20. Bài 1.2.3.16: Cho dãy số :S n = 1 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 2 2 3 2 3 n n +       − − + ××× − + − + − ×  ÷  ÷ ÷       a/ Viết quy trình bấm phím tính S n .b/ Tính S n với n = 5;7 . Bài 1.2.3.17: Với mỗi số nguyên dương n > 1.Đặt S n = 1.2 +2.3 +3.4 + … +n.(n+1) a/Viết quy trình tính S n b/Tính S 50 ; S 2005 ; S 20052005 c/ So sánh 2 2005 S với S 20052005 Bài 1.2.3.18: Cho 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 ( 1) n S n n = + + + + + + + + + + + + + a/ Viết quy trình bấm phím tính S n . b/ Tính S 10 ; S 12 và S 2007 ;S 2011 với 6 chữ số ở phần thập phân. Bài 1.2.3.19: Với mỗi số nguyên dương n .Đặt 3 6 4 2 3. 7 4 3 ( ) 9 4 5. 2 5 n A n n n − + − = + − + + a/Tính A(2007). b/So sánh A(2008) với A(20072008). Bài 1.2.3.20: Cho S 1 = 81 ; S 2 = S 1 + 15 2 ; S 3 = S 1 + S 2 + 25 2 S 4 = S 1 + S 2 + S 3 +39 2 ; S 5 = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 +57 2 Tính S 8 ; S 9 ; S 10 . Bài 1.2.3.21: Tính giá trị biểu thức : a/ A = 3 + 8 + 15 +… + 9800 b/ B = 1.2.3 + 3.5.7 + 5.7.9 +…+ 95.97.99 c/C=3 + 6 + 11 + 20 + 37 +…+ (2 n + n) với n = 10, n = 20, n= 30 d/D = 1 + 3 2 + 3 4 + 3 6 +…+ 3 100 e/E = 7 + 7 3 + 7 5 + 7 7 +…+ 7 99 Bài 1.2.3.22: 1/ Tính A = 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 2008) 1.2008 2.2007 3.2006 2007.2 2008.1 + + + + + + + + + + + + + + + + 2/ Tính B = 1 - 2 4 + 3 4 - 4 4 + …+ 49 4 - 50 4 . 3/ Tính C = 1 1 1 1 1 2! 3! 4! 50! + + + +×××+ .4/ Tính D = 40 38 36 4 2 .5/ Tính E = 40 39 38 3 2 . 6) 3 4 5 6 7 8 9 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2010A = − + − + − + − + Bài 1.2.3.23: Tính : 9 8 7 6 5 4 3 9 8 7 6 5 4 3 2C = Bài 1.2.3.24: Cho C n = ( 1) ( 2) 3 ( 1) ( 2) 4 3 2 n n n n n n − − − − a/ Viết quy trình tính C n . b/ TínhC 50 ; C 100 . Bài 1.2.3.25: Cho T n = ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 1 2 1 2 Sin Sin Sin Sin Sin Sin n+ + + + + + a/ Viết quy trình tính T n b/Tính T 100 . Bài 1.2.3.26: Tính gần đúng (làm tròn đến 6 chữ số thập phân) : A = 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 7 2 3 4 5 6 7 − + − + − + Bài 1.2.3.27: Với mỗi số nguyên dương n > 1 .Đặt S n = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) Tính S 100 và S 2005 . Dạng 3.3: Luỹ thừa A - Tìm số dư: Bài 3.3A.1: a)Tìm số dư khi chia 2006 10 cho 2000 . b) Tìm số dư trong phép chia A = 3 8 + 3 6 + 3 2004 cho 91. Bài 3.3A.2: Tìm số dư khi chia 2945 5 - 3 cho 9 Bài 3.3 A.3: Tìm số dư khi chia (1997 1998 +1998 1999 + 1999 2000 ) 10 cho 111 Bài 3.3 A.4: Tìm số dư khi chia 1532 5 - 1 cho 9 Bài 3.3 A.5: 1) Tìm số dư khi chia 10! cho 11 2) Tìm số dư khi chia 1776 2003 cho 4000 . Bài 3.3 A.6: a) Tìm số dư khi chia 13! cho 11 b) Tìm số dư trong phép chia: 7 15 : 2001 Bài 3.3 A.7: Tìm số dư khi chia 5 70 + 7 50 cho 12 Bài 3.3 A.8: Tìm số dư khi chia 100 2 51200 cho 41 Giải: Vì 41 là số nguyên tố, ta có: 51200 41 ≡ 51200(mod 41) ≡ 32(mod 41) Mặt khác:2 1 ≡ 2(mod 41) , 2 2 ≡ 4(mod 41) , 2 3 ≡ 8(mod 41) , 2 4 ≡ 16(mod 41) , 2 5 ≡ 32(mod 41) , 2 6 ≡ 23(mod 41) , 2 7 ≡ 5(mod 41) ⇒ 2 100 = 2 14.7+2 = (2 7 ) 14 .2 2 ≡ (5) 14 .2 2 (mod 41) Ta có:5 2 ≡ 25(mod 41) , 5 3 ≡ 2(mod 41) ⇒ 5 14 = 5 3.4 +2 =(5 3 ) 4 .5 2 ≡ 2 4 .5 2 (mod 41) ≡ 31(mod 41) Nên: 2 100 ≡ (5) 14 .2 2 (mod 41) ≡ 31.2 2 (mod 41) ≡ 1(mod 41) ABC ⇒ V 2 100 = 41q +1 (q ∈ N) Vậy: 100 2 51200 =51200 41q +1 = (51200 41 ) q .51200 ≡ (32) q .51200(mod 41) ≡ (32) q .32(mod 41) ≡ (32) q+1 (mod 41) (q ∈ N) Cách này không ra! Cách khác:Ta có:51200 40 ≡ 1(mod 41) ,51200 ≡ 32(mod 41) Mà: 2 2 ≡ -1(mod5) ⇒ (2 2 ) 48 ≡ 1 (mod5) ⇒ (2 2 ) 48 .2 ≡ 1.2 (mod5) ⇒ 2 97 ≡ 2 (mod5) ⇒ 2 97 .2 3 ≡ 2.2 3 (mod5.2 3 ) ⇒ 2 100 ≡ 16 (mod 40) Nên: 2 100 = 40q +16 Cho nên: 100 2 51200 =51200 40q +16 = (51200 40 ) q .51200 16 ≡ 32 16 (mod 41) Mà: 32 16 = 2 80 = (2 40 ) 2 ≡ 1(mod 41) Vậy: 100 2 51200 ≡ 1(mod 41) Bài 3.3 A.9: a) Viết quy trình tìm số dư khi chia (5 15 + 1) cho (2 12 +1) b) Hãy tìm số dư r . Bài 3.3 A.10: Tính phần dư của các số 7 0 ; 7 1 ; 7 2 ; 7 3 ; 7 4 ; 7 5 ; 7 6 ; 7 7 ; 7 8 ; 7 9 ; 7 10 ; 7 11 khi chia cho 13 và điền vào bảng sau: 7 0 7 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 7 10 7 11 Số dư Bài 3.3 A.11: a) Tìm số dư khi chia 1997 2008 cho 2003 b/ Tìm số dư khi chia 1997 2001 cho 2003 c/ Tìm số dư khi chia 2 100 cho 100 d/ Tìm số dư khi chia 9 100 cho 100 e/ Tìm số dư khi chia 11 201 cho 100 Bài 3.3 A.12: Tìm số dư khi chia 102007 200708 cho 111007 B - Chứng minh chia hết: Bài 3.3B.1: 1) Chứng minh rằng: 4 2n+1 + 3 n+2  13 . 2) Chứng minh rằng với bất kì số nguyên dương n thì biểu thức: [7.5 2n + 12.6 n ]  19 Bài 3.3B.2: a/ Chứng minh rằng: 2 4n - 1  15 b/ Chứng minh rằng: 69 69 +19 19  44 Bài 3.3 B.3: a)Chứng minh rằng: 1890 1930 + 1945 1975  7 b) 19 2007 +13 2004  5 Bài 3.3 B.4: Chứng minh rằng: 220 69 119 + 119 220 69 +69 119 220  102 Bài 3.3 B.5: Chứng minh rằng: a) 2 5n - 1  31 b) (n 2 + n - 1) 2 - 1  24 Bài 3.3 B.6: Chứng minh rằng: 2 5 2 + 1  461 Bài 3.3 B.7: Chứng minh rằng: a) 1 n + 2 n + 3 n + + m n ≡ 0 (mod m ) . b) A = n 8 - n 6 - n 4 + n 2 chia hết cho 5760 với n là số tự nhiên lẻ. c) B = 9n 3 + 9n 2 + 3n - 16 không chia hết cho 343 với mọi số nguyên n. Bài 3.3 B.8: Chứng minh rằng: 2222 5555 + 5555 2222  7 Giải: Ta có:2222 ≡ 3(mod7) , 5555 ≡ 4(mod7) Mặt khác:2222 6 ≡ 1(mod7) , 5555 = 5(mod6) ⇒ 5555 = 6q +5 (q ∈ N) nên 2222 5555 = 2222 6q +5 = (2222 6 ) q .2222 5 ≡ 3(mod7) Tương tự: 5555 2222 ≡ 4(mod7) Vậy: 2222 5555 + 5555 2222 ≡ 7(mod7) ≡ 0(mod7) ⇒ đpcm Bài 3.3 B.9: Chứng minh rằng: ∀ n ∈ N * ta có: a) 2 2 4 2 1 7 n n + +  b) 2 2 15 1 9 n n+ −  Giải:a) Với n = 1 thì: 1 1 2 2 2 2 4 2 1 4 2 1 21 7 n n + + = + + =  Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k ∈ N , k ≥ 1) tức là: 2 2 4 2 1 7 k k + +  Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 tức là: 1 1 2 2 4 2 1 7 k k+ + + +  Thật vậy: 1 2 4 k+ ≡ 2 nếu k chẵn và ≡ 4 nếu k lẻ 1 2 2 k+ ≡ 4 nếu k chẵn và ≡ 2 nếu k lẻ Vậy: 1 1 2 2 4 2 1 7 k k+ + + +  với * k∀ ∈Ν ⇒ đpcm Bài 3.3 B.10: CMR: a) 2 1 2 2 n+ +3  7 b) 10 1 2 2 19 23 n+ +  c) 6 2 2 2 21 37 n+ +  Giải: c) Ta có:2 36 ≡ 1 (mod 37) Mà: 2 6 ≡ 1(mod 9) nên:(2 6 ) n ≡ 1(mod 9) ⇒ (2 6 ) n .2 2 ≡ 1.2 2 (mod9. 2 2 ) ⇒ 2 6n +2 ≡ 4 (mod36) ⇒ 2 6n +2 =36q +4 (q ∈ N) Nên: 6 2 2 2 n+ = 2 36q+ 4 =(2 36 ) q .2 4 ≡ 16 (mod 37) Vậy: 6 4 2 2 21 16 21(mod37) 0(mod37) n dpcm + + ≡ + ≡ ⇒ Bài 3.3 B.11: Số 3 12 - 1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79. Tìm hai số đó. Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: a/2001 2004 + 2003 2006  10 b/ 7 + 7 2 + 7 3 + …+7 2008  400 Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì : 3 n+2 - 2 n+2 +3 n - 2 n  10 C - Số tận cùng: Ta có: 4 3 2 1 .10 .10 .10 .10abcde a b c d e= + + + + Cho nên: - Tìm 1 chữ số tận cùng:Ta xét đồng dư mod 10 1 - Tìm 2 chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 10 2 - Tìm 3 chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 10 3 - Tìm n chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 10 n Bài 3.3C. 1: a/Tìm 1 chữ số tận cùng của số:9 9 9 b/Tìm 2 chữ số tận cùng của số: 14 14 14 c/Tìm 2 ,3,4,5 chữ số tận cùng của số: 5 21 Bài 3.3 C. 2: Tìm chữ số tận cùng của số:2 4 3 Bài 3.3 C. 3: Tìm chữ số tận cùng của số:14 14 14 Giải:Ta có:14 ≡ 4(mod 10) Mà: 14 ≡ - 1 (mod 5) ⇒ 14 13 ≡ - 1 (mod 5) ⇒ 14 13 .7 ≡ - 1.7 (mod 5) ⇒ 14 13 .7 .2 ≡ - 1.7.2 (mod 5.2) ⇒ 14 14 ≡ - 14 (mod 10) ≡ 6 (mod 10) Nên: 14 14 =10q +6 (q ∈ N) Vậy: 14 14 14 = 14 10q +6 = 14 (5q+3).2 = (14 5q +3 ) 2 Vì : q ∈ N nên 14 5q +3 luôn có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6 Do đó: (14 5q +3 ) 2 luôn có chữ số hàng đơn vị là 6 Cách 2: Ta có:14 2 ≡ 6 (mod 10) Nên: (14 2 ) 7 ≡ 6 7 (mod 10) ≡ 6 (mod 10) ⇒ 14 14 = 10 q +6 (q ∈ N) ⇒ 14 14 14 = 14 10q +6 = (14 2 ) 5q .14 6 ≡ 6. 14 6 (mod 10) ≡ 6. (14 2 ) 3 (mod 10) ≡ 6. 6 3 (mod 10) ≡ 6 4 (mod 10) ≡ 6 (mod 10) Vậy: Chữ số tận cùng là 6. Bài 3.3 C. 4: Tìm 2,3,4,5, 6 chữ số tận cùng của số:5 21 HD: 5 21 =5 14 .5 4 .5 3 ≡ 203125 (mod 10 6 ) Bài 3.3 C. 5: Tìm 8 chữ số tận cùng của số:5 1995 Bài 3.3 C. 6: a) Tìm 2 chữ số tận cùng của: 9 9 9 b)Tìm 2 chữ số tận cùng của: 9 9 9 11 Giải: a) Vì 100 = 2 2 .5 2 nên: (100) 1 1 100(1 )(1 ) 40 2 5 Ψ = − − = Ta có: 9 40 ≡ 1(mod 100) Mặt khác: 9 2 ≡ 1(mod 40) ⇒ (9 2 ) 4 ≡ 1(mod 40) ⇒ (9 2 ) 4 .9 ≡ 1.9(mod 40) ⇒ 9 9 = 40q + 9 (q ∈ N) Vậy: 9 9 9 = 9 40q + 9 = (9 40 ) q .9 9 ≡ 9 9 (mod 100) ≡ 89 (mod 100) KL: Hai chữ số tận cùng của 9 9 9 là:89 b) Ta có: 9 9 9 ≡ 89 (mod 100) nên 9 9 9 = 100k + 89 (k ∈ N) ⇒ 9 9 9 11 = 11 100k + 89 = (11 100 ) k .11 89 mà 11 5 ≡ 51(mod 100) ⇒ (11 5 ) 2 ≡ 1(mod 100) ⇒ (11 10 ) 10 ≡ 1(mod 100) ⇒ 11 100 ≡ 1(mod 100) Nên: 9 9 9 11 ≡ 11 89 (mod 100) ≡ 11 40.2+9 (mod 100) ≡ (11 40 ) 2 .11 9 (mod 100) ≡ 11 9 (mod 100) ≡ 91 (mod 100) KL: Hai chữ số tận cùng của 9 9 9 11 là: 91 Bài 3.3 C. 7: Tìm chữ số tận cùng của 2 1 + 3 5 + 4 9 + + 2004 8009 Bài 3.3 C. 8: Tìm số tận cùng của các số: 6 713 và 2 1000 Bài 3.3 C. 9: Tìm hai số tận cùng của số: 2 1999 + 2 2000 + 2 2001 Bài 3.3 C.10: Tìm hai số tận cùng của số:2 999 . Bài 3.3 C.11: Tìm 3 số tận cùng của số: 2010 70 2011 8 90 1 1 4 5 22 19A = + Bài 3.3 C.12: Tìm chữ số tận cùng của số:20072008 20072008 . Bài 3.3 C.13: Tìm hai số tận cùng của số: 9 9 9 9 9 9 9+ Bài 3.3 C.14: Tìm hai số tận cùng của số:101 2 + 102 3 +103 4 +104 5 . : Dãy số Dạng 5.1: Khi biết 2 hoặc 3 số hạng đầu tiên Bài 5.1.1: Cho      += == −+ 11 10 1 nnn UUU UU a) Tính U 6 . b) Lập quy trình tính U n ? Bài 5.1.2: Cho    += == −+ 11 21 2008 2,1 nnn UUU UU a) Tính U 10 b) Lập quy trình tính U n+1 ? Bài 5.1.3: Cho U 1 = 1 , U 2 = 3,U n+2 = 3U n+1 - 2U n a) Lập quy trình tính U n b) Tính U 17 , U 18 , U 25 , U 27 . Bài 5.1.4: Cho U 1 = - 3 ;U 2 = 4 ; U n+2 = U n + U n+1 , n = 1 ,2 , 3 1) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính U n , n ≥ 3 . 2) Tính U 22 ; U 23 ; U 24 ; U 48 ; U 49 ; U 50 . 3) Tính chính xác đến 5 chữ số và điền vào bảng sau: 1 2 U U 3 2 U U 4 3 U U 5 4 U U 6 5 U U 7 6 U U Bài 5.1.4: Cho dãy số : u 1 = 1 ; u 2 = 2 ; u n+1 = 3u n + u n-1 , n ≥ 2 ( n là số tự nhiên). 1) Hãy lập một quy trình tính u n+1 . 2) Tính các giá trị của u n với n = 18 ; 19 ; 20. Bài 5.1.5: Cho dãy số : u 1 = 1 ; u 2 = 1 ; ; u n+1 = u n + u n-1 ,với mọi n ≥ 2. 1) Hãy lập một quy trình bấm phím tính u n+1 . 2) Tính u 12 , u 48 , u 49 và u 50 . Bài 5.1.6: Cho dãy số sắp theo thứ tự với u 1 = 2 ; u 2 = 20 và từ u 3 trở lên được tính theo công thức : u n+1 = 2u n + u n-1 , với n ≥ 2. 1) Tính giá trị của u 3 ; u 4 ; u 5 ; u 6 ; u 7 ; u 8 . 2) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của u n với u 1 = 2 ; u 2 = 20. 3) Sử dụng quy trình trên , tính giá trị của u 22 ; u 23 ; u 24 ; u 25 . Bài 5.1.7: Cho dãy số u 1 = 144 ; u 2 = 233 ; ; u n+1 = u n + u n-1 với mọi n ≥ 2. 1) Hãy lập quy trình bấm phím để tính u n+1 với mọi n ≥ 2 . 2) Tính u 12 ; u 37 ; u 38 ; u 39 . Bài 5.1.8: Cho dãy số { } n u được tạo thành theo quy tắc sau : Mỗi số sau bằng tích hai số trước cộng với 1 , bắt đầu từ u 0 = u 1 = 1 . 1) Lập một quy trình tính u n . 2) Tính các giá trị của u n , n = 2 ,3 , ,9 . 3) Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4 ? .Nếu có , cho ví dụ . Nếu không , hãy chứng minh . Bài 5.1.9: Cho dãy số u 1 = 144 ; u 2 = 233 ; ; u n+1 = u n + u n-1 với mọi n ≥ 2. 1/ Tính u n với n = 3,4,5,6,7,8. 2/ Hãy lập quy trình bấm phím để tính u n với mọi n ≥ 2 . 3/ Tính chính xác giá trị của u n với n = 13,14,15,16,17. Bài 5.1.10: Dãy số u n được xác định như sau: u 0 = 1 ; u 1 = 1 ; u n+1 = 2u n - u n-1 +2 , n = 1,2 , a/ Lập một quy trình tính u n . b/ Tính các giá trị của u n với n = 1, ,20. c/ Biết rằng với mỗi n ≥ 1 bao giờ cũng tìm được chỉ số k để u k =u n .u n+1 Ví dụ:u 1 .u 2 =3=u 2 .Hãy điền chỉ số k vào các đẳng thức sau: u 2 .u 3 = u k ; u 3 .u 4 = u k ; u 4 .u 5 = u k . d/ Với mỗi n ≥ 1 hãy tìm chỉ số k để u k = u n .u n+1 . Bài 5.1.11: Cho u 1 =1 ; u 2 = 2 ; u 3 = 3 ; u n+3 = 2u n+2 - 3u n+1 + 2u n (n ≥ 2). a/ Lập quy trình bấm phím liên tục để tính u n . b/ Áp dụng quy trình trên để tính u 19 ; u 20 ; u 66 ; u 67 ; u 68 . c/ Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy. Bài 5.1.12: Cho u 5 = 588 ; u 6 = 1084 ; u n+1 = 3u n -2u n-1 .Tính u 1 ; u 2 ; u 25 ;u 30 . Dạng 5. 2: Khi biết 1 số hạng đầu tiên Bài 5.2.1: Cho dãy số: x n+1 = 4 1 n n x x + + với n ≥ 1 a) Lập quy trình tính x n+1 với x 1 = 1 và tính x 100 b) Lập quy trình tính x n+1 với x 1 = - 2 và tính x 100 Bài 5.2.2: Cho dãy số: x n+1 = 2 2 5 4 1 n n x x + + với n ≥ 1 Lập quy trình tính x n+1 với x 1 = 0,25 và tính x 100 Bài 5.2.3: Cho dãy số tự nhiên: U 0 ; U 1 ; Có: U 0 = 1 và U n+1 × U n-1 = k .U n (với k là số tự nhiên) a) Lập một quy trình tính U n+1 b) Cho k = 100 ; U 1 = 200 . Tính U 1 ;… ;U 100 c) Biết U 2000 = 2000.Tính U 1 và k . Bài 5.2.4: Cho dãy số xác định bởi công thức: x n+1 = 3 1 3 n x + 1) Biết x 1 = 0,5 . Lập quy trình bấm phím liên tục để tính x n . 2) Tính x 12 ; x 51 . Bài 5.2.5: Cho dãy số : x n+1 = 2 2 n n x x + 1) Lập một quy trình bấm phím tính x n+1 với x 1 = 1 . Sau đó tính x 50 . 2) Lập một quy trình bấm phím tính x n+1 với x 1 = - 1 . Sau đó tính x 50 . Bài 5.1.6: Cho dãy số u 1 = 5 12 π ; u 2 = 1 - cosu 1 ; ; u n+1 = 1- cosu n . 1) Hãy lập quy trình bấm phím để tính u n+1 . 2) Tính u 50 . Bài 5.1.7: Cho dãy số: 1 6 1 n n n x x x + + = + với n = 1,2,3 , và x 1 = 5 12 cos π . Tính x 50 . Dạng 5.3: Không biết số hạng đầu tiên Bài 5.3.1: Cho dãy số: U n = ( 2 53+ ) n + ( 2 53 − ) n - 2 Với n = 0, 1, 2, 3, a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy? b) Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-1 ? c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n+1 theo U n và U n-1 ? Bài 5.3.2: Cho dãy số: U n = 72 )75()75( nn −−+ Với n = 0,1, 2, 3, a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy? b) Chứng minh rằng U n+2 = 10U n+1 - 18 U n c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n+2 theo U n+1 và U n ? Bài 5.3.3: Ký hiệu S n = x n 1 + x 2 n Trong đó x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 - 8x + 1 = 0 a) Lập công thức truy hồi tính S n+1 theo S n và S n-1 ? b) Tính S 6 , S 7 , S 8 . . Bài 5.3.4: Cho dãy số: U n = (4 15) (4 15) n n + + − Với n = 0,1, 2, 3, 1/ Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-1 ? 2/ Tính chính xác giá trị của U n với n = 10,11,12,13,14. Bài 5.3.5: Cho dãy số: U n = (13 3) (13 3) 2 3 n n + − − Với n = 0,1, 2, 3, a) Tìm U n với n = 0,1, 2, 3,4,5,6,7,8. b) Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-1 ? c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n+1 theo U n và U n-1 ? Bài 5.3.6: Cho dãy số: U n = (6 2 7) (6 2 7) 4 7 n n + − − a) Tìm U n với n = 0,1, 2, 3,4,5,6,7,8. b) Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-1 ? c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n+1 theo U n và U n-1 ? Bài 5.3.7: Cho 3 2 n n u n − = (n ≥ 1) ; S n = u 1 + u 2 + + u n . Tính S 20 Bài 1: Tính gần đúng giá trị của các biểu thức sau: 1.1) A = 33 93221 2 −−+ 1.2) B = 2 0 3 0 2 0 3 0 3 0 3 0 2 cos 55 .sin 70 10cotg 50 .cotg 65 3 cos 48 .cotg 70 − Bài 2: Tìm tất cả các số có dạng yx534 chia hết cho 36. Bài 3: Kí hiệu M = 2 1 3 1 5 1 7 1 + + + + 4 3 5 6 8 7 9 1 + + + ; N = b a 1 1 7 1 5 1 3 1 + + + + 3.1) Tính M, cho kết quả dưới dạng phân số. Bài 4: Cho : x 3 + y 3 = 10,1003 và x 6 + y 6 = 200,2006. Hãy tính gần đúng giá trị biểu thức x 9 + y 9 . Bài 7: Xét các số thập phân vô hạn tuần hoàn : E 1 = 0,29972997 với chu kì là (2997) ; E 2 = 0,029972997 với chu kì là (2997) E 3 = 0,0029972997 với chu kì là (2997). 7.1) Chứng minh rằng số T = 1 3 E + 2 3 E + 3 3 E là số tự nhiên. 7.2) Số các ước nguyên tố của số T là: Bài 8: Tìm x, y nguyên dương, x ≥ 1 thỏa mãn: y = 3 19 −+ x + 3 19 −− x . Bài 9: Cho dãy số {U n } như sau: U n = ( ) n 625+ + ( ) n 625− với n = 1, 2, 3, 9.1) Chứng minh rằng U n+2 + U n = 10U n+1 với ∀ n = 1, 2, 3, 9.2) Lập một quy trình bấm phím liên tục để tính U n+2 với n ≥ 1. (nêu rõ dùng cho loại máy nào) Bài 10: Cho tam giác ABC với đường cao AH. Biết góc ABC = 45 0 , BH = 2,34cm, CH = 3,21cm. 10.1) Tính chu vi tam giác ABC. (chính xác đến 5 chữ số thập phân) 10.2) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. (chính xác đến 5 chữ số thập phân) 7.1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc 2: Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai với hệ số là hằng số có dạng: n 2 n 1 n ax bx cx 0 (*); vôùi n 0;1;2; + + + + = = trong đó a ≠ 0; b, c là hằng số. Nghiệm tổng quát: • Nếu c = 0 thì phương trình (*) có dạng: n 2 n 1 n 2 n 1 n 1 b ax bx 0 x x x a + + + + + + = ⇔ = − = λ có nghiệm tổng quát n n+1 1 x = xλ . • Nếu phương trình (*) có phương trình đặc trưng là 2 a + b + c = 0λ λ có hai nghiệm 1 2 ,λ λ thì việc tìm nghiệm dựa vào các mệnh đề sau: Mệnh đề 1: Giả sử hai nghiệm của phương trình đặc trưng là phân biệt ( 1 2 λ ≠λ ) khi ấy phương trình (*) có nghiệm tổng quát là: n n n 1 1 2 2 x = C + Cλ λ trong đó C 1 , C 2 là những số bất kỳ gọi là hằng số tự do và được xác định theo điều kiện ban đầu x 0 , x 1 . Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình sai phân: 0 1 n 2 n 1 n u 7;u 6;u 3u 28u + + = = − = + . Giải Phương trình đặc trưng 2 -3 28 = 0λ λ − có hai nghiệm 1 2 4; 7λ = − λ = . Vậy nghiệm tổng quát có dạng: n n n 1 2 u = C (-4) +C 7 . Với n = 0 ta có: 1 2 0 C + C 7( x )= = Với n = 1 ta có: 1 2 1 -4.C +7C 6( x )= − = Giải hệ 1 2 1 2 C + C 7 -4.C + 7C 6 =   = −  => 1 2 C 5 C 2 =   =  Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: n n n u = 5.(-4) +2.7 Mệnh đề 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép 1 2 b a λ =λ = − thì nghiệm tổng quát của phương trình (*) có dạng: ( ) = n n n n 1 1 2 1 1 2 1 x = C + C n C + C nλ λ λ trong đó C 1 , C 2 là hằng số tự do và được xác định theo điều kiện ban đầu x 0 , x 1 . Ví dụ 2: Tìm nghiệm phương trình sai phân: 0 1 n 2 n 1 n u 1;u 2;u 10u 25u + + = − = = − . Giải Phương trình đặc trưng 2 -10 25 = 0λ λ + có hai nghiệm 1 2 5λ =λ = . Vậy nghiệm tổng quát có dạng: n n 1 2 u = (C + C n)5 . Với n = 0 ta có: 1 C 1= − Với n = 1 ta có: 1 2 2 7 (C + C ).5 2 C 5 = => = Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: n n 7 u = (-1+ n)5 5 Mệnh đề 3: Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm thực thì nghiệm tổng quát của phương trình (*) có dạng: ( ) n 1 2 r C cosn C sinnϕ+ ϕ n x = trong đó 2 2 B r A B ; arctg ; A = + ϕ = b A ;B 2a 2a ∆ = − = ; C 1 , C 2 là hằng số tự do xác định theo điều kiện ban đầu x 0 , x 1. Ví dụ 3: Tìm nghiệm của phương trình sai phân: 0 1 n 2 n 1 n 1 u 1;u ;u u u 2 + + = = = − Giải Phương trình đặc trưng 2 - 1= 0λ λ + có hai nghiệm phức 1,2 1 i 3 2 ± λ = . Ta có: 1 3 A ;B ;r 1; 2 2 3 π = = = ϕ = Vậy nghiệm tổng quát có dạng: n 1 2 n n u = C cos C sin 3 3 π π + . Với 0 1 1 u 1;u 2 = = thì C 1 = 1 và 1 2 1 C cos C sin 3 3 2 π π + = => C 2 = 0. Vậy nghiệm tổng quát có dạng: n n u = cos 3 π . Bài tập Tìm nghiệm u n của các phương trình sau: a. 0 1 n 2 n n 1 u 8;u 3;u 12u u + + = = = − b. 0 1 n 2 n 1 n u 2;u 8;u 8u 9u 0 + + = = − + − = c. 0 1 n 2 n 1 n u 1;u 16;u 8u 16u 0 + + = = − + = 7.2. Phương trình sai phân phi tuyến bậc 2: 7.2.1. Mở đầu: Dạng tổng quát: F(x n+2 , x n+1 , x n ) = 0; n = 0; 1; 2; …. [...]... = 1 7.3.3 Tính số hạng thứ n của dãy khi biết công thức truy hồi: Các giải: Nếu lặp theo công thức truy hồi mà số lần lặp quá nhiều sẽ dẫn đến thao tác sai, do đó ta sẽ đi tìm công thức tổng quát cho số hạng un theo n sau đó thực hiện tính Ví dụ 3: Cho dãy số u 0 = 2; u1 = 10 vaø u n +1 = 10u n − u n −1 Tính số hạng thứ u100? Giải - Cách 1: Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím:... truy hồi để tính u n +2 theo u n +1 , un Giải - Cách 1: Giả sử u n + 2 = au n +1 + bu n + c (*) Với n = 0, 1, 2, 3 ta tính được u 0 = 0; u1 = 1; u 2 = 6; u3 = 29; u 4 = 132 a + c = 6 a = 6   Thay vào (*) ta được hệ phương trình : 6a + b + c = 29 =>  b = −7 29a + 6b + c = 132 c = 0   Vậy u n +2 = 6u n +1 − 7un Chú ý: Với bài trên ta có thể giả sử u n +2 = au n +1 + bu n thì bài toán sẽ... 2 − 6λ + 1 = 0 có nghiệm λ1,2 = 3 ± 8 ( Công thức nghiệm tổng quát u n = C1 3 + 8 Từ các giá trị ban đầu suy ra: C1,2 = Vậy số hạng tổng quát: u n ( 8+ = ) n 8 ± 66 8 )( 66 3 + 8 + C2 3 − 8 ( ) ) +( 8− )( n n 66 3 − 8 8 ) n Bài tập 2 Bài 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau: u 0 = 0; u n +1 = 5u n + 24un + 1 Bài 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số: u1 = 1; u n +1 = un 2 + 3 + u2 n 7.3 Một... phím: 2 SHIFT STO A 10 SHIFT STO B Lặp lại các phím: 10 ALPHA B − ALPHA A SHIFT STO A 10 ALPHA A − ALPHA B SHIFT STO B Bây giờ muốn tính u100 ta ∆ = 96 lần  Cách 2: ( Tìm công thức tổng quát u n = 5 + 2 6 ) +( 5−2 6) n Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) (5+2 6 ) $ 100 + ( 5 − 2 n 6 ) $ 100 = Nhận xét: Như vậy cách 2 sẽ nhanh và chính xác hơn nhiều so với cách 1 nhưng sẽ mất thời gian để tìm ra...Dạng chính tắc: xn+2 =f( xn+1, xn) ; n = 0; 1; 2; … 2 2 Ví dụ: Tính giá trị dãy: u 0 = u1 = 1; u n +1 = u n + un −1; ∀n ≥ 2 7.2.2 Phương pháp tuyến tính hóa: 7.2.2.1 Phương pháp biểu diễn nghiệm dưới dạng tuyến tính: u2 + 2 ; ∀n ≥ 3 Tìm dạng tuyến tính của dãy đã cho? Ví dụ 1: Cho dãy u 0 = u1 = 1; u n = n −1 un −2 Giải -Gọi số hạng tổng quát của dãy có... 100 + ( 5 − 2 n 6 ) $ 100 = Nhận xét: Như vậy cách 2 sẽ nhanh và chính xác hơn nhiều so với cách 1 nhưng sẽ mất thời gian để tìm ra công thức tổng quát Do đó nếu số hạng cần tính là nhỏ thì ta dùng cách 1, còn lớn ta sẽ dùng cách 2 ... được hệ phương trình : 6a + b + c = 29 =>  b = −7 29a + 6b + c = 132 c = 0   Vậy u n +2 = 6u n +1 − 7un Chú ý: Với bài trên ta có thể giả sử u n +2 = au n +1 + bu n thì bài toán sẽ giải nhanh hơn  Cách 2: Đặt λ1 = 3 + 2; λ 2 = 3 − 2 khi ấy λ1 + λ 2 = 6 vaø λ1 λ 2 = 7 chứng tỏ λ1 , λ 2 là nghiệm của phương trình đặc trưng 2 2 λ 2 − 6λ + 7 = 0 ⇔ λ 2 = 6λ − 7 do đó ta có: λ1 = 6λ1 − 7 và λ 2 = 6λ 2 . phím tính S n .b/ Hãy tính S 5 ;S 10 ;S 15 ;S 20 . Bài 1.2.3.10: Cho dãy số u n Với u 1 = 7 ;u 2 = 7 7+ ;u n = 7 7 7+ + 1 4 4 2 4 43 a/ Viết quy trình bấm phím tính u n .b/ Tính u 1000 Bài. trình tính C n . b/ TínhC 50 ; C 100 . Bài 1.2.3.25: Cho T n = ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 1 2 1 2 Sin Sin Sin Sin Sin Sin n+ + + + + + a/ Viết quy trình tính T n b /Tính T 100 . Bài. trình tính U n ? Bài 5.1.2: Cho    += == −+ 11 21 2008 2,1 nnn UUU UU a) Tính U 10 b) Lập quy trình tính U n+1 ? Bài 5.1.3: Cho U 1 = 1 , U 2 = 3,U n+2 = 3U n+1 - 2U n a) Lập quy trình tính