HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT. TỈNH QUẢNG NGÃI ĐỀ THI MÔN TOÁN. KHỐI 11 NĂM 2015 Thời gian làm bài 180 phút ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (Đề này có 1 trang, gồm 5 câu) Câu 1 (4,0 điểm) Cho 2 1k + số nguyên lẻ 0 1 2 , , , ( ) k a a a k ∈L ¥ . Chứng minh rằng phương trình 2 2 1 2 2 1 1 0 0 k k k k a x a x a x a − − + + + + =L không có nghiệm hữu tỷ. Câu 2 (4,0 điểm) Cho dãy ( ) n u xác định như sau: 1 3u = và 2015 1 2014 2 4 , 1,2,3 6 n n n n n u u u n u u + + + = = − + Với mỗi số nguyên dương n, đặt 2014 1 1 4 n n i i v u = = + ∑ . Tìm lim n n v →+∞ . Câu 3 (4,0 điểm) Cho đường tròn (T) tâm O đường kính 2AB R= và điểm I di động trên (T), ( ,I A I B≠ ≠ ). Gọi 1 ( )O , 2 ( )O là hai đường tròn nhận OI làm tiếp tuyến chung đồng thời 1 ( )O tiếp xúc với (T) tại M và tiếp xúc với OA tại N; 2 ( )O tiếp xúc với (T) và OB theo thứ tự tại H và L. Gọi C, D theo thứ tự là giao điểm thứ hai của 1 ( )O với MA và MB. a/ Chứng minh rằng khi I di động trên (T) thì các đường thẳng HL và MN cắt nhau tại một điểm cố định trên (T). b/ Gọi E là giao điểm của CN với BK và F là giao điểm của DN với AK. Chứng minh rằng khi I di động trên (T) ta luôn có (3 2)p R> + , trong đó p là nửa chu vi của tứ giác ABEF. Câu 4 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm f xác định trên tập hợp các số nguyên không âm + ¢ lấy giá trị trên tập hợp đó và thỏa mãn điều kiện: ( ( )) 2,f f n n n + = + ∀ ∈ ¢ Câu 5 (4,0 điểm) Cho tập S gồm tất cả các số nguyên trên trong đoạn [1;2014] . Gọi T là tập hợp gồm tất cả các tập con không rỗng của S. Với mỗi tập hợp X T ∈ , ký hiệu ( )m X là trung bình cộng của tất cả các số thuộc X . Đặt ( ) | | m X m T = ∑ (ở đây tổng được lấy theo tất cả các tập hợp X T ∈ ). Hãy tính giá trị của m. hết Người ra đề Nguyễn Thanh Quang Điện thoại liên hệ: 0983 901 825 ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN, KHỐI 11 Câu Ý Nội dung chính cần đạt Điểm Câu 1 (4 điểm) Giả sử phương trình 2 2 1 2 2 1 1 0 0 k k k k a x a x a x a − − + + + + =L (1) có nghiệm hữu tỷ p x q = , ( , ) 1p q = . 0.5 Thay p x q = vào (1) ta có 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 0 0 k k k k k k q pp a qa qa p a − − − + + + + =L (2) 1.0 Suy ra 2 2 k k a p qM , vì ( , ) 1p q = nên 2k a qM . 1.0 Tương tự ta có 0 a pM . 0.5 Vì 02 , k a a là những số lẻ nên ,p q lẻ. Vế trái của (1) là tổng của 2 1k + số lẻ vì vậy đẳng thức (1) không xảy ra nên phương trình không có nghiệm hữu tỷ. 1.0 Câu 2 (4 điểm) Đặt 2014 α = ta có 2015 1 2014 2 4 ( 2)( 4) 2 2 , (*) 6 ( 4) ( 2) n n n n n n n n n u u u u u u u u u α α + + + − + − = − = − + + − − 0.5 Bằng quy nạp ta chứng minh được 3, 1 n u n> ∀ > 0.5 Xét 1 2 1 2 4 ( 2) 0, 3 6 6 n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u α α α + + + + − − = − = > ∀ ≥ − + − + Do đó ( ) n u là dãy tăng và 1 2 3 n u u u= < < < <L L Giả sử ( ) n u bị chặn trên, suy ra lim n n u a →+∞ = , 3a > . Khi đó ta có 0.5 0.5 1 4 2 3 6 a a a a a a α α + + + = ⇒ = < − + (vô lí), suy ra ( ) n u không bị chặn trên. Vậy lim n n u →+∞ = +∞ 0.5 Từ (*) suy ra 1 1 1 1 2 2 4 n n n u u u α + = − − − + , hay 1 1 1 1 4 2 2 n n n u u u α + = − + − − 0.5 2014 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 2 n n n i i i i i n v u u u u = = + +   = = − = = −  ÷ + − − −   ∑ ∑ L 0.5 Vậy 1 lim li 1 1 ) 1 2 m ( n n n n v u →+∞ →+ + ∞ = − = − 0.5 Câu 3 (4 điểm) Lời giải 0.5 a/  Gọi K là giao điểm thứ hai của MN với đường tròn ( )T . Ta có · · 90CMD AMB CD= = ° ⇒ là đường kính của đường tròn 1 ( )O và 1 , ,O O M thẳng hàng. 0.5 -2-  Lại có · · · 1 1 //DMO MDO MBO CD AB= = ⇒ . Mà · · 1 1 45O N AB O N CD NC ND AMN NMB MN⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = ⇒ = = ° ⇒ là phân giác của · AMB MN⇒ đi qua trung điểm K của cung AB . Tương tự HK đi qua trung điểm K của cung AB ⇒ đpcm. 0.5 0.5 b/ Ta có · · · · // 45CD AB DNB ANF CNA ENB⇒ = = = = ° · · · · 90NFK NEK FNE FKE FNEK= = = = °⇒ là hình chữ nhật. 2 2 2 2 3 2 p AB BE FE FA AB BE NK KE AB BK NK R R NK R R R R R = + + + = + + + = + + = + + ≥ + + = + 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 4 (4 điểm) Từ giả thiết ta có [ ] ( 2) ( ( )) ( ) 2f n f f f n f n+ = = + 0.5 Từ đó bằng quy nạp ta có: * 2 (2 ) (0) 2n k f k f k= ⇒ = + * 2 1 (2 1) (1) 2n k f k f k= + ⇒ + = + 0.5 0.5 Vì (0)f + ∈¢ nên (0) 2f a= hoặc (0) 2 1,f a a + = + ∈¢ 0.5 Nếu (0) 2f a= thì ( ) (0) (2 ) (0) 2 2 2 4f f f a f a a a a= = + = + + Mà ( ) (0) 2 4 2f f a= ⇒ = (Vô lý), vậy (0) 2 1f a= + 0.5 Ta có ( ) 2 (0) (2 1) (1) 2f f f a f a= = + = + Do (1)f + ∈¢ nên 0a = hoặc 1a = 0.5 * Với 0a = , (0) 1, (1) 2f f= = suy ra (2 ) 2 1 ( ) 1, (2 1) 2 2 f k k f n n n f k k = +  ⇒ = + ∀ ∈  + = +  ¥ 0.5 * Với 1a = , (0) 3, (1) 0f f= = suy ra (2 ) 2 3 3, chan ( ) (2 1) 2 1, le f k k n n f n f k k n n = + +   ⇒ =   + = −   0.5 Câu 5 (4 điểm) Với mỗi [1,2, , 2014],x ∈ đặt (X) k m m = ∑ ở đây tổng được lấy theo tất cả các tập hợp X T ∈ mà | |X k = . 1.0 Xét số a bất kỳ thuộc S, suy ra a có mặt trong 1 2013 k C − tập X T ∈ mà | |X k = . Suy ra 1 1 2013 2013 (1 2 2014) 1007.2015. k k k km C C − − = + + + = 1.0 Do đó 1 2014 2014 2014 2014 2013 2014 2014 1 1 1 1 2015 2015 (X) 1007.2015 2 2 k k k k k k k k C m m C C k − = = = =   = = = =  ÷   ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2014 2015 (2 1) 2 = − 1.0 Mà 2015 2015 | | (2 1) 2 T m = − ⇒ = 1.0 Cách 2. Xây dựng song ánh từ T vào T như sau ( ) {2015- / } ( ) ( ( )) 2015X T f X x x X m X m f X∀ ∈ ⇒ = ∈ ⇒ + = Suy ra [ ] 2 (X) (X) (f(X)) | T | .2015m m m = + = ∑ ∑ Suy ra (X) 2015 | T | 2 m m = = ∑ Nguyễn Thanh Quang -3- Điện thoại liên hệ: 0983 901 825 -4- . HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT. TỈNH QUẢNG NGÃI ĐỀ THI MÔN TOÁN. KHỐI 11 NĂM 2015 Thời gian làm bài 180 phút ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (Đề này. 2014 1 1 1 1 2015 2015 (X) 1007 .2015 2 2 k k k k k k k k C m m C C k − = = = =   = = = =  ÷   ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2014 2015 (2 1) 2 = − 1.0 Mà 2015 2015 | | (2 1) 2 T m = − ⇒ = 1.0 Cách 2. Xây dựng. tập hợp X T ∈ ). Hãy tính giá trị của m. hết Người ra đề Nguyễn Thanh Quang Điện thoại liên hệ: 0983 901 825 ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN, KHỐI 11 Câu Ý Nội dung chính cần đạt Điểm Câu