Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 1! H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6) DW&()L"I&X)/Y)Z[)*\]^*) V1US)#4%)()_^]*.].*_^) L4`%)1%E&)$U6)aU%()_\*)@4b#c)24W&1)2d)#4`%)1%E&)1%E")>K) e%f&)4g)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.)Q)B4%)#%C#()hhhF6E#4$%&2:FG&)) Bi=)_)j.c*)>%d6kF!Cho!hàm!số! y = x +1 2x −1 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).! 2. Cho!điểm! I 1 2 ; 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!đi!qua!I!và!cắt!(1)!tại!theo!một!đoạn! thẳng!có!độ!dài!nhỏ!nhất.! Bi=).)j_c*)>%d6kF)) a) Giải!bất!phương!trình! log 6 (2 2x+1 −9 x ) ≥ x .! b) Tìm!giá!trị!lớn!nhất!và!nhỏ!nhất!của!hàm!số! y = ln(1+ x )− x − x 2 2 !trên!đoạn![0;1].! Bi=)7)j_c*)>%d6kF!Tính!tích!phân! I = x 2 −4x + 3 − x −3 dx 0 5 ∫ .!! Bi=)l)j_c*)>%d6kF) a) Tìm!tập!hợp!điểm!biểu!diễn!số!phức!z!thoả!mãn! z + 2i z −2i + z −2i z + 2i = 0 .!) b) Có!hai!hộp!đựng!bút,!hộp!thứ!nhất!đựng!4!bút!đen!và!6!bút!xanh;!hộp!thứ!hai!đựng!5!bút! đen!và!8!bút!xanh.!Từ!mỗi!hộp!lấy!ngẫu!nhiên!ra!hai!chiếc!bút,!tính!xác!suất!để!lấy!được! hai!cặp!bút!khác!màu.) Bi=)^)j_c*)>%d6kF!Cho!hình!hộp!ABCD.A’B’C’D’!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật,! AB = a,AD = AA' = 2a .!Hình!chiếu!vuông!góc!của!A’!trên!mặt!phẳng!(ABCD)!là!trung!điểm! đoạn!thẳng!BC.!Tính!thể!tích!khối!hộp!ABCD.A’B’C’D’!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng! AB’!và!BD’.! Bi=)-)j_c*)>%d6kF!Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(1;1;{2),!B(1;{1;11)!và! đường!thẳng! d : x + 3 2 = y +1 2 = z −1 1 .!Chứng!minh!d!và!AB!chéo!nhau.!Tìm!toạ!độ!điểm!M! trên!d!sao!cho! MA = MB .! Bi=),)j_c*)>%d6kF)Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!cân!tại!A,!nội!tiếp! đường!tròn! (C ) : x 2 + ( y −5) 2 = 50 .!Giả!sử!A({5;10)!và!đường!cao!kẻ!từ!C!của!tam!giác!ABC!cắt! đường!tròn!(C)!tại!điểm!thứ!hai! N − 17 5 ;− 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!B,C.! Bi=)\)j_c*)>%d6kF!Giải!phương!trình! x + 8x − 2x 2 − 2 = 3 x (x +1) 2 6x − x 2 −1 .! Bi=)+)j_c*)>%d6kF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức! P = x y 2 + yz + z 2 + y z 2 + zx + x 2 + z x 2 + xy + y 2 − x + y + z x + y + z + xy + yz + zx .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 2! PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN Bi=)_)j.c*)>%d6kF!Cho!hàm!số! y = x +1 2x −1 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).! 2. Cho!điểm! I 1 2 ; 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!đi!qua!I!và!cắt!(1)!tại!theo!một!đoạn! thẳng!có!độ!dài!nhỏ!nhất.! 1. Học!sinh!tự!làm.! 2. Đường!thẳng!d!có!phương!trình!dạng:! y = k x − 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + 1 2 .! Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm!của!d!và!(1):! ! x +1 2x −1 = k x − 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + 1 2 ⇔ 2(x +1) = (2x −1) k(2x − 1)+1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⇔ k(2x −1) 2 = 3 ⇔ 4kx 2 −4kx + k −3 = 0 (2) .! Để!d!cắt!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!khi!(2)!có!hai!nghiệm!phân!biệt! x 1 ,x 2 ⇔ k > 0 .! Khi!đó! A(x 1 ;k x 1 − 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + 1 2 ),B (x 2 ;k x 2 − 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + 1 2 ) .!!!! Ta!có:! AB 2 = (k 2 +1)(x 2 − x 1 ) 2 = (k 2 +1) (x 1 + x 2 ) 2 − 4x 1 x 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .!! Vi!–ét!ta!có:! x 1 + x 2 = 1; x 1 x 2 = k − 3 4k .!! Vì!vậy AB 2 = (k 2 +1) 1− k −3 k ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = 3(k 2 +1) k = 3(k −1) 2 k + 6 ≥ 6 .! Dấu!bằng!đạt!tại! k = 1 ⇒ d : y = x .! Bi=).)j_c*)>%d6kF)) a) Giải!bất!phương!trình! log 6 (2 2x+1 −9 x ) ≥ x .! b) Tìm!giá!trị!lớn!nhất!và!nhỏ!nhất!của!hàm!số! y = ln(1+ x ) − x − x 2 2 !trên!đoạn![0;1].! a) Bất!phương!trình!tương!đương!với:! ! 2 2 x+1 −9 x ≥ 6 x ⇔ 2.2 2 x −3 2 x −6 x ≥ 0 ⇔ 2 2 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 x − 2 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x −1 ≥ 0 ⇔ 2 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x ≥1 ⇔ x ≤0 .! Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là! S = −∞;0 ( ⎤ ⎦ ⎥ .!!! b) Ta!có:! y ' = 1 x +1 −1− x = − x 2 + 2x x +1 ≤ 0,∀x ∈ 0;1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .! Vì!vậy!hàm!số!nghịch!biến!trên!đoạn![0;1].!Suy!ra! y max = y(0) = 0; y min = y(1) = ln2− 3 2 .!! Bi=)7)j_c*)>%d6kF!Tính!tích!phân! I = x 2 −4x + 3 − x −3 dx 0 5 ∫ .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 3! Ta!có:!! I = (x + 3− x 2 −4x + 3 )dx 0 5 ∫ = (x + 3)dx 0 5 ∫ − x 2 −4x + 3 dx 0 5 ∫ = (x + 3)dx 0 5 ∫ − (x 2 −4x + 3)dx 0 1 ∫ + (x 2 −4x + 3)dx 1 3 ∫ − (x 2 −4x + 3)dx 3 5 ∫ = x 2 2 + 3x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 5 0 − x 3 3 −2x 2 + 3x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 0 + x 3 3 −2x 2 + 3x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 3 1 − x 3 3 −2x 2 + 3x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 5 3 = 109 6 .! Bi=)l)j_c*)>%d6kF) a) Tìm!tập!hợp!điểm!biểu!diễn!số!phức!z!thoả!mãn! z + 2i z −2i + z −2i z + 2i = 0 .!! b) Có!hai!hộp!đựng!bút,!hộp!thứ!nhất!đựng!4!bút!đen!và!6!bút!xanh;!hộp!thứ!hai!đựng!5!bút! đen!và!8!bút!xanh.!Từ!mỗi!hộp!lấy!ngẫu!nhiên!ra!hai!chiếc!bút,!tính!xác!suất!để!lấy!được! hai!cặp!bút!khác!màu.! a) Giả!sử! z = x + yi(x, y ∈ !) .! Ta!có:! z + 2i z −2i + z −2i z + 2i = x + (y + 2)i x + (y −2)i + x −(y + 2)i x −(y − 2)i = (x + ( y + 2)i)(x −( y − 2)i) x 2 + ( y −2) 2 + (x −( y + 2)i)(x + (y −2)i) x 2 + ( y −2) 2 = x 2 + ( y 2 − 4) + x( y + 2)i − x( y −2)i + x 2 + y 2 − 4 + x( y − 2)i − x( y + 2)i x 2 + ( y −2) 2 = 2(x 2 + y 2 − 4) x 2 + ( y −2) 2 = 0 ⇔ x 2 + ( y −2) 2 > 0 x 2 + y 2 = 4 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ .! Vậy!tập!hợp!điểm!biểu!diễn!số!phức!z!là!đường!tròn!(C)!tâm!O(0;0)!bán!kính!bằng!2,!trừ!đi! điểm!(0;2).! B4b)3F!Ta!có!thể!làm!nhanh!như!sau:! z + 2i z −2i + z −2i z + 2i = 0 ⇔ (z + 2i)(z + 2i) + (z −2i)(z − 2i) (z −2i)(z + 2i) = 0 ⇔ 2z.z − 8 (z −2i)(z + 2i) = 0 ⇒ z = 2 ⇒ x 2 + y 2 = 4 .! b) Lấy!tuỳ!ý!ra!2!chiếc!bút!từ!hộp!thứ!nhất!có! C 10 2 = 45 cách.! Lấy!tuỳ!ý!ra!2!chiếc!bút!từ!hộp!thứ!hai!có! C 13 2 = 78 cách.! Vậy!có! 45×78 = 3510 cách!lấy!ra!hai!bút!từ!mỗi!hộp.! Ta!tìm!số!cách!lấy!được!hai!cặp!bút!khác!màu:! +)!Lấy!ra!từ!hộp!thứ!nhất!cặp!bút!màu!đen,!hộp!thứ!hai!cặp!bút!màu!xanh!có! C 4 2 .C 8 2 = 168 cách.! +)!Lấy!ra!từ!hộp!thứ!nhất!cặp!bút!màu!xanh,!hộp!thứ!hai!cặp!bút!màu!đen!có! C 6 2 .C 5 2 = 150 .! +)!Lấy!ra!từ!hộp!thứ!nhất!gồm!1!bút!xanh!và!1!bút!đen;!lấy!ra!từ!hộp!thứ!hai!một!bút!xanh!và! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 4! một!bút!đen!có! C 4 1 .C 6 1 .C 5 1 .C 8 1 = 960 !cách.! Vậy!tất!cả!có!168+150+960=1278!cách.! Vậy!xác!suất!cần!tính!là! P = 1278 3510 = 71 195 .!!!! Bi=)^)j_c*)>%d6kF!Cho!hình!hộp!ABCD.A’B’C’D’!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật,! AB = a,AD = AA' = 2a .!Hình!chiếu!vuông!góc!của!A’!trên!mặt!phẳng!(ABCD)!là!trung!điểm! đoạn!thẳng!BC.!Tính!thể!tích!khối!hộp!ABCD.A’B’C’D’!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng! AB’!và!BD’.! ! Gọi!H!là!trung!điểm!cạnh!BC,!ta!có! A' H ⊥ (ABCD) .! Tam!giác!ABH!có! AH = AB 2 + BH 2 = a 2 + a 2 = a 2 .! Tam!giác!vuông!A’AH!có! ! A' H = AA' 2 − AH 2 = 4a 2 − 2a 2 = a 2 .!!!! Vì!vậy! V S .ABCD = A' H .S ABCD = a 2.a.2a = 2 2a 3 (đvtt).! +)!Lập!trục!toạ!độ!có:! H 0;0;0 ( ) , C a;0;0 ( ) ,B −a;0;0 ( ) ,A −a;a;0 ( ) ,D a;a;0 ( ) và A'(0;0;a 2) .!!! Chú!ý:! A' B ' ! "!!! = AB ! "!! = (0;−a;0) ⇒ B '(0;−a;a 2);DD ' ! "!!! = AA' ! "!! = (a;−a;a 2) ⇒ D '(2a;0;a 2) ⇒ AB ' ! "!! = (a;−2a;a 2),BD ' ! "!! = (3a;0;a 2) .! Ta!có: AB ' ! "!! ,BD ' ! "!! ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = (−2 2a 2 ;2 2a 2 ;6a 2 ) ⇒ AB ' ! "!! ,BD ' ! "!! ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .AB ! "!! = −2 2a 3 .!! Vì!vậy! d (AB ';BD ') = AB ' ! "!! ,BD ' ! "!! ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .AB ! "!! AB ' ! "!! ,BD ' ! "!! ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = 2 2a 3 8a 4 + 8a 4 + 36a 4 = a 26 13 .!! Bi=)-)j_c*)>%d6kF!Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(1;1;{2),!B(1;{1;11)!và! đường!thẳng! d : x + 3 2 = y +1 2 = z −1 1 .!Chứng!minh!d!và!AB!chéo!nhau.!Tìm!toạ!độ!điểm!M! trên!d!sao!cho! MA = MB .! Đường!thẳng!d!đi!qua!điểm!C({3;{1;1)!có!véc!tơ!chỉ!phương! u ! = (2;2;1) .! Đường!thẳng!AB!có!véc!tơ!chỉ!phương! AB ! "!! = (0;−2;13) ,!ta!có:! AC ! "!! = (4;2;−3) .! Ta!có!!!! u ! ,AB " !"" ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = (28;−26;−4) ⇒ u ! ,AB " !"" ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .AC " !"" = 28.4− 26.2+ 4.3 = 72 ≠ 0 .! Vì!vậy!d!và!AB!chéo!nhau.! +)!Đường!thẳng! d : x = −3+ 2t y = −1+ 2t z = 1+ t ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ M (−3+ 2t;−1+ 2t;1+ t ) .! Suy!ra! MA = (2t + 4) 2 + (2t −2) 2 + (t + 3) 2 = 9t 2 +14t + 29; MB = (2t − 4) 2 + 4t 2 + (t −10) 2 = 9t 2 − 36t +116 .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 5! Vì!vậy! MA = MB ⇔ 9t 2 +14t + 29 = 9t 2 − 36t +116 ⇔ t = 87 50 .! Suy!ra! M 12 25 ; 62 25 ; 137 50 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ !là!điểm!cần!tìm.!! Bi=),)j_c*)>%d6kF)Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!cân!tại!A,!nội!tiếp! đường!tròn! (C ) : x 2 + ( y −5) 2 = 50 .!Giả!sử!A({5;10)!và!đường!cao!kẻ!từ!C!của!tam!giác!ABC!cắt! đường!tròn!(C)!tại!điểm!thứ!hai! N − 17 5 ;− 6 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!B,C.! ! Đường!tròn!(C)!có!tâm!I(0;5).! Gọi!M!là!giao!điểm!thứ!hai!của!AI!với!(C)!ta!có!I!là! trung!điểm!đoạn!AM!nên!M(5;0).!Do!tam!giác!ABC!cân! nên!M!là!điểm!chính!giữa!cung!BC!(không!chứa!A).! Ta!có:! MAB ! = NCB ! (cùng!phụ!với!góc! ABC ! ).! Nên!B!là!điểm!chính!giữa!của!cung!MN.!Vì!vậy!IB! vuông!góc!với!MN.!!! Đường!thẳng!IB!có!phương!trình!là! 7x + y − 5 = 0 .! Toạ!độ!điểm!B!là!nghiệm!của!hệ! 7x + y −5 = 0 x 2 + (y −5) 2 = 50 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x = −1, y =12 x =1, y = −2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⇒ B(−1;12) B(1;−2) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! +)!Nếu!B({1;12)!đường!thẳng!AB!là! x − 2 y + 25 = 0 .!!! Chú!ý!M,N!khác!phía!với!AB!nên!trường!hợp!này!loại.! +)!Nếu!B(1;{2)!đường!thẳng!AB!là! 2x + y = 0 .! Gọi!E!là!trung!điểm!BC!ta!có!BC!vuông!góc!với!AI!nên! BC : x − y− 3 = 0 .!! Toạ!độ!điểm!E!là!nghiệm!của!hệ! x + y − 5 = 0 x − y −3 = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x = 4 y =1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ E (4;1) .! Vì!E!là!trung!điểm!của!BC!nên!C(7;4).! Vậy!toạ!độ!các!điểm!cần!tìm!là!B({1;2)!và!C(7;4).!! Bi=)\)j_c*)>%d6kF!Giải!phương!trình! x + 8x − 2x 2 − 2 = 3 x (x +1) 2 6x − x 2 −1 .! Điều!kiện:!! x ≥ 0 6x − x 2 −1 > 0 8x −2x 2 −2 ≥ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ 2− 3 ≤ x ≤ 2 + 3 .! Ta!có:!! x + 8x −2x 2 −2 = x + 4x − 2(x −1) 2 ≤ x + 4x = 3 x 3 x (x +1) 2 6x − x 2 −1 = 3 x x 2 + 2x +1 6x − x 2 −1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 3 x 1+ 2(x −1) 2 6x − x 2 −1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ≥ 3 x .! Vì!vậy!dấu!bằng!xảy!ra! ⇔ x = 1 .! Vậy!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! x = 1 .!!!! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 6! BI94).()Phương!trình!tương!đương!với:! 6− x 2 +1 x 1+ 8− x 2 +1 x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 3 x + 1 x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .!! Đặt! t = x + 1 x ≥ 2 ⇒ t 2 = x 2 +1 x + 2 ⇒ x 2 +1 x = t 2 − 2 .! Phương!trình!trở!thành:! ! 6−(t 2 −2) 1+ 8−2(t 2 −2) ( ) = 3t ⇔ 8−t 2 1+ 12−2t 2 ( ) = 3t ⇔ 8−t 2 12−2t 2 −2 ( ) = 3(t − 8−t 2 ) ⇔ − 2(t 2 −4) 8−t 2 12−2t 2 + 2 = 6(t 2 −4) t + 8−t 2 ⇔ (t 2 −4) 6 t + 8−t 2 + 2 8−t 2 12−2t 2 + 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = 0 ⇔ t = 2(do t ≥ 2) .! Vì!vậy! t = 2 ⇔ x + 1 x = 2 ⇔ x = 1 .! Vậy!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! x = 1 .!!!! B4b)3F!Để!giải!phương!trình! 8− t 2 1+ 12− 2t 2 ( ) = 3t (*) ta!có!thể!xét!hàm!số! f (t) = 8− t 2 1+ 12− 2t 2 ( ) − 3t .! Dễ!có! f '(t) = − t(−2 2t 2 + 6−t 2 +14 2) 6−t 2 . 8−t 2 −3 < 0,∀t ∈ 2; 6 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .! Vì!vậy!f(t)!đồng!biến,!do!đó! (*) ⇔ f (t) = f (2) ⇔ t = 2 ⇔ x = 1 .!Ta!có!kết!quả!tương!tự.!!!! mU%)#;@)#<n&1)#o) 1. Giải!phương!trình! 3x − x 2 −1 x + 19x −5x 2 − 5 ( ) = 2(x +1) .!Đ/s:! x = 1 .!!! 2. Giải!phương!trình! 6x − x 2 −1 1+ 8− 2(x 2 +1) x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 3(x +1) .!Đ/s:! x = 1 .!!! Bi=)+)j_c*)>%d6kF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức! P = x y 2 + yz + z 2 + y z 2 + zx + x 2 + z x 2 + xy + y 2 − x + y + z x + y + z + xy + yz + zx .!!!! Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:! ! x y 2 + yz + z 2 = x xy + yz + zx ( y 2 + yz + z 2 )(xy + yz + zx) ≥ 2x xy + yz + zx xy + yz + zx + y 2 + yz + z 2 = 2x xy + yz + zx ( y + z )(x + y + z) .! Tương!tự!ta!có:! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 7! ! y z 2 + zx + x 2 ≥ 2y xy + yz + zx (z + x)(x + y + z) ; z x 2 + xy + y 2 ≥ 2z xy + yz + zx (x + y)(x + y + z) .! Cộng!theo!vế!ba!bất!đẳng!thức!trên!và!gọi!A!là!tổng!3!phân!thức!đầu!của!P!ta!có! ! A xy + yz + zx ≥ 2(xy + yz + zx ) x + y + z x y + z + y x + z + z x + y ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = x( y + z) ∑ ( ) x + y + z x y + z ∑ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ≥ x + y + z .! Vì!vậy! A ≥ x + y + z xy + yz + zx .!! Suy!ra! P ≥ x + y + z xy + yz + zx − x + y + z x + y + z + xy + yz + zx .! Đặt! t = x + y + z xy + yz + zx ≥ 3 ⇒ P ≥ f (t) = t − t t +1 .! Ta!có! f '(t) = 1− 1 (t +1) 2 = t 2 + 2t (t +1) 2 > 0,∀t ≥ 3 .! Vì!vậy!f(t)!đồng!biến!trên! 3;+∞ ⎡ ⎣ ⎢ ) .! Vì!vậy! P ≥ f (t ) ≥ f ( 3) = 3( 3 −1) 2 .!Dấu!bằng!đạt!tại! x = y = z .!!!!!!! !! !! !! ! !! ! ! !! . 150 .! +)!Lấy!ra!từ!hộp!thứ!nhất!gồm!1!bút!xanh !và! 1!bút!đen;!lấy!ra!từ!hộp!thứ!hai!một!bút!xanh !và! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 4! một!bút!đen!có! . zx + x 2 + z x 2 + xy + y 2 − x + y + z x + y + z + xy + yz + zx .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 2! PHÂN. ln2− 3 2 .!! Bi=)7)j_c*)>%d6kF!Tính!tích!phân! I = x 2 −4x + 3 − x −3 dx 0 5 ∫ .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)! 3! Ta!có:!!