Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 ĐỀ SỐ Câu 1: a) Cho biết a = + b = − Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab 3x + y = b) Giải hệ phương trình:   x - 2y = -  x  + Câu 2: Cho biểu thức P =  (với x > 0, x ≠ 1) ÷: x −1  x - x +1 x- x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P > 2 Câu 3: Cho phương trình: x – 5x + m = (m tham số) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 − x = Câu 4: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I (I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh: a) BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn b) AE.AF = AC2 c) Khi E chạy cung nhỏ BC tâm đường trịn ngoại tiếp ∆CEF ln thuộc đường thẳng cố định 1 Câu 5: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b ≤ 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + a b ĐỀ SỐ Câu 1: a) Rút gọn biểu thức: 1 − 3− 3+ b) Giải phương trình: x2 – 7x + = Câu 2: a) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d: y = - x + Parabol (P): y = x2  4x + ay = b b) Cho hệ phương trình:   x - by = a Tìm a b để hệ cho có nghiệm ( x;y ) = ( 2; - 1) Câu 3: Một xe lửa cần vận chuyển lượng hàng Người lái xe tính xếp toa 15 hàng cịn thừa lại tấn, cịn xếp toa 16 chở thêm Hỏi xe lửa có toa phải chở hàng Câu 4: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MI ⊥ AB, MK ⊥ AC (I ∈ AB,K ∈ AC) a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn · · b) Vẽ MP ⊥ BC (P ∈ BC) Chứng minh: MPK = MBC c) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn Câu 5: Giải phương trình: y - 2010 − x - 2009 − z - 2011 − + + = x - 2009 y - 2010 z - 2011 ĐỀ SỐ Câu 1: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) x4 + 3x2 – =  2x + y = b)  3x + 4y = -1 Câu 2: Rút gọn biểu thức: Luyện thi vào lớp 10 a) A = - Năm học 2011 - 2012 − 2+ − 1− 1+   x+2 x − b) B =  ( với x > 0, x ≠ ) ÷ x  x−4 x + x +4 Câu 3: a) Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 y = x – hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị vẽ phép tính Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao BE CF cắt H a) Chứng minh: AEHF BCEF tứ giác nội tiếp đường tròn b) Gọi M N thứ tự giao điểm thứ hai đường tròn (O;R) với BE CF Chứng minh: MN // EF c) Chứng minh OA ⊥ EF Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x2 - x y + x + y - y + ĐỀ SỐ Câu 1: a) Trục thức mẫu biểu thức sau: ; −1 b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm M (- 2; ) Tìm hệ số a Câu 2: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 2x + = - x  2x + 3y =  b)  x - y =  Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + = (1) a) Giải phương trình cho m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 = Câu 4: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC · cho: IEM = 900 (I M không trùng với đỉnh hình vng ) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường tròn · b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC; K giao điểm BN tia EM Chứng minh CK ⊥ BN Câu 5: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca ) ĐỀ SỐ  2 Câu 1: a) Thực phép tính:   − ÷ ÷   b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + b qua điểm A( 2; ) điểm B(-2;1) Tìm hệ số a b Câu 2: Giải phương trình sau: a) x2 – 3x + = Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 x -2 + = x-1 x+1 x -1 Câu 3: Hai ô tô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai 0,4 Tính vận tốc ô tô Câu 4: Cho đường tròn (O;R); AB CD hai đường kính khác đường trịn Tiếp tuyến B đường tròn (O;R) cắt đường thẳng AC, AD thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn b) d) Gọi S, S1, S2 thứ tự diện tích ∆AEF, ∆BCE ∆BDF Chứng minh: ( Câu 5: Giải phương trình: 10 x + = x + S1 + S2 = S ) ĐỀ SỐ Câu 1: Rút gọn biểu thức sau:  3+   3−  a) A =  + ÷  − ÷  +1 ÷  −1 ÷     b b) B =   a - ab  a  ÷ a b - b a ab - b ÷  ( ) ( với a > 0, b > 0, a ≠ b)  x - y = - ( 1)  Câu 2: a) Giải hệ phương trình:   x + y = ( 2)  b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình: x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: P = x12 + x22 Câu 3: a) Biết đường thẳng y = ax + b qua điểm M ( 2; ) song song với đường thẳng 2x + y = Tìm hệ số a b b) Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm 2, biết tăng kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh AC (M khác A C ) Đường tròn đường kính MC cắt BC N cắt tia BM I Chứng minh rằng: a) ABNM ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn · b) NM tia phân giác góc ANI c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2 Câu 5: Cho biểu thức A = 2x - xy + y - x + Hỏi A có giá trị nhỏ hay khơng? Vì sao? ĐỀ SỐ Câu 1: a) Tìm điều kiện x biểu thức sau có nghĩa: A = b) Tính: x-1+ 3-x 1 − 3− 5 +1 Câu 2: Giải phương trình bất phương trình sau: a) ( x – )2 = x-1 < b) 2x + Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - = (1) a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 b) Tìm giá trị m để: x12 + x22 – x1x2 = Câu 4: Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB (CD khơng qua tâm O) Trên tia đối tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) điểm thứ hai M a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC b) Gọi H giao điểm MA BC; K giao điểm MD AB Chứng minh BMHK tứ giác nội tiếp HK // CD c) Chứng minh: OK.OS = R2  x + = 2y  Câu 5: Giải hệ phương trình:   y + = 2x  ĐỀ SỐ  2x + y = Câu 1: a) Giải hệ phương trình:   x - 3y = - b) Gọi x1,x2 hai nghiệm phương trình:3x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: 1 + P= x1 x2  a a  a +1 − Câu 2: Cho biểu thức A =   a − a - a ÷: a - với a > 0, a ≠ ÷   a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị a để A < Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + + m = (1) a) Giải phương trình cho với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: x1x2.( x1x2 – ) = 3( x1 + x2 ) Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường trịn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B) a) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn · · b) Chứng minh ADE = ACO c) Vẽ CH vng góc với AB (H ∈ AB) Chứng minh MB qua trung điểm CH Câu 5: Cho số a, b, c ∈ [ ; 1] Chứng minh rằng: a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤ ĐỀ SỐ Câu 1: a) Cho hàm số y = ( ) − x + Tính giá trị hàm số x = 3+2 b) Tìm m để đường thẳng y = 2x – đường thẳng y = 3x + m cắt điểm nằm trục hoành 3 x +6 x  x-9 + Câu 2: a) Rút gọn biểu thức: A =  ÷:  x-4 x −2 ÷ x −3   x - 3x + = b) Giải phương trình: ( x + ) ( x - 3) x - 3x - y = 2m - Câu 3: Cho hệ phương trình:  (1)  x + 2y = 3m + a) Giải hệ phương trình cho m = b) Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 + y2 = 10 với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 Câu 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự C D a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD c) Gọi I giao điểm AN CM, K giao điểm BN DM Chứng minh IK //AB a+b ≥ Câu 5: Chứng minh rằng: với a, b số dương a ( 3a + b ) + b ( 3b + a ) ĐỀ SỐ 10 Câu 1: Rút gọn biểu thức: a) A = − 50 − ( ) −1 2 x - 2x + , với < x < x-1 4x Câu 2:Giải hệ phương trình phương trình sau: b) B =  ( x - 1) + y =  a)   x - 3y = -  b) x + x − = Câu 3: Một xí nghiệp sản xuất 120 sản phẩm loại I 120 sản phẩm loại II thời gian Mỗi sản xuất số sản phẩm loại I số sản phẩm loại II 10 sản phẩm Hỏi xí nghiệp sản xuất sản phẩm loại Câu 4: Cho hai đường tròn (O) (O′) cắt A B Vẽ AC, AD thứ tự đường kính hai đường trịn (O) (O′) a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O′) E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) F (E, F khác A) Chứng minh điểm C, D, E, F nằm đường tròn c) Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt (O) (O′) thứ tự M N Xác định vị trí d để CM + DN đạt giá trị lớn Câu 5: Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: (x+ )( x + 2011 y + ) y + 2011 = 2011 Tính: x + y ĐỀ SỐ 11 Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức: 1 - a a  - a  A =  + a ÷ 1- a ÷ - a ÷ với a ≥ a ≠ ÷    2) Giải phương trình: 2x2 - 5x + = Câu 2: 1) Với giá trị k, hàm số y = (3 - k) x + nghịch biến R 2) Giải hệ phương trình:  4x + y =  3x - 2y = - 12 Câu 3: Cho phương trình x2 - 6x + m = 1) Với giá trị m phương trình có nghiệm trái dấu 2) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện x - x2 = Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 Câu 4: Cho đường trịn (O; R), đường kính AB Dây BC = R Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn Tia AC cắt Bx M Gọi E trung điểm AC 1) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn 2) Gọi I giao điểm BE với OM Chứng minh: IB.IE = IM.IO Câu 5: Cho x > 0, y > x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : + P = 3x + 2y + x y ĐỀ SỐ 12 Câu 1: Tính gọn biểu thức: 1) A = 20 - 45 + 18 + 72  a + a  a- a  2) B =  + ÷ + ÷ với a ≥ 0, a ≠  ÷ a + ÷ 1- a    Câu 2: 1) Cho hàm số y = ax2, biết đồ thị hàm số qua điểm A (- ; -12) Tìm a 2) Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m2 = (1) a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt, có nghiệm - Câu 3: Một ruộng hình chữ nhật, tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 100m2 Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68m Tính diện tích ruộng Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường trịn tâm (O) có đường kính MC Đường thẳng BM cắt đường trịn tâm (O) D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) S · 1) Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp CA tia phân giác góc BCS 2) Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy 3) Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Câu 5: Giải phương trình x - 3x + + x+3 = x-2 + x + 2x - ĐỀ SỐ 13  a a - a a +  a +2 Câu 1: Cho biểu thức: P =   a - a - a + a ÷ : a - với a > 0, a ≠ 1, a ≠ ÷   1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên Câu 2: 1) Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + = Tìm a để đường thẳng d qua điểm M (1, -1) Khi đó, tìm hệ số góc đường thẳng d 2) Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + = a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = b) Xác định giá trị m để phương trình có tích nghiệm 5, từ tính tổng nghiệm phương trình Câu 3: Giải hệ phương trình:  4x + 7y = 18  3x - y = Câu 4: Cho ∆ABC cân A, I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK 1) Chứng minh điểm B, I, C, K thuộc đường tròn tâm O 2) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn tâm (O) 3) Tính bán kính đường trịn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm Câu 5: Giải phương trình: x2 + x + 2010 = 2010 Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 ĐỀ SỐ 14 Câu 1: Cho biểu thức x +1 x 2+5 x + + với x ≥ 0, x ≠ 4-x x -2 x +2 1) Rút gọn P 2) Tìm x để P = Câu 2: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: y = (m − 1)x + n 1) Với giá trị m n d song song với trục Ox 2) Xác định phương trình d, biết d qua điểm A(1; - 1) có hệ số góc -3 Câu 3: Cho phương trình: x2 - (m - 1)x - m - = (1) 1) Giải phương trình với m = -3 2 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thoả mãn hệ thức x1 + x = 10 P= 3) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc giá trị m Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F Chứng minh: 1) Tứ giác AFHE hình chữ nhật 2) Tứ giác BEFC tứ giác nội tiếp đường tròn 3) EF tiếp tuyến chung nửa đường trịn đường kính BH HC Câu 5: Các số thực x, a, b, c thay đổi, thỏa mãn hệ: (1) x + a + b + c =  2 2  x + a + b + c = 13 (2) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x ĐỀ SỐ 15  x    + Câu 1: Cho M =  ÷:   x - x - x ÷  x + x - ÷ với x > 0, x ≠    a) Rút gọn M b) Tìm x cho M > Câu 2: Cho phương trình x2 - 2mx - = (m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình 2 Tìm m để x1 + x - x1x2 = Câu 3: Một đoàn xe chở 480 hàng Khi khởi hành có thêm xe nên xe chở Hỏi lúc đầu đồn xe có chiếc, biết xe chở khối lượng hàng Câu 4: Cho đường trịn (O) đường kiính AB = 2R Điểm M thuộc đường tròn cho MA < MB Tiếp tuyến B M cắt N, MN cắt AB K, tia MO cắt tia NB H a) Tứ giác OAMN hình ? b) Chứng minh KH // MB Câu 5: Tìm x, y thoả mãn 5x - x (2 + y) + y2 + = ĐỀ SỐ 16 Câu 1: Cho biểu thức: K = x 2x - x x -1 x - x với x >0 x ≠ 1) Rút gọn biểu thức K 2) Tìm giá trị biểu thức K x = + Câu 2: 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b qua điểm M (-1; 2) song song với đường thẳng y = 3x + Tìm hệ số a b Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 3x + 2y =  x - 3y = 2) Giải hệ phương trình:  Câu 3: Một đội xe nhận vận chuyển 96 hàng Nhưng khởi hành có thêm xe nữa, nên xe chở lúc đầu 1,6 hàng Hỏi lúc đầu đội xe có Câu 4: Cho đường tròn (O) với dây BC cố định điểm A thay đổi cung lớn BC cho AC > AB AC> BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q giao điểm cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE 1) Chứng minh rằng: DE//BC 2) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn 3) Gọi giao điểm dây AD BC F Chứng minh hệ thức: 1 = + CQ CE CF Câu 5: Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: a b c 1< + + x x +2 Câu 2: Một vườn hình chữ nhật có chu vi 72m Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi chiều dài lên gấp ba chu vi vườn 194m Hãy tìm diện tích vườn cho lúc ban đầu Câu 3: Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = (1) 1) Giải phương trình (1) m = 2) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x 1, x2 thỏa mãn đẳng thức x2) x1 + x = (x1 + Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 Câu 4: Cho đường tròn (O) (O′) cắt hai điểm A, B phân biệt Đường thẳng OA cắt (O), (O′) điểm thứ hai C, D Đường thẳng O′ A cắt (O), (O′) điểm thứ hai E, F Chứng minh đường thẳng AB, CE DF đồng quy điểm I Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn Cho PQ tiếp tuyến chung (O) (O′) (P ∈ (O), Q ∈ (O′) ) Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng PQ 1 Câu 5: Giải phương trình: + =2 − x2 x ĐỀ SỐ 19 Câu 1: Cho biểu thức A = 5+7 5 + 11 + 11 + 11 , B= 5: 5 + 55 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh: A - B = 3x + my = Câu 2: Cho hệ phương trình   mx - y = a) Giải hệ m = b) Chứng minh hệ có nghiệm với m Câu 3: Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10m Hai cạnh góc vng 2m Tính cạnh góc vng Câu 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Điểm M thuộc nửa đường tròn, điểm C thuộc đoạn OA Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB chứa điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax, By P Q; AM cắt CP E, BM cắt CQ F a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp đường trịn · b) Chứng minh góc PCQ = 900 c) Chứng minh AB // EF Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x + 2x + x2 + ĐỀ SỐ 20 Câu 1: Rút gọn biểu thức : 2 a) A = -2 +2   x -1 1- x   + b) B =  x ÷ với x > 0, x ≠ ÷:  x  x x+ x÷    Câu 2: Cho phương trình x - (m + 5)x - m + = (1) a) Giải phương trình với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = - 2 c) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 x + x1x = 24 Câu 3: Một phịng họp có 360 chỗ ngồi chia thành dãy có số chỗ ngồi thêm cho dãy chỗ ngồi bớt dãy số chỗ ngồi phịng khơng thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành dãy Câu 4: Cho đường tròn (O,R) điểm S ngồi đường trịn Vẽ hai tiếp tuyến SA, SB ( A, B tiếp điểm) Vẽ đường thẳng a qua S cắt đường tròn (O) M N, với M nằm S N (đường thẳng a không qua tâm O) a) Chứng minh: SO ⊥ AB b) Gọi H giao điểm SO AB; gọi I trung điểm MN Hai đường thẳng OI AB cắt E Chứng minh IHSE tứ giác nội tiếp đường tròn Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 c) Chứng minh OI.OE = R2 Câu 5: Tìm m để phương trình ẩn x sau có ba nghiệm phân biệt: x3 - 2mx2 + (m2 + 1) x - m = (1) ĐỀ SỐ 21 Câu 1) Trục thức mẫu số −1 x − y = 2) Giải hệ phương trình :  2 x + = Câu Cho hai hàm số: y = x y = x + 1) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục Oxy 2) Tìm toạ độ giao điểm M, N hai đồ thị phép tính Câu Cho phương trình x + ( 2m − 1) x + m − = với m tham số 1) Giải phương trình m = 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x thoả mãn x12 + x1 x2 + x2 = Câu Cho đường trịn (O) có đường kính AB điểm C thuộc đường trịn (C khác A , B ) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F 1) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC 3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O) Câu Tìm nghiệm dương phương trình : 7x2 + 7x = 4x + 28 ĐỀ SỐ 22 Câu 1: 1) Giải phương trình: x2 - 2x - 15 = 2) Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax - qua điểm M (- 1; 1) Tìm hệ số a  a  a − a a + a    với a > 0, a ≠ − − Câu 2: Cho biểu thức: P =   2 a  a + a −1     1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm a để P > - Câu 3: Tháng giêng hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy; tháng hai cải tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy? Câu 4: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB Trên nửa mp bờ AB vẽ hai tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI C cắt tia By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P 1) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh AI.BK = AC.BC · 3) Tính APB Câu 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + px + q = biết p + q = 198 ĐỀ SỐ 23 Câu ( ) 1) Tính giá trị A = 20 − + 80 2) Giải phương trình x + x − = Luyện thi vào lớp 10 Ta có: nên - Năm học 2011 - 2012 x1 x x + x (x1 + x ) − 2x1x + = = x x1 x1x x1 x x1 x (x + x ) − 2x1x + =4⇔ = ⇔ (x1 + x ) = 6x1x (3) x x1 x1 x Từ (2) (3) ta được: 4(m - 1)2 = 6(m + 1) 4m2 - 8m + = 6m + 2m2 - 7m - = − 57 + 57 4 Đối chiếu đk (1) nghiệm thoả mãn · · Câu 4: a) Ta có: DBO = DMO = 900 (vì gt) ∆ m = 49 + = 57 nên m = A => điểm B, M thuộc đường trịn đường kính DO =>đpcm b) Chứng minh tương tự có điểm O, C, E, M thuộc đường tròn · · => MEO = MCO (vì góc nội tiếp chắn cung MO) · · MBO = MDO (vì góc nội tiếp chắn cung MO) · · Mà MBO = MCO (vì ∆ BOC cân O) · · => MEO = MDO => ∆ DOE cân O Mà MO ⊥ DE nên MD = ME (đpcm) x + = t, với t > 0, ta có t - (x + 3) t + 3x = Xem pt pt bậc t ∆ = (x + 3)2 - 12x = (x - 3)2 x +3+ x −3 x +3− x +3 = x ; t2 = =3 t1 = 2 x ≥ Do đó: - Hoặc: x + = x ⇔  2 vô nghiệm x + = x Câu 5: Đặt - Hoặc: x2 +1 = ⇔ x = ⇔ x = ± 2 Vậy phương trình có nghiệm x = ± 2 ĐỀ SỐ 39 Câu 1: (2 điểm) 1) Tính: 48 - 75 + 108 = 16 - 25 + 36 = - 10 + =  2) Rút gọn biểu thức: P =  1 - x -    ÷ 1 ÷ 1+ x  x -2 x -1 = 1+ x  x Câu 2:1) Đường thẳng y = ax + b qua điểm M (3; 2) N( 4; -1) nên: 1 + =  x - + x  x - 1 x ÷ ÷= ÷ ÷ 1- x x  1- x  2 = 3a + b a = - ⇔   - = 4a + b b = 11 2) Giải hệ pt:  2x + 5y = ⇔   3x - y =  2x + 5y = x = 17y = 17 ⇔ ⇔  y=1 15x - 5y = 10 3x - y =   E B D M C Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 Câu 3: 1) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành: x2 - 4x -12 = ∆ ' = 16, pt cho có nghiệm: x = - 2; x = 2) Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ m2 + 6m ⇔ m ≤ −6; m ≥ (2)  x1 + x = 2m Khi đó, theo hệ thức Vi ét ta có:  (3)  x1x = - 6m Phương trình có 1nghiệm gấp lần nghiệm khi: 2 x1 = 2x ; x = 2x1 ⇔ (x1 − 2x )(x − 2x1 ) = ⇔ 5x1x − 2(x1 + x ) = ⇔ 5x1x − 2[(x1 + x ) − 2x1x ] = ⇔ 9x1x − 2(x1 + x ) = Từ (3), (4), ta có: −54m − 8m = ⇔ m = 0; m = − Vậy giá trị m cần tìm m = 0; m = − (4) 27 (thỏa mãn đk (2)) 27 M Câu 4: Theo giả thiết MN ⊥AB I · · ACB = 900 hay ECB = 900 O1 E · · ⇒ EIB + ECB = 1800 mà hai góc đối tứ giác IECB nên tứ giác IECB tứ giác nội tiếp Theo giả thiêt MN ⊥AB, suy A điểm ¼ · · MN nên AMN = ACM (hai A I O C B N · · · góc nội tiếp chắn hai cung nhau) hay AME = ACM , lại có CAM góc chung tam giác AM AE ⇒ AM2 = AE.AC = AME đồng dạng với tam giác ACM ⇒ AC AM · · · Theo AMN = ACM ⇒ AM tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp ∆ECM Nối MB ta có AMB = 90 , tâm O1 đường trịn ngoại tiếp ∆ECM phải nằm BM Ta thấy NO1 nhỏ NO1 khoảng cách từ N đến BM ⇒ NO1 ⊥BM Gọi O1 chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta O1 tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ ECM có bán kính O1M Do để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ECM nhỏ C phải giao điểm đường trịn (O1), bán kính O1M với đường trịn (O) O1 hình chiếu vng góc N BM 2 x⇒-y≥ x-2 3 2x 22 - 22 - = (x - ) ≥ K = x2 - 2x - y ≥ x - 2x + 3 9 Câu 5: Từ 2x + 3y ≤ ⇒ y ≤ - - 22 14 x = ; y = 9 Ta có : 2x + xy ≤ 4x ( x ≥ 0) - y ( x + 2) xy ⇒ x - 2x - y ≤ -y= ≤0 2 Suy : K = y = y =  x = x = Suy : max K =  ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 40 Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 3 Câu a) 3x + 4y = ⇔ y = − x + , nên hệ số góc đường thẳng d k = − 4    m − = − m = m = ±    ⇔ ⇔ ⇔m=− b) d // d1 ⇔  m ≠ m ≠ m ≠    2    Vậy với m = − d1 // d ax + by = x = a.3 + b(−1) = Câu Hệ phương trình  có nghiệm  nên   bx − ay = 11  y = −1  b.3 − a(−1) = 11 3a − b = 9a − 3b = 10a = 20 a = a = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ a + 3b = 11 a + 3b = 11 a + 3b = 11 3a − b = b =     Câu a) Do ac = (1 + 3)(1 − 3) = − = −2 < nên phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt b) Vì x1 , x nghiệm phương trình (1) nên theo hệ thức Vi-et, ta có: x1 + x = 1− , x1 x = 1+ 1+ Do đó: S = 1 x1 + x 2 2(1 + 3) + = = = = −(1 + 3) x1 x x1 x −2 1− 1 1 + (1 + 3) + = = = = = −(2 + 3) P = x1 x x1 x − −2 −2 Vậy phương trình bậc cần tìm là: X + (1 + 3)X − (2 + 3) = Câu C D E a) Tam giác ADE cân A AD = AE Lại có: M ¶ · · A1 = DAB − EAB = 900 − 600 = 300 F Do · · O ADE = AED = (1800 − 300 ) = 750 2 b) Từ giả thiết, dễ thấy tam giác BEF A B µ vng cân B, nên E1 = 450 Từ ta cú: Ã Ã ả DEF = DEA + E + E1 = 750 + 600 + 450 = 1800 suy điểm D, E, F thẳng hàng, pcm ả ả c) Ta cú: B1 = A1 (cùng chắn cung EM) suy B1 = 300 nên B2 = 300 ¶ ¶ ¶ Mà E = B nên E = 300 3 ¶ ¶ Vậy E + E = 600 + 300 = 900 hay ME ⊥ EB Mặt khác BF ⊥ EB ME // BF Câu Từ (1) ta có: x = −2(y − 1) − ≤ −1 ⇒ x ≤ −1 (3) 2y ≤ ⇒ x ≤ ⇒ −1 ≤ x ≤ Từ (2) ta có: x = (4) y +1 Từ (3) (4), suy x = -1, thay vào hệ cho ta y = Vậy P = ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ ( chuyªn) Câu 1: x Luyện thi vào lớp 10 a) Đặt x - - Năm học 2011 - 2012 = t (1), suy x + = t + x x  t = −1 Khi phương trình cho trở thành: t2 – 4t – = ⇔  t = Lần lượt thay giá trị t vào (1) phương trình cho có nghiệm: + 33 − 33 x1 = 1; x2 = - 2; x = ; x4 = 2 b) Đk: x ≥ - (1) Đặt x + = a; x + = b ( a ≥ 0; b ≥ ) (2) x + 7x + 10 = Ta có: a2 – b2 = 3; ( x + 5) ( x + ) = ab Thay vào phương trình cho ta được: (a – b)(1 + ab) = a2 – b2 ⇔ (a – b)(1 – a)(1 – b) =  x + = x + (VN) a - b =  x = - ⇔ 1 - a = nên  x + = ⇔   x = - 1 - b =   x + =1  Đối chiếu với (1) suy phương trình cho có nghiệm x = - Câu 2:  b3 a   =  x = b3 x a  b  c3  a) Đặt  y = ⇒  = , abc = nên xyz = (1) c  y b c  1 a3 z=   = a  z c 1 + + ⇒ x + y + z = yz + xz + xy (2) x y z Từ (1) (2) suy ra: xyz + (x + y + z) – (xy + yz + zx) – = ⇔ (x – 1)(y – 1)(z – 1) = Vậy tồn x =1 chẳng hạn, suy a = b3, đpcm 84 84 b) Đặt + = a; − = b ⇒ x = a + b; a3 + b3 = 2; ab = − 9 3 3 Ta có: x = (a + b) = a + b + 3ab(a + b) Suy ra: x3 = – x ⇔ x3 + x – = ⇔ ( x - 1) x + x + = Từ đề suy x + y + z = ( ) ⇔ x = Vì x2 + x + =  x +  + > Từ suy điều phải chứng minh  ÷ 2  Câu 3: Áp dụng BĐT: ( ) ( a + b ≤ a + b2 ; a + b + c ≤ a + b2 + c2 ) (được suy từ bất đẳng thức Bunhiacơpski) Ta có: ( ) ( + y + 2y ) = ( y + 1) ( + z + 2z ) = ( z + 1) + x + 2x ≤ + x + 2x = ( x + 1) + y + 2y ≤ + z + 2z ≤ 2 x + y + z ≤ 3( x + y + z) Lại có: A = + x + + y + + z + 2x + 2y + 2z Luyện thi vào lớp 10 ( + 2− )( - x+ y+ z ) ( ⇒ A ≤ ( x + y + z + 3) + − ) Năm học 2011 - 2012 3( x + y + z) ⇒ A ≤ + (do x + y + z ≤ 3) Dấu “=” xảy x = y = z = Vậy maxA = + Câu 4: · · a) Ta có: ABO = ACO = 900 (tính chất tiếp tuyến) (1) AB = AC = OA − OB2 = R = OB = OC (2) Từ (1) (2) suy ABOC hình vng A b) Theo ta có: AD + DE + AE = 2R (3) y x Suy ra: DE = BD + CE (4) E M D Vẽ OM ⊥ DE (M ∈ DE) (5) C Trên tia đối tia CA lấy điểm F cho CF = BD; suy ∆BDO = B ∆COF (c-g-c) R ⇒ OD = OF; lại có DE = FE nên ∆ODE = ∆OFE (c-c-c) ⇒ OM = OC = R (hai đường cao tương ứng) (6) Từ (5) (6) suy DE tiếp tuyến O đường tròn (O;R) c) Đặt: AD = x; AE = y ⇒ SADE = xy (x, y > 0) 2 2 Ta có: DE = AD + AE = x + y (định lí Pitago) Vì AD + DE + AE = 2R ⇒ x + y + F x + y = 2R (6) Áp dụng BĐT – Côsi cho hai số khơng âm ta có: x + y ≥ xy x + y ≥ 2xy (7) Dấu “=” xảy x = y ( ) Từ (6) (7) suy ra: xy + 2xy ≤ 2R ⇔ xy + ≤ 2R ⇔ xy ≤ 2R ( ) 2R R2 ⇒ SADE ≤ ⇔ SADE ≤ - 2 R 3+ 2 3+ 2 ( 2+ ) Vậy max S = ( − 2 ) R ⇔ xy ≤ ADE ⇔ x = y ⇔ ∆ADE cân A Câu 5: Xét điểm A hình trịn (C1) có tâm A, bán kính C C1 A B C2 - Nếu tất 98 điểm lại nằm (C1) hiển nhiên tốn chứng minh - Xét trường hợp có điểm B nằm ngồi (C1) Ta có: AB > (1) Vẽ hình trịn (C2) tâm B, bán kính + Giả sử C điểm khác A B Khi điểm C thuộc hai hình trịn (C1) (C2) Thật vậy, giả sử C không thuộc hai hình trịn nói Suy ra: AC > BC > (2) Từ (1) (2) suy điểm A, B, C khơng có hai điểm có khoảng cách nhỏ (vơ lí trái với giả thiết) Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 Chứng tỏ C∈ (C1) C∈ (C2) Như 99 điểm cho thuộc (C1) (C2) Mặt khác 99 = 49.2 + nên theo nguyên tắc Dirichle phải có hình trịn chứa khơng 50 điểm ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ ( chuyªn) Câu 1: a) Theo ta có: 2011( x + y − 2011) = 2010 ( y − x + 2010)  x − y = 2010 2x = 4021  x = 2010,5 ⇔ ⇔  + Nếu x + y - 2011 = y - x + 2010 = ⇒   x + y = 2011 2y =  y = 0,5 + Nếu y - x + 2010 = x + y - 2011 = 0, ta kết + Nếu x + y - 2011 ≠ 2011 y − x + 2010 = vơ lý (vì VP số hữu tỉ, VT số vô tỉ) 2010 x + y − 2011 Vậy x = 2010,5 y = 0,5 cặp số thoả mãn đề b) Ta có xy (z + 1) + y(z + 1) + x(z + 1) + (z + 1) = 2012 (z + 1)(xy + y + x + 1) = 2012 (z + 1)[x(y + 1)+(y + 1)] = 2012 (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 1.2.2.503 = 503.4.1 Chỉ có sau thoả mãn: x = 502, y = 1, z = x = 1005, y = 1, z = x = 2011, y = 0, z = Câu 2: a) Điều kiện: x > -1 Đặt a = x +1 ; b = x2 − x +1 Ta có: 2(a2 + b2) = 5ab (2a - b)(2b - a) = b = 2a ; a = 2b Do đó: 1) x + = x − x + 4(x + 1) = x - x + x2 - 5x - = x1 = 2) − 37 + 37 (loại); x2 = 2 2 x + = x − x + ⇔ x + = 4(x − x + 1) ⇔ 4x − 5x + = vô nghiệm + 37 b) Vì a, b, c ∈ [0; 2] nên: (2 - a)(2 - b)(2 - c) > - 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) - abc > 2(ab + bc + ca) > 4(a + b + c) - + abc nên 2(ab + bc + ca) > (vì a + b + c = abc ≥ 0) Suy (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) > a2 + b2 + c2 ≤ (vì (a + b + c)2 = 9) Dấu “=” xẩy số a, b, c có số 2, số số p Câu 3: Giả sử x = (p, q ∈ Z, q > 0) (p, q) = q Vậy phương trình có nghiệm: x =  p p Ta có   + + = n (n ∈ N) p2 = q(-P - 6q + n2q) q q   => q ước p2 (p, q) = => q = lúc x = p => p2 + p + = n2 (p, n ∈ Z) (2p + 1)2 + 23 = 4n2 (2n)2 - (2p + 1)2 = 23 (2n - 2p - 1)(2n + 2p + 1) = 23 Do 2n - 2p - = 2n + 2p + = 23 ; 2n - 2p - = 23 2n + 2p + = Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 (vì 23 ∈ P 2n + 2p + > 2n - 2p - > 0) p = (t/m) ; p = - (t/m) Vậy số hữu tỉ x cần tìm – Câu 4: a) Tứ giác MNKB nội tiếp (vì µ µ K + N = 180 ) Tứ giác MNCI nội A · · tiếp (vì MNC = MIC MNC = 900) · · · · => BNK = BMK , INC = IMC (1) (vì góc nội tiếp chắn cung) · · Mặt khác BMK = IMC (2) H P O K · · · · BMK + KMC = KMC + IMC bù với góc A tam giác ABC) · · Từ (1), (2) suy BNK = INC nên S C B N (vì I M Q điểm K, N, I thẳng hàng · · b) Vì MAK = MCN = β (vì góc nội tiếpcùng chắn cung BM) => AK CN AB − BK CN AB BK CN = = cot gβ => = − = hay (1) MK MN MK MN MK MK MN Tương tự có: Mà AC CI BN AI BN = + = hay MI MN MI MI MN (2) IC BK · · = = tgα ( α = BMK = IMC ) MI MK Từ (1), (2), (3) => (3) AB AC BC + = (đpcm) MK MI MN c) Gọi giao AH, MN với đường tròn (O) thứ tự Q, S => AQMS hình thang cân (vì AQ // MS => AS = QM) Vẽ HP // AS (P ∈ MS) => HQMP hình thang cân, có BN trục đối xứng (vì Q H đối xứng qua BC) · · · => N trung điểm PM mà HP // KN (vì KN // AS SAC = AIN NMC ) => KN qua trung điểm HM (đpcm)  2x − xy − y = p  Câu 5: Đưa tốn tìm P để hệ phương trình:  2  x + 2xy + 3y =  có nghiệm 8x − 4xy − 4y = 4p (1)  ⇔ Hệ Lấy (1) - (2), ta có: px + 2pxy + 3py = 4p (2)  (8 - p)x2 - 2y(2 + p)x - (4 + 3p)y2 = (3) - Nếu y = => (8 - p)x2 = x = p = ⇒ p = 0; p = - Nếu y ≠ chia vế pt (3) cho y2 ta có : (8 - p)t2 - 2(2 + p)t - (4 + 3p) = (4) với t = x y + Nếu p ≠ 8: Phương trình (2) có nghiệm ∆' = (2 + p)2 + (8 - p)(4 + 3p) > + Nếu p = t = - Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 p2 - 12p - 18 < - ≤ p ≤ + Dấu “=” có xảy Vậy P = - , max P = +3 ĐỀ SỐ ( chuyªn) a b c ab - b - ac + c = = Câu 1: a) Từ giả thiết ta có: b-c a-c a-b ( a - b) ( a - c) a Nhân vế đẳng thức với ta có: b-c ( b - c) = ab - b - ac + c ( a - b) ( a - c) ( b - c) Vai trò a, b, c nhau, thực hoán vị vịng quanh a, b, c ta có: b ( c - a) = cb - c - ab + a ( a - b) ( a - c) ( b - c) , c ( a - b) Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta có b) Đặt 2010 = x ⇒ = ac - a - bc + b ( a - b) ( a - c) ( b - c) a b c + + = (đpcm) 2 (b - c) (c - a) (a - b) 2010 = x ; 2010 = x Thay vào ta có: 2 1   + 1+ ÷  x -x 1+x  x2 x =  2 x   A=  + ÷  ÷ x  1+x  1-x + x2 x Câu 2: a) Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên a, b, c > Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: 2 1+ 2 a2 + bc ≥ 2a bc, b + ac ≥ 2b ac ; c + ab ≥ 2c ab Do 1 1 1  + + ≤  + + ÷ a + bc b + ac c + ab  a bc b ac c ab  a +b b+c c+a + + ab + bc + ca = 2 = a + b + c , đpcm ≤ 2 abc abc 2abc Dấu xẩy a = b = c, tức tam giác cho tam giác b) Điều kiện x ≥ 0; y ≥ Ta có: A = (x - xy + y) + 2y - x +1 ( =( x - y - + (2y - y + ( x - y -1 =[ = x - y ) -2 ) ) ( x - 2 + ( ) y + 1] - y + 2y 1 )2 2 1 y − ≥2 )   x - y -1=0 x =   A= ⇔  ⇔  2 y - = y =    4 Vậy minA = − Câu 3: a) Điều kiện : ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta có: (2 x-1+3 5-x ) ≤ (2 + 32 ⇒ x - + - x ≤ 13 ) ( x - + - x) = 13.4 2 1 1 =  ÷ -  ÷ =0 x x Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 Dấu xẩy x - = - x ⇔ x = 29 13 Thay vào pt cho thử lại thỏa mãn 29 Vậy pt có nghiệm x = 13 1 b) Xét đẳng thức: f(x) + 3f  ÷ = x ∀x ≠ (1) x  1 Thay x = vào (1) ta có: f(2) + f  ÷ = 2 Thay x = 1 1 vào (1) ta có: f  ÷ + 3.f(2) = 2 1 Đặt f(2) = a, f  ÷ = b ta có 2 a + 3b = 13   Giải hệ, ta a = 32 3a + b =  13 32 Câu 4: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác A, O, D 1 thẳng hàng OK = AB Vì FM = EF mà EF = AB FM = OK 2 · Ta lại có AF = R ⇒ AF = OA AFM = 1200 Vậy f(2) = - · · · · AOK + AOB = 1800 = AOK + 60 ⇒ AOK = 120 Do đó: ∆AFM = ∆AOK b o f k m (c.g.c) · ⇒ AM = AK, MAK = 600 ⇒ ∆AMK Câu 5: Gọi BH đường cao ∆ABO Ta có 2SAOB = OA BH Nhưng BH ≤ BO nên 2SAOB ≤ OA OB e b OA + OB2 mà OA.OB ≤ o c h OA + OB2 Do 2SAOB ≤ Dấu “=” xảy ⇔ OA ⊥ OB OA = OB Chứng minh tương tự ta có: a d 2 2 OB + OC OC + OD ; 2SCOD ≤ 2 2 OD + OA 2SAOD ≤ 2 OA + OB2 + OC + OD Vậy 2S = 2(SAOB + SBOC + SCOD + SDOA) ≤ 2 2 Hay 2S ≤ OA + OB + OC + OD Dấu xẩy OA = OB = OC = OD · · · · AOB = BOC = COD = DOA = 900 ⇒ ABCD hình vuông tâm O 2SBOC ≤ a ( ) d c Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 4( chuyªn) Câu 1: a) Từ x2 + y2 = ⇒ 2xy = (x + y)2 - = (x + y + 2) (x + y - 2) xy x+y = -1 Vì x + y + ≠ nên (1) x+y+2 Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có: x+y≤ ( x + y2 ) ⇒ x+y≤ 2 xy ≤ Từ (1), (2) ta được: x+y+2 Vậy maxA = (2)  x ≥ 0, y ≥  - Dấu "="  x = y ⇔ x=y= x + y2 =  -1 b) Vì x2 + y2 + z2 = nên: 2 x + y2 + z2 x + y2 + z2 x + y2 + z2 + + = + + x + y2 y + z2 z + x2 x + y2 y2 + z2 z2 + x z2 x2 y2 + + +3 = x + y2 y + z2 x + z2 z2 z2 ≤ Ta có x2 + y2 ≥ 2xy ⇒ , x + y2 2xy x2 x2 y2 y2 ≤ Tương tự , ≤ y + z2 2yz x + z 2xz 2 z x z2 x2 y y2 ≤ Vậy + + + + +3 +3 x + y2 y + z2 2xy 2yz x + z2 2xz 2 x + y3 + z3 ⇔ + + ≤ + , đpcm x + y2 y + z2 z + x2 2xyz 10 Câu 2: a) x2 + 9x + 20 = 3x + 10 (1) Điều kiện: x ≥ − (2) (1) ⇔ (3x + 10 - 3x + 10 + 1) + (x2 + 6x + 9) = ⇔ ( 3x + 10 - 1)2 + (x + 3)2 =  3x + 10 - =  ⇔  ⇔ x = - (thỏa mãn đk (2) x + =  Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -3 2x   x y - 2x + y = (1)  y = ⇔  x +1 b)   2x - 4x + = - y   y3 = - (x - 1) -  2x ≤ ⇒ y2 ≤ ⇒ - ≤ y ≤ (1) + x2 Mặt khác: - (x - 1)2 - ≤ - ⇒ y3 ≤ - ⇒ y ≤ - (2) Từ (1) (2) ⇒ y = - nên x = Thay vào hệ cho thử lại thỏa mãn Ta có: Vậy x = y = -1 số cần tìm Câu 3: a) Đặt x = b > Thay vào gt ta y = c > ta có x2 = b3 y2 = c3 b3 + b c + c3 + bc = a ⇒ a2 = b3 + b2c + c3 + bc2 + b c ( b + c ) Luyện thi vào lớp 10 a2 = (b + c)3 ⇒ - a = b + c hay x2 + Năm học 2011 - 2012 y = a , đpcm b) Giả sử x0 nghiệm phương trình, dễ thấy x ≠ a  1  + = ⇔ x0 + + a  x0 + ÷+b=0 x0 x0 x0 x0   Suy x + ax0 + b + Đặt x0 + 1 2 = y0 ⇒ x + = y0 - , y ≥ ⇒ y0 - = - ay0 - b x0 x0 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: ( y02 - ) = ( ay0 + b ) Ta chứng minh ≤ ( a + b2 ) ( y02 + 1) ⇒ a + b2 ≥ (y − 2) (1) y0 + (y − 2) ≥ (2) y0 + 2 Thực vậy: (2) ⇔ 5(y0 − 4y0 + 4) ≥ 4(y0 + 1) ⇔ 5y − 24y + 16 ≥ 2 ⇔ 5(y0 − 4)(y − ) ≥ với y ≥ nên (1) 2 Từ (1), (2) suy a + b ≥ ⇒ 5(a + b ) ≥ , đpcm Câu 4: Đặt AH = x · Ta có AMB = 900 (OA = OB = OM) c m k Trong ∆ vng AMB ta có MA2 = AH AB = 2Rx b a h (H chân đường vng góc hạ từ M xuống BC) o h' Mặt khác: MK2 = OH2 = (R - x)2 (vì MKOH hình chữ nhật) Theo ta có: 4Rx = 15(R - x)2 Do H ∈ AB ⇒ O ≤ x ≤ 2R Phương trình trở thành: 15x2 - 34Rx + 15R2 = 3R 5R ⇔ (5x - 3R) (3x - 5R) = ⇔ x = ;x= Cả giá trị thoả mãn Vậy ta tìm điểm H H’ ⇒ điểm M M’ giao điểm nửa đường trịn với đường vng góc với AB dựng từ H H’ Câu 5: Gọi I trung điểm CD Nối EF, EI, IF, ta có IE đường trung bình ∆BDC ⇒ IE // BC a b Mà GF ⊥BC ⇒ IE⊥ GF (1) Chứng minh tương tự EG ⊥IF (2) e f Từ (1) (2) ⇒ G trực tâm ∆EIF ⇒ IG ⊥ EF (3) g c Dễ chứng minh EF // DC (4) d i Từ (3) (4) ⇒ IG ⊥ DC Vậy ∆ DGC cân G ⇒ DG = GC Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 ĐỀ SỐ 5( chuyªn) 9x x+9 Câu 1: 1) Trừ vào vế phương trình với 2x 2  x2  18x 9x  18x  ⇔  + - 40 = (1) Ta có:  x = 40 ÷ ÷ x+9 x + 9 x+9   x + 9 x2 Đặt = y (2), phương trình (1) trở thành y2 + 18y - 40 = x+9 ⇔ (y + 20) (y - 2) = ⇔ y = -20 ; y =  x = - 20(x + 9)  x + 20x +180 = (3) ⇔ Thay vào (2), ta có   x = 2(x + 9) =  x - 2x - 18 = (4)   Phương trình (3) vơ nghiệm, phương trình (4) có nghiệm là: x = ± 19 Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = ± 19 2) Điều kiện x > x+1 ≥ ⇔ (*) x-3 x ≤ - Phương trình cho ⇔ (x - 3) (x + 1) + 3(x - 3) x+1 =4 x-3 x+1 ⇒ t = (x - 3) (x + 1) x-3 Phương trình trở thành: t2 + 3t - = ⇔ t = 1; t = - Đặt t = ( x - 3) Ta có: (x -3) x + = (1) ; ( x − 3) x - x + = − (2) x− x > x > ⇔ ⇔ x = 1+ + (1) ⇔  (x − 3)(x + 1) =  x − 2x − =  (t/m (*)) x < x < ⇔ ⇔ x = − (t/m (*)) + (2) ⇔  (x − 3)(x + 1) = 16  x − 2x − 19 = Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = + ; x = − Câu 2: 1) Điều kiện: - x2 > ⇔ - < x < ⇒ - 3x > ⇒ A ≥ 25 - 30x + 9x (3 - 5x) = +16 ≥ 16 - x2 - x2 Dấu xẩy - 5x = ⇔ x = Vậy minA = Vậy A2 = 2) Chứng minh: a + b + b + c + c + a ≥ (a + b + c) (1) Sử dụng bất đẳng thức: 2(x + y ) ≥ (x + y) , ta có: 2(a + b ) ≥ (a + b) ⇒ a + b ≥ a + b (2) Tương tự, ta được: b + c ≥ b + c c + a ≥ c + a (3) (4) Lấy (2) + (3) + (4) theo vế rút gọn, suy (1) đúng, đpcm Câu 3: (1) có nghiệm ⇔ ∆ y = x − ≥ ⇔ x ≤ −2; x ≥ (3) (2) ⇔ (y + 1) = − x − 2x có nghiệm ⇔ − x − 2x ≥ ⇔ −2 ≤ x ≤ (4) Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 Từ (3), (4) ta có: x = - 2, từ ta có y = - Vậy hệ có nghiệm (- ; - 1) Câu 4: Kẻ MP // BD (P ∈ AD) m MD cắt AC K Nối NP cắt BD H AM AP AM CM = = (gt) Ta có mà AB AD AB CD k e AP CN i f ⇒ = ⇒ PN // AC Gọi O giao điểm AD CD a o h b BO CO MK OC = , = AC BD Ta có OD OA PK OA n NH OC NH MK = = ⇒ KH // MN Suy ra: PH OA PH PK Các tứ giác KENH, MFHK hình bình hành nên MF = KH EN = KH ⇒ MF = EN ⇒ ME = NF · · Câu 5: 1) Tứ giác MEHF nội tiếpvì MEH + MFH = 1800 · · · · ⇒ AMB = 1800 - EHF = EHA + FHB (1) · · » Ta có MHF = MEF (góc nội tiếp chắn MF ) · · · · Lại có MHF + FHB = 900 = MEF + EMD · · ⇒ FHB = EMD (2) · · · · Từ (1) (2) ⇒ EHA = DMB , Gọi N giao điểm MD với đường tròn (O) ta có DMB = NAB (góc nội tiếp » · · · chắn NB ) ⇒ EHA = NAB AN // EH mà HE ⊥ MA nên NA ⊥ MA hay MAN = 900 ⇒ AN đường kính đường trịn Vậy MD qua O cố định 2) Kẻ DI ⊥ MA, DK ⊥ MB, ta có AH S AM HE AD S AM DI = MAD = ; = MAD = BD SMBD BM DK BH SMBH BM HF AH AD MA HE DI (1) = BD BH MB2 DK HF · · · · · Ta có HMB = FHB (cùng phụ với MHF ) mà FHB = EMD (CMT) · · · · ⇒ EFH = DIK EHF = DMH Vậy · · Tứ giác MEHF nội tiếp nên AMH = EFH vµ · · Tứ giác MIDK nội tiếp nên DMB = DIK vµ · · EHF = 1800 - AMB · · IDK = 1800 - AMB · · · · ⇒ EFH = DIK vµ EHF = IDK ⇒ ∆DIK ∆HFE (g.g) ID DK HE.DI ⇒ ID HE = DK HF ⇒ suy = = (2) HF HE DK.HF MA AH AD Từ (1), (2) ⇒ = MB BD BH Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 6( chuyªn) 1- 2- + + + -1 -1 Câu 1: Ta có: A = =-1+ 24 - 25 -1 - + - + + 25 = - + = Câu 2: a) Từ giả thiết suy ra:  x2   y2  x2 y2 + - +  - 2 ÷ 2 ÷ a +b +c  b a +b +c  a  z2  z2 =0  - 2 ÷ a +b +c  c 1 1    1  ⇔ x  - 2 ÷ + y  - 2 ÷ + z  - 2 ÷ = (*) a +b +c  a b a +b +c  c a +b +c  1 1 1 > 0; - > 0; - >0 Do - 2 2 a a +b +c b a +b +c c a + b2 + c2 Nên từ (*) suy x = y = z = 0, M = a +   8a -  b) x3 = 2a + x a -   ÷  ÷     ⇔ x3 = 2a + 3x ( - 2a ) 3 ⇔ x = 2a + x(1 - 2a) ⇔ x + (2a - 1) x - 2a = ⇔ (x - 1) (x2 + x + 2a) = x - = ⇔  ⇔x =  x + x + 2a = (v« nghiƯm a > )  nên x mét sè ngun du¬ng Câu 3: a) Ta có: 4c 35 35 ≥ + ≥ >0 4c + 57 1+a 35 + 2b ( + a ) ( 2b + 35 ) Mặt khác 4c 35 4c 35 ≤ ⇔ ≤ 1+a 4c + 57 35 + 2b + a 4c + 57 35 + 2b ⇔ 4c 35 2b +1 ≤ 1= +a 4c + 57 35 + 2b 35 + 2b ⇔ 2b 57 57 ≥ + ≥ >0 35 + 2b 1+a 4c + 57 ( + a ) ( 4c + 57 ) (1) Ta có: ⇔ (2) 4c 35 ≥ 1+ 1+a 4c + 57 35 + 2b a 57 35 ≥ + ≥ 1+a 4c + 57 35 + 2b 35 57 >0 ( 4c + 57 ) ( 35 + 2b ) Từ (1), (2), (3) ta có: 8abc 35 57 ≥ ( + a ) ( 4c + 57 ) ( 2b + 35 ) ( + a ) ( 2b + 35 ) ( 4c + 57 ) Do abc ≥ 35.57 = 1995 (3) Luyện thi vào lớp 10 - Dấu “=” xảy a = 2, b = 35 c = Năm học 2011 - 2012 57 Vậy (abc) = 1995 b) Đặt t = t= A B C D = = = ⇒ A = ta, B = tb, C = tc, D = td a b c d A+B+C+D a+b+c+d Vì aA + bB + cC + dD = a t + b t + c t + d t = (a + b + c + d) t = (a + b + c + d) = A+B+C+D a+b+c+d (a + b + c +d)(A + B + C + D) Câu 4: a) Xét ∆ABC có PQ // BC ⇒ A AQ QP = AB BC Q BQ QM P = Xét ∆BAH có QM // AH ⇒ BA AH Cộng vế ta có: B M H N AQ BQ QP QM QP QM + = + ⇒ 1= + AB AB BC AH BC AH 2SMNPQ QM  QP QM  QP ⇒ 1=  + = ÷ ≥ AH  BC AH SABC  BC S ⇒ SMNPQ ≤ ABC S QP QM BC max SMNPQ = ABC = = ⇔ QP = BC AH 2 Tức PQ đường trung bình ∆ABC, PQ qua trung điểm AH QP QM QP + QM + ⇔ QP + QM = BC b) Vì = mà BC = AH ⇒ = BC AH BC C Do chu vi (MNPQ) = 2BC (khơng đổi) Câu 5: ∆HCD đồng dạng với ∆ ABM (g.g) mà B AB = 2AM nên HC = 2HD Đặt HD = x HC = 2x Ta có: DH2 = HM HC hay x2 = HM 2x ⇒ HM = 0,5x; MC = 2,5x; AM = 2,5x; AH = 3x Vậy AH = 3HD A H M D C ... - ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Luyện thi vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 ĐỀ SỐ Câu 1: Giải phương trình: 2    a)  x + ÷−  x - ÷− = x   x  b) ( ) )( x + − x + + x + 7x + 10. .. lớp 10 - Năm học 2011 - 2012 b) Tính giá trị biểu thức: A =  2 010 - 2 010 + + 2 010   ÷  - 2 010 2 010 ÷   4 1+ + 2 010 2 010 + 2 010 Câu 2: a) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, chứng minh: 1 a+b+c... y + 10% y Cả hai tổ sản xuất được: 1,15x + 1,10y = 101 0 (2) Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:  x + y = 900 1,1x + 1,1y = 990 0, 05x = 20 ⇔ ⇔  1,15x + 1,1y = 101 0 1,15x + 1,1y = 101 0 x