KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (2 điểm) 1. Chứng minh rằng: 2(x² + 6x + 1) = 4 4 ( x 1) ( x 1)+ + − với mọi x không âm; 2. Giải hệ phương trình: 2 4 4 x 5x 1 x ( x 1) ( x 1) 0  + = −   + + − =   3. Giải phương trình: 2 2 10 x 5 x 3x 10 3x − − − − + = 0 Bài 2: (2 điểm) 1. Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a, b, c sao cho a² + b² + c² cũng là số nguyên tố? 2. Cho hai số x, y thỏa mãn: x² + 9y² – 4xy = 2xy – |x – 3|. Hãy tính giá trị của biểu thức 2 3 2 2 x 16 y 2 A : x 8x 16x y y 2 − − = − + − − 3. Tìm các số nguyên a để phương trình x² – (3 + 2a)x – a = 0 có nghiệm nguyên? Bài 3 (2,5 điểm) 1. Giải phương trình nghiệm nguyên: x² + y² – xy – x – y + 1 = 0; 2. Giải phương trình: 2 2 2 x x 1 x x 1 x x 2. + − + − + + = − + Bài 4 (1 điểm): Cho x > 0; y > 0 thỏa mãn 1 x y + ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau x y P 16 2006 y x = + ? Bài 5 (2,5 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính BC = 2R và điểm A thay đổi trên (O) (A không trùng với B, C). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt (O) tại K (K khác A). Hạ AH vuông góc với BC. Đặt AH = x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất. Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH² + HK² luôn là một đại lượng không đổi. Tính số đo góc B của tam giác ABC biết AH 3 HK 5 = . KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: Chứng minh rằng 2 A 2 2 12n 1 = + + là số chính phương khi A ∈ N và n ∈ N. Câu 2: Cho đa thức P(x) nguyên và P(x) chia hết cho 3 khi x ∈ {k; k + 1; k + 2} với k ∈ Z. Chứng minh rằng: P(m) chia hết cho 3 với ∀m ∈ Z. Câu 3: a) Giải phương trình ( x 1 1)( x 1 3x 10) x 2− + − + − = − b) Giải hệ phương trình 2 3 6 6 (x y) (x y) x y x y a  − = −   + = + +   (a là tham số và a > 0) Câu 4: Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (O; R) và M là một điểm trên đường tròn đó. Gọi độ dài MA, MB, MC, MD lần lượt là a, b, c, d. Chứng minh rằng: a²b² + b²d² = 10R 4 . Câu 5: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2a 2b 2c 2d S (1 )(1 )(1 )(1 ) 3b 3c 3d 3a = + + + + . KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (2 điểm) 1 đại lượng không đổi. Tính số đo góc B của tam giác ABC biết AH 3 HK 5 = . KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: Chứng. liên tiếp a, b, c sao cho a² + b² + c² cũng là số nguyên tố? 2. Cho hai số x, y thỏa mãn: x² + 9y² – 4xy = 2xy – |x – 3|. Hãy tính giá trị của biểu thức 2 3 2 2 x 16 y 2 A : x 8x 16x y y 2 −