Page 1 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN KHTN ( ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI) NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán ( không chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề. Câu I. 1) Giải phương trình     2 1 1 2 1 2 8x x x      2) Giải hệ phương trình 22 22 1 24 x xy y x xy y            Câu II. 1) Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Chứng minh rằng:       2 2 2 5 4 3 23 1 1 1 xyz x y z x y z x y z x y y z x z           2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:   22 3x y x y x y xy     Câu III. Cho tam giác ABC nhọn với AB < BC là điểm thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác góc ABC. Đường thẳng qua C song song với AD cắt trung trực của AC tại E. Đường thẳng qua B song song với AD cắt trung trực của AB tại F. 1. Chứng minh: tam giác ABF đồng dạng tam giác ACE. 2. Chứng minh: AD, BE, CF đồng quy tại G. 3. Đường thẳng qua G song song với AE cắt BF ở Q. Đường thẳng QE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC tại P. Chứng minh 5 điểm A, P, G, Q, F thuộc một đường tròn. Câu IV. Giả sử a, b, c là các số thực dương và ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:   4 2 4 2 4 2 5 2 9 abc a b c a b b c c a      Page 2 Môn thi: Toán ( chuyên) Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề. Câu I. 1) Giả sử x, y là những số thực dương phân biệt thỏa mãn: 2 4 8 2 2 4 8 8 2 4 8 4 4 y y y y x y x y x y x y         Chứng minh rằng 4x = 5y. 2) Giải hệ phương trình: 22 22 2 3 12 6 12 6 x y xy x x y y y x             Câu II: 1) Cho x, y là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho 22 4 7 7x y x y là số chính phương. Chứng minh rằng x = y. 2) Giả sử x, y là những số thực không âm thỏa mãn 3 3 2 2 x y xy x y    . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: 12 21 xx P yy    Câu III. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và điểm P nằm trong tam giác sao cho BP = PC. D là điểm nằm trên BC ( D nằm giữa B và C) sao cho P nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC. Đường thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB tại E khác B. Đường thẳng PC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC tại F khác C. 1) Chứng minh rằng 4 điểm A, E, P, F thuộc 1 đường tròn. 2) Giả sử đường thẳng AD cắt (O) tại Q khác A, đường thẳng AF cắt đường thẳng CQ tại L. Chứng minh rằng tam giác ABE đồng dạng tam giác CLF. 3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng QB. Chứng minh rằng     QKL PAB QLK PAC   . Câu IV. Cho tập hợp A gồm 31 phần tử và dãy gồm m tập hợp con của A thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: i) Mỗi tập thuộc dãy m có ít nhất 2 phần tử. ii) Nếu hai tập thuộc dãy có chung nhau ít nhất 2 phần thử thì số phần tử của hai tập này khác nhau. Chứng minh rằng : 900m HẾT . Page 1 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN KHTN ( ĐH QUỐC GIA HÀ NỘI) NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán ( không chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề. Câu I. 1). 2 5 2 9 abc a b c a b b c c a      Page 2 Môn thi: Toán ( chuyên) Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề. Câu I. 1) Giả sử x, y là những số thực dương phân. y    . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: 12 21 xx P yy    Câu III. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và điểm P nằm trong tam giác sao cho BP = PC. D là điểm nằm trên BC ( D nằm giữa B