MỘT SỐ CÔNG THỨC THỐNG KÊ CHỦ ĐỀ 1: XẾP ĐẶT DỮ KIỆN 1. Làm quen với các khái niệm a. Bảng phân bố tần số đơn i. Theo chiều dọc Điểm số Tần số 34 3 35 2 34 5 37 6 38 5 ii. Theo chiều ngang Điểm số 34 35 34 37 38 Tần số 3 2 5 6 5 b. Bảng phân bố tần số đẳng loại Đẳng loại Tần số 80 - 84 3 85 - 89 5 90 - 94 8 95 - 99 16 100 - 104 12 N = 44 Để lập bảng đẳng loại ta tiến hành theo các bước sau đây: Bước 1: Xác định Min, Max của các điểm số 1 Bước 2: Tính hàng số = Max – Min Bước 3: Xác định cỡ đẳng loại (đề bài thường cho sẵn) Bước 4: Xác định số đẳng loại: Hàng số / cỡ đẳng loại Bước 5: Ghi ra các đẳng loại, cần xác định ra đẳng loại đầu tiên (dựa vào Min và cỡ đẳng loại) Bước 6: Ghi tần số cho các đẳng loại vừa tìm được. c. Biên giới rời và biên giới liên tục Điểm số đó là một khoảng liên tục từ biên giới liên tục dưới đến biên giới liên tục trên của điểm số. - Thí dụ đối với điểm số: Đối với điểm số 7 ta xem đó là một khoảng từ 6.5 đến 7.5. Ta thấy 6.5 là biên giới liên tục (BGLT) dưới của 7 và 7.5 là BGLT trên của 7. - Thí dụ đối với đẳng loại: 20 – 24 ta coi đó là khoảng điểm số từ 19.5 đến 24.5. + 20 là biên giới rời dưới của đẳng loại + 24 là biên giới rời trên của đẳng loại + 19.5 là BGLT dưới của đẳng loại + 24.5 là BGLT trên của đẳng loại d. Tần số tích lũy (Cmf): gồm có tần số tích lũy kém và tần số tích lũy hơn. Tần số tích lũy kém được tính bằng cách cộng dồn các tần số từ trên xuống. Tần số tích lũy hơn được tính bằng cách ngược lại. 2 Điểm số Tần số Cmf kém Cmf hơn 1 3 3 20 2 4 7 17 3 5 12 13 4 7 19 8 5 1 20 1 e. Tần số tương đối Ký hiệu là p còn gọi là tỉ lệ %. Tỉ lệ % tại một điểm số = f/N. Ví dụ: Ta có tổng N = 40. Điểm số 7 có 10 học sinh tần số tương đối của điểm số 7 là: 10/40 = 25%. f. Tần số tích lũy (kí hiệu là Cmp) Ta cần lập thêm cột p = , cột p%, Cmp kém và Cmp hơn. Cách tính Cmp kém và Cmp hơn tương tự như Cmf kém và hơn. CHỦ ĐỀ 2:CÁC SỐ ĐỊNH TÂM a. Số yếu vị (Mo: Mode) - Số yếu vị là số có tần số lớn nhất, kí hiệu là Mo - Số yếu vị cho ta biết đỉnh cao của phân bố. Nó là biểu hiện của số đông, của phong trào. Do đó, yếu vị cho biết khuynh hướng, điểm nhạy cảm của dữ kiện. * Để tính số yếu vị ta cần phải sắp xếp các điểm số thành bảng phân bố tần số đơn hay đẳng loại. Ghi chú các trường hợp sau: 1) Nếu hai số liền kề nhau mà có tần số bằng nhau và cao nhất thì Mo sẽ là trung bình cộng của hai số đó. 2) Nếu trong một phân bố có hai điểm số không liền kề nhau mà có tần số bằng nhau và cao nhất thì cả hai số đó đều là số yếu vị và ta gọi phân bố ấy có yếu vị đôi. 3 3) Đối với phân bố đẳng loại, ta xác định đẳng loại có tần số lớn nhất, Mo sẽ là trung điểm đẳng loại đó. b. Số trung vị Me (Median) Số trung vị, kí hiệu là Me trong một phân bố chia phân bố ấy ra thành hai nửa, mỗi nửa có số dữ kiện bằng nhau. Công dụng của số trung vị: Cần tính trị số trung điểm chính xác của phân số - điểm 50% - lúc ấy ta có thể chia phân bố làm hai phần: trên trung vị và dưới trung vị. Khi có những điểm số quá “cực đoan” (giá trị quá bé so với phần lớn các điểm số khác) làm ảnh hưởng tới số trung bình. * Để tính số trung vị ta có các trường hợp sau: i) Với dữ kiện rời có N điểm số sắp xếp thành một dãy là X 1 , X 2 , X 3 ,… X n ta làm như sau: 1) Sắp xếp các số này theo dãy tăng hay giảm dần 2) Tính 3) Trung vị nằm ở vị trí thứ của dãy số. Ta có hai trường hợp  N là số lẻ, ví dụ có 5 điểm số (N=5) đã xếp theo thứ tự tăng: 3 4 5 6 7 , ta có vị trí của trung vị là (N + 1) : 2 = 3, suy ra vị trí thứ 3 của dãy là số 5, vậy Me=5  N là số chẵn, ví dụ ta có dãy gồm 4 điểm số (N=4) sắp xếp theo thứ tự tăng 2 3 4 5, vị trí của trung vị là (N + 1) : 2 = 2.5. Trung vị bây giờ sẽ là trung bình cộng của số ở vị trí thứ 2 và 3 → Me = (3 + 4) : 2 = 3.5 ii) Đối với phân bố tần số (đơn hay đẳng loại):  Với phân bố tần số đơn, chẳng hạn: X 16 18 22 25 26 29 30 34 38 41 F 3 5 9 11 15 20 18 14 11 6 Ta làm theo các bước sau: 4 1) Tính N bằng cách tính tích lũy kém hay hơn 2) Tính 3) Dò theo cột tần số tích lũy cho tới vị trí . Lấy ra số tại vị trí này Đáp số là: 29 (Vị trí (N + 1) : 2 là số 29 có tần số tích lũy là 63)  Với bảng phân bố đẳng loại ví dụ: ∆ Bước 1: Định các biên giới liên tục. Tính tần số tích lũy kém hay hơn → ta biết được N Điểm số Tần số Biên giới liên tục dưới/trên Tần số tích lũy kém (Cmf “kém”) 19.5 20 - 24 2 2 24.5 25 - 29 8 10 29.5 30 - 34 12 22 34.5 35 - 39 21 43 39.5 40 - 44 29 72 44.5 45 - 49 32 104 49.5 50 - 54 30 134 54.5 55 - 59 27 161 59.5 ∆ Bước 2: Tính = 5 ∆ Bước 3: Dựa theo Cmf kém ta xác định được vị trí N/2 là đẳng loại 45 – 49 ∆ Bước 4: Áp dụng công thức: Me = L+g Với L: là biên giới liên tục dưới của đẳng loại chứa trung vị g: cỡ đẳng loại F: Tần số tích lũy kém cho đến biên giới liên tục dưới (L) f m : tần số ở đẳng loại chứa trung vị Suy ra Me = =45.828 2. Số trung bình cộng - Khái niệm: Số trung bình cộng của một nhóm N điểm số là kết quả có được bằng cách cộng tất cả các giá trị của N điểm số rồi lấy tổng số chia cho N (N gọi là số phần tử của nhóm) - Công dụng: + Giúp ta tìm một số định tâm ổn định và tiêu biểu cho khối dữ kiện. + Muốn so sánh đặc điểm của hai hay nhiều phân bố điểm số. + Số trung bình cộng được sử dụng khá phổ biến trong nghiên cứu giáo dục. Nó giúp ta mô tả khá tốt khối dữ kiện và đặc biệt thuận lợi khi cần so sánh khả năng, tính chất hay các biểu hiện tâm lý giữa các nhóm người. 6 - Cách tính trung bình cộng: * i. Với N điểm số rời có giá trị X 1 , X 2, X 3 ,…X N * ii. Với N điểm số đã xếp thành phân bố tần số * Đối với bảng phân bố đẳng loại muốn tính trung bình cộng, trước tiên ta tính trung điểm của đẳng loại trước đặt là X, sau đó áp dụng công thức ii. CHỦ ĐỀ 3: CÁC SỐ ĐO ĐỘ PHÂN TÁN 3.1. Khái niệm hàng số và cách tính Hàng số là số đo khoảng cách giữa điểm số cao nhất và điểm số thấp nhất. Ví dụ cho dãy số 2, 3, 5, 6 thì hàng số bằng 6 – 2 = 4. 3.2. Các công thức tính độ lệch chuẩn cho dân số và mẫu a. Cho dân số i. Không có tần số ii. Có tần số b. Cho mẫu i. Không có tần số 7 ii. Có tần số 2. Áp dụng giải bài tập Tính điểm trung bình và độ lệch chuẩn của một học sinh với các điểm số rời Toán: 9, Hóa: 10, Văn: 7, Sử: 9, Địa: 8, Anh văn: 9 X 9 8 10 7 9 8 9 X 2 81 64 100 49 81 64 81 Ta có: Mean = SD = = 0.976 CHỦ ĐỀ 4: TƯƠNG QUAN a. Mức độ tương quan có thể là: - Quan hệ 1 – 1, R=1 (tương quan hàm số, giá trị của hệ số tương quan = 1) - Không tương quan (giá trị tương quan = 0 hay xấp xỉ 0) - Hoặc thường thấy hơn: giá trị của hệ số tương quan ở mức giữa 0 và 1 (0<R<1) 8 * Tương quan nghịch thì R < 0, tương quan thuận thì R > 0. Độ lớn của hệ số tương quan là một số thực nằm trong khoảng -1 đến 1. b. Hệ số tương quan tuyến tính, ký hiệu r - Công thức để tính r thường dùng: - Kiểm nghiệm hệ số tương quan * Giả thuyết: H 0 : R xy = 0 H 1 : R xy ≠ 0 α = 5% (giả sử) * Tra bảng giá trị tới hạn của R: Với df = N – 2 và α = 5% tra bảng trang 86 ta đọc được R α =? * Lưu ý các quy tắc quyết định: Nếu > : bác bỏ H 0 và chấp nhận H 1 Nếu ≤ : chấp nhận H 0 * Kết luận: Dựa vào các quy tắc quyết định đó ta khẳng định có tương quan hay không với mức xác suất là bao nhiêu. Hệ số tương quan là bao nhiêu chứng tỏ mức độ tương quan là như thế nào? Hệ số tương quan có các giới hạn sau: 9 ♥ 0.9 trở lên là rất cao ♥ 0.8 - 0.9 cao ♥ 0.6 - 0.8 có tương quan vừa phải đến mức rõ rệt ♥ 0.7 – 0.8: khá cao ♥ 0.6 – 0.7: có tương quan vừa phải c. i. Hệ số tương quan thứ hạng (còn gọi là tương quan Spearman) Ký hiệu là ρ (đọc là rho) Công thức sử dụng Trong đó: N là số cặp, d là hiệu hai thứ hạng trong một cặp. ii. Ví dụ 1 Học sinh Môn 1 Môn 2 R 1 R 2 d = R 1 – R 2 d 2 A 35 29 1 5 4 16 B 29 25 4 7 3 9 C 12 9 10 10 0 0 D 21 19 8 8 0 0 E 30 36 3 1 2 4 F 23 26 7 6 1 1 G 19 16 9 9 0 0 H 27 30 5 4 1 1 I 32 24 2 2 0 0 J 24 31 6 3 3 9 =40 * Tính = 10 [...]... trên với tỉ lệ giống như trong dân số thì: nk = n * Ví dụ áp dụng: Trường A có số học sinh là 3356 học sinh có các khoa là Công nghệ thông tin, Vật lý, Hóa học với số học sinh lần lượt là 981, 1266, 1109 Cần lấy 300 sinh viên tham dự Hội thảo Hỏi phải làm thế nào 15 Giải Tóm tắt: N = 3356, N1 = 981, N2 = 1266, N3 = 1109 Lập tỉ lệ Nk/N ta có tỉ lệ số học sinh từng khoa như sau: - Khoa Công nghệ thông tin... mẫu X/n: là tỉ lệ trên mẫu Z: là trị số trong bảng Z với độ tin cậy γ Ví dụ áp dụng: Trước kỳ thi tốt nghiệp THCS, phòng giáo dục quận Y chọn ngẫu nhiên 500 học sinh lớp 9 từ dân số học sinh trong quận để tham gia thi cử môn Văn, đề thi gần giống với những đề tốt nghiệp các năm trước Kết quả có 435 học sinh đạt yêu cầu Hãy lập khoảng phỏng định tỉ lệ dân số học sinh quận Y đạt yêu cầu ký thi nói trên... ⇒ Điều kiện được thỏa Ta có thể áp dụng công thức ở trên với các số liệu trong đề bài Độ tin cậy = 95% ⇒ Z = 1.96 (tra bảng trang số 84) Biên giới trên = 0.87 + 1.96 = 0.899 Biên giới dưới = 0.87 – 1.96 Vậy khoảng tin tưởng cho p: 84% < p < 90% với độ tin cậy 95% 20 CHUYÊN ĐỀ: KIỂM NGHIỆM GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 1 Giả thuyết thống kê: Ký hiệu là H 0 (còn gọi là giả thuyết bất dị, giả thuyết vô hiệu = null... giáo viên này đã chọn một mẫu gồm 300 học sinh đại diện cho các loại học sinh Giỏi, Khá, Trung bình, Kém trong khu vực và cũng khảo sát bằng một bài thi B tương tự như trên Hãy viết giả thuyết H0 và H1, biết rằng người giáo viên không tin tưởng thành tích học tập của học sinh trong khu vực là cao như tuyên bố của nhà quản lý Giải: Gọi µ là điểm trung bình của dân số học sinh lớp 12 tại khu vực M làm bài... các lớp tiểu học hay trung học, số học sinh mỗi lớp thường không bằng nhau nhưng số lượng này không chênh nhau nhiều lắm ví dụ có lớp thường có số học sinh là 40, 39, 41, … do đó có thể áp dụng nhóm đồng cỡ, đơn vị chọn là lớp học Thí dụ: Ta cần có một mẫu 500 người lấy từ một dân số 10,000 người Ta chia dân số này thành 200 nhóm mỗi nhóm có 50 người Dùng lối chọn mẫu ngẫu nhiên lấy 10 nhóm trong số 200... 2.18) – DT (Z = 0 → Z = 1.04) = 0.4834 – 0.3508 = 0.1346 CHỦ ĐỀ 6: CHỌN MẪU a) Nguyên tắc chung của việc chọn mẫu: 13 - Tính khách quan: những chủ thể đưa vào mẫu hoàn toàn theo lối vô tư, không theo ý muốn chủ quan của người nghiên cứu - Phải bảo đảm rằng mỗi phần tử trong dân số đều có cơ hội đồng đều nhau (khả năng được chọn là như nhau) b) Vấn đề sai số khi chọn mẫu: - Sai số chọn mẫu là loại sai lầm... khác biệt hay không giữa học sinh học tại trường A (trường điểm) và tại trường B (bình thường) về thành tích học tập Người ấy chọn ra 2 mẫu ngẫu nhiên (mỗi mẫu đại diện cho một trường), sau đó cho làm cùng một bài thi rồi so sánh điểm trung bình của hai mẫu về bài thi nói trên Hãy cho biết các giả thuyết H0 và H1 nào được đưa ra, nếu nhà quản lý cho rằng thành tích học tập của học sinh hai trường là:... 981/3356 = 29,2% - Khoa Vật lý = 1266/3356=37.7% - Khoa Hóa học = 1109/3356=33.1% - Cần có mẫu n = 300, ta nhân n với tỉ lệ trên được: n1 = 29,2% * 300 = 88 n2 = 37.7% * 300 = 113 n3 = 33,1% * 300 = 99 d) Bổ sung về phương pháp chọn mẫu Với lối chọn mẫu ngẫu nhiên, ta sẽ gặp trở ngại khi dân số khá lớn, ta sẽ mất nhiều thời gian Dựa vào tính chất “nhóm” vốn có trong tổ chức hành chính, trường học Để đơn giản,... trình độ B Giả thuyết: H0: µ ≥ 72.8 (đúng với đề bài) H1: µ < 72.8 4 Kết quả thi tốt nghiệp vài năm gần đây của học sinh trường Lê Văn Tám vào khoảng 85% Năm nay, qua theo dõi học tập các tháng và thi học kỳ I ông Hiệu trưởng cảm thấy e ngại, không chắc tỉ lệ tốt nghiệp như các năm trước Ông tiến hành một cuộc thăm dò, quyết định cuối tháng 4 chọn ra một mẫu 250 học sinh (khoảng 5% dân số lớp 12) và cho... mẫu ngẫu nhiên đơn giản 14 (Áp dụng cho số phần tử trong dân số không lớn quá), có thể rút thăm, dùng bảng số ngẫu nhiên, dùng hàm số ngẫu nhiên ii) Chọn mẫu theo hệ thống Theo cách này, trước hết các phần tử được sắp xếp theo danh sách có thứ tự theo vần A, B, C, D,… hoặc xếp theo bậc lương, hay theo một thứ tự hợp lý nào đó xác định trước Giả sử trong dân số có N phần tử và ta muốn chọn 1 mẫu n Tỉ . 1109. Lập tỉ lệ N k /N ta có tỉ lệ số học sinh từng khoa như sau: - Khoa Công nghệ thông tin = 981/3356 = 29,2%. - Khoa Vật lý = 1266/3356=37.7% - Khoa Hóa học = 1109/3356=33.1%. - Cần có mẫu n =. bằng n và ta muốn trong mẫu cũng cóa đủ các tầng lớp nêu trên với tỉ lệ giống như trong dân số thì: n k = n * Ví dụ áp dụng: Trường A có số học sinh là 3356 học sinh có các khoa là Công nghệ. gọi là tương quan Spearman) Ký hiệu là ρ (đọc là rho) Công thức sử dụng Trong đó: N là số cặp, d là hiệu hai thứ hạng trong một cặp. ii. Ví dụ 1 Học sinh Môn 1 Môn 2 R 1 R 2 d = R 1 – R 2 d 2 A