HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DH VÀ ĐB BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI BÌNH. ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐB BẮC BỘ NĂM 2015 MÔN THI: TOÁN - LỚP: 10 (Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Câu 1(4 điểm). Giải hệ phương trình 2 2 2 3 2 8 16 2 8 3 3 4 2 xy x y x y x x x x y y y  + + =  +    + = + −   Câu 2 (4 điểm). Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (a;b;c) sao cho a 3 + b 3 + c 3 đồng thời chia hết cho a 2 b, b 2 c, c 2 a. Câu 3 (4 điểm). Cho tứ giác lồi ABCD có các cặp cạnh đối không song song. Gọi P, Q, O lần lượt là giao của AB và CD, AD và BC, AC và BD ( trong đó B nằm giữa A và P, D nằm giữa A và Q). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng PQ; M, N, R, S thứ tự là hình chiếu vuông góc của H trên các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh M, N, R, S thẳng hàng hoặc cùng thuộc một đường tròn. Câu 4 (4 điểm). Cho , ,a b c là các số thực không âm.Chứng minh rằng: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1. ( ) a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + + Câu 5 (4 điểm). Hai đội tuyển A và B tham gia giải cầu lông. Mỗi đội có 7 người, thi đấu với nhau theo một thứ tự nhất định. Đầu tiên, người thứ nhất của đội A , đấu với người thứ nhất của đội B và người thua sẽ bị loại. Sau đó ; người chiến thắng chơi nữa với người thứ hai của đội kia . Các bước tiếp theo người chơi tương tự Cuộc thi đấu không kết thúc cho đến khi tất cả người chơi của 1 đội đều bị loại và đội còn lại là chiến thắng. Hỏi số cách diễn ra cuộc thi đấu. Hết Họ và tên: Phạm Quang Thắng- ĐT 0982810098 ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10. Câu Nội dung chính cần đạt Điểm 1 Câu 1(4 điểm). Giải hệ phương trình 2 2 2 3 2 8 16 2 8 3 3 4 2 xy x y x y x x x x y y y  + + =  +    + = + −   4.0đ ĐKXĐ: 3 2 0 3 4 0 x x y y x + ≥ + ≥      Từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra: 2 2 0 0 8 3 2 3 0 1 0 4 3 4 x x y y y x y x y    + + ≥ >   ⇔   + ≥   + ≥    . Ta có 2 2 2 8 8 16 ( ) 16 2 0 xy xy x y x y xy x y x y + + = ⇔ + − − + = + + ( ) 2 4 ( ) 4( ) 2 0x y x y x y xy   ⇔ + − + + + − =     ( ) 2 2 4 4( ) 0x y x y x y   ⇔ + − + + + =     (*) 1.5đ Do 3 0 (*) 4 4 x y x y x y+ > + ≥ ⇒ ⇔ + = thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có Mặt khác, do 2 2 3 0 3 2 3 4 x y x y   + = + >  ÷   nên áp dụng bất đẳng thức AM- GM ta có: 2 2 3 2 2 2 2 8 3 2 8 3 2 3 4 x x y x x y x x y y y     + + ≥ + = +  ÷  ÷     Suy ra phương trình thứ hai của hệ 2 2 8 3 2 x x y y ⇔ = + 1,5đ Do đó hệ đã cho 2 2 2 4 4 4 2 2 6 , 3 16 12 0 3 8 3 2 x y x y x y x x y x y x y x xy y y  + =  + =  + =    ⇔ ⇔ ⇔    = = − = + − − =       1đ 24 7 4 7 x y  =   ⇔   =   hoặc 8 12 x y  = −  =  là nghiệm của hệ. 2 Câu 2 (4 điểm). Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (a;b;c) sao cho a 3 + b 3 + c 3 đồng thời chia hết cho a 2 b, b 2 c, c 2 a. 4.0đ Do tính đẳng cấp của các biểu thức nên ta thấy: Nếu (a;b;c) là một nghiệm thì (ka;kb;kc) (với k nguyên dương) cũng là nghiệm. Ngược lại gọi k = (a;b;c) thì bộ (a/k;b/k;c/k) cũng là nghiệm. Do vậy ta chỉ cần xét trường hợp (a,b,c) = 1. 1đ Gọi d = (a;b). Nếu d > 1 thì tồn tại số nguyên tố p là ước của d. Từ gt suy ra p|c nên d=1 Do đó a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó dễ thấy điều kiện đề cho tương đương với tìm a,b,c để P = a 3 + b 3 + c 3 chia hết cho a 2 b 2 c 2 . 1đ Không mất tính tổng quát giả sử a b c ≥ ≥ Ta có: 2 2 3 3 3 3 2 2 2 4 4 3 3 2 3 3 3 2 4 3a 3 18 ó b 2 , 1 4 b c a b c a b c a b c Ta c c a b b c a b b c c c ≥ + + ≥ ⇒ ≥ + ⇒ ≥ + ≥ ≥ ⇒ ≤ ≥ ⇒ = M 1đ Với c= 1, bằng cách chặn tương tự như trên ta được a=b=1 hoặc a=3; b=2 KL: Nghiệm của bài toán là (a,b,c) = (k,k,k); (3k,2k,k) và các hoán vị với k là số nguyên dương. 1đ Câu 3 (4 điểm). Cho tứ giác lồi ABCD có các cặp cạnh đối không song song. Gọi P, Q, O lần lượt là giao của AB và CD, AD và BC, AC và BD ( trong đó B nằm giữa A và P, D nằm giữa A và Q). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng PQ; M, N, R, S thứ tự là hình chiếu vuông góc của H trên các đường thẳng chứa các cạnh 4.0đ AB, BC, CD, DA. Chứng minh M, N, R, S thẳng hàng hoặc cùng thuộc một đường tròn. 3 O C Q A P B D E H M S N R Gọi E,F thứ tự là giao của AB với QO, AC với PQ. Ta có (ABEP) = -1 suy ra (ACOF) = -1( phép chiếu xuyên tâm Q). Hay ta được H(ACOF) = -1 1đ Theo tính chất của chùm điều hòa thì từ HO vuông góc với HP suy ra HO là phân giác của góc tạo bởi HC và HA. Đpcm tương đương 1đ ( ) ( R, S) ( , S) ( d ) ( R, ) ( , S) ( R, ) ( , S) ( R, ) ( , AS) ( R, ) ( , S) ( R, ) ( R, ) ( , S) (( ,AS) ( , ) ( , ) ì R R, S AS ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) M M NR N mo M MH MH M N NH NH N P PH AH C CH QH Q P PH C CH QH Q AH HC HP HQ HA v P C Q HC HO HO HP HQ HO HO HA HC HO HO HA π ⇔ = ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ − = − ⇔ = ≡ ≡ ⇔ + = + ⇔ = 1,5đ Điều cuối là hiển nhiên đúng do HO là phân giác của góc tạo bởi HA và HC 0,5đ 4 Câu 4 (4 điểm). Cho , ,a b c là các số thực không âm.Chứng minh rằng: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1. ( ) a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + + 4.0đ Bài giải: Theo AM-GM với 0x ≥ ta có: 2 3 2 1 (1 )(1 ) 1 . 2 x x x x x+ = + − + ≤ + 1đ Áp dụng: 3đ 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 3 2 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 2 a a b c a b c a b c b c b c a a a = ≥ ≥ = + + + + + +   +   + + +  ÷  ÷     (1) Tương tự: ( ) 3 2 3 2 2 2 3 b b a b c b c a ≥ + + + + (2) ( ) 3 2 3 2 2 2 3 c c a b c c a b ≥ + + + + (3) Cộng vế theo vế (1),(2) và (3) ta suy ra: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1. ( ) a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + + (Dpcm) Dấu ‘=’ xảy ra khi .a b c= = 5 Câu 5 (4 điểm). Hai đội tuyển A và B tham gia giải cầu lông. Mỗi đội có 7 người, thi đấu với nhau theo một thứ tự nhất định. Đầu tiên, người thứ nhất của đội A , đấu với người thứ nhất của đội B và người thua sẽ bị loại. Sau đó ; người chiến thắng chơi nữa với người thứ hai của đội kia . Các bước tiếp theo người chơi tương tự Cuộc thi đấu không kết thúc cho đến khi tất cả người chơi của 1 đội đều bị loại và đội còn lại là chiến thắng. Hỏi số cách diễn ra cuộc thi đấu. 4.0đ Lời giải Trước hết , ta tìm số quá trình khác nhau của cuộc chơi A thắng. Giả sử rằng , người thứ I của A thắng i x lần (i=1;2;….;7) thế thì 1 2 7 7x x x + + + = . 1đ Thế thì số quá trình phân biệt của cuộc chơi nếu A thắng bằng số nghiệm của phương trình trên và bằng 7 1 6 7 7 1 13 C C − + − = . 2đ Tương tự ; số quá trình phân biệt của cuộc chơi nếu B thắng bằng 6 13 C . Như thế số cách diễn ra cuộc thi đấu là : 6 13 2. 3432.C = 1đ Họ và tên: Phạm Quang Thắng- ĐT 0982810098 . HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DH VÀ ĐB BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI BÌNH. ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐB BẮC BỘ NĂM 2015 MÔN THI: TOÁN - LỚP: 10 (Thời. đội kia . Các bước tiếp theo người chơi tương tự Cuộc thi đấu không kết thúc cho đến khi tất cả người chơi của 1 đội đều bị loại và đội còn lại là chiến thắng. Hỏi số cách diễn ra cuộc thi đấu. . điểm). Cho tứ giác lồi ABCD có các cặp cạnh đối không song song. Gọi P, Q, O lần lượt là giao của AB và CD, AD và BC, AC và BD ( trong đó B nằm giữa A và P, D nằm giữa A và Q). Gọi H là hình chiếu