HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ KHỐI 11- NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Thời gian làm bài 180 phút TP ĐÀ NẴNG (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Câu 1. (4,0 điểm) Tìm tất cả các số thực ,x y thỏa hệ: 1 1 , 0 2 1 x y x y x y x y + + ì ï > ï ï ï + = í ï ï ï ³ ï î . Câu 2. (4,0 điểm) Cho số thực ,a xét dãy số ( ) 1 n n x ³ được xác định bởi 3 1 1 2 6 6 , , 1,2, 3 9 7 n n n n n x x x a x n x x + - - = = = + + Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó? Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H , nội tiếp đường tròn ( ) O . Đường thẳng CH cắt AB tại D . Đường thẳng qua D vuông góc với OD , cắt đường thẳng BC tại .E Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCH cắt đường thẳng AB tại F ( F không trùng B ). Chứng minh ba điểm , ,E F H thẳng hàng. Câu 4. (4,0 điểm) Tìm số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho tồn tại hàm số { } * : \ 1;0;1f ® -¥ ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau i/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2015 , 1 2016 ;f m f f m f= + = ii/ ( ) ( ) ( ) 1 , 1,2, 1 f n f n m n f n - + = = + Câu 5. (4,0 điểm) Cho các số nguyên dương , ;m n một bảng hình vuông kích thước n n´ được gọi là bảng “ m- hoàn thiện” nếu tất cả các ô của nó được điền bởi các số nguyên không âm (không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng các số trên mỗi hàng và mỗi cột đều bằng .m Hỏi có tất cả bao nhiêu cách lập bảng “2015-hoàn thiện” kích thước 3x3 sao cho số nhỏ nhất trong các số ở các ô trên đường chéo chính nằm ở vị trí tâm của bảng? (Ô ở đường chéo chính của bảng là ô ở vị trí giao của dòng có số thứ tự tính từ trên xuống và cột có số thứ tự tính từ trái sang bằng nhau; ô ở tâm bảng 3x3 là ô ở dòng thứ 2 và cột thứ 2). HẾT P N +BIU IM CHM MễN TON KHI 11 Cõu í Ni dung im 1 Ta chng minh nu cỏc s ,x y tha món hai iu kin u thỡ ( ) ( ) 1 1 1 1 ln 1 ln 0 x y x y x x y y + + Ê + + + Ê Thay 2y x= - , ta chng minh ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ln 3 ln 2 0f x x x x x= + + - - Ê vi 0 2x< < Ta cú ( ) ( ) 1 1 ' ln ln 2 2 f x x x x x = - - + + - ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 '' 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 f x x x x x x x x x x x x x x ộ ự ờ ỳ = + - + ờ ỳ - - ờ ỳ ở ỷ ổ ử ổ ử - ữ ữ ỗ ỗ Ê + - + =- + Ê ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ - - - - 2,0 Do ú ( ) 'f x nghch bin trờn ( ) 0;2 , hn na ( ) ' 1 0f = nờn ( ) 'f x nhn giỏ tr dng trờn ( ) 0;1 v õm trờn ( ) 1;2 . Suy ra ( ) ( ) 1 0f x fÊ = vi mi ( ) 0;2 .x ẻ T ú, h phng trỡnh cú nghim 1.x y= = 2,0 2 Vi 1a =- thỡ 1, 1 n x n=- " nờn lim 1 n n x đ+Ơ =- 0,5 Vi 1a ẽ - thỡ ( ) ( ) 3 3 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 , 2 , 2 3 9 7 3 9 7 n n n n n n n n x x x x n x x x x - - - - - - + + + = + = " + + + + Do ú 1 3 3 1 1 2 2 2 , 1 1 1 1 n n n n n x x a n x x a - - - ổ ử ổ ử + + + ữ ỗ ữ ỗ ữ = = " ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗỗ ữ ỗ ố ứ + + + ố ứ T ú, tớnh c ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 3 3 3 3 2 1 2 , 1 2 1 n n n n n a a x n a a - - - - + - + = " + - + , 2,0 Kt lun + 3 1 2 lim 2 2 n n a a a x đ+Ơ <- ị + > + ị =- + 3 1 2 lim 1 2 n n a a a x đ+Ơ >- ị + < + ị =- + 3 3 3 , 1 lim . 2 2 2 n n n a x n x ®+¥ =- Þ =- " ³ Þ =- 1,5 3 Gọi ,I J lần lượt là giao điểm của đường thẳng DE với đường tròn ( ) ,ABC I và A nằm cùng phía đối với BC . Vì OD IJ^ nên D là trung điểm IJ . Ta có · · · · 0 90DCF DBH BAC DCA= = - = nên D là trung điểm AF , vậy tứ giác AIFJ là hình bình hành, suy ra · · .IFJ IAJ= 1,5 Gọi K là giao điểm đường thẳng CD với đường tròn ( ) ABC ( K khác C ), thì D là trung điểm HK , do đó tứ giác IKJH là hình bình hành, nên · · IKJ IHJ= . 0,5 Ta có · · · · 0 180IFJ IHJ IAJ IKJ+ = + = nên các điểm , , ,I F J H nằm trên một đường tròn. 0,5 Vì IJ là trục đẳng phương của hai đường tròn ( ) ABC , ( ) IHJ ; BC là trục đẳng phương hai đường tròn ( ) ( ) ,ABC HBC nên giao điểm E của ,BC IJ là tâm đẳng phương ba đường tròn ( ) ( ) ,ABC HBC và ( ) IHJ nên điểm E nằm trên FH là trục đẳng phương hai đường tròn ( ) ( ) , .IHJ HBC 1,5 4 Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) * 1 2 4 ,f n m f n m f n n f n + =- Þ + = " Î ¥ 0,5 Với 1m = , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) * 4 4 , ,f n f n f n k f n k n+ = Þ + = " Î ¥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 1 1 2 ; 1 , 1 f n f n f n n f n f n - + =- + = " Î + ¥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2015 4.503 3 3 1 f f f f f = = + = =- : vô lý. 1,0 Với 2m = , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) * 8 8 , ,f n f n f n k f n n k+ = Þ + = " Î ¥ và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 1 1 4 ; 2 , 1 f n f n f n n f n f n - + =- + = " Î + ¥ Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2015 251.8 7 7 ; 3 f f f f f = = + = =- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2016 251.8 8 8 4 2 1 2 4 2 1 2 1 f f f f f f f f f f = = + = =- - Þ = = Þ =- + Điều mâu thuẫn trên dẫn đến 3.m³ 1,0 Với 3,m = ta xây dựng được vô số hàm f thỏa yêu cầu bài toán như sau Cho { } \ 1;0;1a Î -¡ , đặt ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ; 2 ; 3 ; 1 a f a f f a a + = = =- - và ( ) ( ) ( ) 1 3 , 1 1 f n f n n f n - + = " ³ + Khi đó, chứng minh quy nạp thì hàm số xác định trên * ¥ và ( ) { } * \ 1;0;1 ,f n nÎ - " Ρ ¥ hơn nữa theo chứng minh trên ( ) ( ) 1 6f n f n + =- , ( ) ( ) * 12 , ,f n k f n n k+ = " Î ¥ 1,5 Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2015 167.12 11 11 3 5 1 2 f f f f f f f a + = + = =- = =- = - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 1 2016 167.12 12 12 4 6 1 3 1 f a f f f f f f a + - = + = =- = = = - + Vậy hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 5 Ta giải bài toán trong trường hợp lập bảng “ m- hoàn thiện” kích thước 3x3. Gọi , , ,x y z t lần lượt là các số điền được ở đường chéo chính và ô ở vị trí dòng 1 cột 2 , khi đó các số còn lại ở các ô được xác định duy nhất như hình bên dưới x t m x t- - m z x y t+ - - - y x t z+ - y t z+ - m y t- - z 2,0 Vì các số được điền là không âm và y là số nhỏ nhất trong các số ở đường chéo chính nên các điều kiện sau phải thỏa { } , , , 0; ; ; ; ; min , , x y z t x t m x t z z y t m x y t m z y x y z ³ + £ + ³ £ + £ + + £ + = Các điều kiện trên có thể rút gọn lại thành { } ( ) 0 min , , ; ; *y x y z x t m z y t£ = + £ £ + Khi đó 0 2y y t z x y t z x t m£ £ + - £ + + - £ + £ . Ta thấy rằng bộ bốn số không âm ( ) ;2 ; ;y y t z x y t z x t+ - + + - + sắp theo thứ tự tăng dần xác định duy nhất bộ các số , , ,x y z t thỏa mãn ( ) * và tương ứng với một cách lập bảng “ m- hoàn thiện”. Do vậy, số cách lập được là 4 . 4 m æ ö + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø Áp dụng với 2015m = được kết quả là 2019 . 4 æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 2,0 . HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ KHỐI 11- NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Thời gian làm bài 180 phút TP ĐÀ NẴNG (Đề có 01 trang,. “ m- hoàn thi n” nếu tất cả các ô của nó được điền bởi các số nguyên không âm (không nhất thi t phân biệt) sao cho tổng các số trên mỗi hàng và mỗi cột đều bằng .m Hỏi có tất cả bao nhiêu cách. lập bảng 2015- hoàn thi n” kích thước 3x3 sao cho số nhỏ nhất trong các số ở các ô trên đường chéo chính nằm ở vị trí tâm của bảng? (Ô ở đường chéo chính của bảng là ô ở vị trí giao của dòng