Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC (QUYỂN 2) (Phần 1: Đại số) - Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt là khối 12). - Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ GD&ĐT. - Tài liệu được chia ra làm 2 phần: + Phần 1: Phần Đại số (Chiếm khoảng 7 điểm) gồm 2 quyển – Mỗi quyển 5 chuyên đề. Trong phần này có 10 chuyên đề:  Chuyên đề 1: Chuyên đề khảo sát hàm số và các câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số.  Chuyên đề 2: Chuyên đề PT – BPT Đại số.  Chuyên đề 3: Chuyên đề HPT – HBPT Đại số.  Chuyên đề 4: Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit.  Chuyên đề 5: Chuyên đề Lượng giác và PT Lượng giác.  Chuyên đề 6: Chuyên đề Tích phân.  Chuyên đề 7: Chuyên đề Tổ hợp – Xác suất.  Chuyên đề 8: Chuyên đề Nhị thức Newtơn.  Chuyên đề 9: Chuyên đề Số phức.  Chuyên đề 10: Chuyên đề Bất đẳng thức. + Phần 2: Phần Hình học (Chiếm khoảng 3 điểm) Trong phần này có 5 chuyên đề:  Chuyên đề 1: Chuyên đề Thể tích: Khối chóp, Khối lăng trụ  Chuyên đề 2: Chuyên đề Hình học phẳng.  Chuyên đề 3: Chuyên đề Hình học không gian.  Chuyên đề 4: Chuyên đề Phương trình đường thẳng (*).  Chuyên đề 5: Chuyên đề Các hình đặc biệt trong đề thi. Cuối cùng, Phần tổng kết và kinh nghiệm làm bài. 1 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. - Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn: 1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Chủ biên) 2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên). 3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn). 4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên. 5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. 6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên. 7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. - Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. - Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được coi là vi phạm nội quy của nhóm. - Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2. Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự sai xót nhất định. Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email: caotua5lg3@gmail.com ! Xin chân thành cám ơn!!! Chúc các bạn có một kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm 2015 an toàn, nghiêm túc và hiệu quả!!! Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014 Trưởng nhóm Biên soạn Cao Văn Tú CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN 2 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. I. NGUYÊN HÀM 1. Khái niệm. Định nghĩa. Cho hàm số ( )f x xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số ( )F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( )f x trên K, nếu '( ) ( )F x f x = , với mọi x K ∈ . Định lý. Giả sử ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x trên khoảng K. Khi đó a. Với mỗi hằng số C, hàm số ( ) ( )G x F x C = + cũng là một nguyên hàm của ( )f x . b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của ( )f x thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C. c. Họ tất cả các nguyên hàm của ( )f x là ( ) ( )f x dx F x C = + ∫ , trong đó ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x , C là hằng số bất kỳ. d. Bảng các nguyên hàm cơ bản. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp ( )u u x = ,kdx kx C k R = + ∈ ∫ ,kdu ku C k R = + ∈ ∫ 1 1 . ( 1) 1 x dx x C α α α α + = + ≠ − + ∫ 1 1 . ( 1) 1 u du u C α α α α + = + ≠ − + ∫ ln dx x C x = + ∫ ( 0x ≠ ) ln du u C u = + ∫ ( 0x ≠ ) 2 dx x C x = + ∫ 2 du u C u = + ∫ x x e dx e C = + ∫ u u e du e C = + ∫ (0 1). ln x x a a dx C a a = + < ≠ ∫ (0 1). ln u u a a du C a a = + < ≠ ∫ cos sinxdx x C = + ∫ cos sinudu u C = + ∫ sin cosxdx x C = − + ∫ sin cosudu u C = − + ∫ 2 tan cos dx x C x = + ∫ ; 2 cot sin dx x C x = − + ∫ . 2 tan cos du u C u = + ∫ ; 2 cot sin du u C u = − + ∫ Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là. 3 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. 1 1 ) 1 1 ( ) ,( 0, 1); ln , 0. 1 1 1 ; ( ) sin( ) 1 sin( ) ( ) ax ax (ax ax ax ax os ax ax ax os ax k k b b b b dx C a k dx b C a a k b a e dx e C c b dx b C a a b dx c b C a + + + + + = + ≠ ≠ − = + + ≠ + + = + + = + + + = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Định lý. Nếu ( ), ( )F x G x tương ứng là một nguyên hàm của ( ), ( )f x g x thì a. '( ) ( )f x dx f x C = + ∫ b. [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx F x G x C ± = ± = ± + ∫ ∫ ∫ ; c. ( ) ( ) ( 0)a.f(x)dx aFa f x dx x C a = = + ≠ ∫ ∫ . 3. Một số phương pháp tìm nguyên hàm a. Phương pháp đổi biến số Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số ( )u u x = có đạo hàm liên tục trên K và hàm số (u)y f = liên tục sao cho [ ( )]f u x xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là ( ) ( )f u du F u C = + ∫ thì [ ( )]dx=F[u(x)]+Cf u x ∫ . b. Phương pháp tích phân từng phần Một số dạng thường gặp: Dạng 1. ( ). , ( )sin( ) , ( ) ( ) ax ax os ax b P x e dx P x b dx P x c b dx + + + ∫ ∫ ∫ Cách giải: Đặt ( ), ( sin( ) , cos( ) ) ax hoaëc b u P x dv e dx dv ax b dx dv ax b dx + = = = + = + Dạng 2. ( )ln( )axP x b dx + ∫ Cách giải: Đặt ln( ), ( ) .axu b dv P x dx = + = I. TÍCH PHÂN. 1. Định nghĩa. Cho hàm ( )f x liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x thì hiệu số ( ) ( )F b F a − được gọi là tích phân của ( )f x từ a đến b và ký hiệu là ( ) b a f x dx ∫ . Trong trường hợp a b < thì ( ) b a f x dx ∫ là tích phân của f trên 4 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. [ ] ;a b . 2. Tính chất của tích phân . Cho các hàm số ( ), ( )f x g x liên tục trên K và , ,a b c là ba số thuộc K. ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) a b a a a b b c b b b a a c a a b b b a a a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx k f x dx k f x dx f x g x dx f x dx g x dx • = • = − • = + • = • ± = ± ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3. Một số phương pháp tính tích phân • Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số ( ) ( ) [ ( )] '( ) ( ) u b b a u a f u x u x dx f u du= ∫ ∫ . Trong đó ( )f x là hàm số liên tục và ( )u x có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp [ ( )]f u x xác định trên J; ,a b J ∈ . Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách Cách 1. Đặt ẩn phụ ( )u u x = ( u là một hàm của x) Cách 2. Đặt ẩn phụ ( )x x t = ( x là một hàm số của t). • Phương pháp tích phân từng phần. Định lý. Nếu ( ), ( )u x v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và ,a b là hai số thuộc K thì ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx = − ∫ ∫ 4. Ứng dụng của tích phân • Tính diện tích hình phẳng • Nếu hàm số ( )y f x = liên tục trên [ ] ;a b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )y f x = , trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b = = là ( ) b a S f x dx= ∫ . • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ( )y f x = , ( )y g x = và hai đường thẳng ,x a x b = = là ( ) ( ) b a S f x g x dx = − ∫ • Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox 5 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. tại các điểm ,a b là ( ) b a V S x dx = ∫ . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là [ ] ;x a b ∈ và S(x) là một hàm liên tục. • Tính thể tích khối tròn xoay. • Hàm số ( )y f x = liên tục và không âm trên [ ] ;a b . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )y f x = , trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b = = quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức 2 ( ) b a V f x dx π = ∫ . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )x g y = , trục tung và hai đường thẳng ,y c y d = = quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức 2 ( ) d c V g y dy π = ∫ . Bảng công thức tích phân bất định ∫ = Cdx0 ∫ += Cxdx 1 1 1 −≠+ + = ∫ + nC n x dxx n n Cxdx x += ∫ ln 1 ∫ += Cedxe xx ∫ = C a a dxa x x ln ∫ +−= Cxxdx cossin ∫ += Cxxdx sincos ∫ += Cxdx x tan cos 1 2 ∫ +−= Cxdx x cot sin 1 2 ∫ += ′ Cxudx xu xu )(ln )( )( ∫ + + − = − C ax ax a dx ax ln 2 11 22 ∫ +++++=+ Caxx a ax x dxax 222 ln 22 Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số )(xf liên tục trên đoạn [ ] ba; có nguyên hàm là )(xF . Giả sử )(xu là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ] βα , và có miền giá trị là [ ] ba; thì ta có : [ ] [ ] CxuxFdxxuxuf += ∫ )()()('.)( BÀI TẬP 6 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tính các tích phân sau : a) ∫ + = 1 0 2 1 1x xdx I b) ∫ − = 1 0 2 1 x x e dxe I c) ∫ + = e x dxx I 1 3 ln1 Bài làm : a) Đặt 2 21 2 dt xdxxdxdtxt =⇒=⇒+= Đổi cận :    =→= =→= 21 10 tx tx Vậy : 2ln 2 1 ln 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 === + = ∫ ∫ t t dt x xdx I b) Đặt dxedtet xx =⇒−= 1 Đổi cận :    −=→= −=→= 12 11 2 etx etx Vậy : )1ln(ln 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 +=== − = − − − − ∫∫ et t dt e dxe I e e e e x x c) Đặt dx x tdtxt 1 ln1 =⇒+= Đổi cận :    =→= =→= 2 11 tex tx Tích phân lượng giác : Dạng 1 : ∫ = β α nxdxmxI cos.sin Cách làm: biến đổi tích sang tổng . Dạng 2 : ∫ = β α dxxxI nm .cos.sin Cách làm : Nếu nm, chẵn . Đặt xt tan = Nếu m chẵn n lẻ . Đặt xt sin = (trường hợp còn lại thì ngược lại) 7 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com )122( 3 2 3 2ln1 2 1 2 1 2 3 1 3 −=== + = ∫∫ tdtt x dxx I e Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Dạng 3 : ∫ ++ = β α cxbxa dx I cos.sin. Cách làm : Đặt :        + − = + = ⇒= 2 2 2 1 1 cos 1 2 sin 2 tan t t x t t x x t Dạng 4 : ∫ + + = β α dx xdxc xbxa I . cos.sin. cos.sin. Cách làm : Đặt : xdxc xdxcB A xdxc xbxa cos.sin. )sin.cos.( cos.sin. cos.sin. + − += + + Sau đó dùng đồng nhất thức . Dạng 5: ∫ ++ ++ = β α dx nxdxc mxbxa I . cos.sin. cos.sin. Cách làm : Đặt : nxdxc C nxdxc xdxcB A nxdxc mxbxa ++ + ++ − += ++ ++ cos.sin.cos.sin. )sin.cos.( cos.sin. cos.sin. Sau đó dùng đồng nhất thức. BÀI TẬP Tính tích phân : a) ∫ + = 2 0 4 1 )1(sin cos π x xdx I b) ∫ = 2 0 5 2 cos π xdxI c) ∫ = 4 0 6 3 tan π xdxI Bài làm : a) Đặt : xdxdtxt cos1sin =⇒+= Đổi cận :      =→= =→= 2 2 10 tx tx π Vậy : 24 7 3 1 )1(sin cos 2 1 3 2 1 4 2 0 4 1 =−== + = ∫∫ tt dt x xdx I π b) Đặt : xdxdtxt cossin =⇒= 8 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Đổi cận :      =→= =→= 1 2 00 tx tx π Vậy : ( ) ( ) 15 8 3 2 5 211cos 1 0 1 0 3 5 1 0 1 0 24 2 2 2 0 5 2 =         +−= −+=−== ∫ ∫ ∫∫ tt t dtttdttxdxI π c) Đặt : dxxdtxt )1(tantan 2 +=⇒= Đổi cận :      =→= =→= 1 4 00 tx tx π Vậy : 415 13 35 1 1 1 1 tan 4 0 1 0 35 1 0 1 0 2 24 2 6 4 0 6 3 π π π −=−         +−=       + −+−= + == ∫ ∫ ∫∫ dut tt dt t tt t dtt xdxI Tính các tích phân sau : a) ∫ + = 2 0 2222 1 cos.sin. cos.sin π dx xbxa xx I b) ∫ + = 3 0 2 2cos2 cos π dx x x I Bài làm : a) Đặt : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222 +−=⇒+= Đổi cận :      =→= =→= 2 2 2 0 btx atx π Nếu ba ≠ 9 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Vậy : ( ) ba ab ba t ab t dt ab dx xbxa xx I b a b a + = − − = − = − = + = ∫ ∫ 11 2 1 cos.sin. cos.sin 2222 2 0 22 22 1 2 2 2 2 π Nếu ba = Vậy : a x a xdx a a xdxx dx xbxa xx I 2 1 2cos 4 1 2sin 2 1 cos.sin cos.sin. cos.sin 2 0 2 0 2 0 2 0 2222 1 =−== = + = ∫ ∫∫ π π ππ b) Đặt : xdxdtxt cossin =⇒= Đổi cận :      =→= =→= 2 3 3 00 tx tx π Vậy : ∫∫∫ − = − = + = 2 3 0 2 2 3 0 2 3 0 2 2 32 1 23 2cos2 cos t dt t dt dx x x I π Đặt : ududtut sin 2 3 cos 2 3 −=⇒= Đổi cận :        =→= =→= 42 3 2 0 π π ut ut Vậy : ( ) 242 1 2 1 cos1 2 3 sin 2 3 2 1 2 32 1 2 4 4 4 2 4 2 2 3 0 2 2 π π π π π π π === − = − = ∫ ∫∫ udu u udu t dt I Tính các tích phân sau : 10 Chủ biên: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com [...]... I1 = ∫ x − 2 dx 1 2 2 b) I1 = ∫ x + 2 x − 3 dx 0 Bài làm : Chủ biên: Cao Văn Tú 20 Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2 Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức x 1 2 Tài liệu lưu hành nội bộ 4 a) x -2 4 Vậy : I1 = ∫ 1 0 + 2 4   x2   x2 x − 2 dx = ∫ ( 2 − x )dx + ∫ ( x + 2 )dx = 2 x −  +  − 2 x  2 1  2  2 1 2 2 4  1  5  = ( 4 − 2) −  2 −  + [... nội bộ 4x − 2 A Bx + C x 2 ( A + B ) + x( 2 B + C ) + 2C + A = + 2 = ( x + 2) ( x 2 + 1) x + 2 x + 1 ( x + 2) ( x 2 + 1) A + B = 0  Do đó ta có hệ : 2 B + C = 4 ⇔ 2C + A = 0  1 Vậy : I 2 = ∫ 0 [  A = 2  B = 2 C = 0  1 ( 4x − 2 2 2x   dx = ∫  − + 2 dx 2 x + 2 x +1 x + 1 ( x + 2) 0 ) ] 1 = − 2 ln x + 2 + ln x 2 + 1 = 2 ln 3 + ln 2 + ln 2 − ln 1 = ln 0 4 9 Bạn đọc tự làm : 3 a) I1 = ∫ 2. .. KD2007 I = ∫ x ln xdx 3 1 Chủ biên: Cao Văn Tú 2 Bài 19 KA2006 I = ∫ 0 35 sin 2x cos x + 4sin x 2 2 dx Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2 Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức ln 5 Bài 20 KB2006 I = Tài liệu lưu hành nội bộ 1 dx ∫3 e x + 2e− x − 3 ln 2x Bài 21 KD2006 I = ∫ ( x − 2 ) e dx 0 π 2 π 2 Bài 22 KA2005 I = sin 2x + sinx dx ∫ 1 + 3cosx 0 Bài 23 ... Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2 Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức Vậy : x +1 dx = 2 x ∫ t= Tài liệu lưu hành nội bộ t 2 dt ∫ ( t − 1) 2 = OK x +1 x Tìm các nguyên hàm sau : 2 2 a) I = ∫ x x + 9dx 2 2 b) I = 16 ∫ x x + 4dx Bài làm : x2 + 9 = x − t a)Đặt : ⇒ x= ( t2 − 9 2t ) ⇒ dx = ( 2 t2 + 9 dt 2t 2 ) 2  t2 + 9   − t2 − 9  t2 − 9 1 t 4 − 81 .  I1 = ∫  dt = − ∫ dt  2t... < x2 Vậy diện tích là : S= x2 ∫[ x1 x2  x3 k  k ( x − 1) + 4 − x dx = − + x 2 + ( 4 − k ) x   3 2  x1 2 ] ( ) 1  1 2  = ( x2 − x1 ) − x2 + x1 x2 + x 12 + k ( x2 + x1 ) + ( 4 − k )  2  3  ( *)  x2 + x1 = k   Với :  x2 x1 = k − 4  2 ( x2 − x1 ) 2 = x 2 2 + x 21 − 4 x2 x1 = k 2 − 4( k − 4 )  Thế vào ( *) ta được : Chủ biên: Cao Văn Tú ( ) 31 Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề ôn thi. .. caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2 Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức 1 1 dx = ln x + 1 0 = ln 2 x +1 ⇒ lim S n = lim S n = ∫ l →0 n→∞ Tài liệu lưu hành nội bộ 0 CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 20 04 – 20 13 1 + ln ( x + 1) dx Bài 1 KA20 12 I = ∫ x2 1 3 1 Bài 2 KB20 12 I = ∫ 0 π 4 π 4 Bài 4 KA2011 I = x s inx + ( x + 1) cosx dx ∫ x s inx + cosx 0 Bài 3 KD20 12 I = x ( 1 + sin 2x ) dx ∫... hành nội bộ Bài làm : xdx ∫ a) I= x + x +1 2 1 2 =∫ 3t − 1 ∫ 2 x +1 t= 3 t2 +1 xdx = 2 1 3  x +  + 2 4  dt = 1 2 3t − 1 ∫ t2 +1 2 x +1 t= 3 dt ) ( 3 2 1 t + 1 − ln t + t 2 + 1 + C 2 2 1 1   + ln x + + x 2 + x + 1  + C 2 2   1 dt ⇒ dx = − 2 b)Đặt : x = t t dx dt t +1 I =∫ =−∫ = − arcsin +C 2 2 2 x x − 2x −1 1 2 − ( t + 1) x= = x2 + x + 1 − t 1 +1 x +1 x = − arcsin + C = − arcsin +C 2 2 Tìm... sinx dx ∫ 1 + 3cosx 0 Bài 23 KB2005 I = sin 2x.cosx dx ∫ 1 + cosx 0 π 2 Bài 24 KD2005 I = ( esinx + cosx ) cosxdx ∫ 2 xdx x −1 1 1+ Bài 25 KA2004 I = ∫ 0 2 π 2 1 + 3ln x ln xdx x Bài 26 KB2004 I = ∫ 1 2 Bài 27 : (Khối A – 20 13) I = ∫ 1 Bài 26 KD2004 I = ( x + sin 2 x ) cosx ∫ 0 x2 −1 ln xdx x2 CÁC ĐỀ LUYỆN TẬP e 7 1 dx x +2 2 1+ Bài 1 I = ∫ x ( 3 + 2 ln x ) dx Bài 2 I = ∫ 1 2 Bài 3 I = ∫ 1 ( e Bài 5 I... ) ≤   =4 2   2 1 ∀x ∈ [ 0,1] 1 1 1 Vậy : ∫ x(1 − x ) dx ≤ ∫ dx = (đpcm) 40 4 0 b) Xét hàm số : f ( x ) = x ∀x ∈ [1 ,2] x +1 2 Đạo hàm : f ′( x ) = 1 − x2 (x 2 ) +1 2 x = 1 f ′( x ) = 0 ⇔   x = −1 1   f (1) = 2  Ta có :   f ( 2) = 2  5  2 x 1 ≤ 2 ≤ ∀x ∈ [1 ,2] 5 x +1 2 2 2 2 2 x 1 Vậy : ⇒ 5 ∫ dx ≤ ∫ x 2 + 1 dx ≤ 2 ∫ dx 1 1 1 2 ⇒ 2 x 1 ≤∫ 2 dx ≤ 5 1 x +1 2 Chủ biên: Cao Văn Tú 27 Email: caotua5lg3@gmail.com... caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2 Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức Tài liệu lưu hành nội bộ x2 + y2 = R2 ⇔ y = ± R2 − x2 R 2 2 Do tính đối xứng của đồ thị nên : S = 4 ∫ R − x dx 0 Đặt : x = R sin t ⇒ dx = R cos tdt x = 0 → t = 0  Đổi cận :  π x = R → t = 2  x = 0 → t = 0   π x = R → t = 2  π 2 Vậy : π 2 S = 4 ∫ R 2 − sin 2 t R cos tdt = 2 R 2 ∫ (1 + cos 2t ) dt . ) ba ab ba t ab t dt ab dx xbxa xx I b a b a + = − − = − = − = + = ∫ ∫ 11 2 1 cos.sin. cos.sin 22 22 2 0 22 22 1 2 2 2 2 π Nếu ba = Vậy : a x a xdx a a xdxx dx xbxa xx I 2 1 2cos 4 1 2sin 2 1 cos.sin cos.sin. cos.sin 2 0 2 0 2 0 2 0 22 22 1 =−== = + = ∫ ∫∫ π π ππ b). giác.  Chuyên đề 6: Chuyên đề Tích phân.  Chuyên đề 7: Chuyên đề Tổ hợp – Xác suất.  Chuyên đề 8: Chuyên đề Nhị thức Newtơn.  Chuyên đề 9: Chuyên đề Số phức.  Chuyên đề 10: Chuyên đề Bất. ] 3 4 ln2ln1ln 1 0 =+−+= xx Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2. Tài liệu lưu hành nội bộ. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. b) Đặt : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 22 121 2 24 2 2 22 ++ +++++ = + + + + = ++ − xx ACCBxBAx x CBx x A xx x Do